二次NURBS曲线的退化曲线
退化二次曲线的定义
退化二次曲线的定义
退化二次曲线是指二次曲线在某些特殊情况下的表现形式。
一般来说，二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数。
当二次曲线的系数满足一些特定关系时，它们所描述的曲线就会呈现退化的特征。
退化二次曲线分为以下几种情况：
1. 平行直线：当A=C=0且B≠0时，二次曲线退化为两条平行直线。
2. 重合直线：当A=C=B=0且D²+E²≠0时，二次曲线退化为两条重合的直线。
3. 单条直线：当A=C=B=D=E=0且F≠0时，二次曲线退化为一条直线。
4. 点：当A=C=B=D=E=F=0时，二次曲线退化为一个点。
这些退化情况是由于二次曲线的系数满足特定条件导致的，其表现形式与一般的二次曲线有所不同。
通过对二次曲线的系数进行具体分析，可以确定它们所描述的曲线是否为退化二次曲线，并进一步确定其退化形式。
退化二次曲线的应用
退化二次曲线的应用
《退化二次曲线的应用》
退化二次曲线是一种几何图形，它由一条直线和两个圆弧组成，可以用来描述复杂的几何形状。
它是一种常见的几何图形，在工程设计和绘图中有着广泛的应用。
首先，退化二次曲线可以用来描述复杂的几何形状，这在工程设计中非常有用。
例如，在桥梁设计中，退化二次曲线可以用来描述桥梁的桥面形状，从而更好地满足桥梁的结构要求。
其次，退化二次曲线也可以用于绘图，可以用来描绘复杂的图案。
它可以用来绘制精细的图形，如云朵、花朵和蝴蝶等，也可以用来绘制抽象的图形，如曲线、线条和圆形等。
最后，退化二次曲线也可以用于计算机图形学中，可以用来描述复杂的几何形状，从而使计算机图形更加逼真。
退化二次曲线在工程设计、绘图和计算机图形学中都有着广泛的应用，是一种重要的几何图形。
有关nurbs曲线的一些资料
有关nurbs曲线的一些资料.txt48微笑，是春天里的一丝新绿，是骄阳下的饿一抹浓荫，是初秋的一缕清风，是严冬的一堆篝火。
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有关nurbs 曲线的一些资料(2005-12-19 08:14:36) 分类：设计软件使用技巧转帖自夸夸奇坛→ CG软件技术区→ Rhino专区发帖者:ayongo关于NURBS曲线`NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines（非均匀有理B样条）的缩写。
一条NURBS曲线中有四个重要的定义项目：degree值,Control points控制点，knots节点和evaluation rule评定的规则。
degree 值degree的值是一个正整数。
这个值通常为1，2，3或5。
在Rhino3.0 中，一般情况下，它最高可以设置到11。
RHINO 的Line和Polyline的degree的值为1。
Circle的degree的值为2，而大部分RHINO的自由曲线的degree的值为3或。
RHINO所使用的NURBS曲线的degree的值可以设置从1到32。
在对曲线或曲面进行匹配时，我们通常根据不同的degree的值，将其称之为Linear，Quadratic, Cubic， Quintic。
Linear代表着degree的值为1，Quadratic代表着degree 的值为2， Cubic代表着degree的值为3 ，Quintic代表着degree的值为5。
NURBS曲线的order是个正整数，且等于degree+1。
所以degree的值等于order –1。
在改变NURBS曲线的degree的值的过程中，增加曲线的degree值对曲线的形状不会有什么影响，但是要减小曲线的degree时，就很难保证曲线的形状不发生改变。
Control points 控制点`Control points最少是degree+1个点。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
