Banach空间中二阶脉冲微分-积分方程无穷边值问题

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Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

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第４６卷２１００年第５期
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近年来，非线性常微分方程周期边值问题解的
一
存在性、唯一性和多解性一直是微分方程领域非常引人关注的问题Ｌ］１，但现有文献大都要求非线性
项ｆｔ连续．本文在Ｂｎｃ（，）ａａｈ空间中，就非线性项ｆ（，在较弱的连续性条件下，利用上下解方ｔ）法与增算子不动点定理，讨论二阶非线性常微分方程周期边值问题ｆ一（）一ｆｔ，ｔＪ一［，丁， … ￡（，） ∈ Ｏ２ｃ］

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性陈旭;仲秋艳【摘要】By using the fixed point index theory of completely continuous operators,we investigate the existence of multiple positive solutions for the second order boundary value problem with integral boundary conditions of nonlinear impulsive differential equations on an infinite interval in a Banach space.%利用全连续算子的不动点指数理论,研究了Banach空间中无穷区间上带有积分边值条件的二阶非线性脉冲微分方程多个解的存在性.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(024)004【总页数】9页(P55-63)【关键词】脉冲微分方程;正解;全连续算子;非紧性测度【作者】陈旭;仲秋艳【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionThe theory of impulsive differential equations describes processes whichexperience a sudden change of their state at certain moments.Processes with such a character arise naturally and often，especially in phenomena studied in physics，chemical technology，population dynamics，economics and biotechnology.The theory of impulsive differential equations has been emerging as an important of investigation in recent years［1－3］.Very recently，by using the fixed point index theory of completely continuous operators，Guo［6］obtained the existence of multiple positive solutions for a class of nth－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Motivated by Guo＇s work，in this paper，we shall use the cone theory and the fixed point index theory to investigate the multiple positive solutions for a class of second－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Let Ebe a real Banach space and Pbe a cone inwhich defined a partial ordering in Eby x≤yif and only if y－x∈p.Pis said to be normal if there exists a positive constant Nsuchthatθ≤x≤yimplies‖x‖≤N‖y‖.whereθdenotes the zero element of E，and the smallest Nis called the normal constant of P（it is clear，N≥1）.Pis called solid if its interior Pis nonempty.If x≤yand x≠y，we write x＜y.If Pis solid and y－x∈p。

二阶脉冲微分方程边值问题正解存在的极限条件

二阶脉冲微分方程边值问题正解存在的极限条件
周巧姝
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(009)003
【摘要】讨论了二阶脉冲微分方程边值问题Neunnem解的存在性问题,经过推导给出其正解存在的极限条件,并通过具体实例验证所得到的结论.
【总页数】4页(P192-195)
【作者】周巧姝
【作者单位】长春师范学院,学报编辑部,吉林,长春,130032
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.二阶脉冲微分方程m-点边值问题正解的存在性 [J], 李海艳
2.一类二阶脉冲微分方程边值问题正解的存在唯一性 [J], 景冰清;杨晨
3.二阶脉冲微分方程边值问题正解存在条件 [J], 周巧姝;苗凤华
4.二阶脉冲微分方程边值问题正解存在条件 [J], 周巧姝;苗凤华;
5.含脉冲的二阶次线性微分方程两点边值问题正解存在的必要条件 [J], 宫青;闫宝强
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二阶脉冲微分方程Dirichlet边值问题解的存在性

