二次函数图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题(含答案)
1.下列函数中是二次函数的为 A .y =3x -1B .y =3x 2-1C .y =(x +1)2-x2D .y =x 3+2x -32.抛物线y =2x 2+1的的对称轴是 A .直线x =14B .直线x =14-C .x 轴D .y 轴3.抛物线y =-(x -4)2-5的顶点坐标和开口方向分别是 A .(4,-5),开口向上B .(4,-5),开口向下C .(-4,-5),开口向上D .(-4,-5),开口向下4.抛物线y =-x 2不具有的性质是 A .对称轴是y 轴B .开口向下C .当x <0时,y 随x 的增大而减小D .顶点坐标是(0,0)5.已知点(-1,2)在二次函数y =ax 2的图象上,那么a 的值是 A .1B .2C .12D .-126.已知抛物线y =ax 2(a >0)过A (-2,y 1)、B (1,y 2)两点,则下列关系式一定正确的是 A .y 1>0>y 2B .y 2>0>y 1C .y 1>y 2>0D .y 2>y 1>07.当函数y =(x -1)2-2的函数值y 随着x 的增大而减小时,x 的取值范围是 A .x >0B .x <1C .x >1D .x 为任意实数8.对于二次函数2(3)4y x =--的图象,给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线3x =-;③顶点坐标是34--(,);④与x 轴有两个交点.其中正确的结论是 A .①②B .③④C .②③D .①④9.一种函数21(1)53m y m x x +=-+-是二次函数,则m =__________.10.把二次函数y =x 2-4x +3化成y =a (x -h )2+k 的形式是__________.11.将抛物线y =2(x -1)2+2向左平移3个单位,那么得到的抛物线的表达式为__________. 12.如图,抛物线y =ax 2-5ax +4a 与x 轴相交于点A ,B ,且过点C (5,4).(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.13.已知:抛物线2y x bx c =-++经过(30)B ,、(03)C ,两点,顶点为A . 求:(1)抛物线的表达式;(2)顶点A 的坐标.14.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.15.在平面直角坐标系中,将抛物线y=-12x2向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式是A.y=-12x2-x-32B.y=-12x2+x-12C.y=-12x2+x-32D.y=-12x2-x-1216.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+a的图象大致是A.B.C D.17.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,有下列5个结论:①0abc >;②b a c <+;③420a b c ++>;④23c b <;⑤()(0)a b m am b m +>+≠,其中正确的结论有A .2个B .3个C .4个D .5个18.二次函数y =x 2-2x -3,当m -2≤x ≤m 时函数有最大值5,则m 的值可能为__________. 19.若直线y =ax -6与抛物线y =x 2-4x +3只有一个交点,则a 的值是__________.20.如图,已知二次函数y =ax 2+bx +8(a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-2,0),B (4,0),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标; (2)求△BCD 的面积;(3)若直线CD 交x 轴与点E ,过点B 作x 轴的垂线,交直线CD 与点F ,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段EF 总有公共点.试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度(直接写出结果,不写求解过程).21.(2018·四川成都)关于二次函数2241y x x =+-,下列说法正确的是A .图象与y 轴的交点坐标为(0,1)B .图象的对称轴在y 轴的右侧C .当0x <时,y 的值随x 值的增大而减小D .y 的最小值为-322.(2018·湖北黄冈)当a ≤x ≤a +1时,函数y =x 2-2x +1的最小值为1,则a 的值为A .-1B .2C .0或2D .-1或223.(2018·江苏连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m )与飞行时间t(s )满足函数表达式h =-t 2+24t +1.则下列说法中正确的是 A .点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同 B .点火后24 s 火箭落于地面 C .点火后10 s 的升空高度为139 m D .火箭升空的最大高度为145 m24.(2018·山东德州)如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是A .B .C D .25.(2018·湖北恩施州)抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =-1,部分图象如图所示,下列判断中:①abc >0;②b 2-4ac >0;③9a -3b +c =0;④若点(-0.5,y 1),(-2,y 2)均在抛物线上,则y 1>y 2;⑤5a -2b +c <0. 其中正确的个数有A.2 B.3 C.4 D.5 26.(2018·江苏淮安)将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是__________.27.(2018·山东淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为__________.1.【答案】B2.【答案】D【解析】∵抛物线y =2x 2+1中一次项系数为0,∴抛物线的对称轴是y 轴.故选D . 3.【答案】B【解析】∵抛物线的解析式为2(4)5y x =---, 10a =-<,∴抛物线的开口向下.抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为(h ,k )∴抛物线2(4)5y x =---的顶点坐标为(4,-5).故选B . 4.【答案】C5.【答案】B【解析】∵点(-1,2)在二次函数2y ax =的图象上,∴2(1)2a ⋅-=,解得2a =.故选B . 6.【答案】C【解析】∵抛物线y =ax 2(a >0)的对称轴是y 轴,∴A (-2,y 1)关于对称轴的对称点的坐标为(2,y 1).又∵a >0,0<1<2,且当x =0时,y =0,∴0<y 2<y 1.故选C . 7.【答案】B【解析】对称轴是:x =1,且开口向上,如图所示,∴当x <1时,函数值y 随着x 的增大而减小.故选B . 8.【答案】D【解析】∵a =1>0,∴开口向上,①正确;∵x -3=0,∴对称轴为x =3,②错误;∵顶点坐标为:(3,-4),故③错误;∴在第四象限,所以与x 轴有两个交点,故④正确.故选D . 9.【答案】-1【解析】根据二次函数的二次项的次数是2,二次项的系数不等于零,可由21(1)53my m x x +=-+-是二次函数,得m 2+1=2且m −1≠0,解得m =-1,m =1(不符合题意要舍去).故答案为:-1. 10.【答案】y =(x -2)2-1【解析】y =x 2-4x +3=(x 2-4x +4)-4+3=(x -2)2-1,故答案为:y =(x -2)2-1. 11.【答案】y =2(x +2)2+2【解析】将抛物线y =2(x -1)2+2向左平移3个单位,那么得到的抛物线的表达式为y =2(x -1+3)2+2,即y =2(x +2)2+2.故答案为:y =2(x +2)2+2.13.【解析】(1)把(30)B ,、(03)C ,代入2y x bx c =-++,得9303b c c -++=⎧⎨=⎩,解得23b c =⎧⎨=⎩.故抛物线的解析式为223y x x =-++.(2)223y x x =-++=2(21)31x x --+++2(1)4x =--+, 所以顶点A 的坐标为(1,4).14.【解析】(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,∴42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩, ∴a =12,b =-12,c =-1, ∴二次函数的解析式为y =12x 2-12x -1. (2)当y =0时,得12x 2-12x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1, ∴点D 坐标为(-1,0). (3)图象如图,当一次函数的值大于二次函数的值时,x 的取值范围是-1<x <4. 15.【答案】A【解析】将抛物线y =-12x 2向下平移1个单位长度,得y =-12x 2-1,再向左平移1个单位长度,得到y =-12x +(1)2-1,即y =-12x 2-x -32.故选A .16.【答案】C【解析】∵二次函数图象开口向上,∴a >0,∵对称轴为直线x =-02ba,∴b <0,∴一次函数y =bx +a的图象经过一、二、四象限,故选C . 17.【答案】B18.【答案】0或4【解析】令y =5,可得x 2-2x -3=5,解得x =-2或x =4,所以m -2=-2或m =4,即m =0或4.故答案为:0或4. 19.【答案】2或-10【解析】由题意可知:x 2−4x +3=ax −6,整理得x 2−(4+a )x +9=0,∵只有一个交点,∴Δ=(4+a )2−4×1×9=0,解得a 1=2,a 2=−10.故答案为:2或-10.(3)如图,∵C(0,8),D(1,9),代入直线解析式y=kx+b,∴89bk b=⎧⎨+=⎩,解得18kb=⎧⎨=⎩,21.【答案】D【解析】∵y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,∴当x=0时,y=-1,故选项A错误;该函数的对称轴是直线x=-1,故选项B错误;当x<-1时,y随x的增大而减小,故选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,故选项D正确,故选D.22.【答案】D【解析】当y=1时,有x2-2x+1=1,解得:x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1,故选D.23.【答案】D【解析】A、当t=9时,h=136;当t=13时,h=144;所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错误;B、当t=24时h=1≠0,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误;C、当t=10时h=141 m,此选项错误;D、由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145 m,此选项正确.故选D.24.【答案】B【解析】A.由一次函数y=ax-a的图象可得:a<0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下.故选项错误;B.由一次函数y=ax-a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a->0.故选项正确;C.由一次函数y=ax-a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a->0,和x轴的正半轴相交.故选项错误;D.由一次函数y=ax-a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上.故选项错误.故选B.25.【答案】B26.【答案】y=x2+2【解析】二次函数y=x2-1的顶点坐标为(0,-1),把点(0,-1)向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2.故答案为:y=x2+2.27.【答案】2【解析】如图,∵B,C是线段AD的三等分点,∴AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=3+1=4,∴AC=BC=2,∴m=2,故答案为:2.。
二次函数图像与性质练习题
二次函数图像与性质练习题二次函数是高中数学中的一个重要内容,它在数学中有着广泛的应用。
而对于学生来说,了解二次函数的图像和性质是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助学生深入理解二次函数的图像和性质。
练习题一:给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2,求解以下问题:1. 求函数 f(x) 的顶点坐标和对称轴方程;2. 求函数 f(x) 的零点;3. 判断函数 f(x) 的开口方向和最值。
解答:1. 首先,我们知道二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求解。
将函数 f(x) 的系数代入公式中,可以得出顶点坐标为 (-3/4, -23/8)。
对称轴方程为 x = -3/4。
2. 函数 f(x) 的零点即为方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式,可以得到零点为 x = 1/2 和 x = -2。
3. 由于二次函数的系数 a 大于 0,所以函数的开口方向是向上的。
同时,由于顶点坐标的 y 值为 -23/8,所以函数的最值为最小值。
练习题二:给定函数 g(x) = -x^2 + 4x + 5,求解以下问题:1. 求函数 g(x) 的顶点坐标和对称轴方程;2. 求函数 g(x) 的零点;3. 判断函数 g(x) 的开口方向和最值。
解答:1. 同样地,我们可以通过公式 x = -b/2a 和 y = g(-b/2a) 来求解顶点坐标。
将函数 g(x) 的系数代入公式中,可以得出顶点坐标为 (2, 9)。
对称轴方程为 x = 2。
2. 函数 g(x) 的零点即为方程 -x^2 + 4x + 5 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式,可以得到零点为 x = -1 和 x = 5。
3. 由于二次函数的系数 a 小于 0,所以函数的开口方向是向下的。
同时,由于顶点坐标的 y 值为 9,所以函数的最值为最大值。
通过以上练习题,我们可以看到二次函数的图像和性质是与函数的系数相关的。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21.二次函数的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是___yax_,图像有最___点,x___时,y随x的增大而增大,x___时,y随x的增大而减小。
12222.关于,yx,y3x的图像,下列说法中不正确的是()yx3A.顶点相同B.对称轴相同C.图像形状相同D.最低点相同223.两条抛物线yx与在同一坐标系内,下列说法中不正确的是()yxA.顶点相同B.对称轴相同C.开口方向相反D.都有最小值24.在抛物线上,当y<0时,x的取值范围应为()yxA.x>0B.x<0C.x≠0D.x≥0225.对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是()xA.两条抛物线关于轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线各自关于y轴对称D.两条抛物线没有公共点26.抛物线y=-bx+3的对称轴是___,顶点是___。
127.抛物线y=-(x2)-4的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x_2__时,y随x的增大而增大,x___时,y随x的增大而减小。
28.抛物线y2(x1)3的顶点坐标是()A.(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)为()9.已知抛物线的顶点为(1,2),且通过达式(1,10),则这条抛物线的表22A.y=3(x1)-2B.y=3(x1)+222C.y=3-2D.y=-3-2(x1)(x1)210.二次函数的图像向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得新函数表达yax式为()22A.y=a+3B.y=a-3(x2)(x2)22C.y=a(x2)+3D.y=a(x2)-324411.抛物线的顶点坐标是()yxxA.(2,0)B.(2,-2)C.(2,-8)D.(-2,-8)2212.对抛物线y=2(x2)-3与y=-2(x2)+4的说法不正确的是()A.抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反213.函数y=a+c与y=ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的()x243243214.化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是____,图像的开口向____,顶点是____,对称轴是____。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题(每小题10分,共30分)1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为 【 】 (A )()122++=x y (B )()122-+=x y(C )()122+-=x y (D )()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是 【 】(A )(0 , 2) (B )(0 , 3) (C )(0 , 4) (D )(0 , 7)3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是 【 】(A )⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 (B )⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 (C )⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 (D )⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是 【 】 (A )直线1=x (B )直线1-=x (C )直线2-=x (D )直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 【 】(A )23212---=x x y (B )21212-+-=x x y (C )23212-+-=x x y (D )21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是 【 】(A )顶点坐标为()2,1- (B )对称轴是直线1=x(C )开口向上 (D )当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是 【 】(A )()112-+=x y (B )()112++=x y(C )()112+-=x y (D )()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是 【 】 (A )图象与y 轴的交点坐标为(0 , 1) (B )图象的对称轴在y 轴的右侧 (C )当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小 (D )y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 【 】 (A )(7,2-) (B )(2 , 7) (C )(2 ,25-) (D )(2 ,9-)10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为 【 】 (A )1或5- (B )1-或5 (C )1或3- (D )1或3 二、填空题(每小题3分,共30分)11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O (0 , 0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题(共60分) 21.