nurbs曲线绘制原则
nurbs曲线绘制原则NURBS曲线绘制原则是指在绘制NURBS曲线时需要遵守的一些规则，以确保曲线质量和流畅度。
以下是一些常见的NURBS曲线绘制原则：1. 控制点数量：NURBS曲线的形状由控制点决定，控制点数量的选择应该足够多以使曲线能够准确地表示所需的形状，但又不能过多，以免导致曲线过度复杂。
2. 控制点位置：控制点应该合理地分布在曲线上，以确保曲线的流畅性和形状的准确性。
控制点的位置应该与所需形状相匹配，并且应该遵循形状的曲率和变化。
3. 权重设置：NURBS曲线的控制点具有权重属性，权重的设置将影响曲线的形状和弯曲程度。
权重应该根据需要进行调整，以实现所需的曲线形状。
4. 节点设置：NURBS曲线的节点用于描述曲线参数化的方式，节点的设置将影响曲线在参数空间中的分布。
节点的设置应该根据需要展示曲线的形态和曲率，以及曲线上的参数分布均匀性。
5. 拟合度和阶数：NURBS曲线的拟合度和阶数决定了曲线的灵活性和逼近能力。
拟合度应该根据所需形状的复杂程度进行选择，拟合度较高的曲线通常具有更高的曲线精细度。
6. 连续性：在绘制多条NURBS曲线时，曲线之间的连接应该保持连续性，以确保曲线的整体平滑性。
曲线之间的连接应该保持位置连续、切向连续和曲率连续。
7. 增强物理可行性：在绘制NURBS曲线时，需要考虑曲线的可加工性和物理可行性。
曲线应该符合所使用的加工工艺要求，并且能够正确地适应所需的实际产品。
综上所述，NURBS曲线绘制的原则是控制点数量适宜、控制点位置合理、权重设置正确、节点设置均匀、拟合度和阶数适合、保持连续性和考虑物理可行性。
遵循这些原则可以绘制出高质量且满足实际需求的NURBS曲线。
NURBS曲线
• 齐次坐标表示形式说明：NURBS曲线是它的控制顶 点的齐次坐标或带权控制点在高一维空间里所定义 的非有理B样条曲线在ω=1超平面上的投影。 • 不仅包含了明确的几何意义，而且也说明：非 有理B样条曲线的大多数算法都可以推广应用于 NURBS曲线。
NURBS曲线有理分式表示
• 一条k次NURBS曲线可表示为一分段有理多项式矢函数：
n
i Pi Bi,k u
P u
i0 n
i Bi,k u
i0
• 这给出了NURBS的数学定义，也是有理的由来。
• 参数ωi是控制顶点权因子，分别与n+1个控制顶点 Pi(i=0,1,2,…,n)相联系。 • 首末权因子ω0,ωn>0，其余ωi≥0，以防止分母为 零、保留凸包性质及曲线不致于权因子而退化为
• 若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所 联系的权因子将仅仅影响定义在区间[ui,ui+k+1]上那 部分曲线的形状，对NURBS曲线的其它部分不发 生影响。
• 变差减少性质：
• 平面内任一直线与B样条曲线的交点各数不多于该 直线与曲线控制多边形的交点数目。
☆NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS 曲 线 表
质
● NURBS 形 状 因
子 ☆ 三次曲线比较
有理/非有理样条比较
• 有理样条与非有理样条相比有两个重要的优点： – 有理样条提供了二次曲线的精确表达式； – 非有理样条表达式为多项式，仅能逼近二次曲线。 • 这使图形包能用一个表达式(有理样条)来模拟所 有曲线形状，无需用一个曲线函数库去处理不 同的形状。 – 有理样条对于透视观察变换是不变的。 – 非有理样条关于透视观察变换是可变的。 • 这意味着可对有理曲线上的控制点应用一个透 视观察变换，来得到曲线的正确视图，
CAGD第六章NURBS曲线
第六章 NURBS 曲线众所周知，工业产品的形状大致可分为两类或由这两类组成，一类仅由初等解析曲线曲面如二次曲线、二次曲面等组成。
大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图完全表达清楚和传递所包含的全部形状信息。
