高一数学向量的概念2
数学向量知识点高一
数学向量知识点高一在高一数学学习中，向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
下面，我们将介绍一些高一数学中的向量知识点。
一、向量的定义和表示方法向量是有方向和大小的量，可以用有向线段来表示。
通常，我们用字母的粗体表示一个向量，比如v。
一个向量可以用一个有序的数对表示，如(v1, v2)。
v1表示向量在x轴上的分量，v2表示向量在y轴上的分量。
另外，我们还可以用向量记法表示向量，如AB表示从点A指向点B的向量。
二、向量的加法和减法向量的加法很简单，只需要将两个向量的相应分量相加即可。
例如，向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则a+b=(a1+b1, a2+b2)。
向量的减法也类似，只需要将两个向量的相应分量相减即可。
例如，向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则a-b=(a1-b1, a2-b2)。
三、向量的数量积和向量积1. 数量积（点积）数量积，也称为点积，是两个向量的乘积。
数量积的结果是一个实数。
数量积计算的公式如下：a·b = |a| * |b| * cosθ，其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
2. 向量积（叉积）向量积，也称为叉积，是两个向量的乘积。
向量积的结果是一个向量。
向量积计算的公式如下：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n，其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b的单位向量。
四、向量的线性运算向量的线性运算包括数乘和向量加法。
数乘指的是将向量的每个分量乘以一个实数。
例如，给定一个向量a=(a1, a2)，实数k，那么k*a = (ka1, ka2)。
向量加法指的是将两个向量的相应分量相加。
例如，向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则a+b=(a1+b1,a2+b2)。
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
高一数学向量知识点考点
高一数学向量知识点考点一、向量的概念和表示方法向量是高一数学中非常重要的概念，它是有大小有方向的量。
在平面直角坐标系中，向量用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的投影，第二个数表示向量在y轴上的投影。
向量的表示方法有多种，例如用小写字母加上一个箭头表示，或者用大写字母表示向量。
二、向量的运算法则向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到的结果是一个新的向量。
向量的减法是指将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。
向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
另外，向量还有数量积和向量积两种特殊的运算法则。
三、向量的数量积数量积也叫点乘，表示两个向量相乘后的数量结果。
计算方法是将两个向量的对应分量分别相乘然后相加。
数量积有很多重要的性质，例如满足交换律、结合律等。
同时，如果两个向量的数量积为0，则表示它们垂直。
四、向量的向量积向量积也叫叉乘，表示两个向量相乘后得到的结果是一个新的向量。
向量积的计算方法是利用行列式的性质进行计算。
向量积有一些特殊的性质，例如满足反交换律和分配律等。
同时，如果两个向量的向量积为0，则表示它们共线。
五、向量的模和方向角向量的模是指向量的大小，即向量的长度。
计算方法是将向量的各个分量平方后开方再相加。
向量的方向角是指向量与x轴的夹角。
计算方法是利用三角函数进行计算。
向量的模和方向角是表示向量的重要属性，它们可以唯一确定一个向量。
六、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子，它可以帮助我们理解向量的运算和性质。
向量的投影有数量投影和向量投影两种形式。
数量投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，向量投影表示一个向量在另一个向量上的投影向量。
七、平面向量的解析式在平面直角坐标系中，向量也可以用解析式表示。
解析式由向量在x轴上的投影和在y轴上的投影组成。
通过解析式可以方便地进行向量的计算和研究。
同时，利用坐标系的性质，可以将向量的运算转化为对应分量的运算。
高一数学向量的各种知识点总结
高一数学向量的各种知识点总结导语：向量是高中数学重要的概念之一，也是数学建模中常用的工具。
在高一学习阶段，高中生接触向量的内容较为基础，但重要的知识点仍需掌握。
本文将对高一数学向量的各种知识点进行总结，包括向量的定义、运算、线性相关与线性无关、数量积和向量积等。
一、向量的定义向量是有大小和方向的量，记作a。
向量a由起点和终点表示，起点是初始位置，终点是位置的目标，用有向线段的终点表示。
向量的模表示大小，用两个点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量a + 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。
2. 向量的减法：向量a - 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。
3. 向量与实数的乘法：向量a * 实数k的结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数k的乘积，方向保持不变。
三、线性相关与线性无关1. 向量的线性相关性：如果存在一组实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，且不全为零向量，则称这组向量线性相关。
