第三章线形系统时域分析第讲(第七讲)资料
第三章 线性系统的时域分析
0
t
式中A为一常量。若A=1则称为单位阶跃输入信号， 表示为1(t) ，其拉氏变换为1/s。
11
2．斜坡信号 斜坡输入信号表示由零 值开始随时间 作线性增加 的信号(电热水炉加热时的 温度变化信号对温度显示器 而言是一个斜坡输入信号)， 它的数学表达方式为： t 0 0,
1 t T
1 t T
a)
b)
)
（3-17）
T r(t)=t T y(t)
输入、输出间的误差为：
y(t) r(t)
e(t ) r (t ) y(t ) T (1 e
ts 3 ~ 4T
)
e ss lim e(t ) T 稳态误差为： t
0
T
2T
3T
4T
5T t
c(t ) 1 e
t T
可知：
y(t)
斜率=1/T
1
0.632 0.632
1/T
99.3%
5T t
当t=T时，xout(T)=0.632 当t=2T时，xout(T)=0.865 当t=3T时，xout(T)=0.95 当t=4T时，xout(T)=0.982
0
63.2%
T
86.5%
2T
或 0.05c ( )
tp
ts
t
4.最大超调量（简称超调量） M p
c(t)
暂态过程中输出响应的 最大值超过稳态值的百 分数。
Mp c( t p ) c( ) c( ) 100%
c( t p )
Mp
A 100 % B
0.02 c ( )
或 0.05c ( )
线性系统的时域分析法第七讲
第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。
每种方法，各有千秋。
均有他们的适用范围和对象。
本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。
很难用解析的方法表示。
只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。
这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：① 实际系统的输入信号不可知性；② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
线性系统的时域分析法
得:
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
[sinβ
cosω d t+cosβ
sinω dt]
稳态分量
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
sin(ω
d
t+β
)
瞬态分量
第三节 二阶系统的时域分析
2. ζ=0 无/零阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1
C注(意s)=：(sd2+=2ζωnωnn2s2+-ω1n2
状态到最终状态的响应过程。
（2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，
系统输出量的表现方式。
第一节 系统时间响应的性能指标
四、动态性能与稳态性能 （1）动态性能
定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过程随时间t的变化状况的指标。
动态性能指标如下图：
第一节 系统时间响应的性能指标
)
•
1 s
=±ωj n
当= (s2ω+dωn2n2 )1• s1n
=
d
将s1 -不(s复2+存ωs n在2 )
单位阶跃响应曲线 c(t) ζ=0
单位阶跃响应: 1
c(t)=1-cosω nt
0
t
无阻尼振荡频率
第三节 二阶系统的时域分析
3.ζ=1 临界阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1=-ωn
f
(
t
)
=
t
.
1(
t
)
=
t
0
t 0 t<0
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] = F ( s ) = t
0
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
第3章 线性系统时域分析法
C(s)
n2
1
n2
1 A1 A2
s 2 2n s n 2 s s(s s1 )(s s2 ) s s s1 s s2
其中A1 2
1
2 1(
2 1)
1
A2 2
2 1(
2 1)
c(t) 1 1 ( 1
e ( 2 1)nt
1
e ) ( 2 1)nt
2 2 1 2 1
二阶系统的最大超调量只与 有关，阻尼比 越小，超调量越
大。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
25
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
26
c() 1
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
7
自动控制原理
3.1.2 稳态指标与动态指标
动态过程又称为过渡过程，是指系统从加入输入信号的瞬时起，到 系统输出量到达稳态值之前的响应过程，它表征系统的稳定性和对 输入信号响应的快速性。稳态过程是指时间趋于无求大时的输出状 态，它表征系统输出量最终复现输入量的准确性。
