高考数学复习阶段综合测试试题(5)新人教A版
高三数学新人教A版数学必修5综合测试
2020学年度第一学期鹤山市第二中学高二理科数学数学必修5综合测试姓名：_____________ 学号：_______一、选择题(每小题5分，满分40分)1. 已知等比数列｛a*｝的公比为正数，且a3 • a9=2a52, a?=1，则a i =( )A. -B.—2C. 2D.22 22. 等差数列｛a*｝的前n项和为S n，且S3 =6 , a i =4,则公差d等于( )5A. 1 B 5 C.- 2 D 333. 已知a n为等差数列，且a7—2 a4= 一1, a3= 0,则公差d=( )1 1(A)— 2 (B)—丄(C) 1(D) 22 24. 等比数列a n的前n项和为S n，且4a1, 2a?, a3成等差数列。
若a1=1，则S4=( )(A) 7 (B) 8 (C) 15 (D) 16所表示的平面区域的面积等于5.不等式组( )A. B.C.8. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3,BC 7,贝U BAC 的大小为( ) 25 3 A. — B. 5 C. 3D.-3 643二、选择题(每小题 5分，满分30分)9. 在厶ABC 中, a , b , c 分别是角A , B, C 所对的边，已知a J3, b 3,c 30 ,则A2x D.6.设x,y 满足 y y 2y 4 1,则z 2 (A )有最小值 (C )有最大值 2, 3, 最大值3 无最小值7.已知 ABC 中, A, B, (B )有最小值2,(D )既无最小值,C 的对边分别为a,b, c 若a无最大值 也无最大值 c ,6 .2 且 A 75o ，则 bA.2B . 4+ 2 .310. △ ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c，若c , 2, b ,6, B 120o，贝Ua ______________ .11. 不等式上2 > 2的解集是(x 1)12. 在数列｛a n｝在中，a n4n 5, a1 a? L a* an2 bn , n N* ,其中a,b为常数,2贝U ab __________13. 已知｛a n｝为等差数列，a s + a 8 = 22 , a e = 7，贝U a s = ______14. 不等式x2 3x 2 0的解集是___________________________三、选择题(每小题10分，满分30分)15. 在厶ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c，已知c 2 , C -.3(I)若△ABC的面积等于，求a, b ;(U)若si nB 2s "人，求厶ABC的面积.(10分)16. 已知｛a n｝是整数组成的数列，a1 1,且点恳,务1)(n N*)在函数y x2 1的图像上: (1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足bl 1,b n 1 b n 2%，求证：0 02 ( 10 分)17. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800加，深为3M,如果池底每1M的造价为150元，池壁每1M I的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ ( 10分)参考答案：I. B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A9.30 ° 10. .2 1 II., U 1,3212. — 1 13.15 14. x1 x 215.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力•满分 12分. 解：（1）由余弦定理得，a 2 b 2 ab 4 ,又因为△ ABC 的面积等于，所以labsinC 、、3，得ab 4 .............. ...............2a 2b 2 ab 4,,联立方程组解得a 2, b 2 ...................................................ab 4,（U ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a , ......................................................联立方程组b ab 4解得a , b 耳. b 2a ,33所以△ ABC 的面积S 】absinC. ......................................................2316. 解：（1）由已知得：a n 1 a n 1 ,(2)由(1)知 b n 1 b n 2an 2nb n (b n b n 1) (b n 1 b n 2) (b 2bj b 12n12n 22n 32 11 2n2n 11 2b n b n 2b n12 (2n 1)(2n 2 1) (2n1 1)2 5 2n 4 2n 2n 0所以：b n b n 2 b n 1217. 297600所以数列是以1为首项，公差为 1的等差数列；即a n1 (n 1) 14分 6分 8分12分。
2025版高考数学复习第七单元专题集训五球与几何体的切接问题练习理新人教A版
专题集训五球与几何体的切接问题1.[2024·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()A.√6B.√5C.2D.√32.[2024·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π3.[2024·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于 ()图Z5-1A.8πB.18πC.24πD.8√6π4.[2024·山东烟台一模]已知一个正方体的全部顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.[2024·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.6.[2024·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()B.4πA.4π3C.16πD.16π37.[2024·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()图Z5-2A .√66π B .π3 C .π6D .√33π8.[2024·云南玉溪一中月考] 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( ) A .8π B .12π C .20π D .24π9.[2024·哈尔滨六中模拟] 已知四面体S-ABC 中,SA=SB=2,且SA ⊥SB ,BC=√5,AC=√3,则该四面体的外接球的表面积为 .10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为√32,底面三角形ABC 的周长为3,则这个球的体积为 .11.[2024·山东青州三模] 在三棱锥A-BCD 中,底面BCD 为直角三角形,且BC ⊥CD ,斜边BD 上的高为1,三棱锥A-BCD 的外接球的直径是AB ,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥A-BCD 的体积的最大值为 .12.[2024·河北衡水武邑中学月考] 一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?13.[2024·成都树德中学月考] 如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图Z5-314.[2024·成都七中三诊] 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD 的体积的取值范围为4√33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .15.[2024·广东汕头潮南区模拟] 已知三棱锥A-BCD 中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2√2,当三棱锥A-BCD 的体积最大时,其外接球的体积为 .专题集训(五)1.B [解析] 由题意,设球的半径为R ,则4πR 2=18π,则4R 2=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R )2=9+4+x 2,即9+4+x 2=18,得x=√5,故选B .2.B [解析] 体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.3.C [解析] 设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为√2R 的正方形,由R 2+√2R 22=32,得R 2=6,故该球的表面积S=4πR 2=24π.4.9π2[解析] 设正方体的棱长为a ,因为这个正方体的表面积为18,所以6a 2=18,解得a=√3,又该正方体全部的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R ,则√3a=2R ,即2R=√3×√3,解得R=32,则球的体积V=43πR 3=43π×323=9π2.5.