2. 向量的线性无关性：如果对于实数k1、k2、...、kn，k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，只有k1 = k2 = ... = kn = 0时，称这组向量线性无关。
四、数量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的数量积记作a·b，a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 性质：a) 交换律：a·b = b·ab) 结合律：(ka)·b = a·(kb) = k(a·b)，其中k为实数c) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，其中a、b、c为向量五、向量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的向量积记作a × b，其大小等于a、b构成的平行四边形的面积，方向垂直于a、b所在的平面。
高一数学向量的公式和知识点
高一数学向量的公式和知识点高一数学是初中数学的延续和拓展，其中向量是一个重要的内容。
向量既是一个有方向又有大小的量，被广泛运用于物理、几何等领域。
在高一数学中，学生需要掌握向量的公式和一些重要的知识点。
下面我们将结合实例具体介绍这些内容。
一、向量的概念和表示方法向量是一种有方向的量，它由一个起点和一个终点所确定。
向量的表示方法有多种，最常用的是箭头表示法和分量表示法。
以平面向量为例，箭头表示法可将向量用一条带箭头的有向线段表示。
线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
分量表示法将向量拆分为水平和垂直方向两个分量，用有向线段表示。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则表示两个向量相加，其结果向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三角形法则表示将两个向量首尾相接，结果向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、向量的数量积和向量的数量积公式向量的数量积又称点乘，它表示了两个向量之间的相对关系，是一个实数。
向量的数量积可以通过向量的模和夹角的余弦来计算。
设向量a和向量b的夹角为θ，则向量的数量积公式为：a·b = |a||b|cosθ。
四、向量的数量积的性质根据向量的数量积公式，我们可以得到一些重要的性质。
1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(λa)·b = λ(a·b)，其中λ为实数3. 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c五、向量的向量积和向量的向量积公式向量的向量积又称叉乘，它表示了两个向量之间的垂直关系，是一个向量。
向量的向量积可以通过向量的模、夹角的正弦和右手法则来计算。
设向量a和向量b的夹角为θ，则向量的向量积公式为：|a×b| = |a||b|sinθ。
六、向量的向量积的性质根据向量的向量积公式，我们可以得到一些重要的性质。
新教材高一数学向量知识点
新教材高一数学向量知识点高中数学是学生进入高等教育的重要基础，而向量作为数学的重要分支之一，在高中数学教学中占有不可忽视的地位。
新教材高一数学向量知识点的引入，在一定程度上对学生的学习和思维方式起到了积极的影响。
接下来，我们来详细探讨一下新教材高一数学向量知识点的特点和应用。
一、向量的基本概念向量是高中数学中一种重要的数学工具，它可以表示有大小和方向的物理量。
在新教材中，向量的基本概念被系统地介绍，学生可以通过学习向量的定义、表示和运算等内容，逐渐建立起对向量的直观感受和数学抽象能力。
二、向量运算法则在学习向量的运算法则时，学生需要掌握向量的加法、减法、数乘和内积等基本运算。
这些运算法则在实际问题中起到了重要的作用。
通过运用这些法则，学生可以解决一些几何、力学等领域的问题，提高他们的实际应用能力。
三、向量的数量积和向量积新教材高一数学还引入了向量的数量积和向量积的概念。
数量积是两个向量的内积，它可以得到两个向量之间的夹角和它们的数量关系。
向量积是两个向量的外积，它可以得到一个新向量，该向量既垂直于原有向量，又满足一定的数量关系。
通过学习向量的数量积和向量积，学生可以更好地理解向量的几何意义和物理应用。
四、向量与线性代数新教材高一数学中还融入了向量与线性代数的知识点。
通过引入线性方程组和矩阵的相关内容，学生可以将向量与线性代数进行有机的结合。
这样的安排可以帮助学生更好地理解向量的代数性质和线性空间的概念。
同时，它也为学生今后的线性代数学习打下了坚实的基础。
五、向量的几何性质向量在几何中具有很多重要的性质，这些性质在新教材高一数学中也有涉及。
例如，平面上的三角形的重心和内心可以通过向量的平移和旋转来表示。
此外，学生还需要学习向量与直线的关系以及向量在解析几何中的应用。
通过研究这些几何性质，学生可以获得更深入的数学思维和空间想象力。
结语：新教材高一数学向量知识点的引入，为学生提供了更有趣和发散思维的学习体验。
高一数学必修二向量的知识点
高一数学必修二向量的知识点向量是数学中一个重要的概念，在高中数学中也是必修的内容之一。
本文将介绍高一数学必修二中有关向量的知识点。
在理解和运用这些知识点后，学生将能够更好地处理与向量相关的问题。
1. 向量的定义和表示方式在数学中，向量可以用来表示有大小和方向的量。
一般来说，我们用一个箭头来表示向量，在箭头上方写上字母来表示这个向量。
例如，一个向量记作AB，表示从点A指向点B。
向量的表示方式有很多，最常用的有坐标表示法和分量表示法。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
在进行向量的加法和减法时，我们可以分别对向量的横坐标和纵坐标进行运算。