控制系统中负载的突变；对于随动系统（如火炮方位角控制系
统），相当于加一突变的给定位置信号。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
3
自动控制原理
2 斜坡信号
0,
t0
r(t) v0t,
t0
R(s) 1 s2
斜坡信号是一个对时间做均匀变化的信号，可模拟以恒定速度变 化的物理量，例如机械手的等速移动、数控机床加工斜面时的进 给指令、通信卫星跟踪系统的跟踪直线飞行目标等。
1 稳态指标
控制系统在稳态下的精度怎样，是它的一项重要的技术指标，该稳 态指标通常用稳态下系统输出响应的期望值与实际值之间的差来衡 量，称为稳态误差。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
第三章线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法3.1 知识框架3.2 重难点控制系统的性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标，在确定系统的数学模型后，便可以⽤⼏种不同的⽅法去分析控制系统给的动态性能和稳态性能，在经典控制理论中，经常使⽤时域分析法、根轨迹分析法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。
所谓时域分析法，是指控制系统在⼀定的输⼊信号作⽤下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
时域分析法是⼀种直接在时间域中对系统进⾏分析的⽅法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
由于控制系统的传递函数和微分⽅程之间具有确定的关系，因此在系统初始条件为零时，常常利⽤传递函数来研究控制系统的特性。
3.2.1 典型输⼊信号名称时域表达式复域表达式单位阶跃函数 1(),0t t ≥ 1s 单位斜坡函数 ,0t t ≥21s 单位加速度函数 21,02t t ≥ 31s 单位脉冲函数 (),0t t δ≥1 正弦函数sin A t ω22A ωω1) ⼆阶系统的时域分析；动态响应指标的求取；由动态响应指标确定⼀、⼆阶系统模型参数 2) 系统型别，开环放⼤增益，静态误差增益，根轨迹增益 3) 主导极点、附加闭环零、极点的概念，⾼阶系统简化为⼆阶系统 4) 劳斯稳定性判据；稳态误差5) 系统参数变化对系统稳定性、动态性能、稳定性的影响3.2.2 系统的时域性能指标(1) ⼀般认为，阶跃输⼊对系统来说是最严峻的⼯作状态。
描述稳态的系统在单位阶跃函数作⽤下，动态过程随时间t 的变化情况的指标，称为动态性能指标。
为了便于分析和⽐较，假定系统在单位阶跃输⼊信号作⽤前处于静⽌状态，⽽且输出量及其各阶倒数均等于零。
对⼤多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。
如图：延迟时间d t ：响应曲线第⼀次到达其终值⼀般所需的时间上升时间r t ：指响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从第⼀次上升到终值所需的时间。
第三章-线性系统的时域分析法(简)
劳斯表出现全零行:
系统在s平面有对称分布的根：
①大小相等符号相反的实根
j
0
②共轭虚根
j
③对称于实轴的两对共轭复根
j
0
0
• 特殊情况3：多行元素全为零
Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根， 则系统不稳定。
参看：《现代控制系统》第八版 Richard C.Dorf Robert H.Bishop著
名称
时域表达式 复数域表达式
单位阶跃信号 1(t) , t 0
1 s
单位斜坡信号 t , t 0
1 s2
单位加速度信号 1 t 2 , t 0
2
1 s3
单位脉冲信号 (t) , t 0
1
正弦信号
A
As
Asint Acost s2 2 s2 2
二、 动态过程与稳态过程 P78
➢ 动态过程（过渡过程、瞬态过程）： 在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状
s5
1
5
6 解决方法：
s4
1
由全0行的上一行元素构
5
6 成辅助方程F(s)=0，并
s3 0 4 0 10 0 对其求导后，用所得系数
s2 5/2
6
代替全0行的元素。
s1 2/ 5
例如：F(s) s4 5s2 6 0
s0
6
求导得: F(s) 4s3 10s1 0
s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1
第三章 线性系统的时域分析法
本章主要内容: 3.I 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
第三章 线性系统的时域分析
1
R(s) L (t) 1 0
t
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
各函数间关系：
t 积分1t 积分 t 1t 积分 1 t 2 1t