第二类是不能由初等解析曲线曲面组成，而是由以复杂方式自由地变化的曲线曲面组成—即 所谓的自由型曲线曲面。
例如象飞机、汽车、船舶等的外形零件。
显然，这后一类曲线曲面不能单纯用画法几何与机械制图完全表达清楚，而必须采用参数多项式样条曲线曲面方法。
由于这两种类型的曲线曲面其数学上的表示完全不同，这就给CAD/CAM 系统的开发与研制带来困难和麻烦。
一个商品化的CAD/CAM 系统应能满足工业设计的各种需求，无论什么类型的曲线曲面都能精确表示。
由于参数多项式样条曲线曲面无法精确表示除抛物线外的初等解析曲线曲面，只能近似地逼近，因此若采用参数多项式曲线曲面作为几何造型的工具，则使得外形的设计“精度”大大降低。
因为对CAD/CAM 而言，除了计算机数值表示引起的误差外，形状的表示应当是精确的。
而采用参数多项式样条曲线曲面和初等解析曲线曲面的混合模型，由于这两类方法数学表示上的不统一，则给编程带来了麻烦。
进而，采用混合模型的CAD/CAM 系统会随着所处理几何元素的增加，其所需的时间与空间幂次增加。
对于采用单一模型的CAD/CAM 系统，这种计算量的增加只是线性的。
因此，为了建立一种既能包含参数多项式样条曲线曲面，又能精确表示初等解析曲线曲面的单一几何模型，人们提出了新的曲线曲面表示与设计方法，这就是NURBS 曲线曲面。
最早尝试在几何形状设计中使用NURBS 曲线曲面方法的是Boeing 公司的Rowin ’64和MIT 的Coons ’67，就其应用而言，他们的主要兴趣是把二次曲线和参数三次多项式曲线统一到参数有理三次曲线之中，以解决前两种曲线因算式不统一而引起的编程麻烦。
而真正面向CAD/CAM 实际应用的研究则始于美国SDRC （Structure Dynamics Research Corporation ）的Till ’83，他是第一位采用NURBS 曲线曲面方法解决曲线曲面的表示和设计问题的，并将其用于该公司的GEOMOD 系统和I －DEAS 系统之中。
CAGD：第七章NURBS曲线的计算与应用
CAGD：第七章NURBS曲线的计算与应⽤第七章 NURBS曲线的计算与应⽤7.1 有理de Casteljau算法对于给定的有理次Bézier曲线：（7.1.1）由于它是带权控制顶点定义的⾮有理次Bézier曲线在超平⾯上的透视投影，因此对于的计算可直接采⽤⾮有理Bézier曲线的de Casteljau算法计算由定义的⾼⼀维空间的⾮有理次Bézier曲线，最后取其在超平⾯的投影即可。
这也可以看作分别同时对的分⼦和分母执⾏⾮有理的de Casteljau算法，最后相除即可。
下⾯我们举例说明这⼀计算过程。
例给定控制顶点及权因⼦，定义⼀条平⾯有理⼆次Bézier曲线：求曲线上参数为的点。
求解步骤如下：1. 确定带权控制顶点：2. 以参数对带权控制顶点执⾏de Casteljau算法：3. 取在上的中⼼投影，即⽤最后⼀个表⽰权因⼦的坐标除以其余各坐标分量，得到该有理⼆次Bézier曲线上所求的点：由此例可以看出，对于有理次Bézier曲线上点的计算，其⽅法与⾮有理Bézier曲线的⽅法完全⼀样，所不同的是计算量有所增加，增加了乘法、加法和⼀次除法。
已有的基于de Casteljau算法的程序⼏乎不加改动就可使⽤。
然⽽，如果某些权因⼦较⼤，那么de Casteljau算法产⽣的中间控制顶点就不在原控制顶点的凸包之内，这将导致计算精度的损失。
因⽽必须寻求另外的计算有理Bézier曲线的算法，即有理de Casteljau算法。
有理de Casteljau算法的基本思想是将⾮有理de Casteljau算法产⽣的每⼀中间带权控制顶点投影到超平⾯上，即：（7.1.2）（7.1.3）那么，。
中间控制顶点可显式表⽰如下：（7.1.4）有理de Casteljau算法显然花费较⼤，但却更准确和稳定。
因为对于⾮负的权因⼦，中间点位于的凸包之内，因此保证了数值稳定性。
maya教程NURBS曲线