对于向量的加法而言，两个向量相加得到的结果向量的横坐标等于原向量的横坐标之和，纵坐标等于原向量的纵坐标之和。
3. 向量的数量积和向量积向量的数量积又叫点积，表示两个向量之间的乘积。
向量的数量积可以帮助我们理解两个向量之间的夹角关系和判断两个向量是否相互垂直。
向量的数量积的计算方式是，将两个向量的对应坐标相乘，再将得到的结果相加。
向量的向量积又叫叉乘，表示两个向量之间的乘积。
向量的向量积在几何意义上表示两个向量所围成的平行四边形的面积。
向量的向量积的计算方式是，将两个向量的横坐标、纵坐标和纵坐标分别按照一定的顺序排列，并进行运算得到新的向量。
4. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，也称为向量的大小。
向量的模可以通过勾股定理计算得到。
例如，一个向量的模为√(x²+y²)。
单位向量是指模为1的向量，可以通过将原向量除以模得到。
5. 平面向量的坐标表示和性质在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
向量的坐标表示可以用来计算向量的模和进行向量的各种运算。
平面向量还有一些重要的性质，例如向量的相等性、零向量和单位向量等。
6. 向量的运算定律向量的运算有一些重要的定律，包括交换律、结合律和分配律等。
这些定律可以帮助我们在进行向量的运算时更加方便和灵活。
高一必修一向量知识点总结
高一必修一向量知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
向量的大小叫做模，用|a|表示，向量的方向是一个单位向量所指的方向。
在笛卡尔坐标系中，一个向量可以用它在坐标系中的投影来表示，也可以用坐标表示。
一个二维向量可以表示成 (x, y)，一个三维向量可以表示成 (x, y, z)。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，那么 a + b= (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。
如果有两个向量 a 和 b，那么 a - b = a + (-b)。
3. 向量的数量积（点积）向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
如果有两个向量 a 和b，它们的数量积表示为a·b = |a| * |b| * cosθ。
其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的数量积的几何意义向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角或者一个向量在另一个向量上的投影。
如果向量 a 在向量 b 上的投影是 p，那么a·b = |a| * |b| * cosθ = |b| * p。
5. 向量的数量积的性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a。
- 数量积满足分配律：a·(b + c) = a·b + a·c。
- 与数量积的夹角θ有关：当θ = 0 时，a与b同向，a·b = |a| * |b|；当θ = π 时，a与b反向，a·b = -|a| * |b|。
6. 向量的向量积（叉积）向量的向量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且方向符合右手定则。
如果有两个向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b = |a| * |b| * sinθ * n。
高一数学向量的各种知识点归纳
高一数学向量的各种知识点归纳高一数学中，向量是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
本文将对高一数学中与向量相关的各种知识点进行归纳和总结，以便于理解和记忆。
一. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
在坐标系中，向量可以由坐标表示，通常用一个点或者一个字母加上一个箭头来表示。
例如，向量AB可以表示为⃗AB。
向量有相等的性质，即当且仅当它们大小相等且方向相同时，两个向量才相等。
二. 向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
可以通过平行四边形法则和三角形法则来进行向量的加法计算。
平行四边形法则指出，向量A与向量B的和等于构成以A和B为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指出，向量A与向量B的和等于以A和B的起点和终点为顶点的三角形的第三边。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数的乘积。
它改变了向量的大小，但不会改变其方向。
数乘可以通过坐标分别乘以实数来进行计算。
3. 向量的减法向量的减法等于对减法的两个向量取相反向量后进行加法运算。
三. 向量的线性组合和线性相关性1. 向量的线性组合若有若干个向量a1, a2, ···, an和若干个实数c1, c2, ···, cn，则实数c1a1 + c2a2 + ··· + cnan称为向量a1, a2, ···, an的线性组合。
2. 向量的线性相关性若存在不全为零的实数c1, c2, ···, cn，使得c1a1 + c2a2 + ··· + cnan = 0，则称向量组a1, a2, ···, an线性相关；否则称为线性无关。
四. 向量的数量积和夹角1. 向量的数量积向量的数量积是一个向量和另一个向量之间的乘积。
有关高一数学向量的知识点
有关高一数学向量的知识点高一数学是学习数学的重要阶段，其中向量是一个关键的概念和工具。
向量在数学中有非常广泛的应用，并且与其他学科，如物理学和计算机科学等，有着紧密的联系。
在高一数学中，学生将开始了解向量的基本概念、性质和运算法则。
下面将逐步介绍向量的知识点。
