高考数学总复习 考点引领 技巧点拨 第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数 Word版含解析
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域
第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝x x，g(x)＝x ；③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b24a，＋∞)；当a<0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]题型1 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)；(2) y ＝4－x2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0 ⎩⎪⎨⎪⎧x≠－2且x≠2，x>－13，解得x>－13且x≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>－13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，－2≤x≤2， 解得－1<x<0或0<x≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0， 所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－112，＋∞.(2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32.(解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y.因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y∈[]2，22，∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x≠3且x≠4. ∵ x ≠3且x≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)， 即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4； 当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2. ∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x(a>1)． (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值．解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x>0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学中的函数与导数的应用技巧
高考数学中的函数与导数的应用技巧高考数学中函数与导数的应用技巧在高考数学中，函数与导数是两个非常重要的知识点。
它们在各个科目中都扮演着不可或缺的角色，同时也是考试中必考的内容。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握它们的应用技巧。
下面将简要介绍高考中函数与导数的应用技巧。
一、函数的应用技巧在高考中，函数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好函数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.函数的连续性在高考数学中，函数的连续性是一个非常重要的概念。
如果一个函数在某个点上连续，那么它在该点的极限就等于该点的函数值。
利用这个概念，我们就可以使用代数法和图像法来判断函数的连续性，从而更好地解决问题。
2.函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
在高考中，我们需要通过函数的单调性来进行最值的求解。
如果一个函数在某个区间上单调递增，那么该区间的最小值就是函数在该区间左端点处的函数值。
反之，如果一个函数在某个区间上单调递减，那么该区间的最大值就是函数在该区间右端点处的函数值。
因此，掌握函数的单调性可以帮助我们更好地解决最值问题。
3.函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性质。
在高考中，我们需要通过函数的奇偶性来判断函数的对称中心以及进行函数的分解。
如果一个函数为奇函数，则该函数在原点处对称。
如果一个函数为偶函数，则该函数在坐标轴上的所有点对称。
因此，掌握函数的奇偶性可以帮助我们更好地进行函数的图像分析以及函数的求解。
二、导数的应用技巧在高考数学中，导数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好导数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.导数的定义在高考数学中，导数的定义是一个非常重要的概念。
通过导数的定义，我们可以求解函数在某个点的切线斜率。
在实际应用中，我们可以利用导数的定义来判断函数的单调性、最值、曲线的凸凹性等问题。
2.导数的求解在高考数学中，导数的求解是一个非常重要的环节。
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第08讲 函数与方程知识点必背》
第08讲 函数与方程知识点必背1、函数的零点 对于一般函数(),y f x x D =∈,我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点.注意函数的零点不是点,是一个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标.即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.3、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.注:上述定理只能判断出零点存在,不能确定零点个数.4、二分法对于在区间上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.5、高频考点技巧①若连续不断的函数()f x 是定义域上的单调函数,则()f x 至多有一个零点; ②连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; ③函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数1()y f x =与2()y g x =的图象有交点;④函数()()F x f x a =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数1()y f x =与2y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=,其中a 为常数.。
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路高考数学是每位学生备战高考的关键科目之一，其中函数与导数部分作为数学的重点内容之一，需要我们充分理解其中的知识点和解题思路。
本文将详细介绍备考高考数学函数与导数部分的重点知识点和解题思路，帮助同学们在备考过程中更好地准备这一部分考试内容。
一、函数的基本概念与性质在备考高考数学函数与导数部分，首先要掌握函数的基本概念与性质。
函数是两个集合之间的一种对应关系，其中自变量和因变量之间存在确定的对应关系。
在学习函数的过程中，需要掌握函数的定义域、值域、图像和性质等相关概念。
在解题时，常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种函数都有自己的特点和主要的解题方法。
在备考过程中，我们需要深入理解每种函数的定义及其特点，同时掌握它们的常用解题方法。
例如，对于一元一次方程，可以通过求解方程组或消元法来确定方程的解。
二、函数的运算与复合函数函数的运算与复合函数也是备考高考数学函数与导数部分的重点内容。
在函数的运算中，我们常遇到的有函数的加减乘除、复合函数的概念和求导法则等。
同学们要熟练掌握函数的运算方法，能够熟练解答相关题目。
复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序组成的新函数。
在解题时，常用的方法是利用函数之间的复合关系求导，根据链式法则将复合函数的导数转化为基本函数的导数。
通过反复练习和掌握相关的解题技巧，我们能够更好地应对高考中的相关题目。
三、导数的基本概念和运算规则导数是函数在某一点的变化速率，也是备考高考函数与导数部分需要掌握的重点内容之一。
在备考过程中，我们需要理解导数的定义和运算规则，并能够熟练计算导数。
导数的定义是函数变化率的极限值，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
计算导数时，常用的方法有基本导数法则、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等。
在备考过程中，我们要掌握这些法则的使用方法，能够熟练计算各种函数的导数。
四、函数的应用数学函数在实际问题中有着广泛的应用，备考高考数学函数与导数部分也需要理解其中的应用题。
高考数学函数与导数知识点梳理
高考数学函数与导数知识点梳理在高考数学中，函数与导数是非常重要的基础知识点。
掌握好这些知识点，对于高考数学的备考和解题都至关重要。