第60卷第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021300二阶脉冲微分方程D i r i c h le t边值问题解的存在性何婷(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理,研究二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=ìîíïïïï0解的存在性,其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p <1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.设存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.关键词:非线性微分方程;脉冲;L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理;D i r i c h l e t 边值问题中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0475-06E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r S e c o n d -O r d e r I m pu l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t B o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s H ET i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h e a u t h o r s t u d i e s e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f o r s e c o n d -o r d e r i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s -u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,w h e r e c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ,t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n δ(x )=0w h e n x ʂ0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1,po i n t s 0<x 1<x 2< <x p<1a n d 0<y 1<y 2< <y q <1a r e g i v e n i m p u l s e p o i n t s .T h e r ee x i s t p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1]s u c ht h a t h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.K e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;i m p u l s e ;L e r a y -S c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;D i r i c h l e t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m 收稿日期:2021-08-08.作者简介:何婷(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :h e t i n g 3522896862@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果考虑二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,(1)其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p<1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u , x ɪ[0,1], u ɪℝ.(2) 问题(1)在物理㊁数学和工程等领域应用广泛[1-5].本文首先在条件(2)下证明问题(1)解的存在性;其次证明问题(1)等价于-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k , k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0,Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k ,k =1,2, ,r ìîíïïïï.(3)关于脉冲微分方程(3)这类方程目前已有很多研究成果[6-11].其中L i u 等[6]研究了-u ᵡ(t )+g (t )u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,T ],u (0)=u (T )=0,Δu ᶄ(t j )=u ᶄ(t +j )-u ᶄ(t -j )=I j (u (t j )), j =1,2, ,ìîíïïïïm (4)在非线性项满足次线性㊁超线性和渐近线性3种情形下解的存在性,其中0=t 0<t 1<t 2< <t m <t m +1=T ,g ɪL ɕ[0,T ],f ɪC ([0,T ]ˑℝ,ℝ),I j ɪC (ℝ,ℝ),j =1,2, ,m .针对次线性情形,文献[6]用临界点理论证明了问题(4)解的存在性,得到如下结果:定理1[6] 假设:1)存在a ,b >0,γɪ[0,1),使得f (t ,u )ɤa +b u γ, (t ,u )ɪ[0,T ]ˑℝ; 2)存在a j ,b j >0,γj ɪ[0,1)(j =1,2, ,m ),使得I j (u )ɤa j +b j uγj, u ɪℝ, j =1,2, ,m ; 3)F (t ,u )=ʏu 0f (t ,s )d s 关于u 是凸函数,F (t ,u )ȡ0,t ɪ[0,T ];4)ʏsI j (t )d t 是凹函数,ʏsI j (t )d t ȡ0,s ɪℝ,j =1,2, ,m .当存在 t ɪ[0,T ]使得g ( t )>0时,问题(3)至少有一个解.本文在f (t ,u )至多线性增长的条件下讨论二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题(1)解的存在性.本文总假设:(H 1)c ɪC [0,1];(H 2)h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得式(2)成立;(H 3)14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+12(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1)<1.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1)~(H 3)成立,则脉冲问题(1)存在一个解u =u (x ),且满足 u C [0,1]ɤR ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-214ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i +12(m i n c +(x )+π2)-1/2 p L 2(0,1éëêêùûúú).674 吉林大学学报(理学版) 第60卷注1 带D i r a c 形脉冲问题的特征可参见文献[12-13],问题(1)这种形式有利于在泛函框架下定义弱解.注2 本文研究结果不仅得到了问题(1)解的存在性,还确定了解的上界.2 弱解的正则性令H ʒ=W 01,2(0,1),问题(1)的弱解u ɪH 满足下列积分等式:ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ10c (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1c iu (x i)v (x i)=ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðq j =1h jv (y j), v ɪH .(5)定义{z 1,z 2, ,z r }ʒ={x 1,x 2, ,x p }ɣ{y 1,y 2, ,y q }, 1ɤr ɤp +q ;0=z 0<z 1<z 2< <z r <z r +1=1;I k =(z k -1,z k ), k =1,2, ,r +1; (0,1)\{z 1,z 2, ,z r }=ɣr +1k =1I k ;c k =c i 0,z k =x i 0,0,其他{;h k =h j 0,z k =h j 0,0,其他{.令D (I )(I ⊂ℝ)表示在I 上带有紧支撑的无穷次可微函数全体,k ɪ{1,2, ,r +1},选择v ɪD (I k ),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\I k ,则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏI ku ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d []τv ᶄ(x )d x =0.(6)因为对任意的v ɪD (I k ),式(6)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ=a , x ɪI k,(7)从而u ɪC 1(I k ).又由式(7)得u ᵡ(x )-c (x )u (x )+h (x ,u (x ))=0, x ɪI k ,(8)从而u ɪC 2(I k ).因此问题(1)在区间ɣr +1k =1I k 逐点成立.令0<η<m i n {z k -z k -1,z k +1-z k },选择v ɪD (z k -η,z k +η),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\(z k -η,z k +η),则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏz k +ηz k -ηu ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k)d τ[+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh j δ(τ-z k)d ]τv ᶄ(x )d x =0.(9)因为对于任意的v ɪD (z k -η,z k +η),式(9)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k )d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh jδ(τ-z k)d τ=a , x ɪ(z k-η,z k+η).(10)由式(10)得Δu ᶄ(z k )ʒ=c k u (z k )-h k .(11)由于HC [0,1],所以u ɪC [0,1].而u ᶄ分段连续,点z 1,z 2, ,z r 为第一类间断点.问题(1)等价于问题774 第3期何婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k ,k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0{,(12)带脉冲条件Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k , k =1,2, ,r .(13) 满足式(12),(13)的函数u 即为脉冲问题(1)的古典解,通过上述证明可知每个弱解都是古典解.另一方面,每个古典解显然都是弱解.3 引理对于任意连续函数r (x )ȡ0(x ɪ[0,1])及实数r i ȡ0(i =1,2, ,p ),在空间H 中定义如下内积:(u ,v )=ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ1r (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1r i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH ,则范数 u =(u ,u )1/2.设f (x )(x ɪ[0,1])和f i (i =1,2, ,p )为连续函数,定义算子F :H ңH 为(F (u ),v )=ʏ1f (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1f i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH .(14)定义算子S :H ңH 为(S (u ),v )=ʏ1h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j ), u ,v ɪH .(15)由于HC [0,1],因此F 为线性紧算子,S 为非线性紧算子.引理1 若u ɪH ,则u C [0,1]ɤ12u , u L 2(0,1)ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2u . 证明:对任意u ɪH ,由文献[14]有 u C [0,1]ɤ12 u ᶄ L 2(0,1), u L 2(0,1)ɤ1πu ᶄ L 2(0,1),则 u2C [0,1]ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ14u 2, u 2L 2(0,1)=m i n r (x )+π2m i n r (x )+π2ʏ10(u (x ))2d x ɤ1m i n r (x )+π2ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ1m i n r (x )+π2 u 2.证毕.引理2 对于由式(14)定义的算子F :H ңH ,有F (u ) ɤ14ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()i u .证明:由于u ɪH ,F :H ңH ,所以F (u )ɪH ,F (u ) =s u p v ɤ1(F (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10f (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1f iu (x i)v (x i)ɤs u p v ɤ1u C [0,1] v C [0,1]ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()iɤ14ʏ10f (x )d x +ðp i =1f ()iu .874 吉林大学学报(理学版) 第60卷证毕.引理3 对于由式(15)定义的算子S :H ңH ,有S (u ) ɤ12(m i n r (x )+π2)-1/2 p L 2(0,1) u +(m i n r (x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j . 证明:由于u ɪH ,S :H ңH ,所以S (u )ɪH ,再结合条件(H 2),利用H öl d e r 不等式和M i n k o w s k i 不等式,有S (u ) =s u p v ɤ1(S (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j)ɤs u p v ɤ1ʏ10(h (x ,u (x )))2d ()x 1/2ʏ10(v (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1h jɤs u p v ɤ1v L 2(0,1)ʏ10(q (x )+p (x )u (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1hj ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2ʏ10(q (x ))2d ()x 1/2+ʏ10(p (x )u (x ))2d ()x 1/2+12ðqj =1h j ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j.证毕.引理4(L e r a y-S c a u d e r 不动点定理)[15] 设E 是B a n a c h 空间,算子T :E ңE 全连续,若集合{ x x ɪE ,x =θT x ,0<θ<1}有界,则T 在闭球A ⊂E 中必存在不动点,其中A ={x x ɪE , x ɤR }, R =s u p{ x x =θT x ,0<θ<1}.4 主要结果的证明下面证明定理2.令c +和c -分别表示c (x )的正部和负部,对应c ʃ=m a x {ʃc (x ),0},即c (x )=c +(x )-c -(x ).则问题(1)可以改写为-u ᵡ(x )+c +(x )u (x )+ðc i >0c i δ(x -x i )u (x )=c -(x )u (x )-ðc i<0c i δ(x -x i )u (x )+h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïïïï.(16)取r (x )=c +(x ),r i =c i ,c i >0,0,c i <0{;f (x )=c -(x ),fi =0,c i >0,-c i ,c i <0{.则根据式(14),(15)算子的定义,问题(16)的弱解等价于算子方程u =F c -(u )+S (u )(17)的不动点,其中F c -,S :H ңH 为全连续算子.引入u =θ(F c -(u )+S (u )), θɪ(0,1).(18)设u 为式(18)的解,则根据引理2和引理3,有 u = θ(F c -(u )+S (u )) ɤ F c -(u ) + S (u ) <14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()iu +(m i n c +(x )+π2)-1/2ˑq L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j,从而974 第3期何婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性u C [0,1]<(m i n c +(x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L2(0,1éëêùûú).令R ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1éëêùûú),则 u C [0,1]<R .根据引理4,当θ=1时,存在一个u ɪC [0,1]满足式(17),即脉冲问题(1)存在一个解u ɪC [0,1]满足 u C [0,1]ɤR .定理2证毕.参考文献[1] R A C H ㊃UN K O V ÁI ,T V R D Y 'M.E x i s t e n c eR e s u l t s f o r I m p u l s i v e S e c o n d -O r d e r P e r i o d i cP r o b l e m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2004,59(1/2):133-146.[2] S U N Y ,Z HU D M.E x i s t e n c eT h e o r e m s f o r a S e c o n dO r d e rT h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h I m p u l s e s [J ].A p p lM a t hJC h i n e s eU n i v (S e rB ),2005,20(2):165-174.[3] N I E T OJJ ,U Z A L J M.N o n l i n e a rS e c o n d -O r d e rI m p u l s i v e D i f f e r e n t i a lP r o b l e m s w i t h D e p e n d e n c eo nt h e D e r i v a t i v e v i aV a r i a t i o n a l S t r u c t u r e [J ].JF i x e dP o i n tT h e o r y A p p l ,2020,22(1):19-1-19-13.[4] B A IL ,N I E T OJ J .V a r i a t i o n a lA p p r o a c ht oD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t h N o t I n s t a n t a n e o u s I m p u l s e s [J ].A p p l M a t hL e t t ,2017,73:44-48.[5] 杨乐平,朱彦伟,黄涣.航天器相对运动轨迹规划与控制[M ].北京:国防工业出版社,2010:1-326.(Y A N G YP ,Z HU Y W ,HU A N G H.R e l a t i v eT r a j e c t o r y P l a n n i n g a n dC o n t r o l o fS p a c e c r a f t [M ].B e i j i n g :N a t i o n a lD e f e n s e I n d u s t r y Pr e s s ,2010:1-326.)[6] L I U ZS ,C H E N HB ,Z HO U TJ .V a r i a t i o n a lM e t h o d s t o t h e S e c o n d -O r d e r I m p u l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h D i r i c h l e tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m [J ].C o m p u tM a t hA p pl ,2011,61(6):1687-1699.[7] Z HO UJW ,L IY K.E x i s t e n c e a n d M u l t i p l i c i t y o f S o l u t i o n s f o r S o m eD i r i c h l e t P r o b l e m sw i t h I m p u l s i v eE f f e c t s [J ].N o n l i n e a rA n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2009,71(7/8):2856-2865.[8] Z HA N G K Y ,X UJF ,O R E G A N D.W e a kS o l u t i o n s f o r aS e c o n dO r d e r I m p u l s i v eB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m [J ].F i l o m a t ,2017,31(20):6431-6439.[9] L I J ,L U OJL ,WA N GZ H.P e r i o d i cS o l u t i o n so fS e c o n dO r d e r I m p u l s i v eD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e v i aV a r i a t i o n a lA p p r o a c h [J ].M a t h M o d e lA n a l ,2014,19(5):664-675.[10] N I E T OJ J ,O R E G A N D.V a r i a t i o n a lA p p r o a c ht o I m p u l s i v eD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s [J ].N o n l i n e a rA n a l :R e a l W o r l dA p pl ,2009,10(2):680-690.[11] WA N G Q ,WA N G M.E x i s t e n c e o f S o l u t i o n f o r I m p u l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t h I n d e f i n i t eL i n e a rP a r t [J ].A p p lM a t hL e t t ,2016,51:41-47.[12] D R ÁB E KP ,L A N G E R O V ÁM.I m p u l s i v eC o n t r o l o fC o n s e r v a t i v eP e r i o d i cE q u a t i o n s a n dS y s t e m s :V a r i a t i o n a l A p p r o a c h [J ].D i s c r e t eC o n t i nD y nS y s t ,2018,38(8):3789-3802.[13] D R ÁB E K P ,L A N G E R O V ÁM.O n F o u r t h -O r d e rB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m w i t h S i n g u l a r D a t a [J ].M a t h M e t h o d sA p pl S c i ,2020,43(8):5250-5263.[14] U S MA N IR A.A U n i q u e n e s sT h e o r e mf o r aB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m [J ].P r o cA m e rM a t hS o c ,1979,77(3):329-335.[15] 徐登洲,马如云.线性微分方程的非线性扰动[M ].北京:科学出版社,2008:22-23.(X U DZ ,MA R Y.N o n l i n e a rP e r t u r b a t i o no fD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [M ].B e i j i n g :S c i e n c eP r e s s ,2008:22-23.)(责任编辑:赵立芹)084 吉林大学学报(理学版) 第60卷。

