第十三章 达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
达朗贝尔原理
F F FIi 0 ( i 1,2,......,n )
e i i i
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
3 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力 和假想加上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的 达朗贝尔原理。
iy iz (e) (e)
F F
FIix 0 ,
Iiy
0 , 0 ,
Iiz
M (F M (F
y z
M x ( Fi (e) )
i (e)
i
(e)
M (F ) 0 ) M (F ) 0 ) M (F ) 0
x Ii y Ii z Ii
动力学
达方向、作用物体；
• 2、质点的达朗贝尔原理；
• 3、质点系的达朗贝尔原理及其分量表述。
动力学
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并
利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
达朗贝尔原理
理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
例：已知均质杆l, m， 弹簧刚
度 k, AB水平时平衡，弹簧拉
长变形 0
系统平衡 M A(F) 0
k 0 l
mg
l 2
0
mg 2k
k 0 mg
弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:
V
1 2
k
0
l
2
mg
l
2
1 k 2l 2 m2 g 2
2
8k
取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: （重力-弹力系统常采用）
V
1 2
k
2
02
mg l
2
其中
0 l
, 0
mg 2k
1 2
k
2 0
2 0l
2l 2
02
mg l
2
V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。
W10 W12 W20
W10 V1, W20 V2
W12 V1 V2
有势力所作的功等于质点 系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
2
2
时,负功。
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解：取整个系统为研究对象
第十三章达朗贝尔原理
解:1,运动分析与加速度分析 杆件AB跟随汽车作平移, 杆件AB跟随汽车作平移,因 跟随汽车作平移 此杆件上各点都具有与汽车行 驶加速度a 相同的加速度. 驶加速度a 相同的加速度. 2,受力分析 杆件重力W 杆件重力W; 在杆件AB各点上施加惯性力 在杆件AB各点上施加惯性力 约束力F 约束力FNA,FBx, FBy 3,应用动静法
■
达朗贝尔原理与惯性力 达朗贝尔原理与惯性力
例 题2
y 振动筛
y
O
平衡位置
y=a sin ω t 求:颗粒脱离台面的 最小振动频率
y FN m
y
FI
解:通过分析受力,分析运动并施加惯性 通过分析受力, 确定颗粒脱离台面的位置和条件. 力,确定颗粒脱离台面的位置和条件. y
a W O
平衡位置
y
O FN m a W
◇ 刚体惯性力系简化
☆刚体作平移 ☆刚体作定轴转动(转轴垂直于对称面) 转轴垂直于对称面) ☆刚体作平面运动(平行于对称平面) 平行于对称平面)
☆ 刚体作平移
刚体作平移时,每一瞬时刚体内各质点的加速度相 刚体作平移时, 同,都等于质心的加速度即 ai = aC m2 FI1 FIR FIn m1
对质系中的每个质点i ai 对质系中的每个质点 :
Fi + FNi + FIi = 0 式中FIi = mai i
a2
主动力系,约束力系,惯性力系组成形 主动力系,约束力系, 式上的平衡力系, 式上的平衡力系,则:
∑F + ∑F + ∑F =F
i Ni Ii i i i
R
= 0
∑M
i
O
(Fi ) + ∑MO (FNi ) + ∑MO (FIi )=MO= 0
第13章 达朗贝尔原理
绕水平轴 O 转动。突然剪断绳，求圆
盘的角加速度和轴承O处的反力。
FIO
n FIO
a a
n C
t C
B
r
解：1.取圆盘 2.受力分析如图 3. 定轴转动 atC , anC , . 虚加惯性力（转轴O ）
n IO n C
O
FOy
FOx
C
主矢 FIO = Mac FIO maC mr
2.转轴通过质心，但 0 。
M IO J O
3.刚体作匀速转动，且转轴通过质心。
FIR 0 , M IO 0
平面运动(向质心点简化)
将平面运动分解为跟随基点 C的平移和绕基点C的转动 主矢 大小： FIC = Mac 虚加点：刚体质心C上
大小： MIC = JC
C
几个工程实际问题
几 个 工 程 实 际 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
惯性力
定义：由于物体具有惯性，抵抗其 FI
运动状态改变，而给予外界 的一种反作用力。
F m
a
大小： FI = ma FI ma 方向： FI与a的方向相反 作用点：在施力物体上 F v a 动静法(达朗伯原理) FI 1. 质点 F + FN＝ FR =m a m F FR N F + FN +(－ m a) ＝0 F + FN ＋ FI ＝0 －－质点的达朗贝尔原理