1. 向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用有序数组表示，其中每个元素表示矢量在每个坐标轴上的分量。
例如，一个二维平面上的向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 和 y 轴上的分量。
2. 向量的运算向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法是将两个向量的相应分量相加而得到一个新的向量。
例如，向量 (1, 2) 和向量 (3, 4) 的加法结果为 (4, 6)。
向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个常数。
例如，向量 (1, 2) 乘以 2 的结果为 (2, 4)。
3. 向量的模长和方向角向量的模长是向量的长度，可以通过使用勾股定理计算得到。
例如，向量 (3, 4) 的模长为 5。
向量的方向角是向量与坐标轴之间的夹角。
在二维平面上，可以使用反三角函数来计算方向角。
4. 向量的坐标表示和单位向量向量可以通过两点之间的坐标表示。
例如，从点 A (x1, y1) 到点 B (x2, y2) 的向量可以表示为 (x2 - x1, y2 - y1)。
特殊的向量是单位向量，其模长为 1。
单位向量在很多数学和物理问题中起着重要的作用。
5. 平行向量和垂直向量两个向量是平行的，当且仅当它们的方向相同或相反。
两个向量是垂直的，当且仅当它们的内积为 0。
平行向量和垂直向量在几何和物理学中有着广泛的应用。
6. 向量的点积和叉积向量的点积是两个向量的对应分量相乘之和。
点积可以用来计算向量的模长和夹角。
向量的叉积是两个向量的乘积向量，其方向垂直于原有的两个向量。
点积和叉积在向量代数和物理学中扮演着重要角色。
7. 向量的投影向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影。
高一数学向量知识点以及典型例题
平面向量知识点回顾一、 向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6） 相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1） 加法()1212,a b x x y y +=++（2） 减法()1212,a b x x y y −=−−（3） 数乘()11,a x y λλλ=（4） 数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。
高一向量知识点总结及例题
高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。
2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。
解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。
A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。
高一向量所有知识点归纳总结
高一向量所有知识点归纳总结向量是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在高中数学中，向量是一个重要的学习内容。
下面将对高一向量的所有知识点进行归纳总结。
一、向量的定义与表示方法1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 向量的表示方法：坐标表示法和分量表示法。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到新的向量。
三、数量积（点乘）1. 数量积的定义：数量积是两个向量的乘积，结果是一个实数。
2. 数量积的计算方法：分别将两个向量的对应分量相乘，然后相加。
3. 数量积的性质：满足交换律、结合律和分配律等性质。
四、向量积（叉乘）1. 向量积的定义：向量积是两个向量的乘积，结果是一个向量。
2. 向量积的计算方法：计算两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的正弦值。
3. 向量积的性质：满足反交换律和分配律等性质。
五、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示：平面向量可以用有序数对表示，也可以用分量表示。
六、向量的模长与单位向量1. 向量的模长：向量的模长表示向量的大小。
2. 向量的单位化：将一个向量除以它的模长得到单位向量。
七、向量投影1. 向量投影的定义：将一个向量投影在另一个向量上，得到一个新的向量。
2. 向量投影的计算方法：计算两个向量的数量积再除以被投影向量的模长。
八、向量共线与垂直1. 向量共线的判断：若两个向量的方向相同或相反，则它们共线。
2. 向量垂直的判断：若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
九、向量的夹角1. 向量夹角的计算方法：可以使用两个向量的数量积或向量积的公式计算。
2. 向量夹角的性质：夹角范围为0到180度。
总结：高一向量知识点的归纳总结包括向量的定义与表示方法、向量的加法与减法、数量积（点乘）、向量积（叉乘）、平面向量的坐标表示、向量的模长与单位向量、向量投影、向量共线与垂直以及向量的夹角。
高一向量知识点归纳总结
高一向量知识点归纳总结高一向量知识点总结向量是数学中的重要概念，它不仅在高中数学中出现，也广泛应用于各个领域。
在高一数学中，向量是必学的知识点之一。
本文将对高一向量知识点进行总结归纳。
一、向量的基本概念向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。
向量的起点和终点分别表示向量的起点和终点，向量的长度表示向量的大小，向量的方向表示向量的方向。
二、向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用点表示。
