2016春人教版数学九下282解直角三角形及其应用第1课时练习题1

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人教版九年级数学下册知识讲义-28.2解直角三角形的应用(附练习及答案)-

初中数学解直角三角形的应用学习目标一、考点突破1. 弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、方位角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应。

2. 能够恰当地把实际问题转化为数学问题，从而利用直角三角形的知识解决实际问题。

二、重难点提示重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

难点：如何添作适当的辅助线构造直角三角形。

考点精讲常见应用问题类型1. 仰角和俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角。

2. 方位角：指北（或指南）方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角。

北西南东ABCDO60°70°30°45°3. 坡度和坡角：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h∶l。

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝hl＝tanα。

BChlα【核心突破】（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”。

（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。

（3）工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡。

【重要提示】仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北（南）方向而言的。

典例精讲例题1如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图。

已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A. 10.8米B. 8.9米C. 8.0米D. 5.8米思路分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到。

人教版数学九年级下28.2.1解直角三角形同步练习.pdf

①观察图２８．２．１ ⁃２２中的４幅图，根据图中已知元素，可以求出其余未知元素的三角形是．
图Ａ
图Ｂ
图２８．２．１ ⁃２２
图Ｃ
图Ｄ
②如图２８．２．１⁃２３，在△ＡＢＣ中，已知∠Ｂ＝４０°，ＢＣ＝１２，ＡＢ＝１０，能否求出ＡＣ？如果能，请求出ＡＣ的长度
ａ
ａ
ＡａｓｉｎＢ
ＢｂｃｏｎｓＢ
Ｃ
Ｄ
ｓｉｎＢ
ｃｏｓＢ
４
（４）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝，ＢＣ＝８，则△ＡＢＣ的面积为．
３
（５）根据条件解直角三角形．
①在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝８，∠Ｂ＝６０°．
②在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝４５°，ｂ＝６．
（２）Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边ａ、ｂ、ｃ，那么下面正确的是（）．
Ａｂ＝ａ·ｔａｎＡ
Ｂｂ＝ｃ·ｓｉｎＡ
Ｃａ＝ｃ·ｃｏｓＢ
Ｄｃ＝ａ·ｓｉｎＡ
（３）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果已知∠Ａ的对边ａ和∠Ｂ，则ｃ等于（）．
积等于（）
Ａａｂ·ｓｉｎα
Ｂａｂ·ｃｏｓα
Ｃａｂ·ｔａｎα
图２８．２．１ ⁃１７
图２８．２．１ ⁃１８
Ｄ
１
ａｂ·ｓｉｎα
２
图２８．２．１ ⁃１９
１
（３）如图２８．２．１ ⁃１８，ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的高，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝３，ＡＤ＝２，则ｓｉｎＢ的值是（）

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14解直角三角形的应用测试题时间：100分钟总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等小明将PB 拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处如图从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东和北偏东方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 3 / 1411. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，，则CE 的长为______ 米12. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为，测得底部C 的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为______ 米精确到1米，参考数据：13. 小明沿着坡度i 为1：的直路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A 滑行至B ，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米参考数据：，，16. 如图，为测量某栋楼房AB 的高度，在C 点测得A 点的仰角为，朝楼房AB 方向前进10米到达点D ，再次测得A 点的仰角为，则此楼房的高度为______ 米结果保留根号．17. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为、，如果此时热气球C 处的高度为200米，点A 、B 、C 在同一直线上，则AB 两点间的距离是______米结果保留根号．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是：，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解：设每层楼高为x 米，由题意得：米，，，在中，，，在中，，，，，解得：，则居民楼高为米． 22. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过点C 作，则有，，；由题意得：，在中，，在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．24. 解：在中，米，，，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 9 / 14，，．故选：A ．设，在中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在中，，，在中，，．故选B ．先在中利用正弦的定义计算出AD ，然后在中利用正弦的定义计算AC 即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成：m 的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i 与坡角之间的关系为：． 3. 解：在中，米，米，地毯的面积至少需要米；故选：D ．由三角函数表示出BC ，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B 作于点N ．由题意得，海里，．作于点N ．在直角三角形ABN 中，．在直角中，，则，所以海里．故选B ．过点B 作于点根据三角函数求BN 的长，从而求BM 的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，．故选A ．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 6. 【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 11 / 14 故选C ．过D 作于G ，于H ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A 、D 作，，垂点分别为F 、G ，如图所示．在中，米，，，，．在中，，米，．在中，，，，．即CE 的长为8米．故答案为8．分别过A 、D 作下底的垂线，设垂足为F 、在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG 的长；在中，由勾股定理求CG 的长，在中，根据正切函数定义得到GE 的长；根据即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该建筑物的高度为：，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 13. 解：如图，过点B 作于点E ，坡度：：，：，，，．他升高了25m ．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 13 / 14在中，，，，．故答案为：．先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长，根据即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作于E ，于F ，斜坡CD 的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC 是矩形，，，斜坡AB 的坡比为1：3，，即，，故答案为：130m ．作于E ，于F ，根据坡度的概念分别求出AE 、DF ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：：，则．故答案是：．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，．故答案为：．作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x 米，由求出的长，进而表示出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，同理表示出，由求出AB 的长即可．此题属于解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。