Banach空间中n阶非线性脉冲积分-微分方程的边值问题

摘要：用非紧性测度和Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理得到了一类高阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题解的存在性．首先是将其转化成与之等价的积分方程，而转化为算子不动点问进题，然后通过更为精确的非紧性测度的分析，用Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理证明了方程解的存在性．
｛ “ 一（（，（）… ， ’ ） △“ ｌ；）ｔ， “ （，）
Ｉ“ （）Ｕ０一０Ｕ１’ ｏ） “ｎ１０，（ｏ一（））－（
（一０１…，，，一１ｋ，，；一１２ …）
（一０，，２ｉ，１ … 一）
一
｛ ∈ ＰＥＥｅｌ（）ｌ０。），ＸＩＣＪ，］』』ｌ一（一。｝赋范数ｌｌ一ｓｐ（ｌ（）ｌ “ Ｉ “ｌｕｅｌ１为Ｂｎｃ甜）成ａａｈ空间．令
”（）ｔｔ连续，（（） “ ＿（Ｚ存在，＝１２ … ）当Ｕ∈ 在 ≠ ＸＩ，１ｔ）ｋ＝，，．＝（） “ ’ｔ） … ，（）（）存在． “ ），（７，，令 “（一
ＰＩＥ］｛Ｃ一［，一 “∈ ＰＪ，，ＣＥＥ］ｌ
Ｐ一［，时，Ｃ－明，由牛顿一）则 “ ＥＰ ‘，．文总将Ｕ）解为 “ （）令ＤＥＥ］｛ “（Ｚ，Ｃ［Ｅ］本， “（理ｔ．ＺＰＣＪ，一 “∈ Ｐ［，］ｌ “ Ｃ ‘ Ｅ “ ，
第３卷Ｏ
第２期

二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告

二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告1.选题背景与意义常微分方程是数学中重要的研究对象，它是描述自然现象的基础模型之一。

在实际应用中，很多问题可以转化为常微分方程，因此研究常微分方程的性质对于解决实际问题具有重要意义。

而边值问题是研究常微分方程时经常遇到的问题，它是在给定区间的边界条件下求解方程的一种方法。

在边值问题中，一般需要求解的是在一个区间上满足某些边界条件的方程解。

二阶常微分方程无穷多点边值问题是边值问题的一个重要分支，在许多实际问题中都具有重要应用，例如物理学中的波动方程、量子力学中的定态薛定谔方程等。

研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

2.研究目的和内容本文旨在研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，并探讨其求解方法。

具体包括以下内容：（1）介绍二阶常微分方程无穷多点边值问题的基本概念和相关理论。

（2）研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的唯一性和存在性。

（3）讨论二阶常微分方程无穷多点边值问题解的逼近方法及其误差估计。

（4）探讨边值问题的数值解法及其算法实现。

3.研究方法和步骤本文将主要采用以下方法和步骤：（1）理论分析：运用函数分析、微分方程理论等数学方法，推导二阶常微分方程无穷多点边值问题的一般形式、适定性条件及解的逼近方法。