用坐标表示时，向量可以表示成一个有序数对，用点表示时，向量可以表示成由起点和终点组成的线段。
三、向量的运算① 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
② 向量的数乘：数乘是将向量的长度与方向分别乘以一个实数。
③ 向量的减法：向量的减法可以理解为加上一个相反的向量，即a-b=a+(-b)。
④ 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，是两个向量的长度相乘再乘以它们夹角的余弦值。
⑤ 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，是两个向量的长度相乘再乘以它们夹角的正弦值，结果是一个向量。
四、向量的模长向量的模长是向量的长度，用|a|表示，计算方法是将向量的坐标平方和开平方，即|a|=√(x²+y²)。
五、向量的夹角两个向量的夹角是它们的方向之间的夹角，可以用余弦公式或正弦公式求解。
六、向量的投影向量在另一个向量上的投影是一个数，它等于向量在该方向上的长度，可以用向量的数量积求解。
七、向量的共线和垂直两个向量共线当且仅当它们的向量积为0，两个向量垂直当且仅当它们的数量积为0。
八、向量的平移向量的平移是将向量的起点平移至另一个点，保持向量的大小和方向不变。
可以用向量的加法实现。
九、向量的应用向量在物理、几何、计算机图形学等领域有广泛应用，如力的合成、求三角形面积、图形的平移和旋转等。
高一向量知识点是数学学习中不可或缺的一部分，掌握好向量的基本概念、表示方法、运算、模长、夹角、投影、共线和垂直、平移以及应用，可以更好地理解和应用向量。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。
模是一个非负实数。
4. 零向量- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算（一）向量的加法1. 定义- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。
这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法1. 定义- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b 与-→b大小相等，方向相反。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘1. 定义- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
2. 运算律- 结合律：λ(μ→a)=(λμ)→a。
向量的全部知识点高一
向量的全部知识点高一向量是高等数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理和工程问题中起着重要的作用。
本文将系统地介绍高中一年级学生需要了解的向量的全部知识点。
一、向量的定义和表示在数学中，向量是由大小和方向组成的量，它可以用有向线段来表示。
向量通常用小写字母加上箭头来表示，比如a→代表一个向量a。
向量的大小被称为向量的模，用|a→|来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，设a→和b→是两个向量，则它们的和记作a→+b→，其中，新向量的起点是a→的起点，终点是b→的终点。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个数相乘得到一个新的向量。
具体来说，设a→是一个向量，k是一个实数，则k乘以a→的结果记作ka→。
当k>0时，放大向量的长度，当k<0时，翻转向量的方向。
四、向量的数量积向量的数量积是另一种向量的运算，也被称为点积或内积。
设a→和b→是两个向量，它们的数量积定义为：a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中，θ是a→和b→之间的夹角，|a→|和|b→|分别是它们的模。
数量积的结果是一个实数。
五、向量的性质向量有许多重要的性质，包括零向量、单位向量、平行向量和共线向量。
其中，零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的数量积都为0。
单位向量是模为1的向量，它的方向与原向量相同。
平行向量是指方向相同或相反的向量，共线向量是指在同一直线上的向量。
六、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度，用于研究向量之间的夹角和相互垂直的关系。
向量b的投影在向量a 上的长度等于向量b与向量a的数量积除以向量a的模。
七、向量的共面与共点三个向量共面是指它们所在的直线或平面上的点满足共面的条件。
三个向量共点是指它们的起点或终点重合。
判断向量共面可以利用向量叉乘的结果，如果向量叉乘为零向量，则三个向量共面；判断向量共点可以通过解线性方程组来实现。
高一向量所有知识点公式
高一向量所有知识点公式在高中数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅可以用来描述物理力学中的力和位移，还可以应用于几何、代数、微积分等领域。
本文将就高一阶段学习的向量相关知识点和公式进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、向量的定义和表示向量是有大小和方向的，它与线段有着相似的性质。
向量通常用一个有向线段来表示，记作AB→，其中A是起点，B是终点。
向量的大小通常用向量的模来表示，记作|AB→|。
向量的方向可以用与其同向的单位向量来表示，或者使用与之相等的向量来代替。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中的基本操作。
向量加法即将两个向量的起点重合，然后将它们的终点连接起来，得到一个新的向量。