(10分)已知抛物线()31432--=x y . (1)写出抛物线的开口方向、对称轴;(2)函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;(3)设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.(10分)已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . (1)求该函数的关系式;(2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.(10分)已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点(0 , 3),求这条抛物线的函数表达式.24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y轴交于点C ,顶点为D . (1)求k h ,的值; (2)判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.(10分)已知抛物线22212-+-=x x y . (1)写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;(3)在(2)中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.(10分)已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. (1)求1C 的顶点坐标;(2)将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;(3)若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)二、填空题(每小题3分,共30分)11. (2 , 5) 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题(共60分) 21.(10分)已知抛物线()31432--=x y . (1)写出抛物线的开口方向、对称轴; (2)函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;(3)设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:(1)开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分 (2)函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分 (3)令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q (3 , 0)……………………………………………6分 设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q (3 , 0)时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分 综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.(10分)已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . (1)求该函数的关系式;(2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:(1)由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;(2)令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.(10分)已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点(0 , 3),求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把(0 , 3)代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分 解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,顶点为D . (1)求k h ,的值; (2)判断△ACD 的形状.解:(1)平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分 (2)令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B (1 , 0)……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分 过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.(10分)已知抛物线22212-+-=x x y . (1)写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; (3)在(2)中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:(1)()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分 开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为(2 , 0);……………………………………………4分 (2)令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为(2 , 0)……………………………………………5分 令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分 (3)由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B (2 , 0)代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.(10分)已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. (1)求1C 的顶点坐标;(2)将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;(3)若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:(1)()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分(2)设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为(1 , 0); ……………………………………………8分 (3)2>n 或4-<n .…………………………………………10分。
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质习题
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质习题1、已知y=mx/(m^2+3m+2)是二次函数,则m的值为多少?2、抛物线y=-x^2+2x-1的开口方向是向下,顶点坐标是(1,-2)。
3、已知抛物线的解析式为y=(x-2)^2+1,则抛物线的顶点坐标是(2,1)。
4、当c=0时,抛物线y=x^2+3x+c过原点。
5、如果将二次函数y=2x的图像沿y轴向上平移1个单位,那么所得图像的函数解析式是y=2x+1.6、函数y=-2x^2的开口向下,对称轴是x轴,顶点坐标是(0,0)。
7、抛物线y=-5x^2,当x=0时,y有最大值,是0.8、当m=1时,抛物线y=(m-1)x^2的开口向下。
9、已知函数y=(k+k^2)x^2,随着k的增大而增大。
10、抛物线y=-3(x+6)^2-1的对称轴是直线x=-6,开口向下。
11、二次函数y=x^2-2x-3的最小值是-4.12、抛物线y=2(x-1)^2-3的顶点坐标是(1,-3)。
13、抛物线y=2x^2+x-1的顶点坐标是(-1/4,-9/8),对称轴是x=-1/4.14、函数y=ax^2+bx+c的图像与函数y=ax^2的图像相似。
15、抛物线y=-x^2+2x+1的开口方向是向下,顶点坐标是(1,0),对称轴是直线x=1.16、二次函数y=(x+2)^2-2,当x=-2时,y有最小值,且y最小值=-2.17、二次函数y=-x^2+6x+3的图像顶点为(3,12),对称轴为x=3.18、二次函数y=2(x-0)^2-4的顶点坐标为(0,-4),对称轴为x=0.19、二次函数y=x^2-mx+3的对称轴为直线x=m/2+3,则m=6.20、二次函数y=3(x-7)^2+1由y=3(x-5)^2+3向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到。
21、当x=1时,二次函数y=3x^2-x+c的值是4,则c=2.22、若抛物线y=-x^2+bx+c的最高点为(-1,-3),则b=2,c=-2.23、二次函数y=-2x^2+12x-13的图像开口向下,顶点坐标是(3,-1),对称轴是x=3.24、函数y=-x^2+4x+3的图像开口向下,顶点坐标是(2,7),对称轴是x=2.改写:该二次函数的图像朝下,顶点坐标为(2,7),对称轴为x=2.25、将抛物线y=-2(x-1)^2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线解析式为y=-2(x-2)^2.改写:将抛物线y=-2(x-1)^2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线方程为y=-2(x-2)^2.26、二次函数y=-2x^2+4x+3,当x=1时,y有最大值27.改写:二次函数y=-2x^2+4x+3在x=1处取得最大值27.27、若函数y=-x+4x+k的最大值等于3,则k值等于5.改写:若函数y=-x+4x+k的最大值为3,则k=5.28、当n=25时,抛物线y=-5x+(n-25)x-1的对称轴是y轴。
二次函数的图像和性质(内有经典例题和详细讲解)
二次函数的图象和性质一、选择题1. (2011湖北鄂州,15,3分)已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤>,则使y=k 成立的x 值恰好有三个,则k 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3【答案】D2. (2011广东广州市,5,3分)下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是( ).A .y = x 2B .y = x -1C . y = 34xD .y = 1x【答案】D3. (2011山东滨州,7,3分)抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【答案】B4. (2011山东德州6,3分)已知函数))((b x a x y --=(其中a b >)的图象 如下面右图所示,则函数b ax y +=的图象可能正确的是第6题图5. (2011山东菏泽,8,3分)如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA =OC =1,则下列关系中正确的是A .a +b =-1B . a -b =-1C . b <2aD . ac <0【答案】B6. (2011山东泰安,20 ,3分)若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表:X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时,y 的值为A.5B.-3C.-13D.-27 【答案】D7. (2011山东威海,7,3分)二次函数223y x x =--的图象如图所示.当y <0时,自变量x 的取值范围是( ). A .-1<x <3B .x <-1C . x >3D .x <-1或x >3【答案】A8. (2011山东烟台,10,4分)如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( )A .m =n ,k >hB .m =n ,k <hC .m >n ,k =hD .m <n ,k =h【答案】A9. (2011浙江温州,9,4分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值-1,有最大值0C.有最小值-1,有最大值3 D.有最小值-1,无最大值【答案】D10.(2011四川重庆,7,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( )A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>0【答案】D11.(2011台湾台北,6)若下列有一图形为二次函数y=2x2-8x+6的图形,则此图为何?【答案】A12. (2011台湾台北,32)如图(十四),将二次函数228999931+-=x x y 的图形画在坐标平面上,判断方程式0899993122=+-x x 的两根,下列叙述何者正确?A .两根相异,且均为正根B .两根相异,且只有一个正根C .两根相同,且为正根D .两根相同,且为负根 【答案】A13. (2011台湾全区,28)图(十二)为坐标平面上二次函数c bx ax y ++=2的图形,且此图形通(-1 ,1)、(2 ,-1)两点.下列关于此二次函数的叙述,何者正确?A .y 的最大值小于0B .当x =0时,y 的值大于1C .当x =1时,y 的值大于1D .当x =3时,y 的值小于0 【答案】D14. (2011甘肃兰州,5,4分)抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A .(1,0)B .(-1,0)C .(-2,1)D .(2,-1)【答案】A15. (2011甘肃兰州,9,4分)如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)240b ac ->;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a +b +c <0。
二次函数的图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题二次函数是高中数学中的重要内容之一,在数学学习中起着重要的作用。
理解和掌握二次函数的图像和性质对于解题和解决实际问题至关重要。
本文将为您提供一些关于二次函数图像和性质的练习题,以帮助您更好地理解和掌握相关内容。
1. 下列函数中哪个是二次函数?A. y = 3x + 2B. y = x^2 + 2x - 1C. y = √xD. y = |x|解答:答案是B。
只有函数B是含有二次项的函数,其他函数均不是二次函数。
2. 给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c,若 a > 0,那么这个二次函数的图像是什么样的?解答:当 a > 0 时,二次函数的图像开口向上。
这是因为二次函数的图像开口方向与二次项系数 a 的符号相关,当 a > 0 时,函数的图像开口向上,表示函数的最小值在图像的顶点处。
3. 给定一个二次函数 y = -2x^2 + 4x - 1,那么它的顶点坐标是多少?解答:二次函数的顶点坐标可通过公式 x = -b/2a 和 y = f(x) 计算得出。
对于这个二次函数,a = -2,b = 4,c = -1。
代入公式计算可得:x = -4/(2*(-2)) = -4/(-4) = 1y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = 1因此,这个二次函数的顶点坐标为 (1, 1)。
4. 给定一个二次函数的图像为一个开口向下的抛物线,该二次函数的开口向上对称的点是什么?解答:根据二次函数的性质,开口向下的二次函数的开口向上对称的点为顶点。
因此,开口向下的抛物线的开口向上对称的点即为顶点。
可以通过平移顶点的方法来求得这个点的坐标。
5. 给定一个二次函数 y = x^2 + 3x + 2,那么它的零点是什么?解答:二次函数的零点即为方程 y = 0 的解,也就是函数与 x 轴交点的横坐标。
对于这个二次函数,我们需要求解方程x^2 + 3x + 2 = 0。
二次函数的性质与图像题目
二次函数的性质与图像题目1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
若f(x)的图像开口向上,则a的值应该是()A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. 无法确定2. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交的点,称为函数的()A. 顶点B. 零点C. 焦点D. 交点3. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
若f(x)的图像开口向下,则a的值应该是()A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. 无法确定4. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像与y轴相交的点,称为函数的()A. 顶点B. 零点C. 焦点D. 交点5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