√2-1 [解析] 如图,在正三棱锥P-ABC 中,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长,交BC 于点E ,连接PE ,∵△ABC 是正三角形,∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.∵AB=2√3,∴R △RRR =3√3,DE=1,又PD=1,∴PE=√2,∴三棱锥P-ABC 的表面积S=3×12×2√3×√2+3√3=3√6+3√3.易知三棱锥的体积V=13×3√3×1=√3.设球的半径为r ,以球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得r=√33√6+3√3=√2-1.6.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为√33×2=2√33,∴外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3.故选C .7.C [解析] 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD 1=AD 1=√2,所以内切圆的半径r=√22×tan30°=√66,所以截面面积S=πr 2=π×16=16π.8.C [解析] 由题意可画出如图所示的空间几何体,则三棱锥P-ABC 的外接球半径即为长方体的外接球半径,因为PC=√22+42=2√5,所以外接球半径R=√5,所以外接球的表面积S=4πR 2=20π,故选C .9.8π[解析]∵SA=SB=2,且SA ⊥SB ,∴AB=√RR 2+RR 2=2√2,又∵BC=√5,AC=√3,∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.取AB 的中点O ,连接SO ,OC ,依据直角三角形的性质,可得OA=OB=OC=OS ,即O 为该四面体的外接球的球心,则该四面体的外接球的半径R=12AB=√2,故该四面体的外接球的表面积S=4πR 2=8π.10.32√3π27[解析] 设正三棱柱的高为h ,由题可知S △ABC =√34,R 三棱柱RRR -R 1R 1R 1=√34×h=√32,解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径R=√12+(√12-(12)2×23) 2=√43,所以外接球的体积为43πR 3=43π×√433=32√3π27.11.43 [解析] 如图所示,由外接球的表面积为16π,可得外接球的半径为2,则AB=4.设AD=x (0<x<4),则BD=√16-R 2,S △ABD =12AD ·BD=12x ·√16-R 2=12√-R 4+16R 2,故当x 2=8时,S △ABD取得最大值,最大值为4.过C 作CH ⊥BD ,交BD 于点H ,则CH=1,易知当CH ⊥平面ABD ,且AD=BD=2√2时,三棱锥A-BCD 的体积最大,此时体积V=13×4=43.12.解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h ,球取出后,水面高PH=x.∵AC=√3r ,PC=3r ,∴以AB 为底面直径的圆锥的体积V 圆锥=13π·AC 2·PC=13π·(√3r )2·3r=3πr 3,铁球的体积V 球=43πr 3.球取出后,水面下降到EF ,水的体积V 水=13π·EH 2·PH=13π·(PH ·tan30°)2·PH=19πx 3.又V 水=V 圆锥-V 球,∴19πx 3=3πr 3-43πr 3,解得x=√153r.13.解:(1)如图,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD ,BC 的垂线,垂足分别为E ,F.设球O 1的半径为r ,球O 2的半径为R ,则由AB=1,AC=√3得AO 1=√3r ,CO 2=√3R ,∴r+R+√3(r+R )=√3,∴R+r=√3√3+1=3-√32.(2)设两球体积之和为V ,则V=43π(R 3+r 3)=43π(r+R )(R 2-Rr+r 2)=43π×3-√32[(R+r )2-3rR ]=43π×3-√323-√322-3R3-√32-R=43π×3-√323R 2-3(3-√3)2R+3-√322,当R=3-√34时,V 有最小值,∴当R=r=3-√34时,两球体积之和最小.14.28π3,20π [解析] 四棱锥S-ABCD 中,因为AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以AD ⊥平面SAB ,又AD ⊂平面ABCD ,所以平面SAB ⊥平面ABCD ,过S 作SO ⊥AB ,交BA 或BA 延长线于点O ,则SO ⊥平面ABCD.设∠SAB=θ,则V 四棱锥S-ABCD =13S 正方形ABCD ·SO=83sin θ,所以sin θ∈√32,1,所以θ∈π3,2π3,所以-12≤cos θ≤12.在△SAB 中,SA=AB=2,则有SB=2√2√1-cos R ,所以△SAB的外接圆半径r=RR 2sin R=√2·√1-cos Rsin R .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=√R 2+1,所以外接球的表面积S=4πR 2=4π21+cos R+1,所以S ∈28π3,20π.15.1256π [解析]∵AB=3,AD=1,BC=4,DB=2√2,∴BD 2+AD 2=AB 2,∴△ABD 为直角三角形,∴当BC⊥平面ABD 时,三棱锥的体积最大时,此时三棱锥A-BCD 的外接球就是以AD ,BD ,BC 为棱的长方体的外接球,长方体的体对角线为外接球的直径.设外接球的半径为r ,则(2r )2=42+(2√2)2+12,得r=52,∴外接球的体积V=43πr 3=125π6.。
高中数学综合检测新人教A版必修5(2021年整理)
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综合检测时间:120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n｝是等比数列，a3＝错误!，a6＝2，则公比q＝( ）A．－错误!B．－2C．2 D.错误!解析：错误!＝q3＝8，∴q＝2.答案：C2．若a、b为实数，则下面一定成立的是( )A．若a＞b，则a4＞b4B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b｜,则a2＞b2D．若a≠｜b｜,则a2≠b2解析：a＞｜b|⇔a2＞b2.答案：C3．下列命题中正确的是（)A．a〉b⇒ac2>bc2B．a〉b⇒a2>b2C．a〉b⇒a3〉b3D．a2〉b2⇒a>b解析：选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2,所以A不正确;选项B中,当a＝0，b＝－1时a〉b，但a2〈b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2,b＝－1时，a2>b2，但a<b，所以D不正确．很明显C正确．答案：C4．已知各项均为正数的等比数列｛a n｝，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( ）A．16 B．32C．48 D．64解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝a错误!＝16.∵a n〉0，∴a5＝4，∴a2·a5·a8＝a错误!＝64，故选D.答案：D5．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋错误!ac，则角B的大小是（)A．45° B．60°C．90° D．135°解析：由已知得a2＋c2－b2＝错误!ac，所以cos B＝错误!＝错误!＝错误!.又0°〈B<180°，所以B＝45°.答案:A6．设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时,n等于（) A．6 B．7C．8 D．9解析：∵｛a n}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，∴d＝错误!＝错误!＝2，故{a n}是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，S n取得最小值．答案：A7．在△ABC中，AB＝3,BC＝13,AC＝4,则AC边上的高为（）A。
最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套
