2018版 第3章 3.4.1 第1课时 函数的零点
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
高中数学函数零点教案
高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。
教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。
2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。
3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。
4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。
5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。
评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。
提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。
高中数学第3章函数与方程、不等式之间的关系(第1课时)函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课
解题步骤：1求出零点；2拆分定义域；3判断符号；4写出 解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区 间内为正，然后往左依次负正相间.
3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示 意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－2,1,2.
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的 零点 ．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为 _正__数____的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x) ＝ax2＋bx＋c的函数值为 负数 的自变量x的取值集合．
求函数y＝fx的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程 fx＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝fx的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1．如图所示是一个二次函数y＝f(x)的图像．
(1)写出这个二次函数的零点； (2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点及其与对应方程、不
等式解集之间的关系
学习目标
核心素养
1.理解函数零点的概念以及函数的 1.借助函数零点概念的理解，培养
零点与方程的根之间的关系．(难 数学抽象的素养．
点)
2．通过函数与方程、不等式之间
2．会求函数的零点．(重点)
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
函数的零点课件
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0的根.
问题:其他函数与方程之间也有同样 y 结论吗？
Y=f(x)
x1
x2
0
x3
x4
x
方程f(x)=0的实数根函数y= f(x)图象 与x轴交点的横坐标
课题 引入
概念 形成
概念 深化
拓展 探究
零点是实数
2 当x 时，y 0； 3 2 (1)零点是 ， x 2 时，y 0． 当 3 3
( ) y x 2x 3 ２
2
(2)零点是 3和1，
一次函数都有 当 3 x 1时，y 0； 零点
当x 3或x 1时，y 0．
( ) y x 2x 1 ３
x
函数y y 2f x) 6在实数 处的值 x (x 在实数 2,3 等于0，则 叫做这个函数的零点. 2,3
-4 -6
课题 引入
概念 形成
概念 深化
拓展 探究
性质 探究
性质 运用
变式 练习
课堂 总结
布置 作业
一般的，如果函数y f ( x)在实数 处的 值等于零,即f ( ) 0, 则叫做这个函数的零点. 等价关系
4 2 -2 0 -2 -4 2 4 x
在直角坐标系内描点连线，
这个函数的图象如图所示.
课题 引入
概念 形成
概念 深化
拓展 探究
性质 探究
性质 运用
变式 练习
课堂 总结
布置 作业
在知识上： 学习了函数的零点的概念，函数零点的求 法，二次函数零点个数的判定，二次函数 零点的性质并做了推广，一般函数图像的 画法． 在思想上： 渗透了由特殊到一般，抽象概括，转化化 归,函数与方程的思想．
2018学年高中数学人教B版必修1课件：2.4.1 函数的零点 精品
1.定义 如果函数y＝f (x)在实数α处的值 等于零 ，即 f (α)＝0 函数的 零点 .
，则α叫做这个
2.性质 (1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值 变号 . (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值 保持同号 .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点.( ) (2)若方程f (x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f (x2,0).( ) (3)f (x)＝x－1x只有一个零点.( )
【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x1)＝0， 则f (－x1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝0.
【答案】 0
4.已知函数f (x)＝ax2＋4x＋a有二阶零点，则a的值为____. 【解析】 由题意可知f (x)是二次函数，且Δ＝0，即42－4a2＝0，得a＝±2. 【答案】 ±2
5.函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，求函数f (x)＝bx2－ax－1的零点. 【导学 号：60210060】
【解】 由2＋3＝a,2×3＝－b，得a＝5，b＝－6， ∴f (x)＝－6x2－5x－1，令f (x)＝0， 得x1＝－13，x2＝－12. ∴函数f (x)的零点是－13，－12.
函数零点的应用
[探究共研型]
探究 1 系？
设 F(x)＝f (x)－g(x)，则 F(x)的零点与函数 y＝f (x)与 y＝g(x)有何关
【提示】 F(x)的零点是函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标.
探究 2 若函数 f (x)＝x2－2x＋a 有零点，则实数 a 的取值范围是什么？
【解析】 在函数f (x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对的坐标就 是函数的最大零点，即此函数的最大零点所在的区间为(6,7).
2018-2019学年高中数学人教B版必修一课件：2.4.1 函数的零点
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.
(3)如果一个二次函数有二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的 符号并不改变,这样的零点叫做不变号零点.