人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用同步测试题(有答案)

28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（）A.BC =AC sin αB.CD =AD ⋅tan αC.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=15，sin A=1，则BC=()3A.5B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上D.∠ACB=50∘C.cos∠BAC=√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AC＝________．11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=AC，BC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，，在Rt△ADC中，tanα=CDAD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，cosα=BD，AB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.故选D.3.【答案】D解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，∴ cos∠BAC=√32，故C正确；∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，BC=9（米）．∴ AC=32故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=√AC2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x=5(√3+1)．∴ 解得：x=√3−1即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。

2016春人教版数学九下282《解直角三角形及其应用》第3课时练习题1

第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题要点感知1 方向角一般就是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南)偏东（西）××度,若正好为45度，则表示为正西（东）南（北)、预习练习1—1 如图,某人从O 点沿北偏东30°的方向走了20米到达A 点,B 在O 点的正东方，且在A 的正南方,则此时AB 间的距离就是米、(结果保留根号)要点感知 2 坡面的铅垂高度（h ）与水平长度（l)的比叫做坡面的 (或坡比)，记作i,即、坡面与水平面的夹角叫做 ,记作tan α,有i==lh 、预习练习2-1 （2013·聊城)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1∶3,则AB 的长为（）A 、12米B 、43米C 、53米D 、63米知识点1 利用方向角解直角三角形1.王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地,再从B 地向正南方向走200 m 到C 地,此时王英同学离A 地（）A、503mB、100 mC、150 mD、1003m2、（2014·珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A 处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处、(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示);（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间、（结果精确到0、1小时)(参考数据:2≈1、41，3≈1、73,6≈2、45）知识点2 利用坡度(角)解直角三角形3、（2014·上海)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2、4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米、4、(2014·巴中)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米,坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2、5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度、(精确到0、1米,参考数据:2≈1、414，3≈1、732)5、(2014·邵阳)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号、一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间、(参考数据:sin53°≈0、8，cos53°≈0、6)6、（2014·遵义)如图,一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶3,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房A B的高、(注:坡度i就是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）挑战自我7、(2014·南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救、某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53、5°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140海里处、（参考数据:sin36、5≈0、6，cos36、5≈0、8,tan36、5≈0、75）（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处、参考答案课前预习预习练习1-13要点感知2 坡度i=hl坡角tanα预习练习2-1 A当堂训练1、D2、(1)过点M 作MD ⊥AB 于点D,∵∠AME=45°,∴∠AMD=∠MAD=45°、∵AM=180海里,∴MD=AMcos45°=902海里、答：渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离就是902海里、（2)在R t △DMB 中,∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°、∵MD=902海里，∴MB=30MD cos ︒=606海里、 ∴606÷20=36≈3×2、45=7、35≈7、4（小时）、答：渔船从B 到达小岛M 的航行时间约为7、4小时、3、264、作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E,F,则四边形BCFE 就是矩形、由题意得，BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB 的坡度i 为1∶2、5,在Rt △ABE 中，BE=20米,BE AE =12.5， ∴AE=50米、在Rt △CFD 中，∠D=30°,∴DF=CF tan D∠3 ∴3≈90、6(米)、答：坝底AD 的长度约为90、6米、课后作业5、过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D 、由题意，得∠CAD=30°,∠CBD=53°,AC=80海里,∴CD=40海里、在Rt △CBD 中，sin53°=CD CB , ∴CB=53CD sin ︒≈400.8=50（海里)、 5040=1、25（小时）、答:海警船到达C 处需1、25小时、6、过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中,∵i=EF CF =13=tan ∠ECF, ∴∠ECF=30°、∴EF=12CE=10米,CF=103米、 ∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+103)米、在Rt △AHE 中,∵∠HAE=45°，∴AH=HE=(25+103）米、∴AB=AH+HB=（35+103）米、答:楼房AB 的高为（35+103）米、7、（1）过点P 作PH ⊥AB 于点H ，根据题意，得∠PAH=90°—53、5°=36、5°,∠PBH=45°，AB=140海里、设PH=x 海里，在Rt △PHB 中，tan45°=x BH ， ∴BH=x 、在Rt △PHA 中，tan36、5°=x AH ， ∴AH=36.5x tan =43x 、又∵AB=140,∴43x+x=140，解得x=60, 即PH=60、答:可疑漂浮物P 到A 、B 两船所在直线的距离为60海里、(2)在Rt △PHA 中，AH=43×226080+=100、救助船A 到达P 处的时间t A =100÷40=2、5(小时）;在Rt △PHB 中，226060+2救助船B 到达P 处的时间t B 22小时)、∵2、5＜2∴救助船A 先到达P 处、。