（2）算法设计：基于上述理论分析，设计求解边值问题的数值方法，并探讨其算法实现。

（3）数值实验：通过典型例子的数值实验，验证所提出的求解方法和算法的正确性和可行性。

4.预期研究结果本文预期得到以下研究结果：（1）建立二阶常微分方程无穷多点边值问题的数学模型，研究其唯一性和存在性。

（2）提出求解二阶常微分方程无穷多点边值问题的逼近方法及误差估计，并进行数值验证。

（3）探讨边值问题的数值解法及其算法实现，并通过数值实验验证其正确性和可行性。

5.研究意义及参考价值本文研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

Banach空间半直线上微分方程积分边值问题解的存在性

称非紧性测度．显然，ａＳ＜＋ｏ．０（）ｏ引理２１设ｓ是Ｂｎｃ．，ａａｈ空间Ｅ的有界子集，是实数，Ｋｒｔｗｋ非紧性测度具有下列性质：Ａ则ｕａｓｉｏ
（ｉ）（）＝铮Ｓ是相对紧集；Ｓ０
（ｉｃｉ）Ｓ０Ｓ曼）ｃ）（；（（ｉ）ａ（）＝ａ５；ｉｉ．ｓ（）
（ｖ）（ｉＳｕＴ）＝ｍｘａ５，Ｔ｝ａ｛（）（）；
（（Ｓ：ｌ（）其中ＡＶ）Ａ）ＩＳ，ＡａＳ＝｛＝ＡＩ∈Ｓ；ｚｚ｝（ｉＶ）ａ（Ｓ＋Ｔｓｓ（，中５＋Ｔ＝｛＝ｚｙ∈ ｚ｝）（）＋）其Ｙ＋ｌＳ，∈Ｔ；特别地，｛１｛是Ｅ中的可若，Ｙ｝数点集，０（｝一｛）ａ｛一Ｙ｝；贝｛ａＹ｝＜（－）
作者简介：腾，，１８－杨男９５，硕士，研究方向：线性泛函分析．－ｉ：ａｇｅｇ９６．ｏ非Ｅｍａｙｎｔｎ０＠１３ｃｍ；ｌ
赵增勤，，１５一教授，博士生导师；男９５，研究方向：非线性泛函分析．－ａｌｚｚａ＠ｍｉｑｎ．ｄ．ｎＥｍｉｑｈｏａ．ｆｕｅｕｃ：ｌ
第３８卷
第３期
２１０２年７月
曲阜师范大学学报ＪｕｎｌｏＱｆＮｒａＵｉｅｓｙｏｒａｆｕｕｏｍｌｎｖｒｉｔ
Ｖｏ＿８Ｎｏ．ｌ３３
Ｊｌ０２ｕｙ２１
Ｂｎｃａａｈ空问半直线上微分方程积分边值问题解的存在．陛

Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在唯一性

Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在唯一性汤小松;王志伟;罗节英【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【摘要】研究如下一类Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题u’=f(t,u(t),v(t)),v’=g(t,u(t),v(t)),(A)t∈J,t≠tk,△u|t=tk=Ik(u(tk),v(tk)),△v|t=tk=Jk(u(tk),v(tk)),k=1,2,…u(∞)=βu(0) ,v(∞)=δv(0).首先利用H.M(o)nch不动点定理和非紧性测度,获得了该问题解的存在性,然后在解存在的前提下,利用反证法证明了解的唯一性,所得结果推广了现有文献中已有的结论.最后,举例说明了结果的有效性.%In this paper, the existence and uniqueness of solutions for the following nonlinear first-order impulsive differential systems with infinite boundary value problems are consideredrnu'=f(t,u(t),v(t)),v'=g(t,u(t),v(t)),VtEj,t=tk,u/t=tk=1k(U(tk),v(tk)),v /t=tk=jk(u(tk),v(tk)),k=1.2.`````u(oo)=Bu(0),v(oo)=8v(0).rnFirstly, the existence of solution for the problem is established based on the H. Monch' s fixed point theorem and the measures of non-compactness. Furthermore, based on the existence of solution, the uniqueness of solution is proved by using the argument of contradiction. The obtained results in this paper are new and extend some known results. Finally, an example is presented to illustrate the effects of the present theorems.【总页数】7页(P802-808)【作者】汤小松;王志伟;罗节英【作者单位】井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.Banach空间中一阶非线性微分方程组边值问题解的存在性 [J], 李耀红2.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解 [J], 李耀红;张祖峰3.Banach空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性 [J], 张海燕;张祖峰4.Banach空间中的一阶脉冲积微分方程无穷边值问题 [J], 石漂漂;王文霞5.Banach空间中含有无穷多个跳跃点的一阶脉冲积分-微分方程的无穷边值问题[J], 袁伟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间混合型微分-积分方程解的存在唯一性及应用

（）１
ｔ
ｒｔ＋口ｏ
（）ｔＪ（，ｕｓｄ，Ｓ）ｔｈｔ）（）ｓ（）＝Ｊｔ）（）ｓ（ｕ（）＝Ｊ（，ｕｓｄ，ｓｋｓ
ｔｏＪｏｔ
（）２
在（）ｋ∈ＣＤ，，２中，［Ｒ］ｈ∈ＣＤ，，［ｏＲ］这里Ｒ＝［，，＝｛ｔ）∈ＲＩｏｔｔ＋０，ｏ＝０ ∞）Ｄ（，ｓｓｏ｝Ｄｔ５
｛ｔｓ（，）∈ ＲＩ（，） ∈，×，．记ｋｔｓ｝并ｏ＝ｍａ｛（，）Ｉ（，）∈ Ｄ｝ｘｋｔｓｔｓ．
当ｔｕＷ，）连续时，于问题（）有广泛的讨论 ¨ ．［］的方程如下：，，ｚ关１］文４ｕ＝／ｔｕＴ）ｕＯ＝，，，ｕ，（）。
Ｅｘｓｅｅａｉｕｅｓｎｄａｐｐｉａｔｏｓｏｏｕｔｏｏｎｉａｒｉｔｎｃｎｄｕｎｑｎｅｓａｌｃｉｎｆｓｌｉｎｆｒｎｏｌｎｅｉｅｒ－ｉｅｅｔａｑｕｉｎｓｉＢａｎｈｐｅｎｔｇｏｄｆｒｎｉｌｅａｔｏｎａｃｓａｃｓＳＵＮＧｕｏｌｎ —ｉｇ
０引言
设Ｅ是Ｂｎｃ间，［ｏｔａａｈ空，＝ｔ，ｏ＋０（＞０，ｏ∈Ｅ且ｔｕＷ，），］０），，ｚ： ×Ｅ ×Ｅ ×Ｅ空间中非线性微分一积分方程初值问题（），：
ｕ＝／ｔｕＴ，ｕ，（ｏｏ，，ｕＳ）ｕｔ）＝，其中
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第２３卷第６期２０年６月０７
商丘师范学院学报ＪＵＮＬＯＨＧＩＥＣＲＯＬＧＯＲＡＦＳＡＮＱＵＴＡＨＥＳＣＬＥＥ