若f(x)的图像对称轴是x = 1,则b的值应该是()A. 1B. -1C. 0D. 无法确定6. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像,当a > 0时,开口向上,当a < 0时,开口向下,当a = 0时,函数是()A. 一次函数B. 常数函数C. 指数函数D. 对数函数7. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
若f(x)的图像顶点在点(1, -2),则c的值应该是()A. -2B. 2C. 0D. 无法确定8. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像,当a > 0时,函数在x轴下方的部分随着x的增加而()A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 无法确定9. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
若f(x)的图像顶点在点(-1, 2),则b的值应该是()A. 2B. -2C. 0D. 无法确定10. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像,当a > 0时,函数在x轴上方的部分随着x的增加而()A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 无法确定11. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。
(完整版)二次函数的图像与性质练习题及答案
二次函数的图像和性质练习题一、选择题1.下列函数是二次函数的有( )12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2-2x 2A 、1个;B 、2个;C 、3个;D 、4个 2.关于213y x =,2y x =,23y x =的图像,下列说法中不正确的是( ) A .顶点相同 B .对称轴相同 C .图像形状相同 D .最低点相同 3.抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是( ) A .(2,1) B .(-2,1) C .(2,-1) D .(-2,-1)4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为 ( )A . 0或2B . 0C . 2D .无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =,它们的图像开口由小到大的顺序是( )A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内,下列说法中不正确的是( )A .顶点相同B .对称轴相同C .开口方向相反D .都有最小值7.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结论:①0abc >;②a+b+c>0③a-b+c<0;A .1个B .2个C .3个D .4个8.已知抛物线的顶点为(-1,-2),且通过(1,10),则这条抛物线的表达式为( )A .y=32(1)x --2 B .y=32(1)x ++2 C .y=32(1)x +-2 D .y=-32)1(-x +29.抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( )A .23(1)2y x =-- B.23(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.23(1)2y x =-+10.抛物线244y x x =--的顶点坐标是( )A .(2,0)B .(2,-2)C .(2,-8)D .(-2,-8)11.与抛物线y=-12x 2+3x -5的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是( )A. y = x 2+3x -5B. y=-12x 2xC. y =12x 2+3x -5D. y=12x 212.对抛物线y=22(2)x --3与y=-22(2)x -+4的说法不正确的是( )A .抛物线的形状相同B .抛物线的顶点相同C .抛物线对称轴相同D .抛物线的开口方向相反13.对于抛物线21(5)33y x =--+,下列说法正确的是( )A .开口向下,顶点坐标(53),B .开口向上,顶点坐标(53),C .开口向下,顶点坐标(53)-,D .开口向上,顶点坐标(53)-,14.抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限,试确定m 的取值范围是( )A .m <-1或m >2B .m <0或m >-1C .-1<m <0D .m <-1 15.在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠)的图象可能..是( )16.函数y=12-2x +2x -5的图像的对称轴是( ) A .直线x=2 B .直线a=-2 C .直线y=2 D .直线x=4 17.二次函数y=221x x --+图像的顶点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 18.如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上,那么c 的值为( )A .0B .6C .3D .9ABCD19.已知二次函数2y ax bx c =++,如果a >0,b <0,c <0,那么这个函数图像的顶点必在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示,则二次函数222k x kx y +-= 21.如图所示,满足a >0,b <0的函数y=2ax bx +的图像是( )22.若A (-4,y 1),B (-3,y 2),C (1,y 3)为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A 、y 1<y 2<y 3B 、y 2<y 1<y 3C 、y 3<y 1<y 2D 、y 1<y 3<y 2二、填空题:23.二次函数2y ax =(0<a )的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是____,图像有最___点,x ___时,y 随x 的增大而增大,x ___时,y 随x 的增大而减小。
二次函数图像和性质习题精选(含答案)
二次函数图像和性质习题精选一.选择题(共30小题)1.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()A.B.C.D.2.函数y=ax2+1与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.3.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是()A.B.C.D.4.已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为()A.B.C.D.5.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:X﹣1013y﹣1353下列结论:(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A.函数有最小值B.对称轴是直线x=C.当x<,y随x的增大而减小D.当﹣1<x<2时,y>07.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或28.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h 的值可以是()A.6B.5C.4D.39.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(﹣3,﹣3)B.(﹣2,﹣2)C.(﹣1,﹣3)D.(0,﹣6)10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根D.当x<1时,y随x的增大而增大11.如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=﹣1时,y的值大于1D.当x=﹣3时,y的值小于012.设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()A.c=3B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤313.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是()A.h=m B.k=n C.k>n D.h>0,k>014.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.015.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.a c<0B.当x=1时,y>0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y 随x的增大而增大16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a ﹣b+c的值为()A.0B.﹣1C.1D.217.下列图中阴影部分的面积相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的部分图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣2<x<2B.﹣4<x<2C.x<﹣2或x>2D.x<﹣4或x>219.已知:二次函数y=x2﹣4x﹣a,下列说法错误的是()A.当x<1时,y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点,则a≤4C.当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,﹣2),则a=320.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是()xy﹣﹣A.B.C.D.21.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y<0D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根22.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A (﹣2,4),B(8,2)(如图所示),则能使y1<y2成立的x的取值范围是()A.x>2B.x<﹣2C.x>0D.﹣2<x<823.在﹣3≤x≤0范围内,二次函数(a≠0)的图象如图所示.在这个范围内,有结论:①y1有最大值1、没有最小值;②y1有最大值1、最小值﹣3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,则y1≤y2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.524.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:﹣1 134…x …﹣2y …04 640…根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是x=1;②x>1时,y的值随着x的增大而减小:③抛物线有最高点:④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36.其中正确说法的个数有()A.1B.2C.3D.425.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x 轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)26.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤27.已知二次函数y=x2+2(a﹣1)x+2.如果x≤4时,y随x增大而减小,则常数a的取值范围是()A.a≥﹣5B.a≤﹣5C.a≥﹣3D.a≤﹣328.如图,平行于y轴的直线l被抛物线y=+1,y=﹣1所截,当直线l向右平移3个单位时,直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为()平方单位.A.3B.4C.6D.无法可求29.已知直线经过点A(0,2),B(2,0),点C在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有()个.A.4B.3C.2D.130.如图,已知抛物线,直线y2=3x+3,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②使得M大于3的x值不存在;③当x<0时,x值越大,M值越小;④使得M=1的x值是或.其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③二次函数图像和性质习题精选(含答案)参考答案与试题解析一.选择题(共30小题)1.(2014•宁夏)已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;正比例函数的图象.专题:数形结合.分析:本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致.(也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负,再与一次函数比较.)解解:A、函数y=ax中,a>0,y=ax2中,a>0,但当x=1时,两函数图象有交点答:(1,a),故A错误;B、函数y=ax中,a<0,y=ax2中,a>0,故B错误;C、函数y=ax中,a<0,y=ax2中,a<0,但当x=1时,两函数图象有交点(1,a),故C正确;D、函数y=ax中,a>0,y=ax2中,a<0,故D错误.故选:C.点评:函数中数形结合思想就是:由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.2.(2014•北海)函数y=ax2+1与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;反比例函数的图象.分析:分a>0和a<0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限,然后选择答案即可.解答:解:a>0时,y=ax2+1开口向上,顶点坐标为(0,1),y=位于第一、三象限,没有选项图象符合,a<0时,y=ax2+1开口向下,顶点坐标为(0,1),y=位于第二、四象限,B选项图象符合.故选:B.点评:本题考查了二次函数图象与反比例函数图象,熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键.3.(2014•遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;一次函数的图象.分析:本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一排除.解答:解:A、由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b经过二、四象限,故A 可排除;B、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,b>0,此时直线y=ax+b经过一、二、四象限,故B可排除;C、二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b经过一、三,故C可排除;正确的只有D.故选:D.点评:此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象,应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.4.(2014•南昌)已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;反比例函数的图象.分析:本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k<﹣1,再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致,最终得到答案.解答:解:∵函数y=的图象经过二、四象限,∴k<0,由图知当x=﹣1时,y=﹣k>1,∴k<﹣1,∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下,对称为x=﹣=,﹣1<<0,∴对称轴在﹣1与0之间,故选:D.点评:此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用,正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键.属于基础题.5.(2014•泰安)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:X﹣1013y﹣1353下列结论:(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个考点:二次函数的性质;二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).专题:图表型.分析:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.解解:(1)由图表中数据可得出:x=1时,y=5,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向答:下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;(2)∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x==,∴当x>时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;(3)∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;(4)∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0,故(4)正确.故选:B.点评:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.6.(2014•广东)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A.函数有最小值B.对称轴是直线x=C.当x <,y随x的增大而减小D.当﹣1<x<2时,y>0考点:二次函数的性质.专题:数形结合.分析:根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;根据图形直接判断B;根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;根据图象,当﹣1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.