maya教程：NURBS曲线日期2011年11月1日星期二发布人爱和承诺来源朱峰社区这篇文章主要是为大家介绍在maya中nurbs曲线的使用方法，下面开始吧，谢谢喜欢：。
nurbs 通过权重或者结点提供高级的局部曲线控制。
这些控制允许样条的一部分被修改时不会影响到另外一部分。
权重与每一个控制点相结合，它们指定控制点与曲线的定点之间的距离。
默认设置下，样条上所有控制点具有相同的权重因子，称为非实数曲线。
当修改曲线的权重时，曲线称为实数曲线。
处理nurbs 曲线的权重可能改善一条曲线的细微形状，但通常也减慢了最后模型的渲染速度。
使用不同权重的另一个坏处是，当交换模型文件时，许多系统会忽略该数据。
nurbs 上的结点决定一条曲线上点的分布的局部密度。
形成一个曲线段的最小结点数等于一条曲线的阶加1 ，再加控制点的数目，曲线的阶涉及产生曲线的数学公式中高次幂指数。
曲线的阶越高，则产生该曲线所需要的计算越多。
一阶曲线相应于直线段；二阶曲线相应于二次曲线；三阶曲线相应于三次曲线。
曲线的阶越多，曲线段所需要的控制点或者结点就越多。
一般而言创建曲线的方法各式各样，但在创建之前，一定要把曲线的度数和跨度等要素掌握清楚，它们是产生一条“完美”曲线的决定性因素。
在计算机中画的曲线实际上是一个曲线段或是一个连续的线段，一个线段被称为一个span 。
在数学领域，称一个曲线跨度为参数方程的一个数字表达式。
因为，方程描述的是一个三维空间的位置，一般包含3 个变量(x 、y 、z) ；并且在方程中的变量的最高次方决定了曲线的类型。
因此一阶曲线是一个线性方程为直线；二阶曲线是一个二次方程为圆弧；三阶曲线是一个三次方程，实际上它在三维空间可以扭曲。
还有两个更高阶的曲线——五阶和七阶的曲线，它们实际上是在一个跨度中扭曲两次。
maya 在曲线创建工具中拥有所有这些阶曲线的选项，但是对于大多数练习，立体曲线是最常用到的，在maya 中默认的曲线是三阶的，如图4-1 所示。
二次贝塞尔曲线 三次贝塞尔曲线
深入探讨二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线1. 介绍在计算机图形学和设计领域中，贝塞尔曲线是一种常用的数学工具，用于描述平滑曲线的形状。
而在贝塞尔曲线中，二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线是最为常见和重要的两种类型。
本文将深入探讨二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线，分别探讨其原理、特点以及在实际应用中的意义。
2. 二次贝塞尔曲线在计算机图形学中，二次贝塞尔曲线是由三个点所确定的曲线，分别为起始点P0，控制点P1和终止点P2。
其数学表达式为：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为[0, 1]，表示曲线上的点的位置。
二次贝塞尔曲线的特点在于其形状由控制点P1的位置所决定，当控制点P1靠近起始点P0时，曲线会更加接近P0；当控制点P1靠近终止点P2时，曲线会更加接近P2。
这种特性使得二次贝塞尔曲线在设计软件中广泛应用于创建平滑的曲线和图形，例如Photoshop、Illustrator等设计工具中。
3. 三次贝塞尔曲线相较于二次贝塞尔曲线，三次贝塞尔曲线多了一个控制点，即由四个点所确定的曲线，分别为起始点P0，控制点P1，控制点P2和终止点P3。
其数学表达式为：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3与二次贝塞尔曲线类似，t的取值范围为[0, 1]，表示曲线上的点的位置。
三次贝塞尔曲线相较于二次贝塞尔曲线具有更高的灵活性和精准度，能够描述更加复杂和多变的曲线形状。
在3D建模、动画制作和工程设计等领域中，三次贝塞尔曲线被广泛应用于创建流线型的图形和模型，例如在汽车外观设计、航空航天工程等领域。