5
2.函数零点的判断
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此求函数的零点可以转化
为求相应的方程的根.反之,若知道函数的零点,即“函数图象与横轴的交 点的横坐标”,则可以直接写出函数对应的方程的根,即函数y=f(x)有零
解得 x=-1 或 x=2.所以函数的零点为-1 和 2.
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方法技巧
判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断方程f(x)=0
的实根的个数,进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题. 而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断.
17
变式训练2-1:若奇函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上是单调增函数,
2
b b2 4ac 2a
两个相等的实根
b b2 4ac 两个零点 x1,2= 2a
一个二重的零点(二阶零点)x1,2= b 2a
Δ =0 Δ <0
x1,2=-
b 2a
无实根
无零点
7
自我检测
1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( (A)1,-4 (B)4,-1 (C)1,3 (D)不存在 B )
8
2.函数y=2x-1的图象与x轴交点坐标及零点分别是(
(A)
1 1 , 2 2 1 1 ,2 2
B )
1 1 (B) ,0 , 2 2
1 1 (D) ,0 ,2 2
(C)-
9
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a·c<0,则函数的零点有( (A)1个 (C)0个 (B)2个 (D)不确定
人教B版高中数学必修一课件 第3章 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系
解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1
> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),
函数的零点公开课课件ppt
2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ） A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2 3、函数f(x)=x3-16x的零点为( ) A (0,0),(4,0) B 0,4 C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
2
x
y
0
3
2
1
1
2
5
4
3
函数的图象 与x轴的交点
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象 与 x 轴的交点
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
2 函数y=f(x)的图象如图所示:
f(a) · f(b) （＜或＞）0． 在区间 （a,b）内 （有或无）零点
f(c) · f(d) （＜或＞）0． 在区间 （c,d） 内 （有或无）零点
f(b) · f(c) （＜或＞）0． 在区间 （b,c） 内 （有或无）零点
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
o
y
x
C
1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)×f(b)<0 (a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（ ） A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点
高中数学 第3章 不等式 3.3.1 从函数观点看一元二次方程教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1 从函数观点看一元二次方程学习目标核心素养1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次〞之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．函数与方程有着一定的联系，请尝试完成以下两个表格；并思考它们有着怎样的联系？a>0a<0一次函数y＝ax＋b的图象一元一次方程y＝ax＋b的根Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点1．二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．提醒：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,2＝－b±b2－4ac2a有两个相等的实数根x1,2＝－b2a没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的零点有两个零点x1,2＝－b±b2－4ac2a有一个零点x＝－b2a无零点1．函数y＝x2＋4x－5的零点为( )A．－5和1 B．(－5,0)和(1,0)C．－5 D．1A[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为．2[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]3．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，那么n的取值集合为．{－3,0}[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2，因为－1－2∈(－3，－2)，－1＋2∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3,0}．]求函数的零点(1)y＝3x2－2x－1；(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如下图．[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．(2)对于二次项的系数a 分a ＝0，a ≠0两类进行讨论，当a ≠0时，还要比较两根的大小． (3)根据相应函数的图象，找到其与x 轴的交点的横坐标．[解] (1)由3x 2－2x －1＝0解得x 1＝1，x 2＝－13，所以函数y ＝3x 2－2x －1的零点为1和－13．(2)(ⅰ)当a ＝0时，y ＝－x －1，由－x －1＝0得x ＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a ≠0时，由ax 2－x －a －1＝0得(ax －a －1)(x ＋1)＝0，解得x 1＝a ＋1a，x 2＝－1． 又a ＋1a －(－1)＝2a ＋1a， ①当a ＝－12时，x 1＝x 2＝－1，函数有唯一的零点－1．②当a ≠－12且a ≠0时，x 1≠x 2，函数有两个零点－1和a ＋1a ．综上：当a ＝0或12时，函数的零点为－1．当a ≠－12且a ≠0时，函数有两个零点－1和a ＋1a．(3)由函数的图象与x 轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． 2．函数的图象与x 轴交点的横坐标就是函数的零点． 3．求含有参数的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分类讨论的步骤： (1)假设二次项系数中含有参数，那么讨论二次项系数是否为零；(2)假设二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数． 假设可以因式分解，那么一定存在零点．(3)假设二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．[跟进训练]1．求以下函数的零点． (1)y ＝2x 2－3x －2； (2)y ＝ax 2－x －1；(3)y ＝ax 2＋bx ＋c, 其图象如下图．[解] (1)由2x 2－3x －2＝0解得x 1＝2，x 2＝－12，所以函数y ＝3x 2－2x －1的零点为2和－12．(2)(ⅰ)当a ＝0时，y ＝－x －1，由－x －1＝0得x ＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a ≠0时，由ax 2－x －1＝0得Δ＝1＋4a ， 当Δ<0，即a <－14时，相应方程无实数根，函数无零点；当Δ＝0，即a ＝－14时，x 1＝x 2＝－2，函数有唯一的零点－2．②当Δ>0，即a >－14时，由ax 2－x －1＝0得x 1,2＝1±1＋4a 2a ，函数有两个零点1＋1＋4a 2a 和1－1＋4a2a ．综上：当a ＝0时，函数的零点为－1； 当a ＝－14时，函数的零点为－2；当a >－14时，函数有两个零点1＋1＋4a 2a 和1－1＋4a2a ；当a <－14时，相应方程无实数根，函数无零点．(3) 由函数的图象与x 轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．函数的零点个数的论证与探究[例2] 假设a >2，求证： 函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有两个零点．