解答:解:A、由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意;B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故B选项不符合题意;C、因为a>0,所以,当x <时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.故选:D.点评:本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.7.(2014•盘锦)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或2考点:二次函数的性质.专题:数形结合;分类讨论;方程思想.分析:分三种情况:点M的纵坐标小于1;点M的纵坐标等于1;点M的纵坐标大于1;进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数.解解:分三种情况:答:点M的纵坐标小于1,方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根;点M的纵坐标等于1,方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根;点M的纵坐标大于1,方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2.故选:D.点评:考查了二次函数的性质,本题涉及分类思想和方程思想的应用.8.(2014•淄博)已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6B.5C.4D.3考点:二次函数的性质.专题:计算题.分析:根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于所给数据都是正数,所以当对称轴在y轴的右侧时,比较点A和点B到对称轴的距离可得到h<4.解答:解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,∴当对称轴在y轴的右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比B(8,3)到对称轴的距离小,∴x=h<4.故选:D.点评:本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x <﹣时,y随x的增大而减小;x >﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y 取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x <﹣时,y随x的增大而增大;x >﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y 取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.9.(2013•徐州)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(﹣3,﹣3)B.(﹣2,﹣2)C.(﹣1,﹣3)D.(0,﹣6)考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可.解答:解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等,∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2,∴顶点坐标为(﹣2,﹣2).故选B.点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键.10.(2013•南宁)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根D.当x<1时,y随x的增大而增大考点:二次函数的性质.分析:根据对称轴及抛物线与x轴交点情况,结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判断.解答:解:A、观察图象,可知抛物线的对称轴为直线x=1,则图象关于直线x=1对称,正确,故本选项不符合题意;B、观察图象,可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),又抛物线开口向上,所以函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4,正确,故本选项不符合题意;C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),而对称轴为直线x=1,所以抛物线与x轴的另外一个交点为(3,0),则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,正确,故本选项不符合题意;D、由抛物线的对称轴为x=1,所以当x<1时,y随x的增大而减小,错误,故本选项符合题意.故选D.此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题.点评:11.(2012•济南)如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=﹣1时,y的值大于1D.当x=﹣3时,y的值小于0二次函数的图象;二次函数的性质.考点:专题:压轴题.分析:根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答.解答:解:A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;故本选项错误;C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵﹣1<1,∴x=﹣1时,y的值小于x=1时,y的值1,即当x=﹣1时,y的值小于1;故本选项错误;D、当x=﹣3时,函数图象上的点在点(﹣2,﹣1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确.故选D.点评:本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答此题时,需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识.12.(2012•德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()A.c=3B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤3考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:因为当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,所以函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①,由题意可知当x=3时,y=9+3b+c≤0②,所以①②联立即可求出c的取值范围.解答:解:∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,∴函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①,∵当1≤x≤3时,总有y≤0,∴当x=3时,y=9+3b+c≤0②,①②联立解得:c≥3,故选B.点评:本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是由给出的条件得到抛物线过(1,0),再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系.13.(2009•新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是()A.h=m B.k=n C.k>n D.h>0,k>0考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:借助图象找出顶点的位置,判断顶点横坐标、纵坐标大小关系.解答:解:根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),因为点(h,k)在点(m,n)的上方,所以k=n不正确.故选:B.点本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用.评:14.(2009•丽水)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.0二次函数的性质.考点:根据抛物线的性质解题.分析:解:①抛物线开口向下,a<0,所以①错误;解答:②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形,所以②该函数的图象关于直线x=1对称,正确;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0,也正确.故选B.点本题考查了抛物线的开口方向,轴对称性和与x轴的交点等知识.评:15.(2009•南昌)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.a c<0B.当x=1时,y>0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y 随x的增大而增大考二次函数的性质.点:专题:压轴题.分析:根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,逐一判断.解答:解:A、抛物线开口向上,a>0,抛物线与y轴交于正半轴,c>0,所以ac>0,错误;B、由图象可知,当x=1时,y<0,错误;C、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根小于1,一个根大于1,错误;D、存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y随x的增大而增大,正确.故选D.点评:本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,涉及的知识面比较广.16.(2008•仙桃)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a﹣b+c的值为()A.0B.﹣1C.1D.2考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:由“对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0),代入抛物线方程即可解得.解答:解:因为对称轴x=1且经过点P(3,0)所以抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中,得a﹣b+c=0.故选A.点评:巧妙利用了抛物线的对称性.17.(2007•烟台)下列图中阴影部分的面积相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.专题:压轴题.分析:根据坐标系的点的坐标特点,分别求出三角形的底和高,计算面积,再比较.解答:解:①与坐标轴的两个交点为(0,2)(2,0),阴影部分的面积为2×2÷2=2;②当x=1时,y=3,阴影部分的面积为1×3÷2=;③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1,1,两点间的距离为:1﹣(﹣1)=2,与y 轴的交点为(0,﹣1).阴影部分的面积为2×1÷2=1;④当x=1时,y=4,阴影部分的面积为1×4÷2=2.①④面积相等.故选D.点评:解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高.18.(2007•达州)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的部分图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣2<x<2B.﹣4<x<2C.x<﹣2或x>2D.x<﹣4或x>2考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点;再根据开口方向,结合图形,求出y>0时,x的取值范围.解答:解:因为抛物线过点(2,0),对称轴是x=﹣1,根据抛物线的对称性可知,抛物线必过另一点(﹣4,0),因为抛物线开口向下,y>0时,图象在x轴的上方,此时,﹣4<x<2.故选B.点评:解答本题,利用二次函数的对称性,关键是判断图象与x轴的交点,根据开口方向,形数结合,得出结论.19.(2007•泰州)已知:二次函数y=x2﹣4x﹣a,下列说法错误的是()A.当x<1时,y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点,则a≤4C.当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,﹣2),则a=3考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).专题:压轴题.分析:A、当x<1时,在对称轴右侧,由此可以确定函数的单调性;B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0,利用此即可判断是否正确;C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集可以求出,然后就可以判断是否正确;D、根据平移规律可以求出a的值,然后判断是否正确.解答:解:二次函数为y=x2﹣4x﹣a,对称轴为x=2,图象开口向上.则:A、当x<1时,y随x的增大而减小,故选项正确;B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0则a≥﹣4,故选项错误;C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3,故选项正确;D、原式可化为y=(x﹣2)2﹣4﹣a,将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=(x+1)2﹣3﹣a.函数过点(1,﹣2),代入解析式得到:a=3.故选项正确.故选B.点评:此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系,以及图象的平移规律.这些性质和规律要求掌握.20.(2009•塘沽区一模)下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是()xy﹣﹣A.B.C.D.考图象法求一元二次方程的近似根.点:把三点代入解方程式,则代入y等于0时,x的值是多少即可.分析:解:代入各点坐标解答:解得y=﹣+解得x=左右则C最符合,故选C.点评:本题考查了一元二次方程的近似根,代入求近似值,再进行对比则最接近的即可.21.(2010•徐汇区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y<0D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点:图象法求一元二次方程的近似根.专题:计算题.分析:结合图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,3),借助(0,1)两点可求出二次函数解析式,从而得出抛物线的性质.解解:∵由图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶答:点坐标为(1,3),∴二次函数解析式为:y=a(x﹣1)2+3,再将(0,1)点代入得:1=a(﹣1)2+3,解得:a=﹣2,∴y=﹣2(x﹣1)2+3,∵a<0∴A,抛物线开口向上错误,故:A错误;∵y=﹣2(x﹣1)2+3=﹣2x2+4x+1,与y轴交点坐标为(0,1),故与y轴交于正半轴,故:B错误;∵x=3时,y=﹣5<0,故:C正确;∵方程ax2+bx+c=0,△=16+4×2×1=22>0,此方程有两个不相等的实数根,故:D.方程有两个相等实数根错误;故选:C.点此题主要考查了二次函数解析式的求法,以及由解析式求函数与坐标轴的交点评:以及一元二次方程根的判别式的应用.22.(2013•沙湾区模拟)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2,4),B(8,2)(如图所示),则能使y1<y2成立的x的取值范围是()A.x>2B.x<﹣2C.x>0D.﹣2<x<8考点:二次函数的性质.分析:根据两函数交点坐标得出,能使y1<y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围,即可得出答案.解答:解:∵二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2,4),B(8,2),∵结合图象,∴能使y1<y2成立的x的取值范围是:﹣2<x<8,故选:D.点评:此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系,此题型是中考中考查重点也是难点,同学们应熟练掌握.23.(2012•北辰区一模)在﹣3≤x≤0范围内,二次函数(a≠0)的图象如图所示.在这个范围内,有结论:①y1有最大值1、没有最小值;②y1有最大值1、最小值﹣3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,则y1≤y2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5考点:二次函数的性质;二次函数的图象.专题:数形结合.分析:根据二次函数的性质,结合图象可判断①②③;根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④;求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4,求出抛物线的解析式,根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤.解答:解:由图象可知,在﹣3≤x≤0范围内,y1有最大值1、最小值﹣3,故①错误,②正确;由图象可知,当﹣3≤x<﹣1时,y1随x的增大而增大,当﹣1<x<0时,y1随x 的增大而减小,故③错误;由于y1的最大值是1,所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点,即方程ax2+bx+c=2无解,故④正确;如图所示,由于y2=2x+4经过点(0,4),(﹣2,0),由图可知,二次函数(a≠0)中,当x=1时,y=﹣1;x=﹣2时,y=0,所以,解得,故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x,所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=(x+2)2,因为=(x+2)2≥0,所以y1≤y2,故⑤正确.故选B.点评:本题考查的是二次函数的性质,能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键.24.