向量减法则是将减去向量的相反向量。
向量的加法和减法遵循以下规律：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 零向量：A + 0 = 0 + A = A4. 相反向量：A + (-A) = (-A) + A = 0三、数量积和向量积数量积又称点积或内积，它是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
数量积的计算公式如下：A·B = |A||B|cosθ其中A、B分别为向量的模，θ为两个向量之间的夹角。
向量积又称叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积。
向量积的计算公式如下：|A×B| = |A||B|sinθ四、向量的投影向量的投影指的是一个向量在某个方向上的投影长度。
通过投影操作，我们可以将一个向量分解为与另一个向量垂直和平行的两个部分。
向量的投影可以用下列公式计算：投影长度= |A|cosθ其中|A|为待投影向量的模，θ为待投影向量与投影方向之间的夹角。
五、平面向量的共线和垂直当两个向量的数量积等于0时，它们互相垂直；当两个向量的向量积等于0时，它们共线。
六、向量的坐标表示在直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
9.1 向量概念-高一数学(苏教版2019必修第二册)(解析版)
向量概念知识点一、向量概念1.向量与数量的概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量（物理中的矢量）．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量（物理中的标量）.2.向量与数量的区别数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.例：下列物理量中：①速度，②加速度，③质量，④力，⑤路程，其中是向量的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】C【解析】判断一个量是否为向量，就看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，上述5个物理量中，①②④既有大小，又有方向，所以这三个是向量，故选C.知识点二、向量的表示1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.如图所示就是以A为起点，B为终点的有向线段（终点处画上箭头表示方向），记作（起点在前，终点在后）.线段是没有方向的，比如线段AB和线段BA表示的是同一条线段，但是有向线段和有向线段表示的就不是同一条有向线段.2.向量的表示（1）向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；（2）向量的字母表示：向量可以直接用字母a、b、c……表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如等.3.向量的模向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)，记作，向量的模可以用来比较大小.4.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的.要注意区分0与，0是一个实数，是一个向量，.5.单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
PS：零向量与单位向量是两个特殊向量，都是从向量的模的角度定义的，不涉及方向.例：下列说法正确的是（）A. 零向量没有大小，没有方向B. 零向量的长度为0C. 零向量是唯一没有方向的向量D. 任意两个单位向量方向相同【解答】B【解析】零向量的长度为0，且方向是任意的，故A、C错误，B正确，任意两个单位向量的长度相等，但是方向不一定相同，故D错误，故选B.知识点三、共线向量与相等向量1.共线向量（1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)；（2）任一向量都与它自身是平行向量，规定：零向量与任一向量是平行向量；（3）共线向量的四种情况：①方向相同且模相等；②方向相同但模不相等；③方向相反且模不相等；④方向相反但模相等；（4）在不改变向量的大小和方向的前提下，向量是可以平行移动的，所以，任意一组平行向量都可以移动同一条直线上.2.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（1）零向量与两向量相等，任一两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关；（2）若两向量共线，则这两个向量所在的直线要么是平行的，要么是重合的；例：下列命题正确的是（ ）A.B.C.D.【解答】D【解析】A 选项，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A 选项错误；B 选项，两个向量不能比较大小，故B 选项错误；C 选项，两个向量平行，只能说明这两个向量的方向相同或相反，不能得到两个向量的大小关系，故C 选项错误；D 选项，如果一个向量的模等于0，那个这个向量就是零向量.故选D.巩固练习一、选择题1. 下列物理量中不是向量的个数是（ ）．（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】A【解析】看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向性的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小没有方向，不是向量.2．