[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0有两个不相等实数根．[证明] 考察一元二次方程(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0， 因为Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＝4(a －2)(a ＋2)， 又a >2，所以Δ>0，所以函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有两个零点．(变题)求函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点的充要条件． [解] [必要性]因为函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点， 当a ＝2时，方程(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0无解．函数无零点；当a ≠2时，因为函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点，所以方程(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0有实数根．所以Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＝4(a －2)(a ＋2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a ＋2≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≤0， 解得a ≥2或a ≤－2，又a ≠2，所以a >2或a ≤－2，所以函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点，那么a >2或a ≤－2． [充分性]当a >2或a ≤－2时，对于方程(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＝4(a －2)(a ＋2)≥0，所以函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点．综上函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4有零点的充要条件是a >2或a ≤－2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c a ≠0的零点的论证对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠0的根的判别式Δ＝b 2－4ac . 1Δ>0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋c a ≠0有两个零点. 2Δ＝0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋ca ≠0有一个零点.3Δ<0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋c a ≠0无零点.[跟进训练]2．求证：函数y ＝ax 2－x －a (a ∈R )有零点． [证明] 当a ＝0时，y ＝－x ，该函数有零点0；当a ≠0时，对于一元二次方程ax 2－x －a ＝0，Δ＝1＋4a 2>0，函数y ＝ax 2－x －a 有两个零点．综上，函数y ＝ax 2－x －a (a ∈R )有零点．二次函数的零点分布探究[例3] (1)判断二次函数y ＝－x 2－2x ＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)假设二次函数y ＝(a －2)x 2－2(a －2)x －4(a ≠2)的两个零点均为正数，某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．[解] (1) 由－x 2－2x ＋1＝0得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2，因为－3<－1－2<－2， 所以二次函数y ＝－x 2－2x ＋1在(－3，－2)存在零点． (2)因为函数y ＝ (a －2)x 2－2(a －2)x －4的两个零点均为正数， 所以(a －2)x 2－2(a －2)x －4＝0有两个不相等的正实数根．显然a ≠2． 由一元二次方程的根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a －2a ＋2>0，x 1＋x 2＝－－2a －2a －2＝2>0，x 1x 2＝－42a －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a <2，所以a <－2．即实数a 的取值X 围(－∞，－2)．1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点的分布探究结合一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式Δ＝b 2－4ac 和根与系数的关系处理(1) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个正零点．(2) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个负零点．(3) x 1x 2<0⇔ 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个异号零点． 2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．[跟进训练]3．函数y ＝x 2－x －a 2＋a (a ∈R )．(1)假设该函数有两个正的零点，求a 的取值X 围；(2)假设该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a 的取值X 围． [解] 法一：由x 2－x －a 2＋a ＝0得x 1＝a ，x 2＝1－a ，(1)因为该函数有两个正的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a >0，a ≠1－a ，解得0<a <12或12<a <1，所以a 的取值X 围是0<a <12或12<a <1．(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1－a ，a >1，1－a <1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1－a ，1－a >1，a <1，解得a >1或a <0．所以a 的取值X 围是a >1或a <0．法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x 2－x －a 2＋a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4－a 2＋a ＝2a －12>0，x 1＋x 2＝12>0，x 1x 2＝－a 2＋a >0，解得0<a <12或12<a <1，所以a 的取值X 围是0<a <12或12<a <1．(2) 方程x 2－x －a 2＋a ＝0中Δ＝1－4(－a 2＋a )＝(2a －1)2≥0，设其两实数根分别为x 1，x 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－a 2＋a ，因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，所以(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，所以(－a 2＋a )－1＋1<0，解得a >1或a <0．所以a 的取值X 围是a >1或a <0．1．求函数的零点，可以结合相应函数的图象，看其与x 轴交点的横坐标，也可以直接解相应的方程，求出其不相等的实数根；对于含有参数的函数零点个数的讨论，可以着手从参数是否影响方程的次数、方程根的存在性、方程根的大小等方面确定分类讨论的标准．2．二次函数零点个数的论证本质上就是论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．3．二次函数零点的分布研究，可以先解出相应方程的实数根，再判定，也可以研究相应的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1．给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b ．其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③B [因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．应选B ．]2．函数y ＝2ax －a ＋3在(－1,1)上有零点，那么实数a 的取值X 围是．(－∞，－3)∪(1，＋∞) [当a ＝0时，函数y ＝3，无零点，当a ≠0时，由2ax －a ＋3＝0得，x ＝a －32a ，所以－1<a －32a<1，当a >0时－2a <a －3<2a ，解得a >1；当a <0时，－2a >a －3>2a ，解得a <－3，所以实数a 的取值X 围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]3．p ：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有异号两个实数根，q ：ac <－1，那么p 是q 的条件． 必要不充分 [因为关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有异号两个实数根⇔x 1x 2＝ca<0⇔ac <0，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．函数y ＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有y <0成立，某某数m 的取值X 围．[解] 作出二次函数y ＝x 2＋mx －1的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有y <0，那么有x ＝m 时，y <0，且x ＝m ＋1时，y <0．即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋mm ＋1－1<0，解得－22<m <0． 所以实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0．。
