湖南省湘潭市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

湖南省湘潭市2018-2019年度第一学期期末高二文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若，则”的逆命题为A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据命题“若，则”的逆命题为“若，则”，写出即可．【详解】命题“若，则”，它的逆命题为“若，则”，故选D．【点睛】本题主要考查逆命题的基本定义，意在考查对基本概念的掌握情况，是基础题．2.设函数，若，则的值为A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，利用列方程求解即可．【详解】函数，，，，即，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．3.抛物线y2=4x的焦点坐标是A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）【答案】D【解析】试题分析：的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．4.在等差数列中，已知，则A. 9B. 8C. 81D. 63【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的下标性质，可得，从而可得结果．【详解】由等差数列的性质得，，，得，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题. 等差数列中，若则．5.已知分别为内角的对边，若，，，则A. 5B. 11C.D.【答案】C【解析】【分析】由，，,直接利用余弦定理可求的值．【详解】，，，由余弦定理可得，即，解得：，故选C．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6.已知则的最小值为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可求得结果．【详解】，所以，当且仅当即时取得最小值6，故选A．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础试题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.已知分别为内角的对边，若，，，则锐角的大小是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据正弦定理建立方程关系进行求解即可．【详解】，，，由正弦定理得，得，则锐角，故选B．【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于简单题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8.已知等比数列的公比为q，，，则A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质满足,代入,计算,即可.【详解】结合等比数列的性质可知,,解得,故选C.【点睛】考查了等比数列的性质,关键利用,代入,计算,即可,难度较容易.9.已知，，则下列结论一定成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值判断选项，利用不等式的性质判断．【详解】当，时，，不成立，选项错误；当，时，不成立，选项错误；因为，，，，则，即成立，故选B．【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立，要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.10.已知直线过点，椭圆，则直线与椭圆的交点个数为A. 1B. 1或2C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交．【详解】点在椭圆的内部，而直线过点，直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的方程与简单性质，考查直线与椭圆位置关系的判定，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题．11.若不等式的解集为，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集为，利用判别式小于零列不等式求解即可．【详解】不等式的解集为，，解得，实数的取值范围是，故选D．【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．12.已知函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断是奇函数，且在递增，根据函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，进而可得结果．【详解】因为的定义域是，，故是奇函数，又，故在递增，若，等价于，故，解得，故选D．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，属于中档题．函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，则______．【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果．【详解】在数列中，，，当时，则，故答案为3.【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题型．14.已知实数x，y满足约束条件则的最小值是______．【答案】-10【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数转化为，在可行域中平移直线，找到使截距最小的点即为最优解，得的最小值【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，此时，故答案为：．【点睛】先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值15.函数的单调递减区间是______．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，在定义域内令求得的范围，可得函数的减区间．【详解】的定义域是，，令，解得：，所以在递减，故答案为【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.16.已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线左支上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义知，可得，当且仅当，即时取得等号再由，结合可得离心率的取值范围．【详解】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号，此时，因为，所以可得，，又双曲线的离心率，,故答案为．【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率与几何性质，以及基本不等式的应用，属于难题．求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件定义转化为，根据包含关系列不等式进行求解即可．【详解】由得解得，即，若“”是“”的充分条件，则，即，得，即，即实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及集合子集的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将充分条件与必要条件问题转化为集合问题是解题的关键.18.已知分别为锐角内角的对边，求角；若，的面积是，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由，根据正弦定理可得，结合，可得，从而可得结果；先根据面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可．【详解】由正弦定理得，在三角形中，，，，三角形是锐角三角形，．若，的面积是，则，可得，则，即．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形以及三角形的面积公式的应用，属于中档．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用.19.已知数列是公差为1的等差数列，其前8项的和．求数列的通项公式；求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】运用等差数列的求和公式，解方程可得数列的首项，从而可得到数列的通项公式；利用（1）求得，运用数列的裂项相消法求和，化简可得结果．【详解】由题意可得公差，，即有，解得，则；，则前n项和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消法求和，属于中档题．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.已知函数在处有极值2．求的值；求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】求出,根据极值的定义可得，解方程组可求出的值；利用（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，可得在上递减，在上递增，利用函数的单调性可得出函数的最值．【详解】函数在处取得极值2，∴，解得.由得：，令，解得：，令，解得：或，故在递减，在递增，故的最大值是或，而，故函数的最大值是2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，属于中档题．求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21.已知椭圆的离心率为，是上一点，，，是的两个焦点，且．求椭圆的方程；设直线交椭圆于两点，为坐标原点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用椭圆的离心率与椭圆的定义，解得，可得的值，即可求出椭圆方程；设，，将直线代入椭圆的方程整理得，通过，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可．【详解】，，即，，，，即椭圆方程为．设，，将代入椭圆C的方程整理得，，，，，，点O到直线AB的距离，，当且仅当即时取等号，面积的最大值为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.22.设函数，．当时，求曲线在点处的切线方程；若，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】求得的导数，由可得切线的斜率，求得可得切点坐标，由点斜式方程可得切线方程；，恒成立，等价于恒成立，由于在上递增，可得，可得在时恒成立，设，，利用导数研究的单调性，可得最小值，即可得到的范围．【详解】，导数为，可得曲线在点处的切线斜率为6e，切点为，则曲线在点处的切线方程为，即为；，恒成立，等价于恒成立，由于在递增，可得，所以在恒成立，设，，则，由的导数为，可得，又，可得，即在递增，可得的最小值为，则．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查转化思想和运算能力，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。