《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-3-1第一讲 三角函数的图象与性质

1-3-1第一讲三角函数的图象与性质
一、选择题
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos θ＝()
A.
5
5B．－
5
5
C．±
5
5D．±
25
5
解析：当角θ为第一象限角时，取终边所在直线y＝2x上一点P(1，2)，点
P到原点的距离为5，cos θ＝1
5
＝
5
5；当角θ为第三象限角时，取终边所在直
线y＝2x上一点P(－1，－2)，则点P到原点的距离为5，cos θ＝－1
5
＝－
5
5，
所以cos θ＝±
5
5，选C.
答案：C
2．(2012年高考江西卷)若sin α＋cos α
sin α－cos α
＝
1
2，则tan 2α＝()
A．－3
4 B.
3
4
C．－4
3 D.
4
3
解析：利用“弦化切”求解．
由sin α＋cos α
sin α－cos α
＝
1
2，等式左边分子、分母同除cos α得，
tan α＋1
tan α－1
＝
1
2，解得
tan α＝－3，则tan 2α＝
2tan α
1－tan2α
＝
3
4.
答案：B
3．已知sin α<sin β，那么下列命题不成立的是() A．若α，β是第一象限角，则tan α<tan β
B．若α，β是第二象限角，则cos α<cos β
C ．若α，β是第三象限角，则tan α<tan β
D ．若α，β是第四象限角，则cos α<cos β
解析：对于选项C ，取α＝4π3，β＝7π6，则－32＝sin α<sin β＝－1
2，但是3＝tan α>tan β＝3
3，故选项C 不成立；结合三角函数的图象可知选项A 、B 、D 均成立，故选C.
答案：C
4．(2012年高考安徽卷)要得到函数y ＝cos (2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移1
2个单位
D ．向右平移1
2个单位
解析：利用三角函数图象的平移求解． ∵y ＝cos (2x ＋1)＝cos 2(x ＋1
2)，
∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C. 答案：C
5．(2012年广州模拟)已知函数f (x )＝sin (2x ＋3π2)(x ∈R)，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：函数f (x )＝sin (2x ＋3π
2)＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在[0，π2]上是增函数，故④正确．综上可知，选C.
答案：C 二、填空题
6．如图是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π
2)的一段图象，则函数的解析式为________．
解析：由图象知，A ＝1，T 4＝π12－(－π6)＝π4，即T ＝π，则ω＝2πT ＝2π
π＝2.将点(－π6，0)代入y ＝sin (2x ＋φ)得，φ＝k π＋π3，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以y ＝sin (2x ＋π3)．
答案：y ＝sin (2x ＋π
3)
7．已知f (n )＝sin n π
3(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝________. 解析：由题意知f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝3
2，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝
sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝3
2…由此可得函数f (n )的周期T ＝6.
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)
＝335×[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝ 3. 答案： 3
8．为了得到函数f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1的图象，需将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，则φ的最小值为________．
解析：f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1 ＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π6)
＝2sin 2(x －π12)，因此只要把函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π
12＋2k π(k ∈Z)个单位，即可得到函数f (x )的图象，因为φ>0，显然平移的最小值为π12.
答案：π
12 三、解答题
9．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)令g (x )＝f (x ＋π
12)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．
解析：(1)由图象知，A ＝2.
f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π
6)＝π，
故ω＝2πT ＝2.
将点(π6，2)代入f (x )的解析式，得sin (π
3＋φ)＝1， 又|φ|<π2，所以φ＝π6.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin (2x ＋π
6)． (2)g (x )＝f (x ＋π12)＝2sin [2(x ＋π12)＋π
6] ＝2sin (2x ＋π
3)，
其中g (－π3)＝－3，g (π
3)＝0， 所以g (－π3)≠g (π3)，g (－π3)≠－g (π
3)． 故g (x )为非奇非偶函数．
10．(2012年高考陕西卷)函数f (x )＝A sin (ωx －π
6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f (α
2)＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，
∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin (2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin (α－π6)＋1＝2， ∴sin (α－π6)＝12.
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，∴α＝π3.
11．(2012年长沙模拟)设x ∈R ，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>2
2，求x 的取值范围．
解析：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2π
ω＝π， ∴ω＝2，
∵f (π4)＝cos (2×π4＋φ)＝cos (
π2＋φ)＝－sin φ ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π
3.
(2)由(1)知f (x )＝cos (2x －π
3)，列表如下：
作图象如图：
(3)∵f (x )>22，即cos (2x －π3)>2
2， ∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ， 则2k π＋π12<2x <2k π＋7
12π，k ∈Z ， 即k π＋π24<x <k π＋7
24π，k ∈Z.
∴x的取值范围是{x|kπ＋π
24<x<kπ＋7
24π，k∈Z}．。