下面将对高考数学函数与导数知识点进行梳理，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
2. 函数的符号表示：设函数为y=f(x)，x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质：3.1 定义域：函数的自变量的取值范围。
3.2 值域：函数的因变量的取值范围。
3.3 奇偶性：函数关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数，否则为非奇非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数：y=ax+b，其中a、b为常数，a不为0。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不为0。
3. 幂函数：y=x^a，其中a为常数。
4. 指数函数：y=a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。
6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
7. 反三角函数：包括正弦反函数、余弦反函数、正切反函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在坐标平面上的表示，可通过描点法或作图工具绘制。
2. 函数的增减性与极值：函数在某个区间上递增时，图像是上升的；在某个区间上递减时，图像是下降的。
3. 函数的奇偶性与轴对称：函数的奇偶性与轴对称与函数的性质有关。
四、导数的概念和性质1. 导数的定义：函数在某一点的导数是该点切线的斜率。
2. 导数的符号表示：函数f(x)的导数表示为f'(x)或dy/dx或y'。
3. 导数的性质：3.1 导数存在性：函数在某一点可导意味着该点的左导数和右导数都存在，且相等。
3.2 导数与函数图像的关系：函数图像在导数不为零的点处有切线。
五、常见函数的导数1. 一次函数的导数：一次函数y=ax+b的导数为a。
【最新】高一数学必修二各章知识点总结
【最新】高一数学必修二各章知识点总结高一数学必修二各章知识点总结如下：第一章：函数与二次函数1. 函数的概念及性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2. 二次函数的基本性质：顶点、对称轴、单调性、零点、图像的开口方向。
3. 一次函数与二次函数的比较与关系：求解一次函数与二次函数的交点等。
4. 二次函数的图像与方程：画出给定二次函数的图像，根据图像确定二次函数的方程等。
5. 二次函数与根式、指数、对数的应用。
第二章：三角函数1. 角度制与弧度制的转换。
2. 弧度制下的任意角的三角函数值的计算。
3. 三角函数的简单性质及其关系：同角三角函数的相互关系、倒数三角函数的相互关系等。
4. 三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质等。
5. 三角函数的应用：三角函数在几何、物理、工程等领域的应用。
第三章：指数与对数函数1. 指数的定义、性质及运算规律：指数与乘法、除法、乘方运算规律等。
2. 对数的定义、性质及运算规律：对数与指数的关系、对数运算法则等。
3. 指数函数与对数函数的简单性质与图像：指数函数与对数函数的基本性质、图像和性质等。
4. 指数函数与对数函数的应用：指数与对数在增长与衰减、微积分、金融等领域的应用。
第四章：数列1. 数列的概念与性质：等差数列、等比数列、通项公式、前n 项和等。
2. 数列的运算：数列的加减乘除等。
3. 等差数列与等差中项：等差数列的通项公式、等差数列的求和公式、等差数列的奇数项和、以及奇数和与偶数和等。
4. 等比数列与等比中项：等比数列的通项公式、等比数列的求和公式、等比数列的前n项和、无穷等比级数等。
5. 等差数列与等差中项的应用：等差数列在等价代换、简化形式、利润计算等方面的应用。
第五章：排列与组合1. 排列与组合的基本概念：排列、组合的定义与计算方法等。
2. 排列与组合的计算：排列与组合的计算公式、乘法原理、加法原理等。
3. 排列与组合的应用：排列与组合在概率、几何、数学问题解法等领域的应用。
2024高考数学函数与导数精粹
2024高考数学函数与导数精粹函数与导数是高考数学中的重要内容，它们对于数学的基础建设和应用都具有重要意义。
本文将通过对函数与导数的精要论述，帮助学生深入理解并灵活运用相关知识点，为2024高考数学复习提供有效的指导。
一、函数的基本概念与性质函数是一个非常常见且广泛应用的数学工具。
函数可以简单理解为一种对应关系，即对于给定的自变量，有唯一确定的因变量与之对应。
函数可以用数学符号表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
函数的性质有以下几个方面：1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是对应的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的图像关于y轴对称性来判断。
若f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 单调性：函数的单调性可以通过导数的符号来判断。
若f'(x) > 0，表示函数单调递增；若f'(x) < 0，表示函数单调递减。
4. 极值与最值：函数的极值可以通过导数的零点来判断。
若f'(x) = 0，且f''(x) ≠ 0，则在该点处函数有极值。
二、导数的概念与基本运算法则导数是函数变化率的度量，可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数的计算可以通过极限的方法进行。
函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，它的计算方法可以使用以下几个基本运算法则：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即(d/dx)c = 0。
2. 幂次法则：若f(x) = x^n，其中n为常数，则导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差法则：若f(x) = u(x) ± v(x)，则导数为f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘法法则：若f(x) = u(x) × v(x)，则导数为f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数
第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2) 第三章 (对应学生用书(文)、(理)22～23页)考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．① 了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型.1. (必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3，4)解析：当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)．2. (必修1P110复习3改编)函数y＝8－16x的定义域是________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34解析：由8－16x≥0，所以24x≤23，即4x≤3，定义域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.3. (必修1P67练习3)函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a＜－1或1＜a＜ 2.4. (必修1P71习题13改编)已知函数f(x)＝a＋14x＋1是奇函数，则常数a＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－12.5. (原创)函数y＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫45|x－1|的值域为__________.答案：(1，2]解析：设y′＝⎝⎛⎭⎪⎫45u，u＝|x－1|.由于u≥0且y′＝⎝⎛⎭⎪⎫45u是减函数，故0<⎝⎛⎭⎪⎫45|x－1|≤1，则1＜y≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y＝a x (a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R．2. 指数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(1) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1(1) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (2) 当x＞0时，f(x)>1；x＜0时，0<f(x)<1(2) 当x＞0时，0<f(x)<1；x＜0时，f(x)>1(3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞，＋∞)上是减函数[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c<4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c<4.