债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量〔例如利息归还〕。
通过计算持续期〔久期〕就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数〔1年、2年、3年〕。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与归还期不是同一概念：归还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比方利息的支付、部分本金的提前归还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于归还期。
持续期与归还期呈正相关关系，即归还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，归还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值〔理论价格〕对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +•-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
久期和凸性分析
0
5年 10年 20年 15 55 210
10％
7.3% 12.3% 31.2%
从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的
永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3） 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。
首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。
P k 9% 10% 0.01 d ( ) (10)( ) (10)( ) 0.0909 或9.09 ％ P 1 k 1 10% 1.10
这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33% 的变化幅度。这个未预料出的9.33%9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 550 500 450 400 350 300
什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？ 梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时 间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券， 每一段时间都如此,接连不断，这样，投资者在以 后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。 梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种 期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买 入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相 等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金 再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终 持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都 是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相 等的阶梯，故称“梯形投资法”。这种方法的特 点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于 根据市场利率变动转换证券。
债券的凸性与免疫
凸度与免疫
目录 | CONTENTS
01债券的ຫໍສະໝຸດ 度02债券的免疫01
债券的凸度
债券的凸度
凸度
凸度 (Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动
关系曲线的曲度。
C
1 P
2P y 2
债券的凸度
久期的缺陷
现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不 是线性关系，而是非线性关系 。如果只用久期来估计收益率 变动与价格变动率之间的关系，那么收益率上升或下跌一个 固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与 事实不符
债券的凸度
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP D*dy 1 C dy2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
P D*y 1 Cy2
P
2
02
债券的免疫
债券的免疫
★ 免疫技术：由雷丁顿 (Readington, 1952) 首先提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资 产免受利率波动影响的策略。 ★ 两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险，例如利率上升资产和负债的利息会增加，同 时资产和负债的价格会下降。 ★ 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格 风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 ★ 免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。
债券的免疫
★ 久期免疫的缺陷 久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动 带来的预期收益或损失。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
投资学简答
A卷B卷3、久期：它是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
就是每一期息票期限或债券本金偿付的加权平均。
4、凸性：价格-收益曲线的曲率叫做债券的凸性。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
5、免疫：免疫是保护债券组合避免利率风险的一种策略。
管理者选择久期等于他们负债的到期期限的债券组合，利用价格风险和再投资利率风险互相抵消的特点，保证管理者不受损失。
6、期货：与现货相对，是指现在进行买卖，但是在在未来的某一时期以事先商定的价格买入或卖出某种商品或金融资产的标的物。
1、投资者三种类型的区别（去年考试简答题1）答：风险厌恶者只有在附加风险可以得到风险溢价补偿时才愿意承担风险，这种投资者衡量潜在的风险收益的补偿关系来进行投资选择。