2018版高中人教A版数学必修1课件：第三章 函数的应用3
答案：连续不断 f(a)· f(b)＜0
f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？
1 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝ 无零点，因 x 1 为方程 ＝0 无实根． x
由图可知函数 y＝ln x，y＝－x＋3 的图象只有一个交点，即 函数 f(x)＝x－3＋ln x 只有一个零点． 解法二：因为 f(3)＝ln 3>0， 2 f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0， e 所以 f(3)· f(2)<0，说明函数 f(x)＝x－3＋ln x 在区间(2,3)内有 零点． 又 f(x)＝x－3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只 有一个零点．
[巧归纳]
解题时把方程的根的个数转化为函数图象的交点
个数，数形结合的方法是判断方程根(函数零点)的个数的有效方 法．
[练习 2]判断函数 f(x)＝x－3＋ln x 的零点个数．
解：解法一：令 f(x)＝x－3＋ln x＝0， 则 ln x＝3－x.在同一平面直角坐标系内画出函数 y＝ln x 与 y＝－x＋3 的图象，如图所示．
类型 3
判断函数零点所在区间
[要点点击] 函数 f(x)在区间[a，b]上的零点的情况 (1)有唯一零点： 此时，f(x)在[a，b]上与 x 轴有唯一公共点或 f(x)在[a，b]上 满足以下三条： ①图象是连续不断的一条曲线； ②f(a)· f(b)<0； ③f(x)在[a，b]上是单调函数．
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是(
2018学年高中数学必修1课件：3.4.1 第1课时 函数的零
实数根 ．
．
(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与 x 轴交点的 横坐标
函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________． 【解析】 令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2. 【答案】 －1或－2 (－1,0)，(－2,0)
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．(
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)· f (b)＜0.(
【解析】 (1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保 持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2) 上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－ 1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)· f (－2)>0. 【答案】 (1)× (2)× (3)×
阶 段 1
3.4 3．4.1
函数的应用 函数与方程 函数的零点
阶 段 3
阶 段 2
第1课时
学 业 分 层 测 评
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
[基础· 初探] 教材整理1 零点的概念 阅读教材P91至P92例1，完成下列问题． 1．函数零点的定义 一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为 0 的 实数x 称为函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 (1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的
2018版 第3章 3.4.1 第1课时 函数的零点
3.4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[基础·初探]教材整理1零点的概念阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根．(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2(－1,0)，(－2,0)教材整理2零点存在性定理阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.()【解析】(1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．【解析】由f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得f (x)至多有一个零点．又因为f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x)恰有一个零点．【答案】 1[小组合作型]求下列函数的零点．(1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a ∈R)．。
2018版高中数学苏教版必修一学案：3.4.1 第1课时 函数的零点
3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数．知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？梳理(1)一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数y＝f(x)的______．(2)方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0____________⇔函数y＝f(x)的图象________________⇔函数y＝f(x)____________．知识点二 零点存在性定理思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f (x )＝lg x ＋x .但函数值易求，如我们可以求出f (110)＝lg 110＋110＝－1＋110＝－910，f (1)＝lg1＋1＝1.那么能判断f (x )＝lg x ＋x 在区间⎝⎛⎭⎫110，1内有零点吗？梳理 函数零点存在性定理一般地，若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条________的曲线，且____________，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．类型一 求函数的零点例1 函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________．反思与感悟 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1 函数f (x )＝(x 2－1)(x ＋2)2(x 2－2x －3)的零点个数是________． 类型二 判断函数零点所在的区间例2 根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________．反思与感悟 在函数图象连续的前提下，f (a )·f (b )＜0，能判断在区间(a ，b )内有零点，但不一定只有一个；而f (a )·f (b )＞0，却不能判断在区间(a ，b )内无零点．跟踪训练2 若函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点的个数例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．命题角度2根据零点情况求参数范围例4f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是________．跟踪训练4若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m 的取值范围是________．