相似三角形的周长与面积PPT课件
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A A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边 AD k BC、B'C'上的中线，求证 A' D ' A
A'
思考：若AD，A'D' 改为角平分线呢
B D C B' D'
结论:相似三角形对应中线的比等于相似比 结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比
C'
18 18 A ' B ' AB 15 18 15 15 BC 15 B ' C ' 18 15 24 BC 20 18
A
B A'
C
AC 60 15 20 25 A ' C ' 72 18 24 30
B' C'
5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径 是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是 30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同） 两块蛋糕是相似的 解： 相似比是1：2
1.三角形相似的判定方法有那些？ 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。 （不常用） 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 用 三边对应成比例的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 2. 相似三角形的有哪些性质? 成比例。 相似三角形的对应角相等 ———————, 各对应边——————
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
DE DF 1 AB AC 2
B D
C
E
F
又
1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
L L
ADE ABC
∠D＝∠A
1 , 2
L
ADE
24
=
1 L 2
ADE
=12
S S
ADE ABC
1 = 4
S
1 = 48 4
ADE
S
ADE
=12
归纳
对应角相等 相 似 三 角 形 的 性 质
1 面积的比为 1: 4 2
2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1：4＝2：x x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原 图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？ 这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解：放缩比例为
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍．
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
Fra Baidu bibliotek
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
S
ABC S ACD
k2 S
A' B ' C '
S
A'C ' D '
S四边形ABCD =k 2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积． A 解：在△ABC和△DEF中，
1 k B' C 'k A' D' 2 k2 1 B' C ' A' D' 2
AD AB S△ ABC k S△ A'B 'C ' A' D' A' B '
这样，得到： 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
练习
1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
3.相似三角形还有哪些性质?
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？ B
A A' C
B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A' 因此 从而 得到： AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为 A' k2，它们的面积比是多少？
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
S ABC 2 k 2 S k S ABC A' B 'C ' S A ' B 'C ' S ACD 2 k 2 S ACD k S A'C ' D ' S A 'C ' D '
——————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分 别是_____________。
4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm， 且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
解： ∵△ABC∽△A′B′C′ 60 15 k 72 18 AB 15 A ' B ' 18
（1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的 ________倍。 A
（2）如图在等边三角形ABC中，点D、
E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,
如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE 的周长等于_______cm。 B
D
E
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比 是多少？ A A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∴ △ABD∽△A'B'D' ∠B＝∠B'
1 BC AD 2 1 B' C ' A' D' 2
B
D
C
B'
D'
C'
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边 AD k BC、B'C'上的中线，求证 A' D ' A
A'
思考：若AD，A'D' 改为角平分线呢
B D C B' D'
结论:相似三角形对应中线的比等于相似比 结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比
C'
18 18 A ' B ' AB 15 18 15 15 BC 15 B ' C ' 18 15 24 BC 20 18
A
B A'
C
AC 60 15 20 25 A ' C ' 72 18 24 30
B' C'
5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径 是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是 30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同） 两块蛋糕是相似的 解： 相似比是1：2
1.三角形相似的判定方法有那些？ 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。 （不常用） 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 用 三边对应成比例的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 2. 相似三角形的有哪些性质? 成比例。 相似三角形的对应角相等 ———————, 各对应边——————
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
DE DF 1 AB AC 2
B D
C
E
F
又
1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
L L
ADE ABC
∠D＝∠A
1 , 2
L
ADE
24
=
1 L 2
ADE
=12
S S
ADE ABC
1 = 4
S
1 = 48 4
ADE
S
ADE
=12
归纳
对应角相等 相 似 三 角 形 的 性 质
1 面积的比为 1: 4 2
2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1：4＝2：x x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原 图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？ 这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解：放缩比例为
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍．
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
Fra Baidu bibliotek
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
S
ABC S ACD
k2 S
A' B ' C '
S
A'C ' D '
S四边形ABCD =k 2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积． A 解：在△ABC和△DEF中，
1 k B' C 'k A' D' 2 k2 1 B' C ' A' D' 2
AD AB S△ ABC k S△ A'B 'C ' A' D' A' B '
这样，得到： 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
练习
1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
3.相似三角形还有哪些性质?
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？ B
A A' C
B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A' 因此 从而 得到： AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为 A' k2，它们的面积比是多少？
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
S ABC 2 k 2 S k S ABC A' B 'C ' S A ' B 'C ' S ACD 2 k 2 S ACD k S A'C ' D ' S A 'C ' D '
——————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分 别是_____________。
4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm， 且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
解： ∵△ABC∽△A′B′C′ 60 15 k 72 18 AB 15 A ' B ' 18
（1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的 ________倍。 A
（2）如图在等边三角形ABC中，点D、
E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,
如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE 的周长等于_______cm。 B
D
E
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比 是多少？ A A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∴ △ABD∽△A'B'D' ∠B＝∠B'
1 BC AD 2 1 B' C ' A' D' 2