结构力学之三铰拱

有关。令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q
y
C
q
A
f
Bx
A
ql x
l/2
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
qc+.f
qc q qc y
y x
f y*
d2y dx 2
1 H
d2M dx 2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
yபைடு நூலகம்
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
x-a1 M
的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
H
D
y
MD 0
H x
M VA x P1 x a1 H y Ｑo
VA
M M Hy
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N.
下面我们研究拱截面的受力情况。
QM
R
N
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N，显
然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1 P2
作用线
G
F
rD
D
k2
C
k1
A
RA
RA
P1
D 大小和方向 o 23
P2
RB
P3
P3
（1）确定各截面合力的
q
E D
M0 0
dS R d
ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2N sin d 0
2 N qR
q Rd N d 0
RN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
第五章
三铰拱
拱的实例
三铰拱的特点
P1
P2
f H
三铰拱的类型、基本参数
H
VA
l
VB
曲线形状：抛物线、园、悬链线……..
f 1 10 l
§5-1 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
d
a1
b1
P1 a2
b2
D c P2
MA 0
yf
HA
x
HB
MB 0
VA
l1
l2
l
yx Ach x B sh x
H
H
设其特解 y a, 代入原方程，a qc
yx Ach x B sh x qc
H
H
设 x 0, y 0
A qc
x 0, y 0 B 0
y
qc
ch
x 1
悬链线
H
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§5-2 三铰拱的压力线
拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和
剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结
构体系。
因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料
（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设
填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
312
3
3m
VB
VB
2
6389 12
9kN
H
M
C
11 6 2 6 3
7.5kN
f
4
M2 M2 Hy2 11 3 2 31.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
Q图 kN
N图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
大小和方向：
H
数解 RA RB
绘力多边形
k3
B
M D R12 rD
射线
（2）确定各截面合 力的作用线
RB 索多边形 合力多边形
压力多边形 压力线
QD R12 sin D
如果是分布荷载，压力线
ND R12 cosD
呈曲线，称为压力曲线；如果 是集中荷载，压力线呈多边形，
称压力多边形。
压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最 理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果 在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN （1）计算支座反力
6m
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
2
B
ql 2
注意
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固定荷载；
所以拱的合理轴线方程为：
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
*合理轴线是一组。
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
1
2123
0.667
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
N2 Q2 sin2 H cos2 11 23 0.555
7.5 0.832 9.015kN
§5-3 拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状
VB
P1
P2
c
V
A
x
VB
P1 d
c
f
H
l1
VA
VB
1 l
P1a1
P2a2
VB VB
VA
1 l
P1b1
P2b2
VA VA
x 0 HA HB H
MC 0
VA l1 P1 d H f 0
M
C
H
f
0
H
M
C
f
二、内力计算 以截面D为例
P1 Qo
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成