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若|AB →|=|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m →=n →，n →=k →，则m →=k →；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a →|=|b →|，则a →、b →不一定相同，∴②错误；对于③，若|AB →|=|DC →|，AB →、DC →不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m →=n →，n →=k →，则m →=k →，④正确；对于⑤，若a →∥b →，b →∥c →，当b →=0→时，a →∥c →不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：C ．3．下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】A【解析】对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →∥b →，b →∥c →，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A ．4．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB →与CD →是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；③若|a →|＝|b →|，则a →=b →或a →=−b →；④若a →•b →=0，则a →=0→或b →=0→；其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】D【解析】对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于②，向量AB →与CD →是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；对于③，当|a →|＝|b →|时，a →=b →或a →=−b →不一定成立，如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；对于④，当a →•b →=0时，a →=0→或b →=0→或a →⊥b →，原命题错误；综上，正确的命题是①，共1个．故选：D ．5．下列说法中错误的是（ ）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．零向量的长度为0D ．方向相反的两个非零向量必不相等【解答】B【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，A 正确；对于B ，方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；对于C ，零向量的模长为0，C 正确；对于D ，根据向量相等的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D 正确．故选：B ．6．下列说法错误的是（ ）A ．向量 CD →与向量DC →长度相等B ．单位向量都相等C ．向量的模可以比较大小D ．任一非零向量都可以平行移动【解答】B【解析】对于A ，CD →和DC →长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，单位向量长度都为1，但方向不确定，故B 错误；对于C ，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；对于D ，向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，即D 正确． 故选：B ．7．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．若|a →|＝|b →|，则|a →|∥|b →|C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c → 【解答】C【解析】向量长度相等，得不出向量相等，因为向量还有方向；∴A 错误；向量长度是数值，不能平行；∴B 错误；a →=b →，b →=c →显然得出a →=c →；∴C 正确；a →∥b →，b →∥c →得不出a →∥c →，比如，a →，c →不平行，b →=0→；∴D 错误．故选：C ．8．以下说法正确的是（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a →和b →都是单位向量，则a →=b →【解答】C【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误，零向量是没有方向的向量，B 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a →，b →都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选：C ．二．多选题9．下列有关向量命题，不正确的是（ ）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．已知c →≠0→，且a →•c →=b →•c →，则a →=b →C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →=b →，则|a →|＝|b →|且a →∥b → 【解答】AB【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A 错误；若a →∥b →，且与c →垂直，结果成立，当a →不一定等于b →，B 错误；若a →=b →，b →=c →，由向量的定义可得a →=c →，C 正确；相等向量模相等，方向相同，D 选项正确．故选：AB ．10.下列说法中正确的有（ ）A. 向量的长度与向量的长度相等B. 有向线段就是向量，向量就是有向线段C. 两向量的大小与其方向有关D. 