图表对比法学习静电场和静磁场

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E dl
l
0

S
B dS 0

C
H dl I
D
E 0
B 0
H = J
表中电位移矢量 D 0 E P ，其中 P lim
V 0
p B M ， 为极化强度，磁场强度 H V 0
其中 M lim
2
点分布电荷 的电场函数
静 电 场
(r )

(r ')
r r '
l
dl '
线分布电荷的 标量电位函数 面分布电荷的 标量电位函数 体分布电荷的 标量电位函数
E (r )

ˆr ˆ ') l (r ')(r r r '
2
l
dl '
线分布电荷 的电场函数 面分布电荷 的电场函数 体分布电荷 的电场函数
H 2t H1t J s
H 2t H1t 0
从表中可以知道： （1）对于电场
当分界面上有自由电荷时，即 s 0 ，这时电位移矢量的法向分量不连续，电场强度 的切向分量连续；当 s 0 时，电位移矢量的法向分量和电场强度的切向分量都连续。这 也符合静电场是保守场，即静电场是无旋场的特点。 （2）对于磁场 当分界面上有传导电流时，即 J s 0 ，这时磁场强度的切向分量不连续，磁感应强度 的法向分量连续；当 J s 0 时，磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量都连续。这 也符合磁通是连续的即静磁场是无散场的特点。
E dS
0
是静电场的一个基本定律。它说明，在真空中穿出任意闭合面
得电场强度通量， 等于该闭合面内部的总电荷量与真空介电常数之比， 电场强度是由空间所 有的电荷产生的， 并非与曲面 S 外部的电荷无关。 但是外部电荷在闭合曲面上的电场强度的 通量为零，其源是自由电荷； E 0 说明真空中的电场是无旋场、保守场，也是一个梯 度场。其可以通过对标量电位函数求梯度来得到。
2．静电场和静磁场的位函数对比
表 2 静电场和静磁场的位函数和场函数的对比 位 函 数 说 明 场 函 数 说 明
(r )
q 4 0 r r ' 1 4 0
1 4 0
点分布电荷的 标量电位函数
E (r )
ˆr ˆ ') 1 q(r 4 0 r r ' 1 4 0
表中 p、sp 分别为极化电荷的体密度、 面密度， 分别具有电荷体密度、 面密度的量纲；
J m、J ms 分别为磁化电流的体密度、面密度。另外在这里要给学生说明：
（1）在静电场的作用下，电媒质中的极化电荷产生的电场仍然是静电场。 （2）在静磁场的作用下，磁媒质中的磁化电流产生的磁场仍然是静磁场。 （3）在极化媒质中是通过极化强度求解电位，再求解极化电荷。即由电位
m 为磁化强度，可见媒质中的电场是由自由电荷 和极化电荷 p、sp 产 V 0 V
生的， 媒质中的磁场是由传导电流 J 和极化电流 J m、J ms 产生的， 通过引入电位移矢量和磁 场强度这两个量后，利用关系式 P 0 e E 和 M m H ，把由极化电荷 p、sp 和磁化电 流 J m、J ms 产生的场“隐藏”起来， 式中 e 和 m 分别为极化率和磁化率， 都是无量纲的常数， 使得我们平时在计算、推导的时候只考虑自由电荷 和传导电流 J 即可。这点从 D 和 H = J 这两个公式就可以看出来。因此电位移矢量 D 和 H 的引入简化了媒质中静电 场和静磁场的计算。
s 0
矢 量 形 式 标 量 形 式 矢 量 形 式 标 量 形 式
s 0
n ( D2 D1 ) 0
Js 0
Js 0
n ( D2 D1 ) s
n ( B2 B1 ) 0
n ( B2 B1 ) 0
法 向 分 量
D2n D1n s
6．电偶极子和磁偶极子类比
电偶极子和磁偶极子是电磁场中两个非常重要的模型， 电偶极子由相距非常近的两个等 量异号的点电荷组成的， 其模型如图 3 所示。 磁偶极子的模型是一个半径很小的载流闭合圆 环。其模型如图 4 所示。
z I y
-q
l
+q
r'
x
图 3 电偶极子模型 图 4 磁偶极子模型 表 6 电偶极子和磁偶极子对比 偶极矩 电 偶 极 子 磁 偶 极 子 位函数 场函数 电场与磁场
1．真空中的电场和磁场的对比
表 1 真空中的电场和磁场的对比 真空中的电场 积分 形式 微分 形式 真空中的磁场