风险中性者只关注预期收益，而不考虑风险，这种投资者将选择具有最高预期收益的投资项目。
风险喜好者将参与公平游戏和赌博，这些投资者在考虑预期收益时还考虑了面对风险的乐趣。
3、资产资本定价模型的假设条件(P184-185)（1）市场存在着大量的投资者，每个投资者的财富相对于财富总和来说是微不足道的；（2）所有投资者的投资持有期都相同；（3）投资者投资范围仅限于公开金融市场上的交易资产，比如股票、债券、借入或借出无风险资产账款等；（4）投资者不用缴纳证券收入所得税和支付交易费用（佣金和服务费用等）；（5）所有投资者都是理性的，都追求投资组合的方差最小化；（6）所有投资者对证券的分析方法相同，对经济时局的看法也是一致的。
8、（资本市场线和证券市场线的区别）1、资本市场线是指表明有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简单的线性关系的一条射线。
由风险资产和无风险资产构成的投资组合。
资本市场线通过标准来衡量每单位总风险的风险溢价（超过无风险收益的收益）。
债券的久期和凸性
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
精选ppt
4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T t1
t
[
Ct (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
2. 到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小 3. 到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支
付越分散），凸性越大。 4. 凸性减少了债券的波动性。
精选ppt
30
债券的凸性
凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券 价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅 度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大 的债券。
根据泰勒公式
p(y) dP 1 dy 1 1 d2P(dy)2 p dy p 2 p dy2
Ddy 1c(dy)2 2
精选ppt
31
债券的凸性
例 到期收益率 调整久期
5％ 4.33年
债券价格 凸性
100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？
pD D*py4.331002%8.66
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
久期与凸性最通俗的理解
久期与凸性最通俗的理解
久期是证券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性，同时考虑到利率变化和到期收益变化是成正比的，故当利率变化是，久期大的债券对这个变化的敏感度会越高，表现便是亏得越大或者赚的更多。
凸性是对久期的补充在价值变动的百分比过大时，仅用久期进行利率敏感性分析误差会比较大，凸性就是用来减少误差的。
久期也称持续期，是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
例如：如果一只债券收益率下降了10BP，大概涨了多少钱？
10BP*久期
例如一只4.5久期的债券收益率下降10BP大概上涨了4.5*10=45 也就是0.45元。
如果债券市场上涨，什么样的券涨得更多？久期长，凸性大。
通俗点的说法：久期：与期限相关，可以反映价格对利率变动的敏感性，久期越长，对利率敏感性越高。
凸性：债券涨跌的弹性。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券估值利率期限结构久期和凸性
债券估值利率期限结构久期和凸性债券估值是指根据市场上的利率水平和债券的特性来计算债券的价格。
债券的价格受到利率期限结构、久期和凸性等因素的影响。
利率期限结构是指不同期限的债券在市场上的利率水平。
通常情况下，长期债券的利率收益率要高于短期债券的利率收益率。
这是因为长期债券面临的风险更高，投资者需要获得更高的回报来补偿这种风险。
当利率期限结构呈正斜率时，说明市场预期未来的利率将上升；当利率期限结构呈负斜率时，说明市场预期未来的利率将下降。
利率期限结构的变动将直接影响到债券的估值。
久期是用来衡量债券价格对利率变动的敏感程度的指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感程度就越高。
久期可以分为修正久期和加权久期。
修正久期是指债券价格对利率变动的弹性，加权久期是修正久期与债券价格的比率。
债券价格的变动可以通过久期来估计，当利率上升时，债券价格下降；当利率下降时，债券价格上升。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲线特性的指标。
凸性可以分为正凸性和负凸性。
正凸性意味着当利率变动时，债券价格变动幅度大于久期所预测的价格变动幅度；负凸性则相反，债券价格变动幅度小于久期所预测的价格变动幅度。
凸性的存在使得债券价格对利率变动具有非线性的特点。
债券估值的计算可以通过利用上述因素来进行。
首先需要确定债券的现金流量，包括债券的票息和到期本金。
然后根据当前市场利率水平计算债券的现金流量的现值。
利用久期和凸性的概念，可以对债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征进行估计。
通过对债券价格进行敏感性分析，可以评估债券投资的风险和回报。
在实际应用中，债券估值是金融机构、投资者和资产管理公司等机构的重要工具。
通过债券估值，投资者可以获得债券的合理市场价格，从而进行合理的投资决策。
同时，债券估值也有助于机构进行风险管理和资产配置，以实现收益最大化或风险最小化的目标。
总之，债券估值是根据利率期限结构、久期和凸性等因素来计算债券价格的过程。
利用这些指标，投资者可以衡量债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征，从而做出理性的投资决策。
债券价格波动和利率风险衡量方法——“久期”与“凸性”运用
$396,389.88
1,189,169.64
$527,594.93 0.683013455
$360,354.44
1,441,417.74
$527,594.93 0.620921323
$327,594.94
1,637,974.71
$2,637,974.65
-------
$2,000,000.00
5,620,251.57
(4) = (2)×(3)
现金流 的现值
(5)
现金流的现值 对债券市价的
比率(权重)
(6) = (5)×(1) 现金流的现值对 债券市价的比率 与现金流动所需
时间的乘积
1年
$80
0.9091
$72.73
0.076535648
0.076535648
2年
$80
0.8264
$66.12
0.069581689
....