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题

ｗｉｔｈＤｉｓｃｏｎｉｎｔｕｏｕｓＴｅｒｍｓｉｎＢａｇｓｈｅｎｇＤａｉＢｉｎｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ［ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｅｍｓｒｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｒｅａｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
国家自然科学基金（Ｎｏｌ１２７１３７１）资助项目收稿日期：２０１３年８月２５日
２
数学理论与应用
” （ｔ）＝ｔ，，），ｔ∈．，，ｔ ≠ｔＺｉｘＩＺｉｘＩ＝Ｉｋ（（ｔ）），ｋ＝１，２， …
一
（１）
＝Ｉｋ（ｘ（ｔ），（ｔｋ）），ｋ：１，２， …
，（ ∞）＝：
（ｏ。）＝
其中，： ∈ Ｅ，Ｊ＝［０， ∞），０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔ＾＜… ＜＋。。，ｋ＝１，２，・・：．，×ＥＸＥ－＋Ｅ，：ＥＥ，：ＥＸＥ— Ｅ，（不假定，厶，，连续），Ｉ＝（￡）一（ｔ一）．

巴拿赫空间理论

巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。

大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年里斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。

还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算子的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题谭静静;张克梅【摘要】应用非紧性测度的性质和广义凝聚映像的Sadovskii不动点定理,获得了Banach空间中一类含有一阶导数的非线性二阶奇异微分方程m点边值问题解的存在性结果. 首先给出一些定义和引理, 然后定义两个新的Banach空间和不动点算子, 通过证明算子A的连续有界,以及证明((AV)(t))/(1+t), (AV)′(t)是等度连续的,该文得到边值问题(5)至少存在一个解.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)002【总页数】12页(P23-34)【关键词】边值问题;不动点定理;锥;非紧性测度【作者】谭静静;张克梅【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O175.15非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一类重要问题.特别地,多点边值问题在物理、生物等领域有着广泛的应用,其解的存在性引起了许多学者的关注,见文献[1-3]及其所附文献.文献[4]研究了二阶三点边值问题的解的存在性,其中f∈C([0,∞),[0,∞)),b(t)∈C([0,1],[0,∞))且ϖt0∈[0,1],使得b(t0)>0.作者主要利用该问题相应的Green函数,将其转化为Hamm erstein型积分方程,借助锥上的不动点指数理论,得到了边值问题正解的存在性与多重性的结果.文[5]研究了二阶m点边值问题的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,∞)×R,[0,∞)),0<ξ<ξ2<…<ξm-2<1,βiΕ0(i=该文主要是应用格林函数及其性质和不动点定理[5],得到了边值问题(2)至少存在3个正解的结果(当边界条件为此结果仍然成立).近些年来,在抽象空间中研究常微分方程边值问题成为一个新的重要理论分支,就笔者所知,在抽象空间中研究多点边值问题解的存在性的文献尚不多见.最近,文献[6]在抽象空间中研究了边值问题的正解的存在性,其中θ是E的零元,非线性项f不依赖于一阶导数项x′(t),f在t=0,x=θ处是奇异的.作者通过构造一个特殊的锥,利用严格集压缩算子的不动点指数理论,得到了其正解的存在性结果.对于这个问题,文献[7]应用M˚nch不动点定理,也得到了同样的结果.文献[8]研究了边值问题的解的存在性,f∈C[I×E×E,E],I=[0,1],0<α<1,1<η<本文考虑非线性项非奇异的情况.受以上文献的启发,本文主要研究Banach空间E中二阶m点边值问题非平凡解的存在性,其中θ是E的零元,f∈C[I×E×E,E],f(t,θ,θ)≠θ,I=[0,1],h:(0,1)→R连续且h(t)在t=0,1两点奇异.显然本文所讨论的边值问题比上述问题更加广泛,在纯量空间中,此结果仍然成立.为了证明本文主要结果,下面给出一些定义和引理.定义1.1 (对偶锥)令P是Banach空间E中的一个锥,f是E上的有界线性泛函,如果对于Πx∈P, f(x)Ε0,称f(x)是非负的,把所有的非负的f的集合记作P3,P3就是P的对偶锥.定义1.2 (非紧性测度)设E是实Banach空间,使每个Si的直径d(Si)Φδ},称α(S)是S的非紧性测度.定义1.3 (严格集压缩映像)设E1和E2是实Banach空间,D<E1,设A:D→E2连续,有界,(i)如果存在常数kΕ0,使对任何有界集S<D,都满足α(A(S))Φkα(S),则称A为D上的k2集压缩映像.特别k <1时的k2集压缩映像称为严格集压缩映像.(ii)如果对任何非相对紧的有界集S<D,都满足α(A(S))< α(S),则称A是D上的凝聚映像. 显然若A是严格集压缩映像,则A一定是凝聚映像.引理1.1[7] 若H<C[I,E]有界且等度连续,那么α(H(t))在I上连续,并且这里I=[a,b],H(t)={x(t);x∈H},t∈I,αc(·),α(·)分别表示H在C[I,E]和E中的非紧性测度.引理1.2 (Sadovskii)令D是Banach空间E中的有界凸闭集(D不一定有内点),A:D→D是凝聚映像,则A在D中必具有不动点.关于锥的定义及性质可参见文献[15].显然,C1[I,E]<C[I,E],DC1[I,E]<FC[I,E].本文分别记空间E,C[I,E],FC[I,E],DC1[I,E]中的有界子集的非紧性测度为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为方便起见,我们列出下面几个条件.事实上,由(H1)知(1)‖f(s,u(s),u′(s))‖Φ[(1+s)a(s)+b(s)]‖u‖D+c(s).(2)a(t),b(t),c(t)∈C[0,1]且非负,所以它们在[0,1]上有界.令a(t)ΦM1,b(t)ΦM2,c(t)ΦM3,对Πt∈I,取?M=m ax{M1,M2,M3}.又V有界,ϖM′>0,Πu∈V满足‖u‖DΦM′,有因为t是任意的,所以所以由引理2.4和(24)-(25),得到A是Ω到Ω的严格集压缩映像,显然A是凝聚映像.由引理1.2知A在Ω中至少有一个不动点,即边值问题(5)在DC1[I,E]上至少有一个非平凡解.参考文献:[1]L iu B,W uW,L iu L,etal.Positive so lution for singu lar second order three2pointboundary value p roblem s[J].Non linearA 2nalysis,2007,66:275622760.[2]L iu B.Positive so lutionsof non linear r2pointboundary valueproblem[J].App lM ath Comput,2004,155:1792203.[3]Chen SH,Hu H,Chen L,etal.Existence resu lts for n2pointboundary value problem of second ordero rdinary differentialequa2 tions[J].ComputApp lM ath,2005,180:4252432.[4]王淑丽,刘进生.二阶三点边值问题的正解[J].数学物理学报,2008,28A(2):3732382.[5]Yang L iu,Shen Chun2fang,L iu X i2ting.Existence of three postive so lutions for som e second order M 2pointboundary value p rob2 lem[J].A ctaM athm aticalApp lication Sinica,English Series,2008,24(2):2532264. [6]刘衍生.Banach空间中非线性奇异微分方程边值问题的正解[J].数学学报,2004,47(1):.[7]Cui Yujun,Zou Yum ei.Positive so lution of non liner singu lar boundary value problem s in abstract spaces[J].Non linerAnalysis 2008,69:2872294.[8]Chen Haibo,L i Peiluan.Existence of so lutionsof three2point boundary value p roblem s in Banach spaces[J].M athem atical and ComputerM odelling,2009,49:7802788.[9]Lakshm ikantham V,Leela S.NonlinearD ifferen tial Equations in Abstract Spaces[M].Pergamon,Oxford,1981.[10]Guo D,Lakshm ikantham V,L in X.Nonlinear Integral Equations inAbstractSpaces[M].KluwerA cadem ic,Dord recht,1996.[11]L iu B.Positive so lutionsof a non linear three2pointboundary value problem[J].App lM ath Comput,2002,132:11228.[12]L iu Y.Boundary value problem s for second order differential equations on unbounded dom ains in a Banach space[J].App l M ath Comput,2003,135:5692584.[13]Guo D,Lakshm ikantham V.Nonlinear Problem s in AbstractCones[M].New York:A cadem ic Press,1988.[14]Deim ling K.Non linear FunctionalAnalysis[M].Berlin:Sp ringer,1985.[15]郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科技出版社,2001.[16]杨义涛,孟凡伟.抽象空间中二阶三点边值问题正解的存在性[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2009,35(3): 15218.。

