线代第一章(合工大)
线性代数第一章知识点总结
(1)
解向量
若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 则 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.
解向量的性质 性质１ 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 则x 1 2 也
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 b j .若向量 量
１ 向量的定义
定义
n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,
第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , a1 a2 a an
若向量空间没有基 那么V的维数为 .0维向 , 0 量空间只含一个零向量 . O 若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是
向量组的最大线性无关 ,V的维数就是向量组 组 的秩.
１０ 齐次线性方程组
向量方程
记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为
件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.
合肥工业大学线性代数习题册答案专业知识讲座
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线性代数第一章
0 0
a11a22 ann
ann
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a2 ，n1
a1n
a1n
a11 a12
a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22
an1
an1 an2
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2 ，n1 an1 ，
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D 0) ．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
行列式的和，即
a11
a12
bi1 ci1 bi2 ci2
a1n
a11 a12
bin cin bi1 bi2
a1n
a11 a12
bin ci1 ci2
合肥工业大学-线性代数-1
第一章行列式主要内容§1逆序数与对换§2 行列式的定义§3 行列式的性质§4 行列式按行（列）展开§5 克拉默法则二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩由消元法，得211211221122211)(a b b a x a a a a −=−212221*********)(b a a b x a a a a −=−当时，该方程组有唯一解021122211≠−a a a a 211222112122211a a a a b a a b x −−=211222112112112a a a a a b b a x −−=求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩请观察，此公式有何特点？①分母相同，由方程组的四个系数确定.②分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩1112112212212122a a D a a a a a a ==−11122122a a a a 记为11122122a a a a 数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221a a a a −其中，称为元素.(1,2;1,2)ij a i j ==i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.原则：横行竖列二阶行列式的计算11122122a a a a 11221221a a a a =−主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩若令11122122a a D a a =1211222b b a D a =1221121b a D a b =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122*********D D b a a b x a a a a =−=−1121212211221221a b b a D x a a a a D−==−例1求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x解因为1223−=D 07)4(3≠=−−=14)2(12112121=−−=−=D 21243121232−=−==D 所以11142,7D x D===222137D x D−===−求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x 例1二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−111213212223313233a a a a a a a a a三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233a a a D a a a a a a =132132a a a +112233a a a =122331a a a +132231a a a −122133a a a −112332a a a −实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12-4-221-34-2D =例2计算行列式解按对角线法则，有=D 4)2()4()3(12)2(21×−×−+−××+−××)3(2)4()2()2(2411−××−−−×−×−××−24843264−−−+−−=.14−=例2计算行列式12-4-221-34-2D =2111230.49x x=例3求解方程方程左端解由得2111230.49x x=例3求解方程1229184322−−−++=x x x x D ,652+−=x x 2560x x −+=3.2==x x 或全排列及其逆序数用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？引例解1 2 3123百位十位1231个位123种放法.共有6123=××3种放法2种放法1种放法问题把n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示.(1)(2)321!n P n n n n =⋅−⋅−⋅⋅=L 即n 个不同的元素一共有n !种不同的排法.对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，3 2 5 1 4逆序逆序逆序答：2和1，3和1也构成逆序.思考题：还能找到其它逆序吗？定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12ni i i L 12()n i i i τL 奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题: 符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为12nt t t τ=+++L 设是1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12n p p p L 1p 1p 1t 2p 2p 2t n p n p n t例求排列32514 的逆序数.解(32514)010315τ=++++=9τ=求排列453162 的逆序数.例求排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 的逆序数.例n 阶行列式的定义一、概念的引入111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123p p p a a a 123p p p 123p p p 123p p p所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)p p p p p p p p p a a a τ=−∑其中表示对1、2、3的所有排列求和.123p p p ∑二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−二、n 阶行列式的定义1.n 阶行列式共有n ! 项．2.每一项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1, 2, …, n 的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212np p np a a a L 1n p p L 12n p p p L 12n p p p L 1212121112121222()1212(1)n nnn n p p p p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==−∑L L L L L M MML 简记作，其中为行列式D 的(i , j )元det()ij a ij a思考题：成立吗？