1．函数f(x)＝2x2－3x＋1零点的个数是________．2．函数f(x)＝x2－2x的零点是________．3．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，对于下面的判断：①f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点；②f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点；③f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点； ④f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点． 正确的说法是________．(填序号)4．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 5．函数f (x )＝x 3－(12)x 零点的个数是________．1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学 知识点一思考 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x )＝0的实数x .实际上是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 梳理 (1)0 零点(2)有实数根 与x 轴有交点 有零点 知识点二思考 能．因为f (x )＝lg x ＋x 在区间(110，1)内是连续的，函数值从－910变化到1，势必在⎝⎛⎭⎫110，1内某点处的函数值为0. 梳理 不间断 f (a )·f (b )<0 题型探究例1 x ＝1或x ＝10解析 由(lg x )2－lg x ＝0，得lg x (lg x －1)＝0， ∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10. 跟踪训练1 4解析 f (x )＝(x ＋1)(x －1)(x ＋2)2(x －3)(x ＋1) ＝(x ＋1)2(x －1)(x ＋2)2(x －3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 例2 (1,2)解析 令f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x －(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内． 跟踪训练2 2解析 ∵函数f (x )＝3x －7＋ln x 在定义域上是单调增函数， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 在区间(n ，n ＋1)上只有一个零点．∵f (1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f (2)＝6－7＋ln2<0，f (3)＝9－7＋ln3>0， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(2,3)内， ∴n ＝2.例3 解 方法一 ∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg2－2>0，∴f (x )在(0,1)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数， 故函数f (x )有且只有一个零点．方法二 在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．跟踪训练3 解 方法一 由于f (2)<0，f (3)>0，即f (2)·f (3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调增函数，所以它仅有一个零点．方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数． 由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点． 例4 (－1，＋∞)解析 由题意可得a ＝x －(12)x (x ＞0)．令g (x )＝x －(12)x ，该函数在(0，＋∞)上为单调增函数，可知g (x )的值域为(－1，＋∞)，故当a ＞－1时，f (x )在(0，＋∞)内有零点． 跟踪训练4 (－56，－12)解析 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内， 根据图象列出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．当堂训练 1．2解析∵Δ＝9－4×2×1＝1>0，∴f(x)有两个零点．2．0,2解析令x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，∴零点为0,2.3．③ 4.(－1,0) 5.1。
2018-2019学年苏教版必修一3.4.1第1课时函数的零点学案
3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点)；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P91－93，完成下面问题：知识点一函数的零点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．【预习评价】思考函数的零点是点吗？提示函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点三函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．【预习评价】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确．①若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()②若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()③若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()④若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()提示①×可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＞0，但其存在两个解{－1,1}”，故①不正确；②×对于②可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＜0，但其存在三个解{－1,0,1}”故②不正确；③√；④×由零点存在性定理可知④不正确．题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．解(1)方法一令f(x)＝0，即x2－x－6＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，∴方程x2－x－6＝0有两个不相等的实数根x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点是x1＝－2，x2＝3.方法二由f(x)＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点为x1＝－2，x2＝3.(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，∴令f(x)＝0得x(x－1)(x＋1)＝0.∴f(x)的零点为x1＝0，x2＝1，x3＝－1.(3)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝(12x－1)(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.规律方法根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数y＝x－1的零点是________．解析令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.答案 1题型二函数零点存在性定理及应用【例2】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．规律方法由函数给定的区间[a，b]分别求出f(a)和f(b)，判断f(a)f(b)＜0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f(a)f(b)＞0，并不说明函数在[a，b]上没有零点．【训练2】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：则函数f(x)解析根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点．答案 3题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．解函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．规律方法判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【训练3】函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．