第十三章 达朗贝尔原理
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v
R
F
O an
O
F'
F' F man
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定
律，有
F FN ma
即
FI
m F
F FN (ma) 0
FN ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为 F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
MΙO ri FΙi ri (miai )
( miri ) aC mrC aC rC FIR
如果取质心C为力系的简化中心，即rC=0，则惯性力系 的主矩恒等于零。因而，刚体平动时惯性力系可以简化为 作用在质心上的一个合力FIR。
列平衡方程
m3 g
MO(Fi) 0 (m1g F1 m2g F2)r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
FI1
a
A
m1 g
Байду номын сангаас
a'’ B
m2 g
FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 Fni FΙi
mi
F Oy
O
m3 g
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上
任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
Fin
mi
v2 r
Fi mir mia
Fni
FΙi
mi
F Oy
O
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，
它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一
个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系
达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
FR FR 0 MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。
13.3.1 刚体做平动
13.3.2 刚体做定轴转动
当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称平面的轴作定轴 转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化，最后就 得到一个力FIR和矩为MIO的力偶。这个力等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与 角加速度相反。
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
作用力F， 由作用和反作用定律，可知
F a
F' F ma
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
(a)
F'
F
a
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴
O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速
度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。
FN
an
v
mg FI
解得 v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，
单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由
达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程
a
mgsin FIcos 0
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
由于
FI ma
FN
FI mg x
解得
a g tan
当加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2 质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有
R
F
O an
O
F'
F' F man
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定
律，有
F FN ma
即
FI
m F
F FN (ma) 0
FN ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为 F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
MΙO ri FΙi ri (miai )
( miri ) aC mrC aC rC FIR
如果取质心C为力系的简化中心，即rC=0，则惯性力系 的主矩恒等于零。因而，刚体平动时惯性力系可以简化为 作用在质心上的一个合力FIR。
列平衡方程
m3 g
MO(Fi) 0 (m1g F1 m2g F2)r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
FI1
a
A
m1 g
Байду номын сангаас
a'’ B
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FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 Fni FΙi
mi
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O
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a
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滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上
任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
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Fi mir mia
Fni
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由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，
它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一
个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系
达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
FR FR 0 MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。
13.3.1 刚体做平动
13.3.2 刚体做定轴转动
当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称平面的轴作定轴 转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化，最后就 得到一个力FIR和矩为MIO的力偶。这个力等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与 角加速度相反。
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
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解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
作用力F， 由作用和反作用定律，可知
F a
F' F ma
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
(a)
F'
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a
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴
O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速
度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。
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解得 v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，
单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由
达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程
a
mgsin FIcos 0
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
由于
FI ma
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解得
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当加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2 质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有