二阶脉冲微分方程积分边值问题多个非负解的存在性

ｃｎｔｏｓｏｄｉｎ．ｉ
Ｋｅｒｓ：ｉｕｓ；ｂｕｄｒａｕｒｂｅ；ｉｔｇａｏｎａｏｄｔｎ；ｆｅｏｎｈｏｅ；ｎｎｅａｙｗｏｄｍｐｌｅｏｎａｖｌｅｐｏｌｍｓｎｅｒｌｕｄｒｃｎｉｏｓｉｄｐｉｔｅｒｍｙｂｙｉｘｔｏｎｇ—
贾梅，刘锡平
（海理工大学理学院，上海２０９）上００３
摘要：利用不动点定理，通过构造３个泛函，究一类非线性项中含有一阶导数的二阶脉冲研微分方程积分边值问题多个非负解的存在性．在较弱的条件下，得到了该脉冲边值问题具有３个非负解的多解定理．
能更准确地反映具有突变现象的变化规律，因此对脉冲微分方程问题的研究受到人们广泛关注．
文献［一］７ｌ研究了非线性项不依赖于一阶导数的二阶脉冲微分方程边值问题，０如果非线性项依赖于一阶导数，则问题将变得更复杂．文献［１２用上下解方法研究了非线性项依赖于一阶导数的边值问１— ］１题，文献［１通过引入两个满足一定条件的新泛函。１］和：控制一阶导数的增长性，文献［２使用１］Ｎｇｍ — ｎｅ条件代替Ｎｇｍ条件．ａｕｏｔｒＷｉｎａｕｏ文献［３研究了具积分边界条件的二阶微分方程边值问题，１］
ｔｅＳｃｎｄＯｒｅｍｐｓｖｆｅｅｔａｈｅｏｄｒＩｕｌｉｅＤｉｒｎｉｌＥｑｕｔｏｔａｉｎｗｉｈ

Banach空间中分数阶微分方程m点边值问题的正解

Ｋ＝｛乱∈ｃ［Ｅ，，（ ≥ （）Ｖｔ１１８）］乱ｕｔ乱ｓ， ∈ ，， ∈ ）】其中由文献［］１给出，５利用锥拉伸与压缩不动点定理和非紧性测度条件研究了下列ｎ一阶ｍ一边值问题一个正解的存在性点
｛ ‘ ｉ２ｃ：，；： ’ ．三ｊ札－ ’ ｍ３
收稿日期：０００ —９修订日期：０１０ — ０２１ —７２；２１ —５３
Ｅ— ａｌｍｉ：ｗｙｎｇ８＠１３．ｏｒ；ｌｓｑｉ９Ｏｌ６ｃｎｌ＠ｍａｌｎｅｉ．ｕ．ｄｕ．ＩｑｆＣ１
基金项目：国家自然科学基金（１７１１１７１１，１０２７１０１４，０７１７１１１３）、山东省自然科学基金（Ｒ２１Ａ０８和Ｚ０１Ｑ０）
１引言
设Ｅ为实Ｂａａｈ空间，Ｐ为Ｅ的锥．本文在Ｂｎｃ间Ｅ中研究下列分数阶微分ｎｃａａｈ空
方程ｍ一边值问题的正解点
｛：＇ ’ ｃ ’０１＜札．，喜＜－，ｕｌ＜ｏ，￣：ｎ导数，礼为整数，Ｏ２仇０（＝１２… ，一ｔ）（ｉｍａｎＬｏｖｌ分ｌｌ，ｉ，，ｍ
ｍ一２
其中 ∑
ｉ１＝
＜１ｆ∈ＣＪ× Ｐ，（三；（）ｆｔ）．，
受以上文章的启发，文应用锥拉伸压缩不动点定理研究问题（．，到了一个和两个本１１得）
正解的存在性，推广了文献［，４１］１１—６的结果．需要指出的是，本文的结果在都取零时０仍然成立．

二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性

二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性在数学的微分方程领域，边值问题（boundary value problems，简称BVP）是建立在微分方程基础上的重要且有用的问题。

它是一类微分方程中的重要问题，常见的有一阶、二阶等等的边界值问题。

在这个问题中，特别提出一类二阶奇异（singular）边值问题。

其理论价值及应用极其重要，涉及物理、经济等领域。

在本文中，我们将针对二阶奇异边值问题，深入探讨其正解的存在性，从而对理论的发展产生有益的影响。

首先，我们回顾一下这一问题的具体定义。

一般情况下，二阶奇异边值问题可以表述为：针对某函数f，其函数值及其一阶、二阶偏导数在取值域[a,b]上存在及连续，则存在某个函数y，其在[a,b]上及其边界点满足，y(x)=f(x), x∈[a,b]y(a)=ya, y(b)=yb以上就是二阶奇异边值问题的具体定义。

接下来让我们更进一步，来探讨它正解的存在性，即以上问题是否有解，以及解的性质。

首先，我们研究的是有关解的存在性，主要有两种：存在性及唯一性，也可称为正解的存在性。

针对解的存在性，若函数f给定时，所满足泛化半线性（generalized linear）的条件，则解的存在性可以由半线性函数理论来证明。

若满足半线性理论，则，y(x)=f(x), x∈[a,b]y(a)=ya, y(b)=yb其解的存在性可以由以下公式证明：y(x)=(A(x) + B(x))y(x) + C(x)其中A(x)，B(x)，C(x)分别为某种函数，它们由上面给出的条件确定。