答案 2【探究1(0,1)与(1,2)内，试求k的取值范围．解由题意可知，方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y＝7x2－(k＋13)x－k＋2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2＞0，7－(k ＋13)－k ＋2＜0，28－2k －26－k ＋2＞0.解之得－2＜k ＜43.故k 的取值范围是(－2，43)．【探究2】 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根， 因此a ＝1. 答案 1【探究3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围是________．解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符合题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＞0，得a ＜1， 又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点， f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a ，当－1a ＞0，即a ＜0时，图象开口向下，与x 轴正半轴有一交点，满足题意；当－1a ＜0，即a ＞0时，图象开口向上，与x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，a 的取值范围是(－∞，0)．答案 (－∞，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)求解探究2这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课堂达标1．函数f (x )＝1－x 21＋x 的零点是________．解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，又f (x )单调递增， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．答案 ③3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，并且α，β(α＜β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________． 解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a ＜α＜β＜b . 答案 a ＜α＜β＜b4．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．解析 二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )＜0，由图象知f (m ＋1)＞0，∴f (m )·f (m ＋1)＜0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点． 答案 15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两零点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13. ∴a 的取值范围为(－∞，－13)．课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
2018届高考数学(理)一轮复习：微专题1 函数的零点
微专题1函数的零点与性质在高考中都有所考查，函数的应用则体现了新高考考查应用的理念，在高考中对函数应用的考查主要体现在函数的零点问题上，是高考考查的热点、重点．函数的零点与方程的解、函数的图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下几个方面：函数零点的判断与求解、与函数零点相关的含参问题、与二次函数相关的零点问题．处理函数零点问题的常用方法：(1)解方程，令f(x)＝0，求解；(2)零点存在性定理，要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定；(3)数形结合，转化为两个函数的图象的交点的个数问题．函数的零点问题主要涉及了转化思想，如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数的值域问题．在解决函数的零点问题需要注意以下几点：(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判零点个数还是要根据函数的单调性、对称性或者结合函数的图象.判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理求：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的情况，常通过分解转化为两个函数图象，然后利用数形结合，看其交点有几个．其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(1)已知函数f (x )＝ln x －(12)x －2的零点为x 0，且x 0所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3||x 的零点个数是________．反思提炼：函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．函数零点存在性定理中的条件是零点存在的一个充分不必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．·变式训练·(1)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x >0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为________．·举一反三·函数f (x )＝|2x －1|，则函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0，1)上不同的零点个数为________．二、与函数零点相关的含参问题函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系对实际问题进行转化．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．反思提炼：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围．若方程可解，则通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．·变式训练·设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在上有零点，求m 的取值范围．三、与二次函数相关的零点问题2且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．反思提炼：解决与二次函数有关的零点问题： (1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组．·变式训练·已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．1.||k 的取值范围是________．2．函数f (x )＝x cos x 2在区间上的零点个数为________．3.已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数．若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________．4．已知f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．5．已知二次函数f (x )的最小值为－4，y ＝f (x )的两个零点为－1和3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x －4ln x 的零点个数．6．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．。
18版高中数学函数241函数的零点学案新人教B版802262191