求导 求导
求导 2
（5）正弦函数
f(t)
rt Asint
R(s) LAsint A 0
t
s2 2
考查随动系统在波浪环境中的控制和跟随能力
二. 阶跃响应的时域性能指标
轴上，使得系统的响应表现为 s2
过阻尼的。
s1 0
s1,2 n n 2 1
(2) ξ=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上， 使得系统的响应表现为临界阻尼的。
(3) 0 < ξ < 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面
c阶 (t)
即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。
3.2.3
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts 1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
时输出称为脉冲（冲激）响应
函数，以g(t)标志。
g (t
)
C脉冲
(t)
1 T
e
t T
0.368/T
0.135/T
0.05/T
0 T 2T 3T
t
于0。有差跟踪。
斜坡响应（续）
2．初始速度：dc(t
dt
)
|t0
1
e
t T
|t0 11 0
t
3
e ss
lim[r(t) c(t)] lim(T
t
t
Te
T )T
表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单 位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。
第三章 线性系统时域分析
c(t p ) =1−
e
−ςωnt p
1−ς 2
sin( n 1−ς t p + β) =1− ω
2 2
e
−πς / 1−ς 2
1−ς 2
−πζ / 1−ζ 2
sin( + β) π
Q sin( + β) = − 1−ς π
∴ c(t p ) =1+ e
根据超调量的定义，并考虑到 c(∞) =1
M
4 ςω n ts = 3 ςωn
实际上，上述各项性能 指标之间的存在矛盾， 例如上升时间（响应速 度）和超调量（阻尼程 度或相对稳定性）
∆ = 2%
(0 < ς < 0.9)
∆ = 5%
3.3二阶系统的时域分析
控制系统设计以欠阻尼为主
−
ζπ
1−ζ 2
超调量
依照一阶系统调节时间的计算 公式可以近似估算二阶系统欠 阻尼调节时间
第三章 控制系统的时域分析
所谓时域分析法,就是对系统外施一个给定输入 信号,通过研究控制系统的时间响应来评价系统 的性能. 由于系统的输出量一般是时间t 的函数, 故称这种响应为时域响应. 它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方 法,具有直观,准确,物理概念清楚的特点,尤其适 用于二阶系统. 本章研究时域分析法,包括低阶系统的动态性能, 高阶系统运动特性的近似分析,系统稳定性的判 定,静态误差等.
第三章 线性系统的时域分析法
在单输入单输出控制系统中，当系统的数学模型建 立之后，控制系统的动态性能和稳态性能的分析可以运 用时域分析法、根轨迹法和频域法；如果系统系统模型 是状态空间模型，可以运用状态空间分析与设计方法。 本章研究线性控制系统性能分析的时域法。
线性系统的时域分析方法
线性系统的时域分析⽅法第三章线性系统的时域分析⽅法教学⽬的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应⽤，以及稳态误差计算⽅法，掌握⼀阶、⼆阶系统的时域分析⽅法。
教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应⽤劳斯判椐判断系统稳定性，⼆阶系统的动态响应特性分析。
教学难点：⾼阶系统的的动态响应特性分析。
本章知识结构图：系统结构图闭环传递函数⼀阶标准式⼆阶标准式特征⽅程稳定性、稳定域代数判据误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益公式静态误差系数第九讲3.1 系统时间响应的性能指标⼀、基本概念1、时域分析⽅法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的⽅法。
（1）响应函数分析⽅法：建⽴数学模型→确定输⼊信号→求出输出响应→根据输出响应→系统分析。
（2）系统测试分析⽅法：系统加⼊扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。
系统举例分析：举例：原料⽓加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三⼤要点（1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准）（3）稳定性（稳）⼆、动态性能及稳态性能1、动态过程（过渡过程）：在典型信号作⽤下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。
（衰减、发散、等幅振荡）2、稳态过程：在典型信号作⽤下，当t → ∞ 系统输出量表现的⽅式。