2016春人教版数学九下282《解直角三角形及其应用》练习题1

28、2 解直角三角形及其应用 28、2、1 解直角三角形要点感知由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程,叫做解直角三角形,解直角三角形的依据(∠C=90°）:(1)三边之间的关系: (勾股定理）； (2)两锐角之间的关系: ；（3)边角之间关系:sinA= ，sinB= ；cosA= ，cosB= ;tanA= ，tanB= 、预习练习如图，已知∠C ＝90°,∠A ＝28°,AC ＝6米,AB ≈ 米、(精确到0、1)知识点1 已知两边解直角三角形1、在△ABC 中,∠C=90°,AC=3，AB=4，欲求∠A 的值，最适宜的做法就是( ） A 、计算tanA 的值求出 B 、计算si nA 的值求出 C 、计算cosA 的值求出D 、先根据sinB 求出∠B ，再利用90°-∠B 求出2、在Rt △ABC 中,∠C=90°，a=4,b=3，则cosA 的值就是（） A 、53 B 、54 C 、34D 、45 3、在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=20,c=20，2则∠A= ，∠B= ，b= 、 4、如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知BC=26，AC=62，解此直角三角形、知识点2 已知一边一锐角解直角三角形 5、如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=6,cosB=32，则BC 的长为（ ) A 、4 B 、25 C 、131318 D 、1313126、如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为（ )A 、4、5 cm 2B 、93 cm 2C 、183 cm 2D 、36 cm 2 7、（2013·牡丹江）在Rt △ABC 中,CA=CB ，AB=92，点D 在BC 边上,连接AD,若tan ∠CAD=31,则BD 的长为、 8、在Rt △ABC 中,∠C=90°,c=83,∠A=60°，解这个直角三角形、9、如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠B=55°,AC=4，解此直角三角形、(结果保留小数点后一位）10、在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知∠A,b ，解此直角三角形就就是要求出( ) A 、c B 、a,cC 、∠B,a ，cD 、∠B,a,c ，△ABC 的面积11、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=1，BC=2,则下列结论中正确的就是( ） A 、sinB=55B 、cosB=52C 、tanB=2D 、cosB=2112、(2014·新疆）如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=37°，BC=32,则AC= 、 (参考数据：sin37°≈0、60,cos37°≈0、80,tan37°≈0、75）13、（2013·攀枝花）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=53,BE=4,则tan ∠DBE 的值就是、14、根据下列条件解Rt △ABC(∠C=90°）、 (1)∠A=30°,b=3； (2)c=4,b=22、15、如图,△ABC 中,∠C=90°,点D 在AC 上，已知∠BDC=45°，BD=102，AB=20、求∠A 的度数、16、（2014·济宁）如图，在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°，AC=23,求AB 的长、挑战自我17、探究:已知如图1，在△ABC 中,∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c,AC=b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；应用:（2014·孝感)如图2，在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交成的锐角为α,若AC=a ，BD=b,试用含b ，c ，α的式子表示□ABCD 的面积、参考答案课前预习要点感知（1）a 2+b 2=c 2 (2）∠A+∠B=90° （3）a c b c b c a c a b b a预习练习 6、8 当堂训练1、C2、A3、45° 45° 204、∵tanA=BC AC =2662=33， ∴∠A=30°、∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°,AB=2BC=46、 5、A 6、B 7、6 8、∵∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30 ∵sinA=a c, ∴a=c ·sinA=83×sin60°=83×32=12, ∴b=22c a -=()228312-=43、9、∠A=90°—∠B=90°-55°=35°、∵tanB=ACBC , ∴BC=AC tanB =455tan ︒≈2、8、∵sinB=ACAB ,∴AB=AC sinB =455sin ︒≈4、9、课后作业10、C 11、A 12、24 13、214、(1)∠B=90°—∠A=90°—30°=60°、∵tanA=a b, ∴a=b ·tanA=3×33=1、 ∴c=2a=2、（2)由勾股定理得：a=22c b -=()22422-=22、∵b=22，a=22,∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°、 15、在Rt △BDC 中,∵sin ∠BDC=BCBD， ∴BC=BD ×sin ∠BDC=102×sin45°=10、在Rt △ABC 中,∵sin ∠A=BC AB =1020=12， ∴∠A=30°、16、过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC=∠BDC=90°、∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD 、∵∠A=30°，AC=23 ∴CD=3, ∴BD=CD=3、由勾股定理得：AD=22AC CD -=3、∴AB=AD+BD=3+3、17、探究:过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D 、∵AB=c,∠A=α， ∴BD=c ·sin α、∴S △ABC =12AC ·BD=12bcsin α、应用:过点C 作CE ⊥DO 于点E 、∴sin α=EC CO、 ∵在□ABCD 中，AC=a ，BD=b, ∴CO=12a,DO=12b 、∴S△COD=12CO·DO·sinα=18absinα、∴S△BCD=12CE×BD=12×12asinα×b=14absinα∴S□ABCD=2S△BCD=12absinα、。