(n)CFn (1r)n
n
PV(CFt )t
t1
P0
n
PV(CFt )
t1
对公式的解释
• 公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即 债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和 本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用 预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行 折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现 值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间 进行加权，最后再作加总
d P 2 .554 61 % 5 9 2 .585144% 6； 59814 P
$ 2 ,0,0 00 0 10 0 .0255 4 4 $ 1 ,6 9.5 4 99 8 .0 8。 8 6 01
“麦考莱久期”
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。
凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。
债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。
这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。
久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。
然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。
凸性的引入填补了这一缺陷。
凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。
通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。
将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。
久期与凸度的计算与应用实训心得
久期与凸度的计算与应用实训心得在进行久期与凸度的计算与应用的实训过程中，我学到了很多关于债券定价和风险管理的重要概念和技巧。
久期计算：
久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的重要指标。
它的计算涉及到债券的现金流量、到期时间和当前市场利率。
在实训中，我学会了使用久期的公式和计算方法，包括修正久期的概念。
这使我能够准确地评估债券价格在利率变动下的变化情况，并更好地理解债券投资的风险特征。
凸度计算：
凸度是对债券价格波动性的度量，它衡量债券价格对利率变动的敏感性变化率。
凸度的计算需要债券的久期和现金流量的信息。
在实训中，我学会了凸度的计算公式和方法，并了解了凸度与久期之间的关系。
凸度的计算帮助我更好地理解债券价格的非线性变化，并能够更准确地估计价格变动。
应用实践：
久期和凸度的计算对于债券投资组合管理和风险控制非常重要。
通过对久期和凸度的计算，我能够评估不同债券的价格敏感性和风险水平。
在实训中，我学会了使用久期和凸度来优化债券投资组合，以达到预期的风险收益平衡。
我可以根据久期和凸度的信息来调整持有的债券种类和权重，以实现对利率变动的更好抵御能力。
此外，我还学会了利用久期和凸度来评估利率敏感性和价格波动性对冲策略的有效性。
通过对久期和凸度的计算和分析，我能够确定哪些对冲策略可以最大程度地降低债券组合的风险。
通过这次久期与凸度的计算与应用实训，我深入了解了这两个重要的概念以及它们在债券投资和风险管理中的作用。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。
它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。
修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。
加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。
久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。
它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。
凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。
凸性为负则相反。
凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。
久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。
首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。
当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。
其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。
当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。
此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。
投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。
例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。
同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。
综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。
久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。
通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。
久期与凸性的理解
久期与凸性的理解(2010-12-22 10:43:20)最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较大的债券。
久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。
在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。
什么是久期？久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）——久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
公式如下：久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化久期的分析方法债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
久期运用的局限性久期运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的，因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似的公式。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。
久期和凸性
久期与凸性就是衡量债券利率风险的重要指标,就是衡量债券价格对利率的敏感程度。
久期具有双面性,在利率上升周期,要选择久期小的债券;在利率下降周期,要选择久期大的债券。
凸性具有单面性,就就是凸性越大,债券的风险越小,选择凸性较大的债券,对持有者越有利。
久期描述了价格-收益率(利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度,或者就是由于该曲线的非线性程度较大,使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大,无法以统一的数字来判断,因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就就是对债券久期(受利率影响,对利率敏感性)的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期(就是以每期现金流现值占总体现值的比)可以近似衡量债券价格与利率之间关系,但就是更为精确的衡量则就是修正久期。
久期(也称持续期,duration)就是1938年由F、R、Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标,反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲,就就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它就是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重就是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦,一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金与利息支出的现金流,到期收益率。
债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大,因此,该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此,投资者在预期未来降息时,可选择久期大的债券;在预期未来升息时,可选择久期小的债券。