表征输出量最终复现输⼊量的程度。
（稳态误差描述）3、动态稳态性能指标图3-1温度控制系统原理图（1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。
（2）峰值时间tp ：从零时刻到达第⼀个峰值h(tp)所⽤的时间。
（3）超调量δ%：最⼤峰值与稳态值的差与稳态值之⽐的百分数。
（稳）（3-1）%100)(()(%?∞∞-=h h t h p ）δ（4）调节时间ts ：输出响应到达并保持在稳态值h(∞)±5%误差带内所⽤的最短时间。
（快）（5）稳态误差ess ：若时间t - ∞，系统理想输出值与实际输出值的偏差，即ess=输出理想值-实际输出值。
3. 第三章 线性系统的时域分析(基本概念)--自动控制演示文稿(复习)
3.稳态响应
指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋
于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响 应又称稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。 4.稳定性 若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬 态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零， 则称系统稳定；反之，不稳定。
退出
控制系统能在实际中应用，其首要条件是保 证系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当 受到外界或其内部一些因素的扰动，如负载 或电源的波动，系统的变化等，就会使系统 的输出量越来越偏离其平衡状态，即使在扰 动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状 态。控制系统的稳定性取决于系统本身的结 构和参数，与外加信号无关。
退出
(3) 最大超调量一般用下式定义控制系统的最大超调量，即
p
c(t) c() c()
100%
按定义，考虑到c(∞)＝1，得
p e 1 2 100%
（4）过渡过程时间ts 过渡过程时间ts，又称为调节时间ts。其定义为：单位阶跃响应C（t）进行到使下式成 立所需的时间，定义为过渡过程时间，即
L i0
i1!e(i )(0)r (i )(t )
k
i0
i1!ef
(i)(0)f
(i )(t )
退出
2、利用终值定理求稳态误差
当sE(s)的极点全部在s 平面左半部时，可应
用终值定理计算在时间t 趋于无穷的稳态
误差ess () ，即
ess
()
lim
t
ess
(t)
退出
2、二阶系统单位阶跃响应仿真
仿真的数学模型取为
C(s) R(s)
s2
第3章 线性系统的时域分析法
ts=3T=0.03/ KH 0.1=0.03/ KH KH=0.3
-
图3.5 系统结构图
例3.2 试 证一阶响应曲线的次割距相等，且等于T。
证：
1 - h(tA ) dh(t ) tB - tA dt
t t A
图3.6一阶系统响应的次割距
1 (1 e tB t A
3. 单位脉冲响应 K(s)= Φ （s）*R(s) =Φ （s）*1=Φ （s） K(t)=L-1[Φ (s)]
四．阶跃响应的性能指标
图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标
１、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所 需时间。 ２、超调量σ% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值 的百分数。
h(t d ) 0.5
2 sin( 1 2 n t d arc cos ) 1
2
ntd
1
ln
在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合 方法，当阻尼比在欠阻尼时
1 0.6 0.2 2 td n
或
1 0.7 td n
2 2 1 1
ts
1
n
(6.45 1.7)
5%误差带 ξ>=0.7
图3.8过阻尼二阶系统h(t)曲线
四 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s1,2= -ωn
2 n 1 1 c( s ) ( s ) 2 s (s n ) s
h(t ) L1[c(s)] 1 (1 n t )e nt
td
计算
1
1 0.6 0.2 2 td n
（2）上升时间
tr
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0.02
2019/12/15
自动控制原理
2
3.3.4 二阶系统的动态校正
对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
(s)
K
Tm S 2 S K
n
K Tm
tr d
1 1
2 Tm K
n 一定
%
h(t
p
)
h()
100%
S(S 2 n 1)
(3-33)
闭环传递函数为
2019/12/15
自动控制原理
4
(s) G(s)
1 G(s)
S2