最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0， 故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ． 解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点， 位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立． 因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号． 所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①， 又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则( C ) A ．1a <1bB ．0<a b <1C ．ab >b 2D ．b a >a b[解析] ∵a <b <0，∴两边同乘b ，得ab >b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立， 当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)[解析] 由题意，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12， 所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ． 因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0， 即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×32＝3， ∴ac ＝4.①由log 4sin A ＋log 4sinC ＝－1，得sin A sin C ＝14. 由正弦定理，得ac 4R 2＝14， ∴44R 2＝14， ∴R ＝2(负值舍去)．∴b ＝2R sin B ＝2×2×32＝2 3. 由已知，得a 2＋c 2－(23)2＝4.②当a >c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。
2021年高中数学测试题 新人教A版必修5
2021年高中数学测试题新人教A版必修5第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.⒈若，则下列不等式成立的是A. B.C. D.⒉在中，化简的结果是A. B.C. D.⒊在中，, 则是A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形⒋已知数列中，=2，＝1，若为等差数列，则等于A．1 B．C． D． 2⒌在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为A. 14B. 18C. 24D. 32⒍若R，给出下列条件：①；②；③；④；⑤.其中能推出“中至少有一个数大于1”的条件有A．1个 B．2个C．3个 D． 4个⒎某观察站与两灯塔、的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东30，灯塔在观察站正西方向，则两灯塔、间的距离为A. 500米B. 600米C. 700米D. 800米⒏已知等比数列中，，，则前9项之和等于A．50 B．70 C．80 D．90⒐在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则a的取值范围为A．B．C．D．⒑已知等差数列的前n项和为，且，那么的值为A．B．C．D．⒒已知且,则的最小值为A. 18B.19C. 20D. 21⒓已知等比数列，，使nn aaaaaaaa1111321321++++>++++成立的最大自然数是A.7B.8C.9D.10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.⒔在数列中,,则此数列从第50项到第100项之和为 .⒕在中，已知关于的不等式:的解集为 .⒖在约束条件下,过点目标函数取得最大值10,则目标函数（写出一个适合题意的目标函数即可）.⒗有穷数列的前项和现从中抽取某一项（不包括首项和末项）后,余下项的平均值是79,则这个数列的项数是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.⒘（本小题满分12分）在△ABC中，，cos C是方程的一个根，求△ABC周长的最小值．⒙（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，已知,且，.⑴求公差的范围;⑵指出中哪一个值最大,并说明理由.⒚（本小题满分12分）已知不等式：的解集为.⑴求；⑵解关于的不等式:.⒛（本小题满分12分）等差数列{}中，=14，前10项和．⑴求；⑵将{}中的第2项，第4项，…，第项，…，按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和．21.（本小题满分12分）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．⑴求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；⑵若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．22.（本小题满分14分）已知数列满足，且，．⑴求数列的前三项，，；⑵数列为等差数列，求实数的值；⑶求数列的前项和．学校 班级 座号 姓名 准考考号\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\选择题（每小题5分,共60分）⒈B ⒉A ⒊C ⒋C ⒌D ⒍A ⒎C ⒏B ⒐D ⒑D ⒒A ⒓B 一. 填空题(每小题4分,共16分)⒔7701 ⒕等边三角形 ⒖设，则要满足 ，例如，； ⒗ 39二. 解答题(共74分)⒘解： …………………………………………2分 又是方程的一个根 ……………3分 由余弦定理可得： 则：当时，最小且 此时△ABC 周长的最小值为．…………………………………………12分 另解： …………………………………………2分 又是方程的一个根 ……………3分 由余弦定理可得：当且仅当时，取最小值，此时△ABC 周长的最小值为．…………………………………………12分 ⒙解：⑴由已知,得.………………………………………2分 又 解得.………………6分 ⑵21(1)712222n n n d d S na d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,…………………………………………………8分,………………………………………………10分∴在中，最大. ……………………………………………………12分 另解： …………………………………………8分 ∵∴ 当时，；时， …………………………………10分∴ 在中，最大. …………………………………………12分 ⒚解: ⑴∵不等式的解集为………………………2分 ∴为方程的两根,代入得， ………………4分 ⑵原不等式即为，即………………6分 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． ………………………………12分 ⒛解:⑴由 ∴ ∴ …………………………… 3分…………………………………………………………………………………6分 ⑵设新数列为{}，由已知， ………………………………… 9分1233(2222)26(21)2n n n n G n n ∴=+++++=-+前项和 . …………………………………………………12分21. 解：⑴设该厂应隔天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元）， ∴天饲料的保管与其它费用共是…………………………………3分从而有………………………………………5分当且仅当，即时，有最小值………………………………6分 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.⑵若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔天()购买一次饲料，平均每天支付的总费用为，则()221(33300)200 1.80.85y f x x x x==-++⨯⨯ ………………………………………………………8分 任取, ,∴函数在上是增函数…………………………………………………10分 ∴当时，取得最小值为，而∴该厂应接受此优惠条件 ………………………………………………………12分22.解⑴由，且得 ，得同理，得，………………………………………………………………4分 ⑵对于，且，∵1112211122222n n n n n n n n n na p a p a a p p---++---+-===- 又数列为等差数列，∴ 是与无关的常数，∴ ， ………………………………………………………………8分 ⑶由⑵知，等差数列的公差为1， ∴ ，得．……………………10分 ∴23223242(1)2n n n =⨯+⨯+⨯+++⨯+， 记23223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，则有 234122232422(1)2n n n T n n +=+⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减，得 ，故 ．………………………………………………14分 20565 5055 偕30111 759F 疟40573 9E7D 鹽z) 32174 7DAE綮202884F40佀24668605C恜2653967AB枫929495 7337 猷2。
新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷附答案解析
解题技巧
认真审题，理解 题意
运用所学知识， 分析问题
结合实际，联系 生活
细心计算，确保 答案准确
易错点提醒