向量的模可以比较大小【解答】AD【解析】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确，故选AD.11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是（）A. 与相等的向量（不含）只有一个B. 与的模相等的向量（不含）有9个C. 的模是的模的倍D. 与不共线【解答】ABC【解析】因为，所以与相等的向量只有，故A选项正确；与的模相等的向量有，故B选项正确；在R t△AOD中，∵∠ADO＝30°，，故，故C选项正确；因为，所以与是共线的，故D选项错误，故选ABC.三.填空题12. 已知、、为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定________．【解答】不共线【解析】∵与不共线，与共线，∴与不共线.13. 已知四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 .【解答】等腰梯形【解析】∵，∴AB∥DC，且，即线段AB平行于线段CD，且线段AB的长度是线段CD 长度的一半，∴四边形ABCD 是梯形， 又∵，∴梯形的两个腰相等，∴四边形ABCD 是等腰梯形.14. 如图所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________.【解答】AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →；模长为3的向量有：AD →，DA →.15. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，f 分别是AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解答】FE →，CD →，BA →【解析】∵AB ∥E f ，CD ∥E f ，∴与EF →方向相反的向量为FE →，CD →，BA →.四、解答题16.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的方位.【解答】（1）见解析；（2）B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”【解析】（1）向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示：（2）由题意知AD →＝BC →，∴AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”.17. 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OC f B 都是正方形.(1)写出与AO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)向量AO →与CO →是否相等？【解答】见解析【解析】(1)与AO →相等的向量有：OC →，BF →，ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →，OC →，CO →，AC →，CA →，ED →，DE →，BF →，FB →.(3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.18. 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【解答】见解析【解析】(1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。
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向量的概念（2）
教学目的：
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；
2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；
3.了解平行向量的概念.
教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念；
2.向量的表示方法；向量的模；
3.零向量、单位向量；
4.平行向量；
5.相等向量；
6.共线向量与平行向量关系； 二、讲解新课：
例1 有两个长度相等的向量，在什么条件下，这两个向量一定相等. 例2 在下列命题中，真命题为
A.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B.模为0的向量与任一非零向量平行
C. 向量就是有向线段
D. a =b 是|a |=|b |的必要不充分条件 例3 命题“若a //b ,b //c ,则a //c .”
A. 总成立
B.当a ≠0时成立
C. 当b ≠0时成立
D.当c ≠0时成立 例4 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，写
出与DF
共线的向量.
例5 如图，A 1、A 2……A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1、A 2……A 8及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半
例6 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向，向北偏西30o 走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点.
（1） 作出向量,,AB BC CD
（1cm 表示200m ）
（2） 求||.DA
例7 设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、
CD 、DA 的中点，求证：.KL NM
三、作业 《精析精练》P72 智能达标训练
C
5
A A A 3。