综上知，总有2a ＋2c<4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于a x －1≠0，则a x≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R ，且x≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a －x －1＋12)(－x)3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ② 当0<a<1时，f(x)＝（a x＋1）x32（a x－1）， 当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·西安一检)函数y ＝a x－1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·温州二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x＋x ＋1＝f(x)＋1.3. (2013·天津)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·湖南)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x 、b x 、c x不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长， 所以0<2a≤c，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x＝2， 即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.2. 已知f(x)＝(e x－1)2＋(e －x－1)2，则f(x)的最小值为________． 答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x，则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈ [2，＋∞)，所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，作图易知f(x)≤K＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a xlna－1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e.1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。
高三数学导数和函数知识点
高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。
函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。
2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。
但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。
3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。
4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。
5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。
二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。
三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。
高考文科导数知识点总结
高考文科导数知识点总结高考是每个学生都渴望成功的重要考试，其中文科类科目的一项重点是数学。
在数学中，导数是一个关键的知识点。
本文将对高考文科中与导数相关的知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和应用导数。
一、导数的定义与求法导数是函数与自变量之间的变化率关系。
在数学中，我们通常使用极限的概念来定义一个函数的导数。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df/dx。
求函数的导数可以使用以下几种方法：1. 函数基本求导法则：常数法则、幂法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等；2. 利用导数定义进行求导：利用导数的定义进行求导是一种基础的方法，根据导数定义计算极限得到准确的导数值；3. 复合函数求导法则：根据复合函数的求导法则可以求得复合函数的导数。
二、导数在函数图像中的应用导数在研究函数图像中有着重要的应用。
下面列举了一些常见的应用：1. 切线和法线：导数有助于确定函数图像上某点的切线和法线，切线的斜率等于该点的导数值，法线的斜率为导函数的负倒数；2. 函数的增减与极值：导数为正说明函数单调递增，导数为负说明函数单调递减，导数为零的点可能是函数的极值点；3. 函数的凹凸性与拐点：利用导数的二阶导数可以判断函数图像的凹凸性，凹函数和凸函数在导数的正负变化处有转折点，即拐点。
三、导数在变化率问题中的应用导数在变化率问题中也有着广泛的应用，比如速度、密度等问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 平均变化率与瞬时变化率：平均变化率是指在两个点之间的变化率，瞬时变化率是指在某一点的瞬时速度；2. 边际变化与边际效益：导数还可以用来表示某一变量的边际变化，比如边际利润、边际成本等；3. 最优化问题：通过求解导数为零的点可以得到函数的最值点，这在最优化问题中十分常见。
四、常见的导数公式在高考文科中，以下是一些常见的导数公式，学生们可以熟练掌握和应用：1. 常数函数的导数为零；2. 幂函数的导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中n为常数；3. 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x；4. 对数函数的导数公式：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；5. 三角函数的导数公式：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)；6. 反三角函数的导数公式：(arcsin(x))' = 1/sqrt(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/sqrt(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。
高三数学函数和导数知识点
高三数学函数和导数知识点在高三数学学习中，函数和导数是非常重要的知识点。
函数是数学中的一种基本概念，而导数则是函数的一种重要性质。
掌握了函数和导数的相关知识，不仅对于高考数学考试有很大帮助，也对于理解和应用数学在各个领域都具有重要意义。
本文将介绍一些高三数学中关于函数和导数的知识点。
一、函数的定义与性质函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，函数通常用符号表示，例如f(x) = x²，表示f是一个函数，x为自变量，x²为f对应的因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数还可以按照其性质进行分类。
常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数的表达式一般为f(x) = kx + b，其中k和b为常数；二次函数的表达式一般为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
其他函数类型的表达式和性质可以根据具体情况来确定。
二、导数的定义与计算方法导数是函数的一种重要性质，它描述了函数在某个点上的变化率。
函数在某个点x处的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或y'。
导数的定义可以用极限的概念来表述，即f'(x) = limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
导数表示了函数在该点上的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
计算导数时，可以运用多种方法，例如使用导数的定义进行推导，或者利用一些常见函数的导数公式进行计算。
常用的导数计算方法包括常数法则、乘法法则、链式法则以及逆三角函数导数等。
在计算导数时，需要注意运用合适的法则和规则，并进行简化和化简运算，以得到最终的导数表达式。
三、函数的图像与性质了解函数的图像与性质对于理解函数的变化规律和应用函数具有重要作用。
根据函数的表达式，可以画出函数的图像，并通过图像来研究函数的性质。
(全国通用)高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数