计算错误：学生可 能因为粗心或计算 能力不足而犯错
概念混淆：学生对 相关概念理解不清 晰，导致填空题答 案错误
逻辑推理错误：学生 在解题过程中，可能 因为逻辑推理不严密 而导致答案错误
审题不清：学生可能因 为审题不仔细，导致理 解题意出现偏差，从而 影响答案的准确性
难度分布：试卷难度适中，注重基础知识的考查，同时也有一定的难度和区分度。
题型设计：本试卷包括选择题、填空题、解答题等多种题型，考查学生的不同能力。
考查重点：本试卷重点考查学生的数学基础知识和应用能力，以及学生的数学思维和解题技 巧。
难度分析
基础题占比： 40%
中档题占比： 40%
难题占比：20%
题目设计注重考查 学生的数学析
题目类型：单项选择题
题目数量：10道
题目难度：中等
解析：对每道题目进行详细的 解析，包括解题思路、方法、 答案等
解题技巧
掌握基础知识：选择题通常考察基础知识点，应熟练掌握相关概念和公式。 仔细审题：读懂题目要求，找出关键信息，避免因误解而选错答案。
排除法：对于一些难以确定答案的选择题，可以采用排除法，排除明显错误的选项。
善于利用选项：有些选择题的答案可以通过代入选项进行验证，从而快速找到正确答案。
易错点提醒
选项中涉及到的知识点是否准确掌握 选项中的陷阱和迷惑性词语是否能够识别 计算和分析过程中是否有遗漏或错误 解题思路和方法是否正确且符合题意
题目类型及解析
题目类型：填空题 题目难度：中等 题目数量：10道 解析：针对每道题目给出详细的解题思路和答案解析
人教A版高中数学必修五综合测试卷A(含答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中数学必修5测试卷A （含答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ） Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（ ） A ．21B ．23 C.1 D.33. 已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 4. 在数列{}n a 中，1a =1，12n na a +-=，则51a 的值为（ ）A ．99B ．49C ．102D ． 101 5.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝_____________; 12.已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的通项公式为__-______ . 13.不等式21131x x ->+的解集是 ． 14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_____三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列{}n a 中，1346510,4a a a a +=+=，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：2450x x -++<(2)求函数的定义域：152x y x -=++17 (14分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。
2021年高中数学 综合测试题 新人教A版必修5
2021年高中数学综合测试题新人教A版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2答案B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是( )A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2 187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，a n＝3＋(n－1)×6＝2 187，∴n＝365.∴{a n}可为等差数列．若{a n}为等比数列，则公比q＝93＝3.a n＝3·3n－1＝2 187＝37，∴n＝7.∴{a n}也可能为等比数列．答案 B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( ) A．钝角B．直角C．锐角D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.即a2＋b2－c2＝c2>0，cos C>0.答案 C4．定义新运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，ba >b ，例如1]( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤2x －1，x 2<1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2>2x －1，2x －1<1.解得x <1.答案 B5．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e －x－2解析 A 中当x <0时不成立，B 、C 中y 取不到2，因此A 、B 、C 均错，D 正确．y ＝e x＋4e －x－2≥2e x ·4e －x－2＝2，当且仅当e x ＝4e x ，即当e x＝2，x ＝ln2时，取等号．答案 D6．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5 解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5. 答案 C7．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )A ．7，－4B ．8，－8C ．4，－7D ．6，－6解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，z max＝7；当m＝0，n＝－2时，z min＝－4.答案 A8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则ax＋cy的值等于( )A.14B.12C．2 D．1解析用特殊值法，令a＝b＝c.答案 C9．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )A．4.6 m B．4.8 mC．5 m D．5.2 m解析设三角形两直角边长为a m，b m，则ab＝2，周长C＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab ＝22＋2≈4.828(m)．答案 C10．设{a n}是正数等差数列，{b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1, 则( ) A．a n＋1>b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1解析a n＋1＝a1＋a2n＋12≥a1a2n＋1＝b1b2n＋1＝b n＋1.答案 B11．下表给出一个“直角三角形数阵”：141 2，143 4，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于( )A.18B.14C.12D ．1解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.答案 C12．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－4解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时z ＝2×1＋0＝2. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°. ∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63. 答案6314．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a的取值范围是__________． 解析 ∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B ＝2A <π2，0<π－A －B <π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π4，π6<A <π3.∴A ∈(π6，π4)．∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .∴ba ∈(2，3)．答案 (2，3)15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n(n ∈N *)，则b n ＝________.解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3·2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n.∴b n ＝(－1)n·1a n ＝－1n3·2n －1.答案 －1n3·2n －116．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )的图象是开口向上的抛物线，要当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f1＝1＋m ＋4≤0，f2＝4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.