n 2 (Td S 1) 2n S Tdn 2 S n 2
S2
Td n 2
(S
1 Td
)
(2n Tdn 2 )S
n2
Tdn2 2 'n
z
1 Td
故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
2019/12/15
自动控制原理
5
当输入为单位阶跃函数时
C(s)
(s)R(s)
S2
SZ
2n S
n2
n2
Z
1 S
n2
1
Sn 2
S(S 2 2n S n2 ) Z S(S 2 2n S n2 )
1
1d 2
e dnt
s in( n
1d2t )
z
n 1d2
e dnt
sin n
1d2t
2019/12/15
自动控制原理
6
r Z 2 2d Zn n 2 h(t) 1 re dnt sin(n 1 d 2 t )
j1
k 1
k 1
注释：
由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成 输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。
arctg[n 1 d 2 (Z dn )] arctg( 1 d 2 d )
2019/12/15
自动控制原理
7
3.4 高阶系统的时域响应
设高阶系统闭环传递函数的一般形式为
C(s) R(s)
b0S m b1S m1 bm1S bm S n| a1S n1 an1S an
第7讲
高阶系统的时域分析
2019/12/15
自动控制原理
1
上讲回顾
R(s)
_
ωn2
C(s)
S(S+2ξωn)
欠阻尼 0 1
h(t) 1
1
1 2
e nt
sin(d t
)
,t 0
1 2
arctg
arccos
d n 1 2
%
n q 2r , q为实极点的个数， r为复数极点的对数。
将式（3-47）用部分分式展开，得
C(s)
A0 s
q j 1
Ai s pj
r k 1
Bk (s k nk ) Ck nk 1 2
s2
2k
nk
s
2 nk
（3－48）
对上式进行拉式反变换，得：
q
r
r
C(t) A0 Ajepjt Bkeknkt sinnk 1k 2 t Ckeknkt cosnk 1k 2 t t 0 (3 49)
j1
k 1
k 1
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自动控制原理
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q
r
r
C(t) A0 Ajepjt Bkeknkt sinnk 1k 2 t Ckeknkt cosnk 1k 2 t t 0 (3 4900%
tr
速度快
超调小，阻尼大 速度慢
K
n
K
矛盾
比例－微分控制
测速反馈控制
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3.3.4.1 比例－微分控制（PD控制） Proportional-plus－derivative Control
R(s)
E(s)
1
—
n2 s(s 2n )
S(S 2
n2 2 n S
n2)
1
1
1d2
e dnt sin( n
1d2t )
1
n2
1
Z S 2 2 d n S n 2 Z
n 1d2
e dnt
sin n
1d2t
当d 1时，得单位阶跃响应
(3-37)
h(t) 1
h(t p ) h() 100%
e
1 2
100%
h()
tr
d
tp
d
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
1
1 2
过阻尼 1
1 1
当T1 4T2 tS 4.75T1
tS 3T1
ts
3.5
n
0.05
ts
4.5
nm
(3 46)
Pj
j 1,2, , n 称为闭环传递函数的极 点
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设输入 信号为单位阶跃信号：
R(s) 1 S
m
C(s)
K
(S
i 1
Zi
)
q
r
S
(S
j 1
Pj
)
(S
R 1
2
2 k k S
2 nk
)
(3 47)
,
nm
(3 45)
将上式的分子与分母进行因式分解，可得：
Zi i 1,2, , m
称为闭环传递函数的零 点
C(s) K (S Z1 )(S Z 2 ) (S Z m ) M (s) , R(s) (S P1 )(S P2 ) (S Pn ) D(s)
' Tdn
2
d
'
Td n
2
(3-35)
令z 1 Td
结论
z(S 2
n2 (S z) 2dnS n2 )
(3-36)
可通过适当选择微分时间常数 Td ，改变 d 阻尼的大小；
比例－微分控制可以不该变自然频率 n，但可增大系统的阻尼比
由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，
C(s)
Td s
图3-15 PD控制系统
G(s) C(s) H (s) (Td S 1)n2
n2 (Td S 1)
n 2
(Td S
1)
K (Td S 1)
K
E(s)
S(S 2
n 2
称为开环增益
n
)
2
n ,
n
S( S 2
有关
n
1)
S(S 2 n 1)