案例:某只债券基金的久期就是5年,如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点;反之,如果利率上涨1个百分点,则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。
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债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：【例1】持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：两边同时乘以p dy 得 ∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=Py tC y dy n t t t ∑=+⨯+-1)1(1 =y dy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
后面，我们把债券的凸度 (C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。
持续期已经变成了一项测量资产的风险价值的非常有用的指标。
有上式可知，资产和负债价格（请注意：在金融资产的场合，对于一方是资产，对于另一方就是负债，影响一方资产价格的因素也就是影响另一方负债价格的因素）的变动产生于二个因素：持续期和利率变动。
一旦你知道了一项资产的持续期，你就会很容易地计算出利率变动对资产价格的影响。
从这里我们可以发现资产价格与利率变动负相关，利率上升资产价格下降，利率下降资产价格上升，持续期的长短放大了这种影响（利率变动引起价格变动的风险）。
【例2】有一6年期的公司债券（面额100元），票面利率8%，而市场要求的到期收益率也是8%，已知持续期D=4.993年。
如果目前的到期收益率上升1个基本点（1%），此时公司债的价格会下跌0.0462%。
()()()()()()1006%811081005%8181004%8181003%8181002%818100%818)1(654321⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+++=+=∑=P i tCD n t t t =0.074074+0.137174+0.190520+0.23521+0.272233+4.08350=4.993公司债的价格现在是100*（1-0.0462）=95.38元。
三、免疫的基本含义利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。
价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。
当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。
因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。
正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy ），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy ）。
考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。
随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。
如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。
由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration ）。
因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
对于债券投资者而言，如果利率下降，从短期看，债券价格将上涨，债券的短期投资者将会从利率下降中获取资本利得，反之，则会受损失。
但从长期投资看，情况会相反，因为债券到期时价格一定等于面值，但利率下降导致了债券利息的再投资收益率下降，因而债券投资者在长期内的全部收益下降。
利率变动，在长期与短期出现相反的结果，意味着它们之间存在一个“中期”。
从“中期”看，投资者的收益基本不受利率变动的影响，就相当于投资一个期限与这个“中期”相等的贴现债券，在持有的"中期"内，其投资收益不受利率变动的影响。
如果投资者建立的债券组合的久期等于这个“中期”，则可实现投资收益不受利率变动影响的目标，这就是债券投资组合管理中所通常采用的久期免疫策略。
当利率发生变化时，投资者面临两种风险，一为利率风险，即债券的价格会因利率上涨而下跌；二为再投资风险，即利息收入再投资会随着利率的上升而增加。
两种风险方向相反，对债券价值的影响有互相抵消的作用。
免疫策略的目的就是通过持有债券至一定期限，利用两种风险互相抵消的作用来锁定投资收益率。
通常的免疫策略是将债券持有到久期长度的期限，当长、短期利率平行变化时，则不论利率如何变动，到期时投资组合的价值将与预期的资产价值相同，而期末的实现报酬率也会等于目标报酬率。
四、免疫的案例【案例3】某人3年后需要200万元资金，目前市场利率为8%。
有三个方案解决这个问题。
方案1：如果有一个3年期债券，本金和利息再投资收益率都是8%，则现在投入200/1.083=158.77万元即可；方案2：找到一个3年期的零息债券，其年收益率也为8%，则200万元的到期面额债券，现在的发行和购买价格都是200/1.083=158.77万元，购买即可；方案3：方案1和2要么没有保证，要么不存在。
目前只有收益率为8%，还有2年和5年到期的债券（面额都是100万元，票面利率分别为6%和8%，每年支付利息，到期还本），可以采取组合的方式。
怎么组合？(一)先计算2年期债券和5年期债券的久期2年期债券的久期=()()=⨯++⨯+243347.96%81106143347.96%8162×2=1.9424 [()()43347.96%81106%8162=+++，此为两年期债券的现值和卖价] 2年期债券的修正久期=1.9424/（1+0.08）=1.79855年期债券的久期=()()()()()=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+5100%811084100%8183100%8182100%8181100%8185432 4.3121 [()()()()()5432%81108%818%818%818%818+++++++++=100此为五年期债券的现值和卖价] 5年期债券的修正久期=4.3121/（1+0.08）=3.9927（二）再计算投资于2年期和5年期债券的权重，分别为w 1和w 2，解下面的方程组即可1.9424w 1+4.3121w 2=3w 1+ w 2=1得w 1=55.37%,w 2=44.63%若用修正久期得出w 1=0.4524 w 2=0.5476(三)最后将现在准备的158.77万元，分别按照该比例投资即可。
若用修正久期得出的比例买5年期债券158.77*0.5476=86.9426，即86.9426/100=0.869246张面额为100万元的债券这样，今后无论市场利率从现在的8%升降，都会因为债券价格和再投资收益率的相反变动而抵消，不影响3年后200万本利和目标的实现。
假设市场利率1年后升到9%和下跌到7%，我们看看投资3年后的本利和是多少？先看升到9%的情况（1）1年后升到9%时，投资两年期债券3年的本利和两年期债券第2年得利息6万元*到第三年底，第1年的利息再投资2年和第2年的本利和再投资1年的本利和2（2）1年后升到9%时，投资五年期债券3年的本利和五年期债券，前3年每年利息为8万元*0.869246=6.953968万元前两年利息再投资的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025万元第三年底该五年期债券的卖价6.953968*（1/1.09+1/1.092）+86.9246/1.092到第三年底投资该五年期债券的所获收入108.1913021万元（3）投资这两种证券到第三年底获得再看下跌到7%的情况（略）【例4】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。
折现率为10%。
第一步：计算负债的持续期。
表1给出了整个计算过程和结果。
由表1可以看出，760.61美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的资产价值至少与负债的价值相当。
第二步：投资资产的选择。
因为负债的折现率用的是10%，这意味着保险单对投保人的收益率为10%。
所以，所构造的投资组合每年至少有10%的收益。
假定基金选择了两种金融工具：30年期的长期国债，年利率为12%，按面值出售；6个月期的短期国债，收益率为年利率8%。
用第一步的方法分别计算出它们的持续期为8.080和0.481。
第三步：确定两种债券的投资比例和投资额。
为此，先求两债券的投资比例。
这只需解下列方程组：其中，：表示30年和6个月债券的持续期；：表示负债的持续期；这里要解的是方程组：。
因此，养老基金应当将其出售保险单所得收入的68.79%投资于30解得：年期的长期国债，其余的投资于6个月的短期国债。
即应投资与长期国债的是523.23美元，其余的237.38美元用于购买短期国债。
最后，我们来考察这种方法的效果。
假定收益曲线向上平移了10个基本点。
此时，负债的折现率变成10.1%,长期国债的收益率变为12.1%,短期国债的收益率变为8.1%。
比较变化前后价值的变化列表如下(表2)：五、组合免疫存在的问题只要细心地分析上述例子不难发现，我们在用组合免疫进行资产负债管理时进行了一些不太切合实际的假设，这正是组合免疫所存在的问题之一。