(2011•苏州模拟)抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x …﹣2﹣1 134…y …0 4 640…根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是x=1;②x>1时,y的值随着x的增大而减小:③抛物线有最高点:④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36.其中正确说法的个数有()A.1B.2C.3D.4考点:二次函数的性质.专题:计算题.分析:根据抛物线的对称性,抛物线的顶点坐标为(1,6),且函数值6为最大值,由此判断.解答:解:观察表格可知,抛物线的顶点坐标为(1,6),且抛物线开口向下,故①②③正确;∵抛物线与x轴的两个交点为(﹣2,0),(4,0),顶点坐标为(1,6),∴抛物线的顶点、与x 轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×(4+2)×6=18,故④错误.其中正确说法是①②③.故选C.点评:本题考查了二次函数的性质.关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标,开口方向及与x轴交点坐标.25.(2010•河北)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)考点:二次函数的性质.专题:综合题;压轴题.分析:已知抛物线的对称轴为x=2,知道A的坐标为(0,3),由函数的对称性知B点坐标.解答:解:由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2,∵点A的坐标为(0,3),且AB与x轴平行,可知A、B两点为对称点,∴B点坐标为(4,3)故选D.本题主要考查二次函数的对称性.点评:26.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤二次函数的性质.考点:压轴题.专题:根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性.分析:解答:解:根据图象可知:①对称轴﹣>0,故ab<0,正确;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3,正确;③x=1时,y=a+b+c<0,错误;④当x<1时,y随x值的增大而减小,错误;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3,正确.正确的有①②⑤.故选B.点评:主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.27.已知二次函数y=x2+2(a﹣1)x+2.如果x≤4时,y随x增大而减小,则常数a的取值范围是()A.a≥﹣5B.a≤﹣5C.a≥﹣3D.a≤﹣3考点:二次函数的性质.分抛物线开口向上,由x≤4时,y随x增大而减小,可知对称轴x=1﹣a≥4,解不。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题(每小题3分,共30分)1. 在二次函数122++-=x x y 的图象中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是 【 】 (A )1<x (B )1>x (C )1-<x (D )1->x2. 若二次函数142-++=m x mx y 的最小值是2,则m 的值是 【 】 (A )4 (B )3 (C )1- (D )4或1-3. 已知二次函数m x x y +-=32(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1 , 0),则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两个实数根是 【 】 (A )1,121-==x x (B )2,121==x x (C )0,121==x x (D )3,121==x x4. 如图,由二次函数c bx ax y ++=2的图象可知,不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 (A )13<<-x (B )1>x (C )3-<x 或1>x (D )3-<x第 4 题图第 5 题图5. 如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分,它的对称轴是直线1=x ,若抛物线x 轴的一个交点为A (3 , 0),则不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 (A )3>x (B )3<x (C )30<<x (D )31<<-x6. 若一次函数()a x a y ++=1的图象过第一、三、四象限,则二次函数ax ax y -=2 【 】(A )有最大值4a (B )有最大值4a - (C )有最小值4a (D )有最小值4a-7. 将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后,所得新抛物线的解析式为 【 】(A )()58212+-=x y (B )()54212+-=x y(C )()38212+-=x y (D )()34212+-=x y8. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线1-=x ,则这个二次函数的表达式为 【 】 (A )322++-=x x y (B )322++=x x y (C )322-+-=x x y (D )322+--=x x y第 8 题图第 9 题图9. 如图,若二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )图象的对称轴为直线1=x ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B ()0,1-,则①二次函数的最大值为c b a ++; ②0<+-c b a ;③042<-ac b ; ④当0>y 时,31<<-x .其中正确的个数是 【 】 (A )1 (B )2 (C )3 (D )410. 若二次函数12+=ax y 的图象经过点()0,2-,则关于x 的方程()0122=+-x a 的实数根为 【 】 (A )4,021==x x (B )6,221=-=x x (C )25,2321==x x (D )0,421=-=x x 二、填空题(每小题3分,共30分)11. 若抛物线()12-++=m m x y 的对称轴是直线1=x ,则它的顶点坐标是_________.12. 若抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )与抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称,则函数c bx ax y ++=2的关系式为________________.13. 已知二次函数c bx ax y ++=2(0≠a ),其中c b a ,,满足0=++c b a 和039=+-c b a ,则该二次函数图象的对称轴是直线_________.14. 若二次函数n x x y +-=42的图象与x 轴只有一个公共点,则实数n 的值为_________. 15. 二次函数542++=x x y ,当3-≤x ≤0的最小值为_________.16. 如果将抛物线122-+=x x y 向上平移,使它经过点()3,0A ,那么所得新抛物线的表达式为________________.17. 经过A (4 , 0),)0,2(-B ,C (0 , 3)三点的抛物线的解析式是___________.18. 若二次函数c bx ax y ++=2(0<a )的图象经过点(2 , 0),且其对称轴为直线1-=x ,则使函数值0>y 成立的x 的取值范围是__________.19. 将一条抛物线向上平移4个单位,再向左平移2个单位后,得到新的抛物线为442++=x x y ,则原抛物线的解析式为________________.20. 已知抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )与x 轴交于A 、B 两点,若点A 为()0,2-,抛物线的对称轴为直线2=x ,则线段AB 的长为_________. 三、解答题(共60分)21.(10分)如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点. (1)求这条抛物线的函数解析式; (2)求直线AB 的函数解析式.yxCA BO22.(10分)如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A (3 , 0),另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . (1)求m 的值; (2)求点B 的坐标;(3)若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO23.(10分)如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A (6 , 0)和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D . (1)求一次函数的关系式;(2)求过A、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.x24.(10分)如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C (0 , 5),另抛物线经过点(1 , 8),点M 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积.y xMCBA O25.(10分)已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D .(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.yxD C AB OFPyx备用图D C AB O FP 26.(10分)如图所示,抛物线c bx x y ++=2与直线1-=x y 交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为4-,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作PC x ⊥轴于C ,交直线AB 于D .(1)求抛物线的解析式;(2)当m 取何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少?(3)是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)二、填空题(每小题3分,共30分)11. ()2,1- 12. 342++=x x y 13. 1-=x 14. 4 15. 1 16. 322++=x x y 17. ()()4283-+-=x x y 18. 24<<-x 19. 42-=x y 20. 8三、解答题(共60分)21.(10分)如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式; (2)求直线AB 的函数解析式.yxCA BO解:(1) ∵抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A∴()0422=-=∆a a……………………………………………2分 ∴02=-a a 解之得:1,021==a a……………………………………………4分 ∵0≠a ∴1=a……………………………………………5分 ∴这条抛物线的函数解析式为()22112+=++=x x x y ;(2)∵点A 为抛物线()21+=x y 的顶点∴()0,1-A……………………………………………6分 ∵点C 是线段AB 的中点∴点B 的横坐标为1对于()21+=x y ,当1=x 时,4=y∴B (1 , 4)……………………………………………7分 设直线AB 的函数解析式为b kx y += 把()0,1-A , B (1 , 4)分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+-40b k b k 解之得:⎩⎨⎧==22b k∴直线AB 的函数解析式为22+=x y . 附 中点坐标公式中点坐标公式在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y n x x m 图形说明如图(1)所示.图(1)22.(10分)如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A (3 , 0),另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .(1)求m 的值; (2)求点B 的坐标;(3)若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO解:(1)把A (3 , 0)代入m x x y ++-=22得:069=++-m解之得:3=m……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ; (2)令0=x ,则0322=++-x x 解之得:3,121=-=x x ∴点B 的坐标为()0,1-;……………………………………………6分 (3)令0=x ,则3=y∴C (0 , 3)……………………………………………7分∵ABC ABD S S ∆∆=∴点C 与点D 的纵坐标相等 令3=y ,则3322=++-x x 解之得:2,021==x x ∴点D 的坐标为(2 , 3).…………………………………………10分 23.(10分)如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A (6 , 0)和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求一次函数的关系式;(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.解:(1)把A (6 , 0)和()32,0B 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+3206b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233b k∴一次函数的关系式为3233+-=x y ; ……………………………………………4分 (2)连结BC.∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴BC AC =∵A (6 , 0)()32,0B ∴32,6==OB OA设x BC AC ==,则x AC OA OC -=-=6 在Rt △BOC 中,由勾股定理得:222BC OC OB =+∴()()222632x x =-+解之得:4=x ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C (2 , 0)……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分x第(2)问另解: ∵A (6 , 0)()32,0B ∴32,6==OB OA 在Rt △AOB 中 ∵33632tan ===∠OA OB BAO ∴︒=∠30BAO……………………………………………5分 ∴342==OB AB∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴3221==AB AD 在Rt △ACD 中 ∵233230cos ===︒AC AC AD ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C (2 , 0)……………………………………………7分 设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分 注意:若抛物线与x 轴交于A )0,(1x 、B )0,(2x 两点,则可设抛物线的解析式为:()()21x x x x a y --=.24.(10分)如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C (0 , 5),另抛物线经过点(1 , 8),点M 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积.解:(1)把()0,1-,(0 , 5),(1 , 8)分别代入c bx ax y ++=2得:⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-85c b a c c b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a∴该抛物线的解析式为542++-=x x y ;……………………………………………4分 (2)∵542++-=x x y ∴()922+--=x y……………………………………………5分∵点M 是抛物线()922+--=x y 的顶点∴M (2 , 9)……………………………………………6分 令0=y ,则()0922=+--x解之得:5,121=-=x x ∴B (5 , 0)……………………………………………7分 作y ME ⊥轴 ∴9,2==OE ME∴459=-=-=OC OE CE ∴BOC MCE MEOB MCB S S S S ∆∆∆--=梯形()552124212529⨯⨯-⨯⨯-+⨯=15=…………………………………………10分 25.(10分)已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D . (1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.解:(1)把A ()0,3-、()3,2--D 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=+-=+-324039c b c b 解之得:⎩⎨⎧-==32c b∴抛物线的解析式为322-+=x x y ; ……………………………………………4分 (2)令0=y ,则0322=-+x x 解之得:3,121-==x x ∴B (1 , 0),1=OB……………………………………………6分 ∵A 、B 两点是抛物线322-+=x x y 与x 轴的两个交点∴A 、B 两点关于直线1-=x 对称如图,连结BD ,与直线1-=x 的交点即为PD PA +的值最小时,点P 的位置,作x DE ⊥轴,并连结P A .∴PB PA =∴BD PD PB PD PA =+=+……………………………………………7分∵()3,2--D ∴2,3==OE DE∴321=+=+=OE OB BE 在Rt △BDE 中,由勾股定理得:23332222=+=+=DE BE BD∴PD PA +的最小值为23.…………………………………………10分关于两条线段之和取得最小值的问题有许多几何问题都涉及到两条线段之和最小的问题,解决这类问题的主要方法是依据“两点之间线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段,该线段的长度即为两条线段之和的最小值.