2019秋 金版学案 数学·选修4-5(人教A版)练习：第四讲 复习课 Word版含解析

复　习　课
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[警示·易错提醒]
1．数学归纳法的两个关注点．
(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．
(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．
2．数学归纳法的两个易错点．
(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．
(2)归纳推理不到位．
专题一　数学归纳法
在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归
纳假设“P (k )”是问题的条件，而命题P (k ＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键．
[例❶]　设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝＋a ，求证：对一1a n
切正整数n ，有1＜a n ＜.11－a
证明：(1)当n ＝1时，a 1＞1，a 1＝1＋a ＜
，命题成立．11－a (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立．即1＜a k ＜，11－a
当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝＋a ＞(1－a )＋a ＝1.1a k
同时，a k ＋1＝＋a ＜1＋a ＝＜，1a k 1－a 21－a 11－a
故当n ＝k ＋1时，命题也成立，即1＜a k ＋1＜，11－a
综合(1)(2)可知，对一切正整数n ，有1＜a n ＜
.11－
a
归纳升华
用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n ＝k 成立，推导n ＝k ＋1也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．
[变式训练]　证明不等式＋＋…＋＜1(n ≥2，n ∈N *)．1221321n 2
证明：先证明＋＋…＋＜1－(n ≥2)，(*)1221321n 21n
对(*)运用数学归纳法证明：
(1)当n ＝2时，(*)显然成立．
(2)设n ＝k 时，不等式(*)成立，
则＋＋…＋＜1－.1221321k 21k
当n ＝k ＋1时，
＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋1221321k 21（k ＋1）21k 1（k ＋1）21k
＝1－＋＝1－.1k （k ＋1）1k (1k －1k ＋1)
1k ＋1故当n ＝k ＋1时，不等式(*)成立．
根据(1)和(2)知，对n ∈N *且n ≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立.
专题二　归纳、猜想、证明思想的应用
归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．
[例2]　数列{a n }满足S n ＝2n －a n .
(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．
(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，
所以a 1＝1.
当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，
所以a 2＝.32
当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，
所以a 3＝.74
当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，
所以a 4＝.158
由此猜想a n ＝(n ∈N *)．
2n －1
2n －1(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．
②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，
即a k ＝.
2k －1
2k －1当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1 ，
即a k ＋1＝2＋a k －a k ＋1，
所以a k ＋1＝＝＝，2＋a k 22＋2k －12k －122k ＋1－12k 这表明当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知猜想的通项公式a n ＝
成立．
2n －1
2n －
1归纳升华
归纳—猜想—证明的三步曲
(1)计算：根据条件，计算若干项．
(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．
(3)证明：用数学归纳法证明．
[变式训练]　“设f (n )＝1＋＋＋…＋(n ∈N ＋)，有f (1)＝1＞，12131n 12
f (3)＞1，f (7)＞，f (15)＞2，…”．试问：f (2n －1)与大小关系如何？32n 2
试猜想并加以证明．
解：数列1，3，7，15，…，通项公式为a n
＝2n －1，数列，1，，12322，…，通项公式为a n ＝，n 2
所以猜想：f (2n －1)＞.
n 2下面用数学归纳法证明：
(1)当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1＞，不等式成立．12
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，
即f (2k －1)＞.k 2
当n ＝k ＋1时，
f (2k ＋1－1)＝f (2k －1)＋
＋＋…＋＋＞12k 12k ＋112k ＋1－212k ＋1－1f (2k －1)＋＋…＋,2k 个＝f (2k －1)＋＞＋＝.1
2k ＋112k ＋112k 212k ＋12所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．
据(1)(2)知对任何n ∈N ＋原不等式均成立．
专题三　转化和化归思想
把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想．一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题．
[例3]　设平面α内有n 条直线，这n 条直线把平面α分成互不垂叠的区域个数的最大值为f (n )，求f (n )的解析式，并用数学归纳法证明．
解：设平面α内k (k ≥1)条直线把平面α分成区域个数的最大值为f (k )，则第k ＋1条直线与前k 条直线最多有k 个交点，因此第k ＋1条直线最多可以被分成k ＋1段，每一段可把所在的区域分为两部分，所
以比原来的区域增加k ＋1个，即有f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1，
所以f (k ＋1)－f (k )＝k ＋1.
于是f (2)－f (1)＝2，f (3)－f (2)＝3，…，f (n )－f (n －1)＝n .
把以上n －1个等式相加得f (n )－f (1)＝2＋3＋…＋n .
因为f (1)＝2，
所以f (n )＝f (1)＋(2＋3＋…＋n )＝(n 2＋n ＋2)．12
下面用数学归纳法证明：
(1)n ＝1时，一条直线可以把平面分成2个，
即f (1)＝2，而(n 2＋n ＋2)＝(1＋1＋2)＝2，1212
所以命题成立．
(2)假设n ＝k 时，f (k )＝(k 2＋k ＋2)成立，12
当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)＝(k 2＋k ＋2)＋(k ＋1)＝(k 21212
＋2k ＋1＋k ＋3)＝[(k ＋1)2＋(k ＋1)＋2]，所以命题仍成立．12
由(1)(2)知，当
n ∈N *时，f (n )＝(n 2＋n ＋2)成立．12
归纳升华
有关几何图形的性质、公式等与自然数n 有关的命题，主要是抓住递推关系，明确要证明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明．
[变式训练]　用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n －b n 都能被a －b 整除．
证明：(1)当n ＝1时，a n －b n ＝a －b 能被a －b 整除．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k －b k 能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－b k ＋1＝a k ＋1－a k b ＋a k b －b k ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．
因为(a－b)和a k－b k都能被a－b整除，
所以上面的和a k(a－b)＋b(a k－b k)也能被a－b整除．
这也就是说当n＝k＋1时，a k＋1－b k＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，a n－b n都能被a－b整除．。