学年度新人教版初中数学九年级下册解直角三角形及其应用答案解析版-精品试卷

新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1. 如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm答案：C知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC ，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC 的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米 C10031+米 D. 10031-米答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中,∵∠ACB=30°,∴ABBC =tan30°=33.∴BC=3AB.设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100.∴x+100=3x,米.∴x=10031故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4. 某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米 B．20米 C．40米 D．20答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3 ,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x2+（3x）2=202,解得x=10．故选A．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答．5. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴AB BD=tan30°, ∴BD=tan 30AB=3AB .∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°.∴BC=tan 60AB=33AB. ∵CD=20,∴CD=BD -BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103．故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150mD．503 m答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3,∴BCAC =3 3.∵BC=50m,∴AC=503m.∴AB=22AC BC=100m.故选：A．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．根据题意可得BCAC =33，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．7. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100（3+1）米答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100, ∵CD⊥AB 于点D,∴在Rt△ACD 中，∠CDA=90°，tanA=CD AD .∴AD=tan CD A =10033=1003. 在Rt△BCD 中，∠CDB=90°，∠B=45°,∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米．故选D ．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长．图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．8. 为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交BE 于D ，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组答案：C知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FD，求出AB；AB BD④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD即可解答．9. 如图，△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC的面积是（）A. 212B. 12C.14D.21答案：A知识点：解直角三角形的应用解析：解答：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BD AB．∴∠B=45°．∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3．∴CD=2253=4．∴BD=3．则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．10. （2011 荆州）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5714 B. 35C. 217D. 2114答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：延长BA作CD⊥BD，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°．∴2AD=AC=2，∴AD=1，CD=3，∴BD=5，∴BC=27，∴sinB=327=21 14．故选：D．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里答案：D知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°，在直角三角形ABC 中，BC=ABtan30°=12×33=43（海里）．故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ．12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC中，tanα=ABm，∴AB=mtanα．故选B．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A. (533+32)m B. (53+32)m C. 533m D.4m知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14. 一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303)答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则OA=30海里，OC=303海里．AC=12因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B. 533km C. 52km D. 53km答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sin ABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．二、选择题1. 数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：103米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC 中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3. 