怎么转化是解决问题的关键-----借助于图形变换中的轴对称可以实现转化.另外还要用到线段垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,有些题目还与函数知识相结合,难度较高.也有部分几何问题涉及到三条线段之和最小,情形比较复杂,但解决问题的依据和思路基本上是不变的.要求:(1)会作出一个点关于某条直线的对称点. (2)熟悉并掌握线段垂直平分线的性质定理.(3)通过合理添加辅助线构造直角三角形,使用勾股定理求解线段(边)的长度. (4)掌握两点关于坐标轴对称时坐标之间的关系,如两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等.(5)学会并掌握用待定系数法求一次函数的关系式.26.(10分)如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式;(2)当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?(3)是否存在点P,使△P AD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC FABOP解:(1)对于1-=xy令4-=y,则41-=-x,解之得:3-=x∴()4,3--A令0=x,则1-=y∴()1,0-B把()4,3--A 和()1,0-B 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=-=+-1439c c b 解之得:⎩⎨⎧-==14c b∴抛物线的解析式为142-+=x x y ; ……………………………………………3分 (2)∵点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m∴()14,2-+m m m P (03<<-m ) ∵PC x ⊥轴,点D 在直线1-=x y ∴()1,-m m D ∵点D 在点P 的上方∴()m m m m m PD 314122--=-+--=∴49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m PD……………………………………………5分∴当23-=m 时,线段PD 的长度取得最大值,最大值为49;……………………………………………6分 (3)存在点P ,使△P AD 是直角三角形. 对于1-=x y 令0=y ,则01=-x 解之得:1=x ∴F (1 , 0)∴1==OF OB∴△BOF 和△DCF 都是等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45ADP CDF分为两种情况:①当︒=∠90PAD 时,△P AD 是等腰直角三角形 作PC AE ⊥ ∴()m m PD AE 321212--==∵()4,3--A ,()0,m C ∴()m m AE +=--=33 ∴()m m m +=--33212 整理得:0652=++m m 解之得:3,221-=-=m m ∵03<<-m ∴2-=m∴()()512421422-=--⨯+-=-+m m∴()5,2--P ;……………………………………………8分 ②当︒=∠90APD 时,PD PA =∴()m m m 332--=-- 整理得:0342=++m m 解之得:3,121-=-=m m ∵03<<-m ∴1-=m∴()()411411422-=--⨯+-=-+m m∴()4,1--P ;…………………………………………10分 综上所述,存在点P ,使△P AD 是直角三角形,点P 的坐标为()5,2--或()4,1--.yxDCFABO P注意:对于讨论的第①种情况,我们还可以用下面的方法予以求解,希望借此拓宽大家的视野.先补充知识点: 对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意 此结论通常用来求一次函数的解析式.例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y . 回到本题:①当︒=∠90PAD 时,AB AP ⊥ 设直线AP 为n mx y += ∵直线AB 为1-=x y ∴1-=m∴n x y +-= 把()4,3--A 代入n x y +-=得:43-=+n∴7-=n∴直线AP 为7--=x y 解方程7342--=-+x x x 得:3,221-=-=x x (不合题意,舍去)∴()5,2--P .学生整理用图。
二次函数的图像和性质练习(含答案)
二次函数的图像和性质一、选择题(每题3分)1.下列四个函数中,一定是二次函数的是( )A .21y x x=+ B .y=ax 2+bx+c C .y=x 2﹣(x+7)2 D .y=(x+1)(2x ﹣1)【答案】D【解析】试题分析:因为形如y=ax 2+bx+c (0a ≠)的函数叫二次函数,所以选项A 、B 、C 错误,D 正确,故选:D .考点:二次函数的概念.2.若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数,则a 的取值范围为( ) A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D .【解析】试题分析:根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-, 则30a -≠3a ≠故选D .考点:二次函数的定义.3.下列函数中,不是二次函数的是( )A .y =1-x 2B .y =2(x -1)2+4C .y =(x -1)(x +4)D .y =(x -2)2-x 2【答案】D .【解析】试题分析:选项A ,y=1-x 2=-x 2+1,是二次函数,选项A 正确;选项B ,y=2(x-1)2+4=2x 2-4x+6,是二次函数,选项B 正确;选项C ,y=(x-1)(x+4)=x 2+x-2,是二次函数,选项C 正确;选项 D ,y=(x-2)2-x 2=-4x+4,是一次函数,选项D 错误.故答案选D .考点:二次函数的定义.二、填空题(每题3分)4.若函数y =(m -3)是二次函数,则m =______. 【答案】5.【解析】试题分析:已知函数y =(m -3)是二次函数,可得且m -3≠0,解得m=-5. 考点:二次函数的定义.5..一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________.【答案】S=4π2r【解析】试题分析:根据题意可得h=2r ,则S=2πrh=4π2r .考点:二次函数的实际应用(时间:15分钟,满分25分)班级:___________姓名:___________得分:___________一、选择题(每题3分)1.下列函数中,不属于二次函数的是( )A .y=(x ﹣2)2B .y=﹣2(x+1)(x ﹣1)C .y=1﹣x ﹣x 2D .y=211x 【答案】D【解析】试题分析:整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可:A 、整理为y=x 2﹣4x+4,是二次函数,不合题意;B 、整理为y=﹣2x 2+2,是二次函数,不合题意;C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1,是二次函数,不合题意;D 、不是整式方程,符合题意.故选:D .考点:二次函数的定义2.下列函数中属于二次函数的是( )A .12-=x yB .12-=ax yC .222)1(2x x y --=D .)2)(1(π+-=x x y【答案】D .【解析】试题分析:A .12-=x y 是一次函数,故本选项错误;B .当0a =时,12-=ax y 不是二次函数,故本选项错误;C .222)1(2x x y --==42x -+是一次函数,故本选项错误;D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数,故本选项正确.故选D .考点:二次函数的定义.3.若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数,则a 的取值范围为( )A .0a ≠B .1a ≠C .2a ≠D .3a ≠【答案】D .【解析】试题分析:由原函数解析式得到:222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-.∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数,∴30a -≠,解得3a ≠.故选D .考点:二次函数的定义.二、填空题(每题3分)4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆,则剩下的铁皮的面积S (cm 2)与圆的半径r (cm )之间的函数表达式为 (不要求写自变量的取值范围).【答案】2256r S π-=【解析】试题分析:剩下的面积为:正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为:2256r S π-=考点:函数的表达式.5..用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框,若设窗框的宽为x 米,窗户的透光面积为S 平方米, 则S 关于x 的函数关系式 .【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析:设窗框的宽为x 米,则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点:实际问题抽象二次函数三、计算题(每题10分)6.已知,若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数.(1)求m 的值,并写出解析式;(2)若函数是关于x 的二次函数,求m 的值,.【答案】(1)1m =-;(2)m =.【解析】试题分析:(1)先根据一次函数的定义求出m 的值;(2)由22m =可得出m =试题解析:(1)∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数,∴21m =,解得1m =或1m =-,又∵10m -≠,∴1m ≠,∴1m =-,∴函数为:23y x =-+;m=可得出m=(2)由22考点:1.一次函数的定义;2.二次函数的定义.。
二次函数图像和性质练习题
二次函数图像和性质练习题二次函数是高中数学中的重要内容,它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过一些练习题,来深入探讨二次函数的图像和性质。
练习题一:已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1, 4),并且在x轴上的截距为2,求函数的解析式。
解析:根据已知条件,可以得到两个方程:(1)4=a+b+c;(2)c=2a;将第二个方程代入第一个方程中,得到4=a+b+2a,化简得到3a+b=4。
由于这是一个一元一次方程,可以解得a=1,b=1。
代入c=2a,得到c=2。
所以,函数的解析式为y=x^2+x+2。
练习题二:已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(2, 3),并且在x轴上的截距为4,求函数的解析式。
解析:同样地,根据已知条件可以得到两个方程:(1)3=4a+2b+c;(2)c=4a;将第二个方程代入第一个方程中,得到3=4a+2b+4a,化简得到8a+2b=3。
由于这是一个一元一次方程,可以解得a=1/4,b=-5/2。
代入c=4a,得到c=1。
所以,函数的解析式为y=1/4x^2-5/2x+1。
练习题三:已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1, 2),并且在x轴上的截距为3,求函数的解析式。
解析:同样地,根据已知条件可以得到两个方程:(1)2=a+b+c;(2)c=3a;将第二个方程代入第一个方程中,得到2=a+b+3a,化简得到4a+b=2。
由于这是一个一元一次方程,可以解得a=1/2,b=-5/2。
代入c=3a,得到c=3/2。
所以,函数的解析式为y=1/2x^2-5/2x+3/2。
通过以上三道练习题,我们可以看到二次函数图像和性质的一些规律。
首先,二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其次,二次函数的图像经过的点和截距可以用来确定函数的解析式。
最后,通过解方程可以得到函数的系数。
除了以上的练习题,我们还可以通过其他方式来深入理解二次函数的图像和性质。
二次函数图像和性质习题精选(含答案及解析)
二次函数图像和性质习题精选一.选择题(共30小题)1.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()A.B.C.D.2.函数y=ax2+1与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.3.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是()A.B.C.D.4.已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为()A.B.C.D.5.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论:(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A.函数有最小值B.对称轴是直线x=D.当﹣1<x<2时,y>0C.当x<,y随x的增大而减小7.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0,1或28.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6B.5C.4D.39.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为()A.(﹣3,﹣3)B.(﹣2,﹣2)C.(﹣1,﹣3)D.(0,﹣6)10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根D.当x<1时,y随x的增大而增大11.如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1C.当x=﹣1时,y的值大于1 D.当x=﹣3时,y的值小于012.设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤313.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是()A.h=m B.k=n C.k>n D.h>0,k>014.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.015.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.a c<0B.当x=1时,y>0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y随x的增大而增大16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a﹣b+c的值为()A.0B.﹣1 C.1D.217.下列图中阴影部分的面积相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的部分图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣2<x<2 B.﹣4<x<2 C.x<﹣2或x>2 D.x<﹣4或x>219.已知:二次函数y=x2﹣4x﹣a,下列说法错误的是()A.当x<1时,y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点,则a≤4C.当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,﹣2),则a=320.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是()x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.5521.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y<0 D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根A.x>2 B.x<﹣2 C.x>0 D.﹣2<x<823.在﹣3≤x≤0范围内,二次函数(a≠0)的图象如图所示.在这个范围内,有结论:①y1有最大值1、没有最小值;②y1有最大值1、最小值﹣3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,则y1≤y2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.524.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x …﹣2 ﹣1 1 3 4 …y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是x=1;②x>1时,y的值随着x的增大而减小:③抛物线有最高点:④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36.其中正确说法的个数有()A.1B.2C.3D.425.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)26.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤27.已知二次函数y=x2+2(a﹣1)x+2.如果x≤4时,y随x增大而减小,则常数a的取值范围是()A.a≥﹣5 B.a≤﹣5 C.a≥﹣3 D.a≤﹣328.如图,平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1,y=0.5x2﹣1所截,当直线l向右平移3个单位时,直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为()平方单位.A.3B.4C.6D.无法可求29.已知直线经过点A(0,2),B(2,0),点C在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有()个.A.4B.3C.2D.130.如图,已知抛物线,直线y2=3x+3,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②使得M大于3的x值不存在;③当x<0时,x值越大,M值越小;④使得M=1的x 值是或.其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③二次函数图像和性质习题精选(含答案)参考答案与试题解析一.选择题(共30小题)1.(2014•宁夏)已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;正比例函数的图象.专题:数形结合.分析:本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致.