答案 m ≤－5三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．解 A ＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >1.A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <13，或1<x <2，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13≤x ≤1，或x ≥2}．18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1.(1)是否存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}，若存在，求实数a ，b 的值，若不存在，请说明理由；(2)若a 为整数，b ＝a ＋2，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求a 的值． 解 (1)∵不等式ax 2－bx ＋1>0的解集是{x |3<x <4}， ∴方程ax 2－bx ＋1＝0的两根是3和4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝3×4＝12，b a ＝3＋4＝7.解得a ＝112，b ＝712.而当a ＝112>0时，不等式ax 2－bx ＋1>0的解集不可能是{x |3<x <4}，故不存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}．(2)∵b ＝a ＋2，∴f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1. ∵Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点． 又函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点， ∴f (－2)·f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0， 解得－32<a <－56.∵a ∈Z ，∴a ＝－1.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，问A 、B 两种药最多能各配几剂？解 设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多配4剂，B 种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C . (1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的范围． 解 (1)由a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A， 得a ＋b a ＝b b －a，即b 2－a 2＝ab ，① 又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C . sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.②由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋cb>1. 又a ＋c b＝a 2＋c 2＋2acb 2≤ 2a 2＋c2b2＝2b2b2＝2，故a ＋cb的取值范围为(1，2]．22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，(d ≠0)． 由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.当m ＝1时，a m a m ＋1a m ＋2＝－5×－3－1＝－15. 显然它不是数列{a n }中的项． 当m ＝2时，a m ·a m ＋1a m ＋3＝－3×－13＝1. 它是数列{a n }中的项．因此，符合题意的正整数只有m ＝2.-40403 9DD3 鷓 22181 56A5 嚥 &26923 692B 椫26477 676D 杭22458 57BA 垺{39956 9C14 鰔(>r376399307 錇。
2021高中数学人教A版必修五章节练习试题(综合复习与测试)含答案解析
2021年09月30日试卷一、单选题(共19题；共0分) 1、(0分)已知a n =√79n−√80，（n ∈N +），则在数列｛a n ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A. a 1,a 50B. a 1,a 8C. a 8,a 9D. a 9,a 502、(0分)(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )A. B.C. D.3、(0分)函数y ＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)>f(－x)＋x 的解集为( )A. [−1,−2√55)∪(0,1] B. [－1,0)∪(0,2√55)C. [−1,−2√55)∪(0,2√55) D. [−1,−2√55)∪(2√55，1] 4、(0分)设实数x,y 满足约束条件{y ≤x2x +y −6≤0x −4y −3≤0，则z =3x +y 的取值范围为( )A. [−4,8]B. [−4,9]C. [8,9]D. [8,10]5、(0分)若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A. a ＜bB. a ＞bC. ab ＜1D. ab ＞26、(0分)已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4=−a72=−64，则tan(a4a63π)=( )A. −√3B. √3C. ±√3D. −√337、(0分)数列112,214,318,4116,⋯前n项的和为（）A. 12n +n2+n2B. −12n+n2+n2+1C. −12n +n2+n2D. −12n+1+n2−n28、(0分)己知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A. 1B. 2C. 3D. 49、(0分)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A. [－2，＋∞)B. (－∞－2)C. [－2,2]D. [0，＋∞)10、(0分)不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的（）A. 右上方B. 右下方C. 左上方D. 左下方11、(0分)不等式x>1x的解集是A. {x|-1＜x＜1 }B. {x|0＜x＜1}C. {x|－1＜x＜0或x＞1}D. {x|0＜x＜1或x＜-1}12、(0分)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R，那么（）A. a<0,Δ<0B. a<0,Δ≤0C. a>0,Δ≥0D. a>0,Δ>013、(0分)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5=5a4−10，则数列{a n}的公差为（）A. 4B. 3C. 2D. 114、(0分)二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<13}，则ab的值为( )A. －6B. 6C. －5D. 515、(0分)已知实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +4y ≥4，则z =x +y 的最小值等于 （ ）A. 0B. 1C. 4D. 516、(0分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为A. 53钱B. 32钱C. 43钱D. 54钱17、(0分)已知全集U ＝R ，且A ＝{x||x －1|＞2}，B ＝{x|x 2－6x ＋8＜0}，则(∁U A)∩B 等于( )A. [－1,4)B. (2,3)C. (2,3]D. (－1,4)18、(0分)下列命题中正确的是( ) A. a>b ⇒ac 2>bc 2B. a>b ⇒a 2>b 2C. a>b ⇒a 3>b 3D. a 2>b 2⇒a>b19、(0分)若a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a +c ≥b −cB. ac >bcC. c 2a−b >0D. (a −b)c 2≥0二、填空题(共10题；共0分)20、(0分)已知实数x,y,a,b 满足：a 2+b 2≤1，{x ≤2x +y ≥2x +2y ≤4，则ax +by 的最大值为 ．21、(0分)已知a,b,c 分别为锐角ΔABC 的三个内角A,B,C 的对边，a =2，且(a +b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，则ΔABC 周长的取值范围为 ． 