18版高中数学函数241函数的零点学案新人教B版802262191内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯2．4.1函数的零点学习目标1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与某轴交点的横坐标之间的关系．知识点函数零点的概念思考1函数的“零点”是一个点吗？思考2函数一定都有零点吗？梳理1.函数的零点如果函数y＝f(某)在实数α处的值______，即________，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(某)＝0__________函数y＝f(某)的图象______________函数y＝f(某)________．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系判别式Δ二次函数y＝a某＋b某＋c(a＞0)的图象一元二次方程a某＋22Δ＞0Δ＝0Δ＜0有两相异实根某1，有两相等实根某1＝某2没有实根b某＋c＝0的根某2(某1＜某2)b＝－2a1二次函数y＝a某＋b某＋c的零点2有两个零点某1，某2有一个二重零点某1＝某2没有零点类型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．某2＋4某－12(1)f(某)＝－8某＋7某＋1；(2)f(某)＝.某－22反思与感悟求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f(某)＝0的实数根．(1)f(某)＝某－；某(2)y＝(a某－1)(某＋2)．类型二函数零点个数的判断例2已知函数f(某)＝|某－2某－3|－a，求实数a取何值时函数f(某)＝|某－2某－3|－a，①有两个零点；②有三个零点．222引申探究若f(某)＝某－2|某|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(某)的图象，判断它与某轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(某)＝f(某)－g(某)的零点个数就是方程f(某)＝g(某)的实数根的个数，也就是函数y＝f(某)的图象与y＝g(某)的图象交点的个数．跟踪训练2已知a∈R，讨论关于某的方程|某－6某＋8|＝a的实数解的个数．322类型三函数零点性质的应用例3已知关于某的二次方程a某－2(a＋1)某＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．反思与感悟解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3已知关于某的二次方程某＋2m某＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．4221．下列各图象表示的函数中没有零点的是()2．函数y＝某－4的图象与某轴的交点坐标及其函数的零点分别是()A．(0，±2)；±2C．(0，－2)；－222B．(±2,0)；±2D．(－2,0)；23．如果二次函数y＝某＋m某＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是()A．(－2,6)C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)2B．[－2,6]D．{－2,6}4．若函数f(某)＝某＋a某＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.5．若f(某)＝a某－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(某)＝b某＋3a某的零点是________．1．函数的零点实质上是函数图象与某轴交点的横坐标，方程f(某)＝g(某)的根是函数y＝f(某)与y＝g(某)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(某)－g(某)的零点．25答案精析问题导学知识点思考1不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(某)＝0的实数某.实际上是函数y＝f(某)的图象与某轴交点的横坐标．思考2不是．只有函数的图象与某轴有公共点时，才有零点．梳理1．等于零f(α)＝02.有实数根与某轴有交点有零点题型探究例1解(1)存在．因为f(某)＝－8某2＋7某＋1＝(8某＋1)(－某＋1)，所以方程－8某2＋7某＋1＝0有两个实根－18和1，即函数f(某)＝－8某2＋7某＋1的零点是－18和1.(2)存在．令f(某)＝0，即某2＋4某－12某－2＝0，解方程得某＝－6(某＝2舍去)，所以函数f(某)＝某2＋4某－12某－2的零点是－6.跟踪训练1解(1)∵f(某)＝某2－1某，∴某≠0.令f(某)＝0，即某3－1＝0，∴某＝1，∴f(某)＝某2－1某的零点为1.(2)①当a＝0时，令y＝0得某＝－2.②当a≠0时，令y＝0得某＝1a或某＝－2.ⅰ当a＝－12时，函数的零点为－2；ⅱ当a≠－12时，函数的零点为1a，－2.综上所述：当a＝0或－12时，零点为－2；当a≠0且a≠－112时，零点为a，－2.6例2解令h(某)＝|某－2某－3|和g(某)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(某)＝|某－2某－3|－a的零点个数．①若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.②若函数有三个零点，则a＝4.22引申探究解令f(某)＝0，得a－1＝2|某|－某.令y1＝a－1，y2＝2|某|－某.∵f(某)＝某－2|某|＋a－1有四个不同的零点，∴y1＝a－1，y2＝2|某|－某的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|某|－某的图象，如图所示．22222观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.跟踪训练2解令f(某)＝|某－6某＋8|，g(某)＝a，在同一坐标系中画出f(某)与g(某)的图象，如图所示，2f(某)＝|(某－3)2－1|.下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当01或a＝0时，原方程实数解的个数为2.例3解令f(某)＝a某－2(a＋1)某＋a－1，依题意知，函数f(某)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.27∴f(某)的大致图象如图所示：则a应满足a＞0，即4a－a＜0，或4a－a＞0，f＜0或a＜0，f＞0，a＋＋a－1＜0，a＋＋a－1＞0，解得0＜a＜5，∴a的取值范围为(0,5)．跟踪训练3解由已知抛物线f(某)＝某＋2m某＋2m＋1的图象与某轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得2ffff－＝2m＋1＜0，＝2＞0，＝6m＋5＞0＝4m＋2＜0，m∈R，1m＜－，2m＞－5，6m＜－，125151∴－＜m＜－，故m的取值范围是(－，－)．6262当堂训练1．D2.B3.C4.2－85.0，－18。
人教版A版高一数学必修一第三章第一节 函数的零点教学设计
人教版A版高一数学必修一第三章第一节函数的零点教学设计3.1.1 函数零点一、内容与解析（一）内容：函数零点（二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。
在上一章中学了几种基本初等函数，()f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数()f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。
教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。
二、教学目标及解析目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。
本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系五、教学过程1、自学（大约8分钟）问题1：函数零点是如何得到的？问题2：函数零点内容是什么？问题3：函数零点能解决什么问题？2、互学导学（大约32分钟）问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。
师生活动：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。
[高一数学]必修一第三章函数零点课件
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思考1:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象不 是连续的，结论还会一定成立吗？ 思考2:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时， 函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
思考3：函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点一定 有f(a)·f(b) <0吗？ 思考4：在满足定理的条件下，函数y=f(x)在区间 （a，b）内有几个零点？
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
第一课时 方程的根与函数的零点
函数的零点 对于函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
思考1：函数y=f(x)的零点是一个点吗？ 思考2：函数y=f(x)有零点可等价于哪些 说法？
函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 练习：求下列函数的零点：
y 2 log 3 x . y 2 8 ; （2 ） 一部分看不清楚，假设气温是连续 变化的 ，请将图形补充完整。这段 时间内是否一定有某时刻的气温为 0℃？为什么？
零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)· f(b)<0，那么函数y=f(x)在 区间（a,b）内有零点，即存在c∈ (a， b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0的根.