4. 实际应用二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线在数字艺术、工程设计和计算机图形学领域都具有广泛的应用。
通过合理地设置控制点的位置和调整参数，我们可以创建出各种各样复杂的曲线形状，从而实现设计和模拟各类自然和几何图形。
二次贝塞尔曲线的计算公式
二次贝塞尔曲线的计算公式
B(t) = (1-t)^2 P0 + 2(1-t)tP1 + t^2 P2。
其中，t为参数，取值范围一般是0到1之间。
当t=0时，曲
线取P0点的值；当t=1时，曲线取P2点的值；当t在0到1之间
变化时，曲线呈现出平滑的变化。
这个公式可以通过代入不同的t值来计算曲线上的点的位置，
从而绘制出二次贝塞尔曲线。
在计算机图形学和计算机辅助设计中，二次贝塞尔曲线被广泛应用于曲线的绘制和动画效果的实现中。
除了计算公式外，二次贝塞尔曲线还有其他相关的概念和性质，比如曲线的凸包性质、切线方向的计算等，这些都是在实际应用中
需要考虑的问题。
因此，在使用二次贝塞尔曲线时，除了掌握计算
公式，还需要深入理解其原理和特性，以便更好地应用于实际场景中。
总的来说，二次贝塞尔曲线的计算公式是一个重要的基础知识点，对于计算机图形学和计算机辅助设计领域的从业者来说，掌握
这个公式及其应用是非常重要的。
Nurbs曲线详解
Nurbs曲线详解NURBS（Non Uniform Rational B-spline）曲线通常称为非均匀有理B样条曲线，其数学定义如下：基函数由递推公式定义：非均匀：指节点向量的值与间距可以为任意值。
这样我们可以在不同区间上得到不同的混合函数形状，为自由控制曲线形状提供了更大自由。
均匀与非均匀的主要区别在于节点向量的值。
如果适当设定节点向量，可以生成一种开放均匀样条，它是均匀与非均匀的交叉部分。
开放样条在两端的节点值会重复d次，其节点间距是均匀的。
例如：{0,0,1,2,3,3}，（d=2，n=3）{0,0,0,1,2,2,2}，（d=4,n=4）开放均匀B样条与贝泽尔样条性质非常类似，如果d=n+1（即多项式次数为n），那么开放B样条就变成了贝泽尔样条，所有节点值为0或1。
如四个控制点的三次开放B样条，节点向量为：{0,0,0,0,1,1,1}。
有理B样条：有理函数是两个多项式之比，有理样条(rationalspline)是两个样条函数之比，有理B样条用向量描述。
URBS曲线由以下三个参数定义：（1）控制点：确定曲线的位置，通常不在曲线上，形成控制多边形。
（见图1,图中）图1 控制点移动对曲线的影响（2）权因子：确定控制点的权值，它相当于控制点的“引力”，其值越大曲线就越接近控制点（见图2，Bi为控制点）。
图2 曲线随权因子变化（3）节点矢量K：NURBS曲线随着参数K的变化而变化，与控制顶点相对应的参数化点K称为节点，节点的集合Ki：[K0，K1…，Kn…,Kn+m+1]称为节点矢量。
节点：在曲线上任意一点有多于一个控制点产生影响（除了bezier的端点），节点就象一种边界，在这个边界上一个控制点失去影响作用，另一个控制点取得影响。
2、NURBS曲线怎样通过首末节点多重节点序列使得样条曲线更靠近于重复节点位置。
如果末端节点重复d+1次，则d 阶B-样条必须插值最后一个控制点。
因此，解决样条曲线不能横跨整个控制顶点序列的一个方法是，重复首尾两个节点，这样得到的样条曲线将插值首尾两个控制点。
二次NURBS曲线的退化曲线
二次NURBS曲线的退化曲线
尹乐平;张跃;朱春钢
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2015(036)002
【摘要】NURBS曲线是几何造型中广泛使用的曲线拟合工具.当某一权因子趋向于无穷时,NURBS曲线趋于相应的控制顶点,当所有权因子趋向于无穷时,其极限曲线的几何性质目前还没有结论.利用NURBS曲线的节点插入算法,将NURBS曲线转化为分段有理Bézier曲线,结合有理Bézier曲线的退化理论,得到当所有权因子趋向于无穷时其退化曲线的几何结构.