22、(0分)已知函数f (x )=1x+1，点O 为坐标原点, 点A n (n,f (n ))(n ∈N∗),向量i =(0,1)，θn 是向量OA n →与i 的夹角，则cosθ1sinθ1+cosθ2sinθ2+⋯+cosθ2016sinθ2016的值为 ．23、(0分)若函数y=log2(ax2+2x+1)的值域为R，则a的范围为 .24、(0分)数列{a n}满足a1=1，a n=4a n−1+3(n≥2)，则此数列的通项公式a n=．25、(0分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较a 2b +b2a与a＋b的大小．26、(0分)设实数x，y满足{x−y−2≤0x+2y−5≥0y−2≤0则u＝yx−xy的取值范围是．27、(0分)已知点A(5 √3，5)，过点A的直线l：x＝my＋n(n>0)，若可行域{x≤my+nx−√3y≥0y≥0的外接圆的直径为20，则实数n的值是．28、(0分)函数y=x+1x−2(x>2)的最小值为．29、(0分)设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为．三、解答题(共5题；共0分)30、(0分)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n}的前n项和S n．31、(0分)在递增的等比数列{a n}中，a1a6=32，a2a5=18，其中n∈N∗.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.32、(0分)某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。
2021年高中数学测试题5 新人教A版必修5
2021年高中数学测试题5 新人教A版必修5一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）A B C D2．已知是等比数列，，则公比=（）A．B．C．2 D．3．若 ABC中，sin A:sin B:sin C=2:3:4，那么cos C=（）A. B. C. D.4．设数是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．D．45．在各项均为正数的等比数列中，若，则……等于（）(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)86．在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507．在数列中，，，则（）A． B． C． D．8．在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形9．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A B C D10．已知为公比q＞1的等比数列，若是方程的两根，则的值是（）A 18B 19C 20D 21第Ⅱ卷非选择题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知为等差数列，，，则____________12. 已知数列｛a n｝的前n项和是, 则数列的通项a n=__13．在△ABC中,若a2+b2<c2,且sin C =,则∠C =14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =15．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=三、解答题：（本大题分6小题共75分）16.（本小题满分12分）在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c17．（本小题满分12分）等比数列中，，，求．18. （本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．19．（12分）已知是等差数列，其中（1）求的通项;（2）求的值。
2021-2022年高中数学 专题四综合检测 新人教A版必修5
2021-2022年高中数学专题四综合检测新人教A版必修5一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤ 243．若，则目标函数z = x + 2 y的取值范围是（）A．[2 ，6] B． [2，5] C． [3，6] D． [3，5]4．不等式表示的平面区域是一个（）A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形5．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x–y的最大值和最小值分别是（）A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－16．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（）A B C Doxy7．不等式表示的平面区域内的整点个数为 （ ）A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 8．不等式表示的平面区域包含点和点则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知平面区域如右图所示，在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则的值为（ ） A ． B ． C ．D ．不存在10．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A ．B ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩ 二、填空题, 本大题共小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11．已知x ，y 满足约束条件 则的最小值为______________．12．已知约束条件**28,28,,.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩N N 目标函数z =3x +y ，某学生求得x =， y =时，z max =， 这显然不合要求，正确答案应为x = ; y = ; z max = . 13．给出下面的线性规划问题：求z =3x +5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件：6315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩欲使目标函数z 只有最小值而无最大值，请你设计一种改变约束条件的办 法（仍由三个不等式构成，且只能改变其中一个不等式），那么结果是__________. 14．已知x ，y 满足 则的最大值为___________，最小值为____________．三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15．由围成的几何图形的面积是多少?16．已知当a 为何值时，直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围成的平面区域的面积最小？17．有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架理完成运输xx吨小麦和1500吨大米的任务？18．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？34251 85CB 藋?36399 8E2F 踯 39609 9AB9 骹uE20409 4FB9 侹^37376 9200 鈀340055 9C77 鱷34975 889F 袟28446 6F1E 漞23897 5D59 嵙。
高三数学5月综合测试试题理新人教A版
华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 74. 若y x 、知足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+122y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、别离是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6. 若将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ， ，5a 为实数，则=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC ，则ABC ∆的面积为A.22； B. 42； C. 23； D. 28. 对应概念域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，概念：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =， ，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。
2021年高中数学测试题15 新人教A版必修5