第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页),1. (必修1P 63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1) 3a 2＝________；(2) a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab 3＝________．答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________． 答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______．答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b＜a ＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式⇔2a =3b⇔a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念① n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂(1) 分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂是a mn ，m 、n∈N *，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n＝1(a>0，m 、n∈N *，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．(2) 有理指数幂的运算性质① a s a t ＝a s ＋t(a>0，t 、s∈Q )；② (a s )t ＝a st(a>0，t 、s∈Q )；③ (ab)t ＝a t b t(a>0，b ＞0，t∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质① alog a N ＝N ；② log a a N＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1log b a .(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a MN ＝log a M －log a N ；③ log a M n＝nlog a M (n∈R )； ④ log am M n＝n m log a M.[备课札记]题型1 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5；(3) a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a.解：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋108＝110.(2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b×a 13×a 13＝a.备选变式（教师专享） 化简下列各式：(1) 12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋34313－⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13；(2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：(1)33；(2)－5ab 4ab 2.题型2 对数的运算例2 求下列各式的值．(1) log 535＋2log 12 2－log 5150－log 514；(2) log 2125×log 318×log 519.解：(1) 原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12.变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；(2) 已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13. (2) 由题意，得b ＝log 185，故log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 185log 18324－log 189＝a ＋b2－a.题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z＞1，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，于是1x ＝log k 3，1y ＝log k 4，1z ＝log k 6，从而2x ＋1y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 32＋log k 4＝log k 36＝2log k 6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0.3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1； 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1， 故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog 34＝1，求23x－2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog 34＝1，知4x＝3， ∴23x－2－3x2x ＋2－x ＝()2x －2－x ()22x ＋2－2x ＋12x＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x＋1）22x＋1＝（3－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________． 答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log 23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 3. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由于log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c，若a ＋b c ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，c ＝log 6t ，所以a ＋b c ＝log 2t log 6t ＋log 3t log 6t ＝log t 6log t 2＋log t 6log t 3＝log 26＋log 36＝2＋log 23＋log 32.因为2<log 23＋log 32<3，所以4<a ＋bc <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b.2. 已知三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________． 答案：3解析：∵ 三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，∴ (x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12log 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13log 32(x ＋log 32)，解得x ＝－14log 32，∴ 公比q ＝x ＋log 32x ＋12log 32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，则a 的取值范围是________．答案：a≥2解析：∵ a＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ log a x ∈[1，1＋log a 2]．又由y∈[a，a 2]，得 log a y∈[1，2]， ∵ log a y ＝3－log a x ，∴ 3－log a x ∈[1，2]， ∴ log a x ∈[1，2]，∴ 1＋log a 2≤2，log a 2≤1，即a≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋n －1＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．解：左边＝log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1＝log a (m ＋n)，∴ 已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理
• (2)有理数指数幂的性质 • ①aras＝___a_r_＋_s __(a>0，r，s∈Q)； • ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)； • ③(ab)r＝___aa_rrbs_r___(a>0，b>0，r∈Q)．
• 3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
数是带分数的，先化成假分数． • (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答．
39 【例 1】 计算：(1) a2
a－3÷
3 a－73 a13；
1
(2)(0.027)－3
－17－2＋27921
－(
2－1)0；
3
3
1
(3)已知 m2
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)n an与(n a)n 都等于 a(n∈N*)．( × ) (2)2a·2b＝2a b．( × ) (3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若 am<an(a>0 且 a≠1)，则 m<n.( × ) (5)函数 y＝2－x 在 R 上为单调减函数．( √ )
∴f(0)＋f(1)＝a，
即 a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得 1＋loga2＝0，解得 a＝12.