【总页数】7页(P186-192)
【作者】尹乐平;张跃;朱春钢
【作者单位】大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.二次NURBS曲线下的面积的精确计算公式 [J], 陈绍平;陈宾康
2.二次NURBS曲线的退化曲线 [J], 尹乐平;张跃;朱春钢;
3.无速度波动的NURBS曲线二次插补算法原理及其实现 [J], 刘强;刘焕;周胜凯;李传军;袁松梅
4.二次NURBS曲线及曲面权重系数的研究 [J], 马力全;蒋占四;蒋玉龙;胡志鹏
5.退化二次曲线的逆曲线 [J], 张会凌
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二次NURBS曲线及曲面权重系数的研究
优先出版 计 算 机 应 用 研 究 第32卷--------------------------------基金项目：国家自然科学基金项目(51165003)；中国博士后科学基金项目(20110490868)；广西制造系统与先进制造技术重点实验室开放课题(120711161002) 作者简介：马力全(1984-)，男，河北邢台市巨鹿县人，硕士研究生，主要研究方向为机械设计优化方法；蒋占四(1977-)，男(通信作者)，湖南洞口人，副教授，博士，主要研究方向为机械设计优化方法等(jiangzhansi@)；蒋玉龙(1988-)，男，江苏如东人，硕士研究生，主要研究方向为机械设计优化方法；胡志鹏(1988-)，男，湖南桃江人，硕士研究生，主要研究方向为机械设计优化方法．二次NURBS 曲线及曲面权重系数的研究 *马力全，蒋占四，蒋玉龙，胡志鹏(桂林电子科技大学 机电工程学院，广西 桂林 541004)摘 要：权重系数对NURBS 曲线及NURBS 曲面起着非常重要的作用，合理的权重系数可以提高NURBS 曲线、曲面的拟合精度。
针对二次NURBS 曲线及双二次NURBS 曲面的权重系数计算方法进行了研究，提出了一种新的二次NURBS 曲线、曲面的权重系数计算方法。
该方法改进了现有方法中数据规范化、相关矢量和相关矩阵的计算方法，去掉了在计算过程中对相关矩阵的求逆，并且增加了一项顶点系数。
与现有方法相比，该方法能够更快的计算出每一个控制顶点的权重系数。
采用几个经典的数值算例对该方法进行了验证，结果表明用该方法计算的权重系数去进行曲线、曲面的拟合，能够得到比现有方法更高的拟合精度。
关键词：权重系数；二次NURBS 曲线；双二次NURBS 曲面；拟合精度 中图分类号：TP391 文献标志码：AStudy of weight for quadric NURBS curve and surfaceMA li-quan, JIANG Zhan-si, JIANG Yu-long, HU Zhi-peng(School of Electromechanical Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin Guangxi 541004, China) Abstract: The weight coefficient plays very important role of NURBS curve and surface. Suitable weight coefficients can improve the fitting precision of the NURBS curve and surface. Aiming at the calculation method of the quadratic NURBS curve and the double quadratic NURBS surface, a new method of calculating the weight coefficient for quadric NURBS curve and surface is presented. Some improvements are made in many aspects, such as: improving the date normalization and the calculation method of the correlation vector and correlation matrix, avoiding inverse matrix calculation, and a point coefficient is added when calculating the weight coefficient. Compared with the existing methods, this method can calculate the weight coefficient of each point more quickly. Several classic numerical examples are used to validate the proposed method. The results show that using the weight coefficient which is calculated by the proposed method to fit the curve and surface can get a higher precision than the existing methods.Key Words: weight coefficient; quadratic NURBS curve; double quadratic NURBS surface; fitting precision0 引言随着技术的发展，对产品的形状复杂度和产品的质量要求越来越高。
NURBS曲线理论
