第一章概率论习题解答附件

教 案

概率论与数理统计

(Probability Theory and Mathematical Statistics )

Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、

3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”

，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：

（1）只击中第一枪；

（2）只击中一枪；

（3）三枪都没击中；

（4）至少击中一枪。

Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。

（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .

（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .

Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为

21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：

（１）A 与B 互斥；

（２）；B A ⊂ （３）81)(=AB P ．

Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.

（1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21

（2） 因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=

6

13121=-

（3） )(A B P =)()(AB P B P -=8

38121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而

()P A =25C /28C =5/14

Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。

Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，

事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事件A 的

概率为

()P A =138.05100

49713≈C C C Exercise 1.5 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：

（１）每个盒子最多有一个球的概率；

（２）某指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率。

Solution 这显然也是等可能问题。

先求N 个球随机地放入n 个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入n 个盒子中的任何一个，有n 种不同的放法，所以N 个球放入n 个盒子共有N N

n n n n =⨯⨯⨯

种不同的放法。 （1）事件A ={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的1n -个盒子之一，有1n -种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1n N -+个盒子之一，有1n N -+种放法；所以共有(1)(1)n n n N --+ 种不同的放法。故得事件A 的概率为

()P A =N n

N n n n )1()1(+-- （2）事件B ={某指定的盒子中恰有m 个球}的放法。先从N 个球中

任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m N C 种选法；再将剩下的N m -个

球任意分配到剩下的1n -个盒子中，共有m N n --)1(种放法。所以，得事件B

的概率为

N m

N m N n n C B P --=)1()(

Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：

（１）６个数完全不同；

（２）６个数不含奇数；

（３）６个数中５恰好出现4次。

Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有69种排列方法。

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有456789⨯⨯⨯⨯⨯种取法，故

11.09456789)(6

=⨯⨯⨯⨯⨯=A P （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有64取法。故

66

94)(=B P

（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有46C 种，剩下的两

种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有28种取法。故

62

4698)(C C P =

Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。

Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故

8

1421]40[]1,5.0[)(===的长度，区间的长度区间A P . Exercise 1.8 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。

Solution 以X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，

812Y ≤≤ ；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这