(也可以先固定二次函数y=ax2图象中a 的正负,再与一次函数比较.)解答:解:A、函数y=ax中,a>0,y=ax2中,a>0,但当x=1时,两函数图象有交点(1,a),故A错误;B、函数y=ax中,a<0,y=ax2中,a>0,故B错误;C、函数y=ax中,a<0,y=ax2中,a<0,但当x=1时,两函数图象有交点(1,a),故C正确;D、函数y=ax中,a>0,y=ax2中,a<0,故D错误.故选:C.点评:函数中数形结合思想就是:由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.2.(2014•北海)函数y=ax2+1与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;反比例函数的图象.分析:分a>0和a<0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限,然后选择答案即可.解答:解:a>0时,y=ax2+1开口向上,顶点坐标为(0,1),y=位于第一、三象限,没有选项图象符合,a<0时,y=ax2+1开口向下,顶点坐标为(0,1),y=位于第二、四象限,B选项图象符合.故选:B.点评:本题考查了二次函数图象与反比例函数图象,熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键.3.(2014•遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;一次函数的图象.分析:本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一排除.解答:解:A、由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b经过二、四象限,故A可排除;B、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,b>0,此时直线y=ax+b经过一、二、四象限,故B可排除;C、二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b经过一、三,故C可排除;正确的只有D.故选:D.点评:此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象,应该识记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.4.(2014•南昌)已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;反比例函数的图象.分析:本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k<﹣1,再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致,最终得到答案.解答:解:∵函数y=的图象经过二、四象限,∴k<0,由图知当x=﹣1时,y=﹣k>1,∴k<﹣1,∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下,对称为x=﹣=,﹣1<<0,∴对称轴在﹣1与0之间,故选:D.点评:此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用,正确判断抛物线开口方向和对称轴位置5.(2014•泰安)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论:(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个考点:二次函数的性质;二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).专题:图表型.分析:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.解答:解:(1)由图表中数据可得出:x=1时,y=5,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;(2)∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x==1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;(3)∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;(4)∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0,故(4)正确.故选:B.点评:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.6.(2014•广东)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A.函数有最小值B.对称轴是直线x=C.D.当﹣1<x<2时,y>0当x<,y随x的增大而减小考点:二次函数的性质.专题:数形结合.分析:根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;根据图形直接判断B;根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故B选项不符合题意;C、因为a>0,所以,当x<时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.故选:D.点评:本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.7.(2014•盘锦)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0,1或2考点:二次函数的性质.专题:数形结合;分类讨论;方程思想.分析:分三种情况:点M的纵坐标小于1;点M的纵坐标等于1;点M的纵坐标大于1;进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数.解答:解:分三种情况:点M的纵坐标小于1,方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根;点M的纵坐标等于1,方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根;点M的纵坐标大于1,方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2.故选:D.点评:考查了二次函数的性质,本题涉及分类思想和方程思想的应用.8.(2014•淄博)已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6B.5C.4D.3考点:二次函数的性质.专题:计算题.分析:根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于所给数据都是正数,所以当对称轴在y轴的右侧时,比较点A和点B到对称轴的距离可得到h<4.解答:解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,∴当对称轴在y轴的右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比B(8,3)到对称轴的距离小,点评:本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.9.(2013•徐州)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为()A.(﹣3,﹣3)B.(﹣2,﹣2)C.(﹣1,﹣3)D.(0,﹣6)考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可.解答:解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等,∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2,∴顶点坐标为(﹣2,﹣2).故选B.点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键.10.(2013•南宁)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根D.当x<1时,y随x的增大而增大考点:二次函数的性质.分析:根据对称轴及抛物线与x轴交点情况,结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判断.解答:解:A、观察图象,可知抛物线的对称轴为直线x=1,则图象关于直线x=1对称,正确,故本选项不符合题意;B、观察图象,可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),又抛物线开口向上,所以函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4,正确,故本选项不符合题意;C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),而对称轴为直线x=1,所以抛物线与x轴的另外一个交点为(3,0),则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,正确,故本选项不符合题意;D、由抛物线的对称轴为x=1,所以当x<1时,y随x的增大而减小,错误,故本选项符合题意.故选D.点评:此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题.11.(2012•济南)如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1C.当x=﹣1时,y的值大于1 D.当x=﹣3时,y的值小于0考点:二次函数的图象;二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答.解答:解:A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;故本选项错误;C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵﹣1<1,∴x=﹣1时,y的值小于x=1时,y的值1,即当x=﹣1时,y的值小于1;故本选项错误;D、当x=﹣3时,函数图象上的点在点(﹣2,﹣1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确.故选D.点评:本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答此题时,需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识.12.(2012•德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:因为当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,所以函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①,由题意可知当x=3时,y=9+3b+c≤0②,所以①②联立即可求出c的取值范围.解答:解:∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,∴函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①,∵当1≤x≤3时,总有y≤0,∴当x=3时,y=9+3b+c≤0②,①②联立解得:c≥3,故选B.点评:本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是由给出的条件得到抛物线过(1,0),再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系.13.(2009•新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是()A.h=m B.k=n C.k>n D.h>0,k>0考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:借助图象找出顶点的位置,判断顶点横坐标、纵坐标大小关系.解答:解:根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),因为点(h,k)在点(m,n)的上方,所以k=n不正确.故选:B.点评:本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用.14.(2009•丽水)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.0考点:二次函数的性质.分析:根据抛物线的性质解题.解答:解:①抛物线开口向下,a<0,所以①错误;②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形,所以②该函数的图象关于直线x=1对称,正确;③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0,也正确.故选B.点评:本题考查了抛物线的开口方向,轴对称性和与x轴的交点等知识.15.(2009•南昌)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.a c<0B.当x=1时,y>0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y随x的增大而增大考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,逐一判断.解答:解:A、抛物线开口向上,a>0,抛物线与y轴交于正半轴,c>0,所以ac>0,错误;B、由图象可知,当x=1时,y<0,错误;C、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根小于1,一个根大于1,错误;D、存在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小;当x>x0时,y随x的增大而增大,正确.故选D.点评:本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,涉及的知识面比较广.16.(2008•仙桃)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a﹣b+c的值为()A.0B.﹣1 C.1D.2考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:由“对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0),代入抛物线方程即可解得.解答:解:因为对称轴x=1且经过点P(3,0)所以抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中,得a﹣b+c=0.故选A.点评:巧妙利用了抛物线的对称性.17.(2007•烟台)下列图中阴影部分的面积相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.专题:压轴题.分析:根据坐标系的点的坐标特点,分别求出三角形的底和高,计算面积,再比较.解答:解:①与坐标轴的两个交点为(0,2)(2,0),阴影部分的面积为2×2÷2=2;②当x=1时,y=3,阴影部分的面积为1×3÷2=1.5;③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1,1,两点间的距离为:1﹣(﹣1)=2,与y轴的交点为(0,﹣1).阴影部分的面积为2×1÷2=1;④当x=1时,y=4,阴影部分的面积为1×4÷2=2.①④面积相等.故选D.点评:解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高.18.(2007•达州)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的部分图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣2<x<2 B.﹣4<x<2 C.x<﹣2或x>2 D.x<﹣4或x>2考点:二次函数的图象.专题:压轴题.分析:先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点;再根据开口方向,结合图形,求出y>0时,x的取值范围.解答:解:因为抛物线过点(2,0),对称轴是x=﹣1,根据抛物线的对称性可知,抛物线必过另一点(﹣4,0),因为抛物线开口向下,y>0时,图象在x轴的上方,此时,﹣4<x<2.故选B.点评:解答本题,利用二次函数的对称性,关键是判断图象与x轴的交点,根据开口方向,形数结合,得出结论.19.(2007•泰州)已知:二次函数y=x2﹣4x﹣a,下列说法错误的是()A.当x<1时,y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点,则a≤4C.当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,﹣2),则a=3考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).专题:压轴题.分析:A、当x<1时,在对称轴右侧,由此可以确定函数的单调性;B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0,利用此即可判断是否正确;C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集可以求出,然后就可以判断是否正确;D、根据平移规律可以求出a的值,然后判断是否正确.解答:解:二次函数为y=x2﹣4x﹣a,对称轴为x=2,图象开口向上.则:A、当x<1时,y随x的增大而减小,故选项正确;B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0则a≥﹣4,故选项错误;C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3,故选项正确;D、原式可化为y=(x﹣2)2﹣4﹣a,将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=(x+1)2﹣3﹣a.函数过点(1,﹣2),代入解析式得到:a=3.故选项正确.故选B.点评:此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系,以及图象的平移规律.这些性质和规律要求掌握.20.(2009•塘沽区一模)下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是()x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55考点:图象法求一元二次方程的近似根.分析:把三点代入解方程式,则代入y等于0时,x的值是多少即可.