S
E dS
Q
0
E dl
l
0

S
B dS 0

C
B dl 0I
E
0
Q
E 0
B 0
B = 0 J
高斯定理

S
ˆ 为 r 的单位方向矢量， r ˆ ' 为 r ' 的单位方向矢量， 0 为真空中的介电常数， 0 为真空中的 r
磁 导率。 从表中 可以知道 ，静电 场的位 函数和磁 场的位 函数都 是 r r '
1
，因为
而梯度和旋度又都是求偏导数的运算， 所以其相应的场函数 E 、B E 、B A ， 都是 r r '
B 0 说明磁场的磁通是连续的，其磁力线是闭合的，无论在真空中还是磁媒质中
都是如此，这是因为目前为止还没有发现磁荷的存在；真空中的安培环路定律的微分形式 可用此式由磁场求电流分布。 对于对称分布的电流， B = 0 J 说明磁场的涡旋源是电流， 可以用安培环路定律的积分形式

C
B dl 0I 从电流求出磁场。
A
0 4
S
B(r )
0 4

ˆr ˆ ') J s (r r r '
2
S
dS '
A
0 4

V
J dV ' r r '
B(r )
0 4

ˆr ˆ ') J (r r r '
2
V
dV '
上表中 r 为原点到场点的矢量， r ' 为原点到源点的矢量， r r ' 为源点到场点的矢量，
A
0 ' M M n' dV ' 0 dS ' 得到 J m M 和 J ms M n 。 4 V | r r ' | 4 S | r r ' |
4．媒质中的电场和磁场的对比
表 4 媒质中的电场和磁场的对比 媒质中的电场 积分 形式 微分 形式 媒质中的磁场
项。所以从位函数我们可以比较方便的得到场的表达式，这也
是我们引入位函数的重要意义。
5．边界条件的对比
在不同媒质的分界面上由于媒质不连续， 必然导致界面上的场也不连续。 边界条件就是 描述无限接近分界面而又处在不同媒质内的场， 描述他们之间的关系以及与分界面处的电荷 或电流的关系。 在不同媒质的分界面上，电场、磁场是不连续的，在经过分界面时会发生突变。场矢量 在不同媒质的界面上的变化规律叫做矢量场的边界条件。 可以由电场、 磁场的基本方程的积 分形式导出场的边界条件。如表 5 所示。 表 5 边界条件的对比 静电场 静磁场
D2n D1n 0
B2n B1n 0
B2n B1n 0
n ( E2 E1 ) 0
n ( E2 E1 ) 0
n ( H 2 H1 ) J s
n ( H 2 H1 ) 0
切 向 分 量
E2t E1t 0
E2t E1t 0
外加场Ba
Σ
合成场Ba +Bs
媒 质
二次场Bs
图 2 媒质的磁化过程 表 3 媒质中的极化和磁化 媒质的极化 极化强度 极化电荷 体密度 极化电荷 面密度 磁化强度
磁 化
磁媒质的磁化 磁化电流 体密度 磁化电流 面密度
P lim
V 0
p m p (r ') ' P(r ') sp P(r ') n M lim J m M J ms M n V 0 V V
p ql

ˆ pr 4 0 r 2
E
p 4 0 r 3
(ar 2cos a sin )
m IS
A
ˆ 0 m r 2 4 r
B
0 m (ar 2cos a sin ) 4 r 3
从表中可以知道， p ql 为电偶极矩， m IS 为磁偶极矩，电偶极子的位函数
2
，即对 r r ' 求偏导数会得到 r r '
1
2
项。
3．媒质的极化和磁化过程对比
导体中的电子称为自由电子，其电荷称为自由电荷。媒质中的电荷不会自由运动，因此 称为束缚电荷。在电场作用下，媒质中束缚电荷发生位移的现象称为极化。媒质极化现象是 逐渐形成的。外加电场 Ea 加入后，会发生极化，然后一直达到动态平衡。媒质的极化过程 如图 1 所示。 极化以后，媒质表面出现面分布的束缚电荷。若媒质内部不均匀，在媒质内部出现体分 布的束缚电荷。这些面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。
外加场Ea
Σ
合成场Ea +Es
媒 质
二次场Es
极 化
图 1 媒质的极化过程 当空间存在磁媒质时， 磁媒质在磁场的作用下要产生磁化， 正如极化的电媒质要产生电 场，磁化的磁媒质也要产生磁场，它产生的磁场叠加在原来的磁场上，引起磁场的改变。媒 质的磁化过程如图 2 所示。 磁媒质被外磁场磁化后， 就可以看作是真空中一系列磁偶极子。 磁媒质产生的附加磁场 实际上就是这些磁偶极子在真空中产生的磁场。 磁化媒质中由于分子磁矩的有序排列， 在媒 质内部要产生某一个方向的净电流，在媒质表面也要产生宏观面电流。