x F 主矢 FIC = Mac Ic macx y 主矩 MIC = Jc FIc macy 1 2 M Ic ml 方向如图 12
O
FT A l FICx θ FICy C mg l B MIC
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
达朗伯原理
将上式代入式（13-9）可得：
v Rg
=
−Marc
上式表明，对于任一质点系，惯性力系的主矢
加速度大小 ac 的乘积，方向与 arc 相反。
r Rg
的大小等于质点系总质量
M
（13-10） 与其质心
式（1Rr3g-1=0−）dd还ktr 可写成：
式中
r k
=
∑
mivri
是质点系的动量。
再求质点系惯性力系向某一定点 O 简化时的
⎫ ⎪ ⎪ ⎪
∑ Z (e) + ∑ Zg = 0
⎪⎪
∑
mx
v (F
(e)
)
+
∑
mx
v (Fg
)
=
0
⎬ ⎪
∑
my
v (F
(e)
)
+
∑
my
v ( Fg
)
=
⎪ 0⎪
∑
mz
v (F
(e)
)
+
∑
mz
v (Fg
)
=
0
⎪ ⎪⎭
(13-8)
例 13-2 桥式起重机的桥梁质量为m3＝1000kg， 吊车质量为 5000kg，吊车吊一个质量为m1＝2000kg 的重物下放（图 13－4 所示）。吊车刹车时重物的加 速度为 a ＝0.5m/s2，求此时A、B处的约束反力。吊 车所处的位置如图示。
理，得到平衡方程
v Fi
+
v Ni
+
v Fgi
=
0
（ i = 1,2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n)
这样，在每一瞬时，作用于质点系内每个质点的主动力
点的惯性力
13-理论力学-第三部分动力学第十三章达朗贝尔原理
由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体
(人手)产生的反抗力（反作用力），称为小车的惯性力。 F' F ma
动力学/达朗伯原理
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动
FI
力 为
F
a
，约束反力 FN ，获得的加速度
。 由牛顿第二定律：
FN
F
FN
ma
F FN ma 0
▼任意点
Mi 切向加速度
a i
法向加速度
ain
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
α
所有的点组成一个平面内的惯性力系
α
ain aiτ
FIiτ
FIin
动力学/达朗伯原理
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
▼O为转轴 z与质量对称平面的交点，向O点简化：
理论力学
第三部分 动 力 学
第十三章
达 朗 贝尔原 理
2021年7月22日
动力学/达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是十八世纪为解决机器动力学问题 提出的，实质就是在动力学方程中引入惯性力，将动 力学问题从形式上转化为静力学中的力的平衡问题， 应用静力学的平衡理论求解。
本章介绍动力学的这一重要原理——达朗伯尔原 理 (也称动静法)。
FA
mg 4
cos0
FAτ
（与图示反向）
FAn
FIR
动力学/达朗伯原理
●用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
第十三章 达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理典型例题例１３．1 汽车连同所载货物的质量是m ，质心C 距地面的高度是h ，汽车的前，后轮轴到通过质心的铅垂线的距离分别是b 和c ，如图所示．如果不计车轮的质量，当汽车以加速度a 沿水平直线道路行驶时，求前，后车轮给路面的铅垂压力．解 取汽车为研究对象，如图所示，汽车实际承受的外力有重力G ，地面铅直反力NA F 和NB F ，摩擦力sA F 和sB F ，其中主动轮B 的摩擦力sB F 水平向前，而被动轮A 的摩擦力sA F 则水平向后．因不计车轮质量，整个汽车做平动，在其质心C 上虚加惯性力系的合力ma F IR -=． 汽车所受的外力和虚加的惯性力构成矢量平衡关系，因而可写出汽车的动态平衡方程0=∑AM ： 0)(=+-+c b F Gb h F NB IR （１） 0=∑BM： 0)(=++-c b F Gc h F NB IR （２）由式（１）和式（２）求得地面对车轮的铅直反力c b ah gc m F NA +-=)( （a ）cb ah gb m F NB ++=)( （b ）前，后车轮给路面的压力与相应的铅直反力NA F 和NB F 大小相等，方向相反． 讨论１．虚加惯性力后，与汽车实际所受外力（包括主动力和约束力）构成矢量平衡关系，因而可任取未知力的交点为矩心，写出力矩平衡方程后简便求解，这正是根据达朗贝尔原理，采用动静法解题的优点．２．由式（a ）和式（b ）知，当加速度a 增大时，前轮的反力NA F 减小，而后轮的反力NB F 增大．因而使阻碍汽车前进的前轮摩擦力A F 减小，同时使驱动汽车前进的后轮摩擦力B F 增大．当gc ah 时，0 NA F ，表明这时汽车的前轮将抬起并脱离路面，0=NA F ；这种情况在赛车比赛时可出现．例１３．