从而，可以证明，若函数f满足半线性理论，则针对上述二阶奇异边值问题存在解。

除此之外，存在性可以通过另一种方法来证明，即微分不等式方法（differential inequality method）。

该方法的基础是一种不等式，概括如下：若在解y所满足的方程中，某函数Φ在某段区间内总是大于某常数或某函数，则解y存在。

在这种情况下，这种不等式可以被应用到二阶奇异边值问题上，从而得到解的存在性的确定。

二阶脉冲时滞积分微分方程反周期边值问题

第52卷第3期 2018年6月华中师范大学学报（自然科学版"JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(Nat.Sci."Vol. 52 No. 3Jun.2018DOI：10. 19603/ki. 1000-1190. 2018. 03. 002文章编号：1000-1190(2018)03-0298-05 Anti-periodic boundary value problem for second-order impulsive integro-differential equation with delayZH ANG Linli1，2, LIU Anping3, XIAO Li3**(1. Institute of Tropical Agriculture and Forestry,Hainan University%DanzMou，Hainan 571737，China;cation Department of Natural Science,Haikou University of Economics，Haikou 571127, China；3.School of Mathematics and Physics,China University of Geosciences，Wuhan 430074, China)Abstract：The properties of solution of anti-periodic boundary value problem for second-order impulsive integro-differential equation with delay are discussed. Using theiterative analysis m eth od, the existence and uniqueness of anti-periodic solution andthe sufficient condition for uniform stability of trivial solution are obtained. The results show the influence of impulse and delay on the properties of the solution and extend the previous results on integro-differential equation in anti-periodic boundary valuep r o b l e m.Key words：anti-periodic boundary value；iterative analysis；existence；stabilityImpulsive differential equation is mathematical model to simulate process and phenomena observed in control theory, physics, chemistry, population dynamics, biotechnologies, industrial robotics, economics, etc. Anti-periodic problems have been studied by many researchers in recent years[1"6]. Some classical tools are used to study such a problem in the literatures. These classical techniques include the Leray-Schauder degree the- ory[7] , the upper and lower solutions'] and some fixed point th eorem s'」.In [10-11] , the author used iterative analysis method to obtain the existence of solution of functional differential equation. In [12-15] , by the iterative analysis method, authors got the existence of periodic solution or anti-periodic solution of first-order differential equation. However, there is few paper on boundary value problem for second-order impulsive integro-differential equation. In this paper we employ the iterative analysis method to obtain the existence, uniqueness and stability of solution of second-order impulsive integro-differential equation with delay for anti-periodic boundary value problem.We consider the following second-order impulsive anti-periodic boundary value problem—u (t)$ X2 u(t) =f(t yu(t — T)y Pu(t'))yt#J f ,⑴"u(t ) & E (((t )),A& 1，2,…F,(2) (t ) & 3( (t )),A& 1，2 ,…F,(3) u (0 ) &— u(T)，/(0)&— u (T)，(4)u ()&#()，t #[—'，]，(5) where X#R+，T$0，$0，J =[0，T]，J+ = [一 $，T]，0=t。

Banach空间中无穷区间上n阶非线性脉冲微分-积分方程初值问题的整体解

一ｚ；ｉ一０， … ，一１，１，ｎ
（．）１１
其中（ｌ・ｌ）ＢｎｃＥ，ｌ１是ａａｈ空间，Ｊ：Ｅ，。，一＼｛，，，｝厂∈ ｃＥｏ。）Ｊｔｔ … ｔ，Ｊ× Ｅ × … × Ｅ，
Ｅ］０ｔ＜ … ＜ｔ＜ … ＜ｆ ∞ ，ｍｔ． ∈ ＣＥ × … × Ｅ，（ｏ１ … ，一１ｋ一，＜１＜ｌ一，ｉＥＥ］ — ，，；
一。。
ｐｔ
１２３…）（ｚ（一Ｉ（，ｘｓｄ，（ｓ ∈ ＣＤ，］Ｄ一｛，：ｔ，三５，，，，，）丁）志ｓ（ｓ尼）ＥＲ，）），（ｓｓ ∈Ｊｔ三）Ｒ为实数），三
集， △ｚ “ ｆ表示ｚ一ｏ１ … ，一１在ｔ— ｔ处的跳跃． “（，，）
关键词：非线性脉冲方程；值问题；ａａｈ不动点定理；穷区间初Ｂｎｃ无
中图分类号：Ｏ１５８７．
１引
言
脉冲微分方程理论是微分方程理论中的重要新分支，它具有深刻的物理背景和实际的数学模型．近年来，一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视．Ｅ］这文３针对一
下是一Ｂｎｃ空间．ＰＣａａｈ令ＥＥＪ，］一｛：ｚＩｚ在ｔ≠ ｔ处连续，ｔ— ｔ左连续续在处
收稿日期：０６０ — ５２０ —４０
基金项目：国家自然科学基金（Ｏ７Ｏ５；高等学校博士点专项基金（０６４６０）１４ｌ７）２００４０１；山东省自然科学基金

无穷区间上积分￣微分方程组边值问题正解的存在性和唯一性

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第３３卷第１期２０２０年２月出版
山东科学
Ｖｏｌ.３３Ｎｏ.１Ｆｅｂ.２０２０
ＳＨＡＮＤＯＮＧＳＣＩＥＮＣＥ
ＤＯＩ:１０.３９７６ / ｊ.ｉｓｓｎ.１００２￣４０２６.２０２０ꎬｙ′( ∞ ) ＝ｙ ∞ ꎬ
有积分项和导数项ꎬ同时边值条件为任意非负常数ꎬ然后利用Ｂａｎａｃｈ不动点理论得到正解的存在性和唯一
性结果ꎬ最后还给出了唯一解对边值条件的依赖性ꎮ
本文考虑无穷区间上积分￣微分方程组边值问题( ＢＶＰ)
＋
″
ìïｘ ( ｔ) ＋ｆ１( ｔꎬｘ( ｔ) ꎬｘ′( ｔ) ꎬｙ( ｔ) ꎬｙ′( ｔ) ꎬ( Ｔ１ｘ) ( ｔ) ꎬ( Ｔ１ｙ) ( ｔ) ꎬ( Ｓ１ｘ) ( ｔ) ꎬ( Ｓ１ｙ) ( ｔ) ) ＝０ꎬｔ ∈ Ｒ ꎬ
Ｚｉｂｏ２５５３００ꎬＣｈｉｎａꎻ２.ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓꎬＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＺｉｂｏ２５５０４９ꎬＣｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ ∶ ＵｓｉｎｇｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍｏｆＢａｎａｃｈꎬ ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
得到至少两个正解的存在性的结果ꎮ 在[０ꎬ１] 区间上ꎬ孙忠民等 [２] 讨论了三阶微分方程组边值问题ꎬ钟璇 [３]
收稿日期:２０１９￣０５￣１７
基金项目:山东省教育厅资助项目( Ｍ２０１８Ｘ０９８)
作者简介:唐秋云(１９７６—) ꎬ女ꎬ副教授ꎬ研究方向为常微分方程ꎮ Ｅ￣ｍａｉｌ: ３９５０５４８２８＠ｑｑ.ｃｏｍ