2021年高中数学测试题15 新人教A版必修5一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1．下列语句是命题的是（▲）A．这是一幢大楼 B．0.5是整数 C．指数函数是增函数吗？ D．x＞52.θ是任意实数，则方程的曲线不可能是 ( ▲ )A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆3．下列命题中正确的是（▲）①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题; ②“等腰三角形都相似”的逆命题;③“若m>0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题; ④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题A．①④ B．①③④ C．②③④ D.①②③4．已知P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，F1,F2分别是双曲线的左右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|等于( ▲ )A． 1或9 B． 5 C． 9 D． 135. 设A、B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0)，条件甲：；条件乙：点C的坐标是方程x24+y23=1 (y 0)的解. 则甲是乙的（▲）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件6. 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（▲）A. B. C. D.7. 命题“对任意的，”的否定是（▲）A．不存在， B．存在，C．对任意的， D．存在，8. 若直线与双曲线始终有公共点，则的取值范围是（▲）A． B． C． D．以上都不对9. 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（▲）A. B. C. D.10．离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则等于（▲）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，共25分）11．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___▲____12． P是双曲线上的一点，是双曲线的两个焦点，且，则的面积是___▲____13. 已知经过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则=___▲____ 14. 已知由双曲线右支上的点M和左右焦点构成三角形，则M的内切圆与边的切点坐标是▲15. 设双曲线的离心率，则两条渐近线夹角的正弦值的取值范围是▲三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）设命题，命题，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．17.（本小题满分12分）（1）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．（2）设双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.18.（本小题满分12分）已知直线和椭圆．（1）为何值时，和相交、相切、相离；（2）为何值时，被所截线段长为．19．（本小题满分12分）直线y = kx -2与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点．⑴若k = 1，求证：OA⊥OB；⑵求弦AB中点M的轨迹方程．20.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知M(-3,0)﹑N(3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m-1,m0).(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若, P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为，求证为定值；（3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.高二年级数学参考答案一、选择题1、B2、C3、A4、C5、B6、C7、D8、C9、D 10、C二、填空题11、 12、 13、5 14、（3，0）15、三、解答题16. 设命题，命题，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．解：由，得，因此，或，由，得．因此或，因为是的必要条件所以，即{}11|12x x a x a x x x⎧⎫<>+⊆<>⎨⎬⎩⎭，或，或|．如下图所示：因此解得．17. （1）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．解：若椭圆的焦点在轴上，设方程为．由题意解得椭圆的方程为；若椭圆的焦点在轴上，设方程为，由题意解得椭圆方程为．故椭圆方程为，或．（2）设双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.解:设双曲线方程为,由已知椭圆的两个焦点,又双曲线与椭圆交点A的纵坐标为4,,解得,故双曲线方程为.18、解：（1）把代入可得，．由，可得．所以，当时，和相切；当时，与相离．（2）设与相交于，由（1）可得，，．因此，．所以，由弦长公式得．解得．因此时，被所截得线段长为．19、解：⑴若k = 1，设 ，将x=y+2代入消去x 得，由韦达定理得：，……………………………………2分所以 ()()()1212121222244x x y y y y y y =++=+++=． 于是 ，故 OA ⊥OB ．……………………………………5分 ⑵ 设弦AB 中点M 的坐标为M （x 0，y 0） 则由得()()()()121212121212012,2,y y y y y y x x y y k x x y -+-=-⋅+==-．…………………7分 代入y 0 = kx 0-2，消去k 得：．…………………………………8分将y = kx -2代入得，则，……………………………………………………10分故．于是，所求轨迹方程为.…………………12分20、答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为． （Ⅱ）设，． （1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为． 由已知，得．把代入椭圆方程，整理得， ，．22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当，即时等号成立．当时，， 综上所述．当最大时，面积取最大值．21、.解：（1）由得，若m= -1，则方程为，轨迹为圆（除A B点）；………………2分若，方程为，轨迹为椭圆（除A B点）；……3分若，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）。
2020学年高中数学学期综合测评新人教A版必修5(2021-2022学年)
学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.满分１50分,考试时间１２0分钟.第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共６0分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4，4）在此区域内，则b的范围是（）Ａ．-８≤ｂ≤－5 B.b≤-8或b＞－5C.－8≤b<-５D．b≤-8或b≥-5答案Ｃ解析∵4〉3×3+b，且4≤３×4＋ｂ，∴-8≤b＜-5。
2．在等差数列{ａn}中，若S4＝1,S８=４，则a17＋ａ１8+ａ19＋a20的值为( )A.9 B．12 C.16 D．１7答案A解析Ｓ4＝1,Ｓ8－Ｓ4＝3而S4，S8－S4，S12－S8,S１6-S１2,S20－S16成等差数列,值分别为1,3，5，7,9,∴a17＋a18＋a19＋a2０=S２0-S１6＝9。
3．若a〈b<０,则下列不等式一定成立的是()A．错误!未定义书签。
>错误!ﻩ B.a２<aｂC.a a〉b a D．错误!〈错误!未定义书签。
答案Ｄ解析当a=－2<ｂ＝－1＜０时,错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
，ａａ＝错误!未定义书签。
〈bａ=1，所以 A，C都不一定成立.又ａ〈b<0，所以a2>ab，所以Ｂ不成立．又错误!未定义书签。
-错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
=－ｂ＋a｜a｜|a|+1〈0,所以错误!〈错误!,故选D.4.若关于x的不等式ｘ2－(ａ＋１)x＋a<０的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（)A．(３,4)ﻬB．(－2，-1)∪(3,4）C．（3，4]D.［-2，－１）∪(3,4]答案D解析由题意，得原不等式可转化为(x-1)(x－ａ)〈0.当ａ〉1时,解得1〈ｘ〈ａ,此时解集中的整数为2，3,则３〈ａ≤４;当a〈1时，解得a〈x〈1，此时解集中的整数为0,－1，则-2≤a＜－1.当ａ=１时,不符合题意.故实数a的取值范围是［－2,-1)∪(3，４]，故选D.５.在△ABC中,a，b,ｃ分别是角Ａ,B,C的对边，已知a,b,c成等比数列，且a2-c2=aｃ-bｃ,则错误!的值为（)Ａ.错误!未定义书签。