•易错点 忽视对含参底数的讨论
• 错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数 时，要分底数大于1和大于0小于1讨论．
【例 1】 已知函数 f(x)＝|aa2－－19|(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)在 R 上为增函数，求 a 的取
∵f(x)的定义域为 R，且 f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数
第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3) 第三章(对应学生用书(文)、(理)24～25页)1. (必修1P 112测试8改编)已知函数f(x)＝log a x(a>0，a ≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，1)解析：因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，则a ∈(0，1)．2. (必修1P 89练习3改编)若幂函数y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f(25)＝________． 答案：15解析：设f(x)＝x α，则13＝9α，∴ α＝－12，即f(x)＝x －12，f(25)＝15.3. (必修1P 111习题15改编)函数f(x)＝ln 1－x1＋x 是________(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln1－x1＋x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 4. (必修1P 87习题13改编)不等式lg(x －1)<1的解集为________. 答案：(1，11)解析：由0<x －1<10，∴ 1<x<11.5. (必修1P 87习题14改编)对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则f （x 1）＋f （x 2）2与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小关系是______________________.答案：f （x 1）＋f （x 2）2≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：(解法1)作差运算；(解法2)寻找f （x 1）＋f （x 2）2与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的几何意义，通过函数f(x)＝lgx 图象可得．1. 对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2. 对数函数的图象与性质3. 幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．4. 幂函数的图象5. 幂函数的性质[备课札记]题型1 对数函数的概念与性质例1 (1) 设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是12，则a ＝________；(2) 若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________；(3) 设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4) 已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.答案：(1) 4 (2) c ＜b ＜a (3) －1＜x ＜0 (4) 12，2解析：(1) ∵ a>1，∴ 函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上是增函数，∴ log a 2a －log a a ＝12，∴ a ＝4. (2) 由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3) 由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－1，则由lg 1＋x1－x<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x>0，1＋x1－x<1，解得－1<x<0.(4) 结合函数f(x)＝|log 2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn ＝1，所以f(m 2)＝|log 2m 2|＝2，解得m ＝12，所以n ＝2. 变式训练(1) 设log a 23＜1，则实数a 的取值范围是________；(2) 已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________； (3) 若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________； (4) 若函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1) 0＜a ＜23或a ＞1 (2) a ≤0 (3) (－1，＋∞) (4) [1，2)解析：(1) 分a ＞1与a ＜1两种情形进行讨论． (2) 值域为R 等价于x 2＋a 可以取一切正实数．(3) 函数f(x)的图象是由y ＝log a |x|的图象向左平移1个单位得到，∴ 0<a<1.(4) 令g(x)＝x 2－2ax ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，g （1）>0，解得1≤a<2. 题型2 幂函数的概念与性质例2 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1) 求m 的值；(2) 求满足不等式(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m3的实数a 的取值范围．解：(1) 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －9<0，所以m<3. 因为m ∈N *，所以m ＝1或2.又函数图象关于y 轴对称，所以3m －9是偶数，所以m ＝1. (2) 不等式(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m 3即为(a ＋1)－13<(3－2a)－13.结合函数y ＝x －13的图象和性质知：a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a. 解得a<－1或23<a<32，即实数a 的取值范围是a<－1或23<a<32.备选变式（教师专享）已知幂函数y ＝f(x)经过点⎝⎛⎭⎫2，18. (1) 试求函数解析式；(2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 解：(1)由题意，得f(2)＝2a ＝18a ＝－3，故函数解析式为f(x)＝x －3.(2)定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，关于原点对称， 因为f(－x)＝(－x)－3＝－x －3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为()－∞，0，()0，＋∞. 题型3 指数函数、对数函数的综合问题例3 已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R )是偶函数． (1) 求k 的值；(2) 设g(x)＝log 4⎝⎛⎭⎫a·2x －43a ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解：(1) 由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴ log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴ k ＝－12.(2) 函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a·2x －43a 有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a－1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a ≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a ≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即－1a －1<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1) 求函数y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3) 当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间()1，＋∞上恒取正值．解：(1) 由a x －b x >0，得⎝⎛⎭⎫a b x >1，因为a>1>b>0，所以ab >1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1<bx 2，则－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB 平行于x 轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴．(3) 由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a －b)≥0，即a －b ≥1，所以当a ≥b ＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________．答案：c ≥18解析：由题意，⎩⎨⎧c>0，x （x ＋c ）2≤2在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以c ≥18. 2. (2013·辽宁)已知函数f(x)＝ln ()1＋9x 2－3x ＋1，则f(lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝________． 答案：2解析：f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋ln(1＋9x 2＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 3. (2013·江西检测)已知x 13＋(log 130.5)－y<(－y)13＋(log 130.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．答案：x ＋y<0解析：由x 13＋(log 130.5)－y <(－y)13＋(log 130.5)x ，得x 13－(log 130.5)x <(－y)13－(log 130.5)－y .设f(x)＝x 13－(log 130.5)x ，则f(x)<f(－y)，由于0<log 130.5<1，所以函数f(x)是R 上的增函数，所以x<－y ，即x ＋y<0.4. (2013·南通密卷)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x ，x<2，log 3（x ＋1），x ≥2，若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．答案：14解析：易得x ∈R ，f(x)>0，由af 2(x)≥f(x)－1，得a ≥f （x ）－1f 2（x ）＝1f （x ）－1f 2（x ）＝14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）－122≤14(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a 的最小值为14.1. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x ≠12时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝12对称，而f(x)＝log 2⎪⎪⎪⎪x －1a ＋log 2|a|，从而1a ＝12，所以a ＝2. 2. 已知函数f(x)＝x 23，x ∈[－1，8]，函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]，若存在x ∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，14∪[1，＋∞) 解析：分别作出函数f(x)＝x 23，x ∈[－1，8]与函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a ＝1；当直线经过点(8，4)时，a ＝14.