2019届北京市通州区潞河中学第一学期高三10月月考 数学(理)

2019届北京市通州区潞河中学第一学期高三10月月考数学（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第一部分 （选择题 共50分）一 选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21B x x =<，则=B A （ ）A ．{}1,1-B ．{}0C ．{}1,0,1-D ．{}11x x -≤≤ 答案：B2．“12<x”是“1<x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A3.已知sin 2α=，则=α2cos （ ） A.1 B.21 C.0 D.21- 答案：C4.下列函数是奇函数且在区间(1,+)∞上单调递减的是A.3()f x x =-B.()f x =C.1()f x x x=+ D.()1+-=x x f 【答案】A5.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()3,1P ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ（ ）A ．2-B.2 C ．21-D ．21【答案】D6.已知平面向量()2,1=a ，()y b ,2-=，且b a ⊥，则=y（ ）A ．4-B.4 C ．1D ．1- 【答案】C7.已知等比数列中,143527,a a a a ==,则7a =（ ） 答案：A A .127 B .19C .13D .38.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,且()c C B b a B A )sin (sin )sin (sin +=-+,则ABC ∆中A ∠为A.π6B.2π3 C.π3D.5π6答案B 9.函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数{}n a，使得()()()nn x x f x x f x x f === 2211，则的取值的集合为A.{}5,4,3,2B.C. D.【答案】B10.已知函数x x x f cos )(=，现给出如下命题：① 当()3,4--∈x 时，()0>x f ； ② ()f x 在区间()6,5上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③（C ）②④ （D ）③④答案：A第二部分二 填空题（共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上） 11.在△中，，，△的面积为，则=b ____．【答案】112.已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若2,6751=+=a a a ，则=6S .ABC 3a =ABC【答案】2113.等差数列{}n a 的公差为2，且521,,a a a 成等比数列，那么1a = ． 【答案】114.将函数π()sin()3f x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()sin()g x x ωϕ=+的图象,则=ϕ答案：3π 15. 已知Rt ABC ∆，2==AC AB ,点E 是AB 边上的动点，则AC CE ⋅的值为 ；CB CE ⋅的最大值为 .【答案】4- ; 816.若集合{}{}4,3,2,1,,,=d c b a ，且下列四个关系：①2=a ，②2≠b ，③3=c ，④4≠d有且只有一个是正确的，请写出满足上述条件的一个有序数组()d c b a ,,, ，符合条件的全部有序数组()d c b a ,,,的个数是 答案：()()()()())3,1,2,4,1,4,2,3),4,2,1,3(,4,2,3,1,3,4,2,1(4,3,2,1，6三 解答题（共5小题，每题14分，共70分） 17.已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（II ）若数列{}n b 满足n n a b 2log 10+= ，求使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值．答案：（1）nn a ⎪⎭⎫⎝⎛=21；（2）9=n 或10解：（1）1=n 时，1111a S a -==，所以211=a ，2≥n 时，1111--+--=-=n n n n n a a S S a ，所以211=-n n a a ， 所以数列{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列，nna ⎪⎭⎫⎝⎛=21 （2）n a b nn n -=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=1021log 10log 1022⎩⎨⎧≤+-=≥-=+0)1(100101n b n b n n 时，数列{}n b 的前n 项和取最大值，所以9=n 或1018.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求()x f 的单调递增区间。

【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）解：（1）由题意得：5=A ，23652πππ=-=T ，所以ωππ2==T ，所以2=ω 又3π时五点中的第二点，所以232πϕπ=+⋅，所以6πϕ-=，所以π()5sin(2)6f x x =- (2)令Zk k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ，解得Zk k x k ∈+≤≤+-,36ππππ所以()x f 的单调递增区间为Zk k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ19.在ABC ∆中，23,6,43===∠AC AB BAC π,点D 在BC 边上，AD BD =，（1）求AD 的长； （2）求ACD ∆的面积.【解析】（1）如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos (32)62326cos1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯⨯=+--= 所以310a =.又由正弦定理得sin 310sin 10310b BAC B a ∠===. 由题设知04B π<<，所以21310cos 1sin 11010B B =-=-=. 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 310sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-.（2）552101022101032243sin sin =⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠B DAC π， 则ACD ∆的面积6552231021=⋅⋅⋅=S20.已知函数()x x e x f x+=sin .（Ⅰ）求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）因为()x x e x f x+=sin ，所以()1cos sin ++='x e x e x f xx，所以()20='=f k .又因为()00=f ，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为x y 2=. （Ⅱ）令()1cos sin ++=x e x e x h xx，则()x e x e x e x e x e x h x x x x x cos 2sin cos cos sin =-++='. 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，()0≥'x h ， 所以()h x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递增. 所以对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,2πx 有()0111222>-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-πππe e h x h ， 即()0>'x f .所以函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递增.因此()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上的最大值为()00=f ，最小值为222πππ--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--e f .21.已知函数．（Ⅰ）函数在1=x 处取得极小值，求a 的取值范围; （Ⅱ）当时,讨论函数的零点个数． 解：（Ⅰ）函数的定义域为.,. 若0≤a ，()1,0∈x 时，()0<'x f ，()+∞∈,1x 时，()0>'x f ， 所以函数在1=x 处取得极小值；若10<<a ，()1,a x ∈时，()0<'x f ，()+∞∈,1x 时，()0>'x f ， 所以函数在1=x 处取得极小值；若1≥a ，()1,0∈x 时，()0>'x f ，所以函1=x 不是的极小值点， 综上，a 的取值范围是()1,∞-（Ⅱ）,. （1）当时，时,,为减函数;时，，为增函数.所以在时取得最小值. （ⅰ）当时，，由于，令，，则在上有一个零点；（ⅱ）当时，即时，有一个零点；（ⅲ）当时，即时，无零点.2()ln (1),2x f x a x a x a =+-+∈R ()f x 1a ≤()f x ()f x {}0x x >(1)()()x x a f x x--'=0x >()f x ()f x ()f x (1)()()x x a f x x--'=0x >0a ≤(0,1)x ∈()0f x '<()f x (1,)x ∈+∞()0f x '>()f x ()f x 1x =1(1)2f a =--0a =2()2x f x x =-0x >()0f x 2x ()f x (0,)+∞12a =-(1)0f =()f x 12a <-(1)0f >()f x（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，， 所以有两个零点. （2）当时，时,,为增函数;时，，为减函数； 时，，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点.（3）当时，在上恒成立，所以为增函数.且（从右侧趋近0）时，；时，. 所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；有两个零点.102a -<<(1)0f <0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞()f x 01a <<(0,)x a ∈()0f x '>()f x (,1)x a ∈()0f x '<()f x (1,)x ∈+∞()0f x '>()f x ()f x x a =()f x 1x =21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--01a <<()0f a <(0,1)x ∈()0f x <()f x (1,)x ∈+∞x →+∞()f x →+∞()f x 1a =2(1)()0x f x x -'=≥()0,+∞()f x 0x →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x 01a ≤≤12a =-()f x 12a <-()f x 102a -<<()f x。