如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD =(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4. 如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5. 如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．三、解答题1. 为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）答案：隧道AB的长为245m．知识点：解直角三角形解析：解答：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=12BC=100m，BD=BCcos30°=200×3=1003≈173（m），2∵∠CAB=54°，在Rt△ACD 中，AD=tan 45o CD≈1001.38≈72（m ）， ∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）．答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C 作CD⊥AB 于D ，然后在Rt△BCD 中，利用三角函数的知识，求得BD ，CD 的长，继而在Rt△ACD 中，利用∠CAB 的正切求得AD 的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30m ，张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室，他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°，测得底部C 处的俯角为45°，求建筑物CD 的高度．（3取1.73，结果保留整数．）答案：建筑物CD的高约为47 m．知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，=103．∴DE=PE×tan30°=30×33在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE ﹢CE即可求得结果．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1 （1）如果∠BCD=30°，求AC；（2）如果tan∠BCD=13，求CD．答案：（1）AC=3；（2）CD=31010知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵∠DCB=30°，∴∠B=60°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=ACBC=3，又BC=1，则AC=3；（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=BDCD =13，设BD=k，则CD=3k，又BC=1，利用勾股定理得：k2+（3k）2=1，解得：k=1010或k=-1010（舍去），则CD=3k=31010．分析：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，比例的性质，以及特殊角的三角函数值，是一道多知识点的综合题．（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B 的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC 的长代入，即可求出AC的长；（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD的比值为1：3，根据比值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长．4. 如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C 之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73）答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=3x，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1) ∴AC=2x≈10.3（海里）．答：A、C之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE 的比），斜坡DC的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）答案：（1）斜坡AB的长为610m；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD的周长为（37+610+313）m．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：（1）∵AEBE =i=13,AE=6，∴BE=3AE=18，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AB=22AE BE=610，答：斜坡AB的长为610m；（2）过点D作DF⊥BC于F，可得四边形AEFD是矩形，故EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∵DFCF =i=23，DF=AE=6，∴CF=32DF=9，∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32，在Rt△DCF中，根据勾股定理得：DC=22DF CF=313，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313，答：拦水坝的横断面梯形ABCD的周长为（37+610+313）m．分析：此题主要考查了坡度的定义以及勾股定理的应用，根据已知坡度定义得出BE，FC的长是解题关键．（1）根据坡度的定义得出BE的长，进而利用勾股定理得出AB的长；（2）利用矩形性质以及坡度定义分别求出CD，CF，EF的长，进而求出梯形ABCD的周长即可．。

2016春人教版数学九下282《解直角三角形及其应用》同步练习1

人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形及其应用》同步检测1附答案1、=︒-2)30tan 31( _________ [ ] A 、31-- B 、3+1 C 、 3－1 D 、1－32、直角三角形两锐角的正切函数的积为 __________、 [ ]A 、2B 、1C 、42D 、 353、在△A BC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,那么c osB= __________、[ ]A 、52B 、 53C 、54D 、 55[4、在△ABC 中,CD ⊥AB 于 D 、则sin ∠A CD=_______cot ∠BCD=_________5、在△ABC 中,∠C=90°,设AC=b 、若b 等于斜边中线的34,则△ABC 的最小角的正弦=________,较大锐角的余切=______、6、在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 就是方程52x -14x+8=0的一个根,求sinA,t anA 、 7、等腰三角形一腰上的高为1,且这条高与底边的夹角的正弦值为23,求该直角三角形的面积。

8、(1)求边长为8,一内角为120°的菱形的面积。

(2)在△ABC 中,∠A =75°,∠B=60°,AB=22,求AC 的长答案 1、C 2、B 3、C 4、DB CD AC AD ⋅ 5、552,32 6、解:∵sinA 就是方程52x -14x+8=0的一个根则5A 2sin -14sinA+8=0 ∴sinA=54,sinA=2(舍去)tanA=3437、38、(1)323(2)23。