结合图象有a ≤14或a ≥1.3. 已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a ＝b(舍去)或b ＝1a ，得a ＋2b ＝a ＋2a.又0<a<b ，所以0<a<1<b.令f(a)＝a ＋2a ，则f′(a)＝1－2a 2＜0，所以f(a)在a ∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1) ＝1＋2＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．4. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1()m>0，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求b a的最小值． 解：由题意得x A ＝⎝⎛⎭⎫12m ，x B ＝2m ，x C ＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x D ＝282m ＋1，所以a ＝|x A －x C |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12m －⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，b ＝|x B －x D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m－282m ＋1，即b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋12－m －2－82m ＋1＝282m ＋1·2m＝282m ＋1＋m. 因为82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212（2m ＋1）×82m ＋1－12＝72，当且仅当12(2m ＋1)＝ 82m ＋1，即m ＝32时取等号．所以，b a 的最小值为272＝8 2.1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论．2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性．请使用课时训练（B）第9课时（见活页）.。
19版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第8讲指数与指数函数精选课件理
指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先 化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算 性质来解答．
【例 1】 计算：(1) a (2)(0.027)
R 上为减函数．
2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( A ) A．(－∞，0] C．(－∞，0) B．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析 ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0.
3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( A ) A．(1,5) C．(0,4) 解析 当x＝1时，f(x)＝5. {x|－1<x<2} 4．不等式2x2－x<4的解集为____________. 解析 不等式 2x2 － x<4 可化为 2x2 － x<22 ，由指数函数 y ＝ 2x 的性质可得， x2 － x<2，解得－1<x<2，故所求解集为{x|－1<x<2}． B．(1,4) D．(4,0)
1．思维辨析(在括号内打“√”或“× ”)． (1) a 与( a)n 都等于 a(n∈N*)．( × ) (2)2a· 2b＝2a b．( × ) (3)函数 y＝3· 2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若 am<an(a>0 且 a≠1)，则 m<n.( × ) (5)函数 y＝2－x 在 R 上为单调减函数．( √ )
－
3
9 2
a ÷
－3
3
a
－7 3
a13；
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数
第二章函数与导数第14课时函数的综合应用第三章(对应学生用书(文)、(理)37～39页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用．① 能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力.②熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修1P87习题13改编)已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．答案：(2－log32，11)解析：由33－x<6，知3－x<log36，即x>3－log36，所以A＝(2－log32，＋∞)．由lg(x－1)<1，知0<x－1<10，即1<x<11，所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log32，11)．2. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．答案：－32解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a＋b)＋12＝－32.3. (原创)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案：[5，7]解析：f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4. (原创)已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x1、x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①②④解析：令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案：(－3，0)解析：f(x)＝||x －1|－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1，x ≤0或x≥2，1－|x －1|，0<x<2，方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(x 21－2)2－4，则t ＝(x 21－2)2－4，易得－3<t<0.[备课札记]题型1 已知函数解析式研究函数的性质例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22，所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 备选变式（教师专享）关于函数f(x)＝lg x 2＋1|x|(x>0，x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号)① 函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；② 在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③ 函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④ 在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 答案：①③④解析：由f(－x)＝lg （－x ）2＋1|－x|＝lg x 2＋1|x|＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg 52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，知②错误；由x 2＋1|x|＝|x|＋1|x|≥2，知f(x)＝lg x 2＋1|x|≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．题型2 函数图象与函数性质的联系例2 已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1) 若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)＝f （x ）x ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x<0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图如下．(2) 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a .当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a<14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a>12.(3) 当x∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋2a －1x －1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－（2a －1）x 1x 2.因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.备选变式（教师专享）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，其中b>0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)＝x ＋a(a∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1) ∵ 当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b 2＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴ b ＝4，c ＝2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.(2) 记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a ≥2.(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4（2－a ）>02－a≥0⎩⎪⎨⎪⎧a>－14a≤2－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴ 2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－14.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴ 符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 题型3 函数的最值与不等式恒成立问题例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.(1) 求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2) 对一切x∈(0，＋∞)，2f (x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．(1) 解：f′(x)＝lnx ＋1，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．① 当0<t<t ＋2<1e 时，t 无解；② 当0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③ 当1e ≤t<t ＋2，即t≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ，所以f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t<1e ，tlnt ，t ≥1e .(2) 解：由题意，要使2xlnx ≥－x 2＋ax －3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx ＋x ＋3x恒成立．