２ 复摆的质量为m ，可绕光滑水平轴O 转动，质心C 到转轴O 的距离b OC =，它对通过质心C 并与图面垂直的轴的回转半径为C ρ．开始时0OC 对铅直线的偏角为0ϕ，然后无初速地释放，试根据达朗贝尔原理，用动静法求复摆OC 与铅直线成偏角ϕ时支承O 的约束力．解 复摆作定轴转动，根据达朗贝尔原理，在点O 虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn nIR ma F -=并沿,,ϕ反向虚加矩为,,ϕO J 的惯性力偶后，与真实作用在复摆上的主动力mg 和约束力Ox F 和Oy F 共同构成平面平衡力系，如图１３.２（a ）所示．其中，,,ϕb a Ct =，2,ϕb a Cn =．于是可写出动态平衡方程0)(=∑F M O： 0sin ,,=--ϕϕO J mgb （１）0=∑xF： 0sin cos =+-ϕϕnIR tIR Ox F F F即 0s i n c o s =+-ϕϕCn Ct Ox ma ma F 故 0s i n c o s 2,,,=+-ϕϕϕϕmb mb F Ox （２） 0=∑yF： 0cos sin =---ϕϕnIR t IR Oy F F mg F即 0c o s s i n 2,,,=---ϕϕϕϕmb mb mg F Oy （３）由式（１）得ϕρϕϕsin sin 22,,bbgJ mgb CO+-=-= （４）对上式积分ϕϕρϕϕϕϕϕd bbgd C ⎰⎰+-=0,sin 22,,得)cos (cos 20222,ϕϕρϕ-+=bbgC （５）将式（４）和式（５）代入式（２）和式（３），最后求得支承O 的约束力mgb bF COx )cos 3cos 2(sin 0222ϕϕϕρ-+=mg bbmg F COy )]cos (cos cos 2sin [02222ϕϕϕϕρ-+-++=讨论１．复摆的惯性力系还有如下两种简化方法：（１）复摆的定轴转动也是刚体平面运动的特殊情况，因此，也可按平面运动刚体的类型虚加惯性力系，即在复摆的质心C 上虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn n IR ma F -=，并在复摆上虚加与,,ϕ反向的矩为,,ϕO J 的惯性力偶，如图１３.２（b ）所示．（２）把图１３.２（a ）中的惯性力和惯性力偶进一步合成为作用在图１３.２（c ）点H的惯性力Ct t IR ma F -=和Cn nIR ma F -=，点H 到点O 的距离b bmb b m FJ OH CC t IR O +=+==2,,,,22,,)(ρϕϕρϕ２．本例介绍了定轴转动刚体的惯性力系简化结果的３种方法，其中惯性力恒等于C IR ma F -=或 )()(Cn Ct nIR t IR IR ma ma F F F -+-=+=由于惯性力IR F 的作用点不同，它可虚加在图１３.２中定点O ，质心C 或点H ，相应的惯性力偶矩分别为,,ϕO J ，,,ϕC J 或0，其旋向恒与角加速度,,ϕ反向．。
理论力学第四部分-分析力学
第四部分 分析力学第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。
这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。
13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m ，加速度为a ，作用在质点上的主动力为F ，约束力为N F ，如图13-1所示。
根据牛顿第二定律，有 将上式移项写为0=m +a F F N - （13-1）引入记号a F I m =- （13-2）式（13-1）成为0=++I F F F N （13-3）其中，I F 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。
式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。
此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。
利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。
应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。
因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。
（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。
例如，系在绳子一端质量为m 的小球，以速度v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。
小球受到绳子的拉力F ，使小球改变运动状态产生法向加速度n a ，即n m =a F 。
小球对绳子的反作用力n m ==a F F --′，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。
13-动静法
I
=0
或
RF + RN + R = 0
I
MFo + MNo + M = 0
I o
例题. 例题 图示的构架滑轮机 构中,重物 构中 重物 M1和 M2分别重 P1=2kN,P2 =1kN。略去各 。 杆及滑轮 B和 E 的质量。 和 的质量。 已知AC =CB = l = 0.5 cm, 已知 θ = 45o。滑轮B和E的半径 滑轮 和 的半径 分别为r 分别为 1和r2且r1 =2r2 = 0.2cm求重物 M1的加速度 求重物 a1和 DC 杆所受的力。 杆所受的力。