Banach空间中二阶脉冲积分方程周期边值问题的注记

Banach空间中二阶脉冲积分方程周期边值问题的注记
韦忠礼;靳明忠
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2002(022)003
【摘要】通过建立Banach空间二阶非线性脉冲微分-积分方程周期边值问题新的比较定理,给出了其最大解和最小解的存在性.
【总页数】8页(P413-420)
【作者】韦忠礼;靳明忠
【作者单位】山东建筑工程学院基础部,济南,250014;云南工业大学应用数学系,昆明,650051
【正文语种】中文
【中图分类】O175.15
【相关文献】
1.Banach空间中一类二阶脉冲积分微分方程多点边值问题 [J], 饶显波;韦煜明
2.Banach空间中二阶非线性混合型脉冲积分-微分方程的边值问题 [J], 王文霞;石漂漂
3.Banach空间中二阶脉冲微分-积分方程无穷边值问题 [J], 李宝麟;樊瑞宁
4.Banach空间中二阶非线性脉冲积分微分方程的周期边值问题的解 [J], 孙金丽
5.Banach空间中一类二阶非线性脉冲积分-微分方程边值问题解的存在性 [J], 李耀红;张晓燕
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Ｋｅｒｓｉｆｎｉｅｂｏｎｄｒｌｏｅ；ｍｐｕｌｉｅｉｅｏｄｆｅｅｔａｑａｉｎ；ｐｐｒａｏｒｓｌｙｗｏｄ：ｎｉｔｕａｙｖａｕｅｐｒｂｌｍｉｓｖｎｔｇｒ — ｉｆｒｎｉｌｅｕｔｏｕｅｎｄｌｗｅｏｕ—
李宝麟樊瑞宁，
（．北师范大学数学与信息科学学院，１西甘肃兰州７０７；．州商学院信息工程学院，肃兰州７０２）３００２兰甘３００
摘要：建立了一个新的比较定理，用单调迭代技术给出了Ｂｎｃ运ａａｈ空间中含无穷多个跳跃点的
二阶脉冲积分一微分方程无穷边值问题在任意闲区间上最大最小解的存在性．
关键词：无穷边值问题；冲积分一微分方程；下解方法；调迭代技术脉上单中图分类号：Ｏ１５１７．２文献标志码：Ａ文章编号：ｏ４Ｏ６（ＯＯＯ —０３０１０一３６２ｌ）１０４ —４
ＩｆｎｉｅＢｏｎａｙＶａｕｏｅｏｍｐｌｉｅＩｔｇｏｄｆｅｅｉｌｎｉｔｕｄｒｌｅＰｒｂｌｍｓｆｒＩｕｓｖｎｅｒ－ｉｆｒｎｔａ
ＥｑｕｔｏｎＢａｃｐｃｓａｉｎｉｎａｈＳａｅ
ＩｘＩ＝ｈｚ（，Ａ，＾）ｋ＝１２ … ，，
１ｚｌ：Ｉ（，（）ｋ，了￡ｚｔ）一１… Ｉ △ （‘，，２）ｋ
ｌＯｚ（）：Ｘｏ，（）＝（。Ｏ：＝。）
其中Ｅ为半序Ｂｎｃａａｈ空间，其序由锥Ｐ导出。Ｊ＝［，。，Ｏ。）ｆ∈ ｃ．× Ｅ×Ｅ×Ｅ，］［厂Ｅ， ∈ ＣＥｘＥ，］ｚ［Ｅ，ｏ∈ Ｅ，一八（，，，，｝ＪＪｔｔ … ｔ … ，。一Ｅ，］Ｊ＝（，］ｋ＝１２ … ，２ ‘ ｏｔ，＾￡，１川，，
利用Ｍ６ｃ动点定理研究了无限区间上一阶脉冲微分方程的解的存在性．们利用单代技术研究了Ｂ — ｎｈ不我ａ
ｎｃａｈ空间Ｅ中定义在无穷区间上的如下非线性二阶脉冲微分一积分方程最大解和最小解
ｆ一ｆｔＸ，（，ｚ，）ＶｔＪ， ∈
ｔｏ；ｏｎｔｎｅｉｅａｉｅｔｃｎｉｅｉｎｓｍｏｏｔｒｔｖｅｈｑｕ
近年来，于非线性微分、关积分方程边值问题的研究已有了丰富的成果，文献［～６针对不同的方程类１］型，别利用上下解方法及不动点定理讨论了有限区间上的方程正解、分周期解以及方程解的存在性．文献［］７
ＡｂｔａｔＢｙｅｔｂｌｓｎｇａｉｗｏａｒｓｎｔｏｒｍｎｄｕｉｈｅｍｏｔｅｉｅａｉｅｔｃｉｅ，ｈｅｅ — ｓｒｃ：ｓａｉｈｉｌｅｃｍｐｉｏｈｅｅａｓｎｇｔｎｏｏｎｔｒｔｖｅｈｎｑｕｔｘ
ＬＩＢａ —ｉ．ｏｌｎＦＡＮｉｎｎｇ ’ Ｒｕ — ｉ。
（．ｏｌｇ１ＣｌｅｆＭａｈｍｔｓｎｎｏｍｔｎＳｉｎｅＮｏｔｗｓＮｏｍｌＵｉｅｓｔＬｎｈｕ７０７，ｈｎｅｏｔｅａｉｄＩｆｒａｉｃｃ，ｒｈｅｔｒａｎｖｒｉｃａｏｅｙ，ａｚｏ３００Ｃｉａ；２ＳｈｏｎｏｍｔｎＥｇｎｅｉｇ，ａｚｏｏｅｃａｏｌｇ，ａｚｏ３００Ｃｉ）．ｃｏｌｆＩｆｒａｉｎｉｅｒｎＬｎｈｕＣｍｍｒｉｌｌｅＬｎｈｕ７０２，ｈｎｏｏＣｅａ
第２２卷
第１期
甘肃科学学ຫໍສະໝຸດ 报Ｊｕｎ１ｎｕＳｉｎｅｏｒａＧａｓｃｅｃｓｏｆ
Ｖｏ１２Ｎｏ１．２．
Ｍａ００Ｌ２１
２１００年３月
Ｂｎｃａａｈ空间中二阶脉冲微分一积分方程无穷边值问题
ｉｔｎｅｏａｉｌｎｉｉｌｏｕｉｎｓｉｖｓｉａｅｎａｒｉｒｒｉｉｅｉｔｒａｆｉｆｎｔｏｎａｙｓｅｃｆｍｘｍａｄｍｎｍａｌｔｓｉｎｅｔｇｔｄｏｎａｂｔａｙｆｎｔｎｅｖｌｎｉｉｅｂｕｄｒａｓｏｏｖｌｅｐｏｌｍｓｆｒｉｕｓｖｔｇｏｄｆｅｅｔａｑａｉｎｗｉｈｉｆｉｅｓｉｏｎｓｉｎｃｐｃ．ａｕｒｂｅｏｍｐｌｉｅｉｅｒ — ｉｆｒｎｉｌｅｕｔｔｉｔｋｐｐｉｔｎａＢａａｈｓａｅｎｏｎｎ