11−=−注意：当n = 1时，一阶行列式|a | = a ，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式.11−=−例写出四阶行列式中含有因子的项.2311a a 解11233244a a a a −11233442.a a a a 和1112131422232433334440000a a a a a a a D a a a =例计算行列式142323241000000000000a a D a a =1122133440000000000a a D a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =112213344000000000000a a D a a =1423232410000000000a a D a a =11223344a a a a=(4321)14233341(1)a a a a τ=−14233341a a a a =(4321)0123τ=+++346.2×==其中111213142223243333444000000a a a a a a a D a a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =11223344a a a a =14233341a a a a =12,11nn n a a D a −=N1122nna a D a =O结论：(1) 对角行列式nna a a L 2211=(1)212,11(1)n n n n n a a a −−=−Lnnn n a a a a a a D L M OM M L L 21222111000=nnnn a a a a a a D L M O M M L L 00022211211=(2) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nna a a L 2211=(3) 下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nna a a L 2211=例用定义计算行列式113023********10−−−−=D例用定义计算行列式解用树图分析−1133123−1−2−2−112134=）（τ22143=）（τ32413=）（τ42431=）（τ491223−=+−+−=D故11323211121−−−−=D已知，求的系数.()1211123111211xx x xx f −=3x 例用定义计算行列式故的系数为－1.解含的项有两项，即3x ()1211123111211xx x xx f −=对应于()124311223443(1)a a a a τ+−(1234)11223344(1)a a a a τ−(1234)311223344(1),a a a a x τ−=()1243311223443(1)2a a a a xτ−=−3x。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
合工大-线性代数习题册参考解答
第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( -n n 。
【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列； （2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。
■2、用行列式定义计算x x x x x f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。
2；（4，4）的元素乘积项，而10=+，611061203110225161103110612022516011301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D930003003110225123242-=--=--r r r r 。
■ 4、求84443633224211124=D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===12010100010111112014,3,2==-=r r k k 。
■mnn11))((-=--∑n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D 01001011110211=+，其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的ka 1（n k ,,3,2 =）可得： n n i inni in a a a a a a a a D2112111)1(0000000001111∑∑==+-=-=。
■ 7、求7111141111311112=D 。
线性代数_第一章
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
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第一章 行列式
1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( -n n 。
【解】（1）62130000)1347265
(=++++++=τ，偶排列； （2）2
)
1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时，
)14(2),14(22
)
1(+-=-k k k k n n 为偶数，即为偶排列； 当34,24++=k k n 时，
)34)(12(),14)(12(2
)
1(++++=-k k k k n n 为奇数，即为奇排列。
■
2、用行列式定义计算
x
x x x x x f 1111231
11212)(-=
中4
x 和3
x 的系数，并说明理由。
【解】由行列式定义可知：
含4
x 有的项只能是主对角线元素乘积，故4
x 的系数为2；
含有3x 的项只能是（1，2），（2，1），（3，3），（4，4）的元素乘积项，而
10010)2134(=+++=τ，
故3
x 的系数为1-.■
3、求2
1
64729541
7321
524-----=
D 。
【解】三角化法：
6
1
10612031102
2
5161
1031106120225160
113011602121
523231122
41324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D
93
0003
003
110225123242-=--=--r r r r 。
■ 4、求8
444
36332242
11124=
D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：
2
11112111121
111
1120211112111121111224844
4
36332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===
1201
00
0100
0101111
1201
4,3,2==-=r r k k 。
■ 5、求m x x x x m x x x x m
x D n n n n ---=
2
1
212
1。
【解】观察特点：行和相等。
各列均加到第一列
m
x x x m x x x m x D n n
n n
i i c c c n
n
---=
∑=+++
2
22
1
1
11
)
(21
m
m
m x n i i c x c n k k k ---=∑=-= 0
10
10
1)(1
,,3,21
11))((-=--=∑n n
i i m m x 。
■
6、求n
n a a a D
1
001
01
1
1
10
211=+，其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的
k
a 1
（n k ,,3,2 =）可得： n n i i
n
n
i i
n a a a a a a a a D
211211
1)1
(000
00
0000
1
111∑∑
==+-=-=。
■ 7、求7111
14111131
1112=
D 。
【解】降阶法。
7131431157
1311
4311
1510
00
1711
114111*********
1
1
141111311112112212c c c r r D ==-==
+- 1082151233140=---++=。
■
8、求44
332211000000
00
a b a b b a b a D =。
【解】法1（性质法+拉普拉斯公式）
3
3
2244
11
4
4
332211
0000000
00
000
0a b b a a b b a a b a b b a b a D 逐行对换逐列
对换==。
))((323241413
3
22
44
11b b a a b b a a a b b a a b b a --=⋅拉普拉斯
＝
法2（降阶法）按第一行展开可得：
00
)1(0
00
4
3322411433
22
1b a b b a b a a b b a a D +-+=， 再各按最后一行展开可得：
=-=3
3
224141)
(a b b a b b a a D ))((32324141b b a a b b a a --。
注：不能简单地应用“对角线法则”得出错误结论：43214321b b b b a a a a D -=。
■
9、证明n n n n n n n a x a x a x a a a a a x
x
x
D ++++=---=
----122111
2
1
111。
【证】观察：相邻阶行列式具有“相似性”，为此，按第一列展开可得相邻阶行列式间的递推关系。
数学归纳法：
（i ）211
2
21a x a a a x D +=-=
，2=n 成立；
（ii ）假设1-n 成立，则由
n n n n n n c n a xD x x a xD D +=----+=--+-11
1
1111
)1(1
可知：n 也成立，故得证。
■ 10、已知4阶行列式
3
2323
24414334322321121=
D ， 求42322212A A A A +++，其中2i A 为
D 中)2,(i 元素的代数余子式（4,3,2,1=i ）。
【解】由展开定理逆用和范德蒙行列式可得：
42322212A A A A +++3
2323
2323232444133312221
11
11441433132212
1111
21-==
↔c c 12)34)(24)(23)(14)(13)(12(-=-------=。
■
11、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,
,,3221
32
213221d x c cx x d x b bx x d x a ax x 其中c b a ,,互异。
【解】∵c b a ,,互异，
∴系数行列式0))()((1112
22
≠---==b c a c a b c c
b b
a a D ， ,2
221D d c c d
b b d
a a d D ⋅==01112
22
2==c d
b d
a d D ，01113==d c d
b d
a D 。
于是，由克莱姆法则可知：原方程组有唯一解，且解为
0,0,332211======
D
D
x D D x d D D x 。
■ 12、当λ取何值时，齐刺线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
,0,
032
1321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解。
【解】由克莱姆法则可知：原方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零，即
0)1)(2(1
1
11
1
12=-+==λλλ
λ
λ
D ，
故1,2-=λ。
■。