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高考复习阶段综合测试（五）一．选择题 (1)复数212i i+-的共轭复数是( )（A ）35i -（B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是( ) （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=(3.)函数πs in 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）（4.）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则co s 2θ=( )（A ）45-（B ）35-（C ）35（D ）45（5.）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10（6）已知命题1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是x--Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（7.）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7（8.）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数（9.）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为( )10．曲线12e xy =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e（11）设函数()sin ()c o s()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 ( )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln (2)y x =上，则P Q 最小值为（ ）()A 1ln 2- ()Bln 2)- ()C 1ln 2+ ()D ln 2)+二．填空题（13）已知向量,ab 夹角为45︒，且1,2a ab =-=；则_____b =(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为（15）已知矩形AB C D 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,A B B C ==则棱锥O A B C D -的体积为 。
(16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为3-，则∠BAC=_______三．解答题17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
18.（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）A B C ∆中，D 为边B C 上的一点，33B D =，5s in 13B =，3c o s 5A D C ∠=，求A D ．AB D C(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
（20）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a xb f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围。
21．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知A P 是O 的切线，P 为切点，A C 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点．（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求O A M A P M ∠+∠的大小．21．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4co s 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．21．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．高考复习阶段综合测试（五）----2012.11.30 答案：1C, 2B ,3A ,4B,5D, 6C, 7D, 8C, 9D, 10D,11A,12AA C5.【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 6.解析：1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x xy -=+为偶函数，则22xxy -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22xxy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C. 命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识. 7.【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-8.【解析】选C 12.【解析】选A 函数12xy e =与函数ln (2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12xy e =上的点1(,)2xP x e 到直线y x =的距离为d =设函数m in m in 11()()1()1ln 222xxg x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：P Q最小值为m in 2ln 2)d =-13.【解析】_____b=222(2)1044c o s 4510a b a b bb b ︒-=⇔-=⇔+-=⇔=14.【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-约束条件对应四边形O A B C 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C则2[3,3]z x y =-∈-15.16. 解析：由△ADC的面积为3-13s in 60322A D C S A D D C C ∆=⋅⋅⋅==-31(3s in 22A B C S A B A C B AC ∆=-=⋅⋅∠解得2D C =,则1,3B D B C ==-.2222co s 120A B A D B D A D B D =+-⋅⋅241)21)6=++-=,A B =22222c o s 60441)41)241A CA DCDA D C D =+-⋅⋅=+-=-1)A C =则222c o s2B A A CB CB AC A B A C+-∠=⋅62419(4612+--===故60B A C ∠=.．17．（本小题满分12分）已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)42n n n S n a d n n -=+=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4．18.【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】由cos ∠ADC=＞0，知B ＜.由已知得cosB=，sin ∠ADC=.AB D从而 sin ∠BAD=sin （∠ADC-B ）=sin ∠ADCcosB-cos ∠ADCsinB==.由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. (19)解：（Ⅰ）因为60,2D A B A B A D ∠=︒=,由余弦定理得B D D =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A,()00B,()1,0C -,()0,0,1P 。
(1,0),(0,1),(1,0,0)A B P B B C =-=-=-uuu vuuvuuu v设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则0,0,{n A B n P B ⋅=⋅=uuu ruuu rz =-=因此可取n= 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{P B B C ⋅=⋅=uu u ruuu r可取m=（0，-1，- 4co s ,7m n -==-故二面角A-PB-C 的余弦值为 7-（20）解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b xf x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。