设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x (x>0)，则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2. 当x∈(0，1)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增． 所以x ＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值， 即[h(x)]min ＝h(1)＝4，所以a≤4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)上最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m(x)＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．变式训练定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2) 由题意知，|f (x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，设2x＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t ，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p(t 1)－p(t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a ≠1)．(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2) 若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答： (1) 证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x－1)·lna.(2分)由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f ′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2) 解：当a>0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0) 0 (0，＋∞)f′(x) － 0 ＋ f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a －2lna ， 记g(t)＝t －1t －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2lnt 在t∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ① 当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna ≥e －1a ≥e ， ② 当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －11a＋lna ≥e －10＜a≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12－ln2 解析：由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －1x ，由h′(x)＝0，得x ＝12.易知当x ＝12时，h(x)有极小值为12＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即12＋ln2＋m<0，所以m<－12－ln2.2. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x (x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案：－1，10解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2.由PA 取得最小值，得⎩⎨⎧a≤2，22－4a ＋2a 2－2＝（22）2， 或⎩⎨⎧a>2，a 2－2＝（22）2，解得a ＝－1或a ＝10. 3. (2013·四川)设函数f(x)＝e x＋x －a (a∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案：[1，e]解析：若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝e x＋x －a 在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0， 所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x－2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]．4. (2013·南京期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x ＜2，f （x －2），x ≥2.若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝2524t 2－6t ＋7的值域为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7225＝－4125，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则函数g(x)的最小值是________．答案：1解析：由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝2－x，∴ g(x)＝12(2x ＋2－x)，∴ g (x)≥1.2. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为________．答案：－4解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4aca2＝4ac －b24a，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4. 3. 对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)(x－1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析：由新定义得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x>0.作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<14时，f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴ x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x<0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)， ∴ 1－34<x 1<0，∴ 1－316<x 1x 2x 3<0.4. 已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设a>0，证明：当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ； (3) 若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f′(x 0)＜0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f ′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－（2x ＋1）（ax －1）x . ① 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝1a ，且当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0，当x>1a 时，f ′(x)<0.所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数. (2) 解：设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ， 则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g ′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x2. 当0<x<1a时，g ′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x . (3) 证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0. 不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a －x 1>f(x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.1. 恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．2. 有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．3. 证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．4. 方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．请使用课时训练(A)第14课时(见活页)．[备课札记]。
高考数学函数与导数复习攻略整理
高考数学函数与导数复习攻略整理
考生们了解高考信息有助于更好的规划自己的温习时间，查字典数学网分享了函数与导数温习攻略，供您参考! 函数的观念和思想方法贯串整个高中数学的全进程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值普通为22---35分.普通为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考察反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的运用以及从函数的性质研讨笼统函数。
在解答题中通常考察函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表如今：
1.经过选择题和填空题，片面考察函数的基本概念，性质和图象。
2.在解答题的考察中，与函数有关的试题经常是以综合题的方式出现。
3.从数学具有高度笼统性的特点动身，没有无视对笼统函数的考察。
4.一些省市对函数运用题的考察是与导数的运用结合起来
考察的。
5.涌现了一些函数新题型。
6.函数与方程的思想的作用不只触及与函数有关的试题，而
且关于数列，不等式，解析几何等也需求用函数与方程思想作指点。
7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)效果。
8.求极值，函数单调性，运用题，与三角函数或向量结合。
以上就是为您预备的函数与导数温习攻略，查字典数学网希望对大家有协助。
高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用 第8讲 指数与指数函数课件 理
称变换得到其图像.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求
解.
课堂考点探究
变式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数
y=a (a>0 且 a≠1)与 y=(1-a)x 的图像可能是
[答案]
(1)C (2)C
x
(
)
[解析] (1)若 a>1,则 1-a<0,函数 y=a 单调递
a
c
a
c
a
c
a
c
a<0,0<c<1,且|2 -1|>|2 -1|,所以 1-2 >2 -1,则 2 +2 <2,且 2 +2 >1.故选 D.
课堂考点探究
x
1
[总结反思] (1)研究指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1), -1, .
(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对
.(填序号)
x
①y=-5 ,②y=
1 1-
3
,③y=
1
2
[答案]
②
[解析] 对于②,∵1-x∈R,∴
-1,④y= 1-2 .
y=
1 1-
3
的值域是(0,+∞);①的值
域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④
的值域为[0,1).