A
θ
C
B
D
E M1
M2
取滑轮组为研究对象,进行运 解: 取滑轮组为研究对象 进行运 动分析和受力分析,并虚加惯性力 并虚加惯性力。 动分析和受力分析 并虚加惯性力。 x1 + 2xE = c1 x2 - xE = c2
(1) (2)
E
YB B XB
F1I =
M1 P2 F = ɺɺ2 x g
I 2
A
4R
O
B
2R
C D
解除支座A和 的 解:解除支座 和B的 解除支座 约束,画系统的受力图 约束 画系统的受力图 并加惯性力
1 2
MR 2ε
B
2R
A
RA 4R
O
4ma
Mg
RB
C
∑ mA(F) = 0
a 4mg mg
(3) 平面运动刚体中惯性力系的简化
本节只讨论具有质量对称平面的刚体 作平面运动的情形。 作平面运动的情形。
设刚体有一质量对称平面,且该平面在其 设刚体有一质量对称平面 且该平面在其 自身平面内运动,惯性力系可简化为在对称 自身平面内运动 惯性力系可简化为在对称 平面内的平面力系。取质心 为简化中心 为简化中心。 平面内的平面力系。取质心c为简化中心。 1) 惯性力系的主矢 R = -M ac 2)惯性力系的主矩 惯性力系的主矩 McI = - Jc α
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点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
FN
an
v
mg FI
解得 v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，
单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由
达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程
a
mgsin FIcos 0
列平衡方程
m3 g
MO(Fi) 0 (m1g F1 m2g F2)r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
MΙO ri FΙi ri (miai )
( miri ) aC mrC aC rC FIR
如果取质心C为力系的简化中心，即rC=0，则惯性力系 的主矩恒等于零。因而，刚体平动时惯性力系可以简化为 作用在质心上的一个合力FIR。
v
R
F
O an
O
F'
F' F man
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定
由于
FI ma
FN
FI mg x
解得
a g tan
当加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2 质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，
它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一
个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系
达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
作用力F， 由作用和反作用定律，可知
F a
F' F ma
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
(a)
F'
F
a
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴
O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速
度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。
FR FR 0 MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。
13.3.1 刚体做平动
13.3.2 刚体做定轴转动
当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称平面的轴作定轴 转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化，最后就 得到一个力FIR和矩为MIO的力偶。这个力等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与 角加速度相反。
律，有
F FN ma
即
FI
m F
F FN (ma) 0
பைடு நூலகம்
FN ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为 F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 Fni FΙi
mi
F Oy
O
m3 g
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上
任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
Fin
mi
v2 r
Fi mir mia
Fni
FΙi
mi
F Oy
O