NURBS曲线理论第三章 NURBS 曲线理论基础NURBS ⽅法的提出是基于描述⾃由曲⾯曲线的B 样条⽅法。
B 样条基函数和B 样条曲线是UURBS 曲线的基础，UURBS 是⾮均匀有理B 样条的英⽂缩写。
因此在给出UURBS 曲线定义之前，先介绍⼀下B 样条基函数和B 样条曲线的相关知识。
3.1 B 样条基函数定义和性质B-Spline Function （简称B 样条）就是B 样条基函数，是样条函数的⼀种。
B 样条不但具有⼀般样条函数所具有的分段光滑⼜在各段交接处具有⼀定光滑性等特点，⽽且具有许多其他优良性质，如连续阶数可调、局部⽀撑性、递推性等。
有很多种⽅法可以⽤来定义B 样条基函数，我们这⾥采⽤de Boor-Cox 递推定义⽅法，是由这种递推法很容易和有效地在计算机上实现。
⽽且de Boor-Cox 递推定义很好地揭⽰了B 样条基函数的性质。
B 样条基函数的de Boor-Cox 递推定义如下：1,01,,11,1i 111[,N 0()()000i i i i i k i k i k i k i k i k i u u u u u u u N N u N u u u u u +++-+-++++?∈?=?--=+--=）其他规定： (3. 1) 上式(3．1)中k 为B 样条的次数(k+1阶)；令U={u 0，u 1，…，u m }是⼀个单调不减的实数序列，u i 称为节点序列，U 称为节点⽮量，若存在ui-1,<u i =u i+1=…=u i+r-1B 样条具有良好的性质，简单概括主要有【18,20】：●递推性：定义式(3．1)很好的说明了这个性质。
●规范性：对于定义域内任意参数u ，所有的k 次B 样条基函数之和恒为1，即1)(0,=∑=u N mi k i 。
●局部⽀撑性质：对于定义域内参数u ∈[u i u i+1)，⾄多有k+1个⾮零的k 次B 样条N j,k (u )，j=i —k ，i —k+l ，．．．,i ，其他k 次B 样条在该处均为零。
非均匀有理B样条NURBS曲线课件
04 NURBS曲线的应用实例
工业设计中的NURBS曲线应用
汽车设计
在汽车设计中，NURBS曲线被 广泛应用于车身、车轮和座椅等 零部件的轮廓设计，以实现流畅
的曲线和完美的曲面。
航空航天
在航空航天领域，NURBS曲线 用于飞机和航天器的外形设计， 以满足空气动力学和结构强度的
要求。
电子产品
在消费电子产品设计中，NURBS 曲线用于创建具有现代感和时尚 感的外观，如手机、电视和笔记
几何建模
01
在计算几何中，NURBS曲线用于几何建模，以描述复杂的几何
形状和曲面。
计算机图形学
02
在计算机图形学中，NURBS曲线用于渲染和可视化复杂的几何
模型。
机器人学
03
在机器人学中，NURBS曲线用于路径规划和运动控制，以确保
机器人的平滑运动和精确位置。
05 NURBS曲线的优缺点分析
优点分析
本电脑等。
动画制作中的NURBS曲线应用
角色动画
在角色动画中，NURBS曲线用于创建角色的轮廓 和表情，以实现逼真的表情和动作。
场景建模
NURBS曲线用于场景建模，以创建具有复杂几何 形状的背景和道具。
特效制作
在特效制作中，NURBS曲线用于模拟自然现象， 如水流、火焰和烟雾等。
计算几何中的NURBS曲线应用
动画。
02 NURBS曲线的数学表示
参数化
参数化方法
参数化是将几何信息转化 为数学表达的过程，通过 参数化，可以将几何形状 表示为参数值的变化。
参数范围
参数化过程中需要确定参 数的范围，以确保曲线形 状的正确表示。
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精确。
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结构。
关 键
词：Ｎ Ｕ Ｒ Ｂ Ｓ曲线；有理 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线；ｔ ｏ ｒ ｉ ｃ 退化
文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ ３ ０ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ — ０ １ ８ ６ — ０ ７
间 的关 系 。
交 比性 、节 点 插入 算 法 、ｄ ｅ Ｂ ｏ ｏ ｒ 算 法 等 具 有深 刻
非 均匀 有 理 Ｂ 样 条（ ｎ ｏ ｎ ． ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｂ — ｓ ｐ ｌ ｉ ｎ ｅ ，ＮＵ Ｒ ＢＳ ） 方法是 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 方 法 、Ｂ样 条 方 法和有理 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 方 法 的推 广 ，它 将 这 些造 型技 术 表 示 的 曲线 曲面 转 化 为 统 一 的表 示 形 式 。 同 时 ， ＮＵＲＢ Ｓ曲线 拥 有 局部 调 整 性 、 强 凸包 性 、 权 因子
ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｎ ｄ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ＮＵＲＢＳ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｗｈ ｉ ｌ ｅ ａ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｔ ｏ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｙ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ＮＵＲＢＳ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ； ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ； ｔ ｏ ｒ ｉ ｃ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：ＮＵＲＢＳ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ，ａ ｓ ａ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉｔ ｆ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｏ ｌ ，ｉ ｓ ｗｉ ｄ ｅ ｌ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ．Ｗ ｈ ｅ ｎ ａ
２ ０ １ ５年
４月
图 学 学 报
Ｊ Ｏ ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＧＲＡＰＨ Ｉ ＣＳ
Ａｐ ｒ ｉ ｌ ２ ０１ ５
Ｖｏ１ ＿ ３ ６ Ｎ Ｏ． ２
第 ３ ６卷 第 ２ 期
二 次 ＮＵＲＢＳ曲 线 的退 化 曲线
尹 乐平 ， 张 跃 ， 朱 春 钢
（ 大连理工大学数学科学学院 ，辽 宁 大连 １ １ 标识 码 ：Ａ
Ｄｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ０ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｑｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ＮＵＲＢＳ Ｃｕ ｒ ｖ ｅ ｓ
Ｙｉ ｎ Ｌｅ ｐｉ ｎｇ ， Ｚｈ ａ ｎ ｇ Ｙｕｅ ， Ｚｈ ｕ Ｃｈ ｕｎ ｇａ ｎｇ
曲线 曲面 造 型 中 最 为流 行 的技 术 。
在 曲线 曲面造 型设 计 中 ， ＮＵＲ ＢＳ曲线 曲面 的
形 状 由其控 制 顶 点与 权 因子 所 决 定 。文献 ［ ２ 】 中给 出 了 ＮＵＲ ＢＳ曲线 权 因子 的 几 何 意义 和 交 比性 质 ， 以及 某 权 因 子 发生 改变 时 ＮＵ ＲＢ Ｓ 曲线 的 几何 性 质 。 因 此 可 以研 究 当 所 有 权 趋 向 于 无 穷 时 ， Ｎ ＵＲＢ Ｓ 曲线 曲面 的极 限 曲线 曲面 与 控 制 顶 点之
ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｅ ｓ ｔ ｏ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｙ ，ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｏ ｆ ＮＵＲＢＳ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｔ ｅ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ． Ｈｏ ｗｅ ｖ ｅ ｒ ， ｗｈ ｉ ｌ ｅ ａ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｔ ｅ ｎ ｄ ｔ ｏ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ＮＵＲ ＢＳ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｉ ｓ ｓ ｔ ｉ ｌ ｌ ｕ ｎ ｋ ｎ ｏ ｗｎ ． Ｉ ｎ
摘
要 ：ＮＵＲ ＢＳ 曲线是 几何 造 型 中广泛 使 用 的 曲线 拟 合 工具 。 当某 一权 因子趋 向 于无 穷
时，Ｎ Ｕ Ｒ Ｂ Ｓ 曲线趋 于相应的控制顶点 ，当所有权 因子趋向于无 穷时，其极限曲线 的几何性质 目 前还没有结论 。利用 Ｎ Ｕ Ｒ Ｂ Ｓ曲线的节点插入 算法，将 Ｎ Ｕ Ｒ Ｂ Ｓ曲线转化 为分段有理 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ
ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｗｅ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｒ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ＮＵＲＢＳ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｔ ｏ ｐｉ ｅ ｃ ｅ ｗｉ ｓ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｓ ｂｙ ｋ ｎｏ ｔ ｉ ｎｓ ｅ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｄ ａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｄａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ １ １ ６ ０ ２ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）