课前双基巩固
题组二 常错题
12/11/2021
◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;
A.2018 年
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数
第二章函数与导数第6课时二次函数第三章(对应学生用书(文)、(理)18～19页)考情分析考点新知① 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.②以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点．①掌握二次函数的概念、图象特征.②掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.③掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.,1. (必修1P54测试7)函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．答案：[－3，5]解析：由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2. 二次函数y＝－x2＋2mx－m2＋3的图象的对称轴为x＋2＝0，则m＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)3. (必修1P45习题8改编)函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．答案：3解析：由f(－x)＝f(x)，得a＝1，∴ f(2)＝3.4. (必修1P44习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x－1，x∈[0，＋∞），－x2＋2x－1，x∈（－∞，0）的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知．5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b2a >0，④正确；若a<0，则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b 2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b2a<0，不符合．1. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a≠0)． (3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)．2. 二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b 2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ． (1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是单调减函数，在[－b2a ，＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b24a．(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a． 3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2＝Δ|a|．题型1 求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，即m ＝12；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴ f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.备选变式（教师专享）已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 21 ＋x 22 ＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2×c a ＝12. 又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a a 2－2×a ＋10a ＝12，解得a ＝－2， ∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.题型2 含参变量二次函数的最值例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a<－2），3－a22（－2≤a≤2），5－2a （a>2）.(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1. 由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t∈R .解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上． 当2∈[t，t ＋2]，即t≤2≤t＋2，也就是0≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2[t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t －1，t ＞2，－5，0≤t ≤2，t 2－5，t ＜0.题型3 二次函数的综合应用 例3 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝g （x ）x.(1) 求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x )－k·2x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b ，由题意得 ① ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，g （2）＝1＋b ＝1，g （3）＝3a ＋b ＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，② ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，g （2）＝1＋b ＝4，g （3）＝3a ＋b ＋1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3>1(舍)．∴ a ＝1，b ＝0，g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x －2.(2) 不等式f(2x )－k·2x ≥0，即2x ＋12x －2≥k·2x，∴ k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1. 设t ＝12x ，则k≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[－1，1]，故t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 记h(t)＝t 2－2t ＋1，∵ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ h(t)max ＝1，故所求k 的取值范围是(－∞，1]． 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2.又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称，所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x. 当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．1. 若函数f(x)＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：0≤a≤14解析：当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，符合；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，32a ≥6，解得0<a≤14.综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤14.2. 已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为________．答案：2解析：由题意，x 2－3x ＋m≥2x 2－4x ，即x 2－x －m≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2.3. (2013·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x ＜0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D.若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．答案：－74解析：根据偶函数的定义得a ＝1，b ＝2，c ＝－1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3x C ，x C ＋x D ＝2，所以x C ＝12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12－1＝－74. 4. (2013·新课标)若函数f(x)＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b)的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为________．答案：16解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a ＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a ＋b)＝0，联立，解得a ＝8，b ＝15，所以f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，即f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)．令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16，当t ＝1时，f(x)max ＝16.1. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．答案：(2－2，2＋2)解析：易知，f(a)＝e a －1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋ 2.2. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a 、b∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9解析：根据函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，得到a 2－4b ＝0.又关于x 的不等式f(x)<c ，可化为x 2＋ax ＋b －c<0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数f(x)＝x 2＋ax ＋b －c的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到 c ＝9.3. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32.4. 已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m. (1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2) 解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)， ① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．② 当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则m －22＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；若m ＞6，则m －22＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6.综上，m ≤0或m≥2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．请使用课时训练（A ）第6课时（见活页）.[备课札记]。
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第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2) (对应学生用书(文)、(理)22～23页)1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________． 答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)．2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x 的定义域是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x ≤3，定义域是⎝⎛⎦⎤－∞，34. 3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，则常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝⎛⎭⎫45|x －1|的值域为__________. 答案：(1，2]解析：设y′＝⎝⎛⎭⎫45u ，u ＝|x －1|. 由于u ≥0且y′＝⎝⎛⎭⎫45u 是减函数， 故0<⎝⎛⎭⎫45|x －1|≤1，则1＜y ≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R．2. 指数函数的图象与性质[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x ∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴ 14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x ＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c <4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c ≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c <4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c <4. 综上知，总有2a ＋2c <4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k ≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解：(1) 由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a x －1＋12)(－x)3＝－⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12x 3＝－⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)， 所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ② 当0<a<1时，f(x)＝（a x ＋1）x 32（a x －1），当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·西安一检)函数y ＝a x －1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·温州二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x ＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x ＋x ＋1＝f(x)＋1. 3. (2013·天津)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·湖南)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x 、b x 、c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x ≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长， 所以0<2a ≤c ，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝⎛⎭⎫c a x＝2，即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x ≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x ∈(－∞，1)时，f(x)＝a x＋b x－c x＝c x⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x＋⎝⎛⎭⎫bc x－1>c x ⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －cc >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32 解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎡⎭⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32. 2. 已知f(x)＝(e x －1)2＋(e －x －1)2，则f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x ， 则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈ [2，＋∞)， 所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝⎛⎭⎫12|x|，作图易知f(x)≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x (a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a x lna －1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e .1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。