人教版九年级数学(下)28.2.2.1解直角三角形应用举例第1课时

28.2.2 解直角三角形应用举例第1课时
【基础梳理】 1.仰角、俯角的概念 (1)测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线_上__方__的角叫做仰角. (2)视线在水平线_下__方__的角叫做俯角(如图所示).
2.利用解直角三角形解决实际问题的步骤 (1)把实际问题建立_数__学__模__型__. (2)根据已知条件,选用适当的_三__角__函数解直角三角形. (3)得到_数__学__问题的答案. (4)得到_实__际__问题的答案.
【自我诊断】 1.判断对错: (1)视线与水平线的夹角叫仰角.( × ) (2)水平线下方的角叫俯角.( × ) (3)仰角可以是钝角.( × )
A.6sin 75米 C. 6 米
tan 75
B. 6 米 cos 75
D.6tan 75米
3.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为( D )
∴BE=DE. 设EC=x,则DE=BE=2EC=2x, DC=EC+DE=x+2x=3x, BC＝ BE2 EC2 3x．由题意可知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=60, ∴△ACD为等腰直角三角形,∴AC=DC,
∴ 3x+60=3x, 解得x=30+10 3. 则DE=2x=60+20 3. 答:塔高约为(60+20 3)m.
合科学要求的100°?
(参考数据: sin 69 14，cos 21 14 , tan 20 4 ,
tan43°≈
14
15
15
,所有结果精确到个位)
11
15

(含答案)九年级数学人教版下册课时练第28章《28.2.1 解直角三角形》(1)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第28章锐角三角函数28.2.1解直角三角形1．如果α是锐角，且cosα＝45，那么sinα的值是()A.925B.45C.35D.16252．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，tanB＝2，那么AC为() A．3B．4C．5D．63．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则sinA的值是()A.513B.1213C.512D.1254．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则tanA＝()A.35B.45C.34D.435．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝45，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝10，则OA的值为()A．3或5B．5C．4或5D．46．Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝45，AB＝10，那么BC＝______，tanB＝______.7．平行四边形的两相邻边的边长分别为20和30，且其夹角为120°，则该平行四边形的面积为___________.8．在△ABC，∠C＝90°，S＝503，c＝20，则∠B＝___________．9．离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为___________米(用含α的三角函数表示)．10．用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是______________.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：(1)c ＝20，∠A ＝45°；(2)a ＝8，∠A ＝60°；(3)a ＝10，c ＝102；(4)a ＝155，b ＝1515.12．某片绿地的形状如图所示，其中∠A ＝60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ，求AD ，BC 的长．(精确到1m ，3≈1.732)13．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若tanA＝12，c＝2，则b 的值等于()A.55 B.255 C.355 D.45514．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.则tan∠DAE＝____．第14题图15．如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC ＝10千米，∠CAB ＝25°，∠CBA ＝37°.因城市规划的需要，将在A ，B 两地之间修建一条笔直的公路．第15题图(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)16．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换：(1)如图1，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；(2)如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G 处，连接CG，请你画出图形，并求出sin∠CGF的值．参考答案1—5.CDACA6.8347.30038.30°或60°9．(1.5＋20tan α)10.sin35°＝b a或b ≥a 11.(1)∠B ＝45°，a ＝b ＝10 2.(2)∠B ＝30°，c ＝1633，b ＝83 3.(3)b ＝10，∠A ＝∠B ＝45°.(4)c ＝305，∠A ＝30°，∠B ＝60°.第12题图12．延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt △ABE 中，∠A ＝60°，AB ＝200m ，∴BE ＝AB·tanA ＝2003(m)．AE ＝AB cos60°＝20012＝400(m)．在Rt △CDE 中，∠CED ＝30°，CD ＝100m ，∴DE ＝CD·cot ∠CED ＝1003(m)，CE ＝CDsin ∠CED ＝200m.∴AD ＝AE －DE ＝400－1003≈227(m)，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m)．13.D 14.2－1215.(1)如图，作CH ⊥AB 于点H ，第15题图在Rt △ACH 中，CH ＝AC·sin ∠CAB ＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2(千米)，AH ＝AC·cos ∠CAB ＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt △BCH 中，BH＝CH÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．(2)BC＝CH÷sin37°≈4.2÷0.60＝7.0(千米)，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：改直后的路程缩短了2.3千米．16.(1)由平移可知AD＝BE，从而可得S△DBE＝S△DFA，S△ABC＝S△DFE，S△DFE＝S△DFB＋S△DBE，S△ABC＝S四边形AFBD；(2)若四边形AFBD是正方形，则∠AFB＝90°，AF＝BF，又CF＝BF，从而可知AF＝CF＝BF，从而可得∠BAC＝90°，AB＝AC，即△ABC为等腰直角三角形；(3)图略，由(2)知，△ABC为等腰直角三角形，从而可知GF＝2CF，设CF ＝k，则GF＝EF＝CB＝2k，由勾股定理，得：CG＝5k，从而可求得sin∠CGF＝5 5 .。