解答:解:代入各点坐标解得y=0.5x2﹣2.95x+4.23解得x=3.47左右则C最符合,故选C.点评:本题考查了一元二次方程的近似根,代入求近似值,再进行对比则最接近的即可.21.(2010•徐汇区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y<0 D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点:图象法求一元二次方程的近似根.专题:计算题.分析:结合图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,3),借助(0,1)两点可求出二次函数解析式,从而得出抛物线的性质.解答:解:∵由图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,3),∴二次函数解析式为:y=a(x﹣1)2+3,再将(0,1)点代入得:1=a(﹣1)2+3,解得:a=﹣2,∴y=﹣2(x﹣1)2+3,∵a<0∴A,抛物线开口向上错误,故:A错误;∵y=﹣2(x﹣1)2+3=﹣2x2+4x+1,与y轴交点坐标为(0,1),故与y轴交于正半轴,故:B错误;∵x=3时,y=﹣5<0,故:C正确;∵方程ax2+bx+c=0,△=16+4×2×1=22>0,此方程有两个不相等的实数根,故:D.方程有两个相等实数根错误;故选:C.点评:此题主要考查了二次函数解析式的求法,以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用.22.(2013•沙湾区模拟)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2,4),B(8,2)(如图所示),则能使y1<y2成立的x的取值范围是()A.x>2 B.x<﹣2 C.x>0 D.﹣2<x<8考点:二次函数的性质.分析:根据两函数交点坐标得出,能使y1<y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围,即可得出答案.解答:解:∵二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2,4),B(8,2),∵结合图象,∴能使y1<y2成立的x的取值范围是:﹣2<x<8,故选:D.点评:此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系,此题型是中考中考查重点也是难点,同学们应熟练掌握.23.(2012•北辰区一模)在﹣3≤x≤0范围内,二次函数(a≠0)的图象如图所示.在这个范围内,有结论:①y1有最大值1、没有最小值;②y1有最大值1、最小值﹣3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,则y1≤y2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5考点:二次函数的性质;二次函数的图象.专题:数形结合.分析:根据二次函数的性质,结合图象可判断①②③;根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④;求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4,求出抛物线的解析式,根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤.解答:解:由图象可知,在﹣3≤x≤0范围内,y1有最大值1、最小值﹣3,故①错误,②正确;由图象可知,当﹣3≤x<﹣1时,y1随x的增大而增大,当﹣1<x<0时,y1随x的增大而减小,故③错误;由于y1的最大值是1,所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点,即方程ax2+bx+c=2无解,故④正确;如图所示,由于y2=2x+4经过点(0,4),(﹣2,0),由图可知,二次函数(a≠0)中,当x=1时,y=﹣1;x=﹣2时,y=0,所以,解得,故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x,所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=(x+2)2,因为=(x+2)2≥0,所以y1≤y2,故⑤正确.故选B.点评:本题考查的是二次函数的性质,能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键.24.(2011•苏州模拟)抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x …﹣2 ﹣1 1 34…y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是x=1;②x>1时,y的值随着x的增大而减小:③抛物线有最高点:④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36.其中正确说法的个数有()A.1B.2C.3D.4考点:二次函数的性质.专题:计算题.分析:根据抛物线的对称性,抛物线的顶点坐标为(1,6),且函数值6为最大值,由此判断.解答:解:观察表格可知,抛物线的顶点坐标为(1,6),且抛物线开口向下,故①②③正确;∵抛物线与x轴的两个交点为(﹣2,0),(4,0),顶点坐标为(1,6),∴抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×(4+2)×6=18,故④错误.其中正确说法是①②③.故选C.点评:本题考查了二次函数的性质.关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标,开口方向及与x轴交点坐标.25.(2010•河北)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)考点:二次函数的性质.专题:综合题;压轴题.分析:已知抛物线的对称轴为x=2,知道A的坐标为(0,3),由函数的对称性知B点坐标.解答:解:由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2,∵点A的坐标为(0,3),且AB与x轴平行,可知A、B两点为对称点,∴B点坐标为(4,3)故选D.点评:本题主要考查二次函数的对称性.26.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性.解答:解:根据图象可知:①对称轴﹣>0,故ab<0,正确;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3,正确;③x=1时,y=a+b+c<0,错误;④当x<1时,y随x值的增大而减小,错误;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3,正确.正确的有①②⑤.故选B.点评:主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.27.已知二次函数y=x2+2(a﹣1)x+2.如果x≤4时,y随x增大而减小,则常数a的取值范围是()A.a≥﹣5 B.a≤﹣5 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3考点:二次函数的性质.分析:抛物线开口向上,由x≤4时,y随x增大而减小,可知对称轴x=1﹣a≥4,解不等式即可.解答:解:∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a,开口向上,∴当x≤1﹣a时,y随x增大而减小,∴1﹣a≥4,解得a≤﹣3.故选D.点评:本题考查了二次函数的增减性.抛物线开口向上时,在对称轴左边,y随x的增大而减小,右边y随x的增大而增大;抛物线开口向下时,在对称轴左边,y随x的增大而增大,右边y随x的增大而减小.28.如图,平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1,y=0.5x2﹣1所截,当直线l向右平移3个单位时,直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为()平方单位.A.3B.4C.6D.无法可求考点:二次函数的性质.分析:由于抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的,平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2,通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度.解答:解:抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的,即|y1﹣y2|=2.当直线l向右平移3个单位时,阴影部分的面积是:2×3=6.故选C.点评:主要考查了函数图象动态变化中的不变量,本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形.29.已知直线经过点A(0,2),B(2,0),点C在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有()个.A.4B.3C.2D.1考点:二次函数的性质.专题:计算题;压轴题.分析:解:通过计算发现,当O与C重合时,S△ABC=2,据此据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点C1、C2,再作CC3∥AB,使得C3与C到AB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点,使得以AB为底的三角形面积为2.解答:解:∵S△ABC=×2×2=2,可见,当O与C重合时,S△ABC=2,作CD⊥AB,∵AO=BO=2,。
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OxyA图5x = 2ByxO yxOy xO 1 -1 yxO1 -1 二次函数图像和性质1一、选择题1.已知二次函数y =Ax 2+Bx +C 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >02.如图5,已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ,点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B 的坐标为 A .(2,3) B .(3,2) C .(3,3) D .(4,3)3.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y =x 2-3x +5,则( )A .b =3,c =7 B .b =6,c =3 C .b =-9,c =-5 D .b =-9,c =215.二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结论错误的是 A .ab <0 B .ac <0C .当x <2时,函数值随x 的增大而增大;当x >2时,函数值随x 的增大而减小D .二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。
6.已知函数y 1=x 2与函数y 2=-12x +3的图象大致如图,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是( ).A .-32<x <2 B .x >2或x <-32 C .-2<x <32 D . x <-2或x >327.若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则E (x ,122+-x x )可以由E (x ,2x )怎样平移得到?8.已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、B (3-,1y )、C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是A .1y >2yB .1y 2y =C .1y <2yD .不能确定9.下列函数:①3y x =-;②21y x =-;③()10y x x=-<;④223y x x =-++,其中y 的值随x 值增大而增大的函数有( )A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 10.设a 、b 是常数,且b >0,抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一,则a的值为( )11.已知函数))((3n x m x y ---=,并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根,则实数b a n m ,,,的大小关系可能是A .n b a m <<<B .b n a m <<<C .n b m a <<<D .b n m a <<< 12.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 于PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为(第10题)AB CD第(15)题yxO1x = 1- 2- 13. 定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是(31,38); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于23; ③ 当m < 0时,函数在x >41时,y 随x 的增大而减小; ④ 当m ≠ 0时,函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④14.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =∠ACB =90°,AB =AD ,AC =4BC ,设CD 的长为x ,四边形ABCD 的面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式是( )15.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结论:①240b ac ->;②0abc >;③80a c +>;④ 930a b c ++<.其中,正确结论的个数是 16.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是( ).17. y=x 2+(1-a )x +1是关于x 的二次函数,当x 的取值范围是1≤x ≤3时,y 在x =1时取得最大值,则实数a 的取值范围是( )。
A .a=5 B .a ≥5 C .a =3 D .a ≥318.已知二次函数c bx x y ++-=2中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示,点A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)在函数的图象上,当0<x 1<1,2<x 2<3时,y 1与y 2的大小关系正确的是A . y 1≥y 2 B . y 1>y 2 C . y 1<y 2 D . y 1≤y 219.(2010广西柳州)抛物线y =-x 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表: 从上表可知,下列说法正确的个数是①抛物线与x 轴的一个交点为(-2,0) ②抛物线与y 轴的交点为(0,6)③抛物线的对称轴是:x =1 ④在对称轴左侧y 随x 的增大而增大A .1 B .2 C .3 D .4 二、填空题1.1某同学利用描点法画二次函数2y a bx c =++(0a ≠的图象时,列出的部分数据如下表:x0 1 2 3 4 y3-23经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解析式:2.已知二次函数()()221y x a a =-+-(a 为常数),当a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当1a =-,0a =,1a =,2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y = . 3.已知抛物线bx x y +=221经过点A(4,0)。
设点C (1,-3),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大,则D 点的坐标为_______。
(A )1 (B )2 (C )3(D )4x … -2 -1 0 1 2 … y…4664…(第3题图1) (第3题图2) P yxy x = 2yO·(第第21题4.如图,是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx+c <0的解集是 .5. 如图,已知⊙P 的半径为2,圆心P 在抛物线2112y x =-上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为 ▲ .6.如图,抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G 、F ,交y 轴于点D ,在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ,它们关于y 轴对称,点G 、B 在y 轴左侧。
BA ⊥OG 于点A ,BC ⊥OD 于点C 。
四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10,则△ABG 与△BCD 的面积之和为 。
7.(1)将抛物线y 1=2x 2向右平移2个单位,得到抛物线y 2的图象,则y 2= ▲ ; (2)如图,P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点,直线x =t 平行于y 轴,分别与直线y =x 、抛物线y 2交于点A 、B .若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t 的值,则t = ▲ . 三、解答题1.(2010江苏泰州)如图,二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3,与x 轴交于A 、B 两点.⑴求c 的值;⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式;⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用) 2.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EFBC;(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; (3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式. 3.如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16x 2+bx +c 过O 、A 两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由.。