结论：函数y=f(x)在区间（a，b）内存在零点， 并且是单调的，则零点唯一
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数
作业：
P88练习：1题 P92习题3.1A组：2题
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函数的零点
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)
2．会求函数的零点．(重点、难点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
[基础·初探]
教材整理1零点的概念
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根．
(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．
函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．教材整理2零点存在性定理
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．()
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.()
2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
[小组合作型]
类型一求函数的零点
求下列函数的零点．
(1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．
【精彩点拨】根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．
【自主解答】(1)∵f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，
令f (x)＝0，得x＝0,1，－1，故f (x)的零点为x＝－1,0,1.
(2)令f (x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f (x)的零点为x＝3.
(3)令f (x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f (x)的零点为x＝4.
(4)当a＝0时，函数为f (x)＝－x＋2，令f (x)＝0，得x＝2.∴f (x)的零点为2.
当a＝1
2时，f (x)＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2x－1(x－2)＝
1
2(x－2)
2，
令f (x)＝0得x1＝x2＝2.∴f (x)有零点2.
当a≠0且a≠1
2时，令f (x)＝0得x1＝
1
a，x2＝2.∴f (x)的零点为
1
a，2.
综上，当a＝0时，f (x)的零点为2；当a＝1
2时，函数有零点2；当a≠0且a≠
1
2
时，f (x)的零点为1
a，2.
函数零点的求法
求函数f (x)的零点时，通常转化为解方程f (x)＝0，若方程f (x)＝0有实数根，则函数f (x)存在零点，该方程的根就是函数f (x)的零点；否则，函数f (x)不存在零点．
[再练一题]
1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点1和4，则函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点为________．
类型二
零点存在性定理及其应用
在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________．(填
序号)
①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，34. 【精彩点拨】 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．
【自主解答】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，12上． 【答案】 ③
1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．
[再练一题]
2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋3)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)
x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x ＋3
2
3
4
5
6
①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．
[探究共研型]
探究点
方程零点个数的判断
探究1 如何去求一个方程的零点？
【提示】 (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．
探究2 求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ 【提示】 解方程法．优点：解的准确，不需估算． 缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x －3x .
图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．
(1)函数f (x )＝e x －3的零点个数为________．
(2)函数f (x )＝ln x －
1
x －1
的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数．
【精彩点拨】 (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．
【自主解答】 (1)令f (x )＝0，∴e x －3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2) 在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝
1
x －1
的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1
的零点个数为2.
【答案】 (1)1 (2)2
(3)法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a .令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a .
作函数f (x )＝－x 2
＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为
12－254×(－1)
＝13
4，画出如图所示的简图：
由图象可以看出：
①当a＞13
4时，方程没有实数根；
②当a＝13
4时，方程有两个相等的实数根；
③当a＜13
4时，方程有两个不相等的实数根．
法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.
①当Δ＜0，即a＞13
4时，方程没有实数根；
②当Δ＝0，即a＝13
4时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＞0，即a＜13
4时，方程有两个不相等的实数根．
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
[再练一题]
3．若把(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．
1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)
2．函数f (x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．
3．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f (x)对应值表：
x 1234567
f (x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238 由表可知函数f (x)存在零点的区间有________个．
4．方程0.9x－2
21x＝0的实数解的个数是________．
5．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.。