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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
要点感知由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形，解直角三角形的依据(∠C=90°)：
(1)三边之间的关系： (勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：； (3)边角之间关系：sinA= ，sinB= ；cosA= ，cosB= ；tanA= ，tanB= . 预习练习如图，已知∠C ＝90°，∠A ＝28°，AC ＝6米，AB ≈ 米.(精确到0.1)
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是( ) A.计算tanA 的值求出 B.计算sinA 的值求出 C.计算cosA 的值求出
D.先根据sinB 求出∠B ，再利用90°-∠B 求出
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA 的值是( ) A.53
B.54
C.3
4 D.
4
5 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=20，c=20,2则∠A= ，∠B= ，b= . 4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知BC=26,AC=62，解此直角三角形.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
5.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，cosB=
3
2
，则BC 的长为( ) A.4 B.25 C.
131318 D.13
13
12
6.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为( ) A.4.5 cm 2 B.93 cm 2 C.183 cm 2 D.36 cm 2
7.(2013·牡丹江)在Rt △ABC 中，CA=CB ，AB=92，点D 在BC 边上，连接AD ，若tan ∠CAD=
3
1
，则BD 的长为 . 8.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=83，∠A=60°，解这个直角三角形.
9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，AC=4，解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)
10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知∠A ，b ，解此直角三角形就是要求出( ) A.c B.a ，c
C.∠B ，a ，c
D.∠B ，a ，c ，△ABC 的面积
11.在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是( ) A.sinB=
5
5
B.cosB=52
C.tanB=2
D.cosB=
2
1
12.(2014·新疆)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= . (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
13.(2013·攀枝花)如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=5
3
，BE=4，则tan ∠DBE 的值是 .
14.根据下列条件解Rt △ABC(∠C=90°). (1)∠A=30°，b=3；
(2)c=4，b=22.
15.如图，△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，已知∠BDC=45°，BD=102，AB=20.求∠A 的度数.
16.(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长.
挑战自我
17.探究：已知如图1，在△ABC中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b,试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；
应用：(2014·孝感)如图2，在□ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，试用含b，c，α的式子表示□ABCD的面积.
参考答案
课前预习
要点感知(1)a2+b2=c2 (2)∠A+∠B=90°(3)a
c
b
c
b
c
a
c
a
b
b
a
预习练习 6.8 当堂训练
1.C
2.A
3.45° 45° 20
4.∵tanA=
BC AC =26
62=3， ∴∠A=30°.
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=46. 5.A 6.B 7.6 8.∵∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30 ∵sinA=
a c
, ∴a=c ·sinA=83×sin60°=83×
3
=12， ∴b=2
2
c a -=
()
2
28312-=43.
9.∠A=90°-∠B=90°-55°=35°.
∵tanB=
AC
BC ， ∴BC=AC tanB =4
55tan ︒≈2.8.
∵sinB=AC
AB ，
∴AB=AC sinB =4
55sin ︒
≈4.9.
课后作业
10.C 11.A 12.24 13.2
14.(1)∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
∵tanA=
a b
， ∴a=b ·3×33
=1. ∴c=2a=2.
(2)由勾股定理得：22c b -()
2
2
422
-2∵22C=90°， ∴∠A=∠B=45°.
15.在Rt △BDC 中，∵sin ∠BDC=
BC
BD
， ∴BC=BD ×sin ∠2sin45°=10.
在Rt △ABC 中，∵sin ∠A=
BC AB =1020=1
2
， ∴∠A=30°.
16.过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD.
∵∠A=30°，AC=23 ∴CD=3， ∴BD=CD=3. 由勾股定理得：AD=
22AC CD =3.
∴AB=AD+BD=3+3.
17.探究：过点B 作BD ⊥AC,垂足为D.
∵AB=c ，∠A=α， ∴BD=c ·sin α.
∴S △ABC =
12AC ·BD=1
2
bcsin α. 应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E.
∴sin α=
EC CO
. ∵在□ABCD 中，AC=a ，BD=b ，
∴CO=12a ，DO=12b. ∴S △COD =1
2CO ·DO ·sin α=18absin α.
∴S △BCD =12CE ×BD=12×12asin α×b=1
4
absin α
∴S □ABCD =2S △BCD =1
2
absin α.。