《备战2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习6-1数列的概念

6-1数列的概念与简单表示 【基础巩固强化】1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12[答案] D[解析] 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12，选D.[点评] 直接检验，S 1＝－1，排除B ，C ；S 3＝－1，排除A ，故选D. 2．(文)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 [答案] A [解析] a n ＝23－29n ＋3，∵n ∈N *， ∴a n 随n 的增大而增大，故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y ＝－1x 的单调性，也可以直接验证a n ＋1－a n >0.(理)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k >0B ．k >－1C ．k >－2D ．k >－3[答案] D[解析] 由a n ＋1>a n 知道数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3，故选D.3．(文)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．35050[答案] A[解析]由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.(理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是()A．(3,61) B．(3,60)C．(61,3) D．(61,2)[答案] C[解析]根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n＋1的有n项，由n(n＋1)2≤2014得n≤62，且n＝63时，n(n＋1)2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．4．(2012·河北保定模拟)已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．6D．8[答案] D[解析]∵a3a11＝4a7，∴a27＝4a7，∴a7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.5．(2011·三亚联考)已知数列{a n}的通项公式为a n＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为S n，则使S n<－4成立的最小自然数n等于()A．83 B．82C．81 D．80[答案] C[解析]∵a n＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.6．在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1007OA →＋a 1008OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015[答案] A[解析] 由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，∴S 2014＝2014(a 1＋a 2014)2＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.8．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2. (理)(2011·湖南湘西联考)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] n 2＋n (n ∈N *)[解析] 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，则a n ＝2n ，所以S n ＝n 2＋n . 9．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n ∈N *，S n ＝a 1(3n －1)2，且a 4＝54，则a 1＝______.[答案] 2[解析] a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54， ∴a 1＝2.(理)已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．[答案] 2010[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1，∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ， 即{a n }是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010.10．(文)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2,3，…)，求a n . [解析] ∵a n ＋1＝13S n ， ∴a n ＝13S n －1(n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)． ∴a n ＋1＝43a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，∴{a n }是从第二项起，公比为43的等比数列． a n ＝13(43)n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，13(43)n －2，n ≥2.(理)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．[解析] (1)S n ＝n 2＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， ∵b n ＝2a n ＋1，∴b 1＝2a 1＋1＝23，n ≥2时，b n ＝2(2n －1)＋1＝1n ，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23 (n ＝1)，1n(n ≥2).(2)由题设知，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T 2n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＋1， ∴c n ＝T 2n ＋1－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝(b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2n ＋3)－(b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1)＝b 2n ＋2＋b 2n ＋3－b n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴c n ＋1<c n ，即数列{c n }为递减数列. 【能力拓展提升】11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)( )A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.(理)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.12．设a 1，a 2，…，a 50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字1的个数为( )A ．24B ．15C ．14D ．11[答案] A[解析] ⎩⎨⎧a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，⇒a 21＋a 22＋…＋a 250＝39.故a 1，a 2，…，a 50中有11个零， 设有x 个1，y 个－1，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝39，x －y ＝9，⇒⎩⎨⎧x ＝24，y ＝15.故选A. 13．(文)数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 2010＝( ) A ．22010－1 B ．22010 C ．22010＋2 D ．22011－1[答案] B[解析] 由条件知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2×(2n －1－1)2－1＋2＝2n ，∴a 2010＝22010.(理)已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列{f (n )g (n )}(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x ) ⇒f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0⇒[f (x )g (x )]′<0⇒0<a <1， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52⇒2a 2－5a ＋2＝0 ⇒a ＝12或a ＝2(舍去)， ∴f (n )g (n )＝(12)n， ∴{f (n )g (n )}(n ∈N *)是以12为首项，12为公比的等比数列． ∴12[1－(12)n ]1－12＝3132，∴(12)n ＝132，∴n ＝5.故选B.14．(文)数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1－a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a nn 的最小值是________．[答案] 10[解析] 由a n ＋1－a n ＝2n －1可知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[2(n －1)－1]＋[2(n －2)－1]＋[2(n －3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]－(n －1)＋35＝n 2－2n ＋36.∴a n n ＝n 2－2n ＋36n ＝n ＋36n －2≥2×n ·36n －2＝10，当且仅当n ＝6时，取等号．(理)已知f (x )＝sin πx2，a n ＝f (n )＋f ′(n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝________.[答案] 1[解析] f ′(x )＝π2cos πx 2，a n ＝sin n π2＋π2cos n π2，∴a 1＝1，a 2＝－π2，a 3＝－1，a 4＝π2，且{a n }的周期为4，又2013＝503×4＋1且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，∴S 2013＝503×0＋a 1＝1.15．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n＝13 (n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n 为正整数)．(2)由(1)知，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *. (1)求f (x )的解析式； (2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n)，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：43≤T n <2. [解析] (1)由题意及f ′(x )＝2ax ＋b 得⎩⎨⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ， 累加得1a n－14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝[2＋2(n －1)]×(n －1)2＝n 2－n ，∴1a n＝(n －12)2，所以a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝2(1－12n ＋1)<2.∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤T n <2. 16.如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与OA 、OB 分别相交于点M 、N .若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →.(1)把y 用x 表示出来(即求y ＝f (x )的解析式)；(2)设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足：S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →， 则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB →， 又由NM →∥MP →得，x －y (1＋x )＝0，即y ＝xx ＋1(x >0)．(2)当n ≥2时，∵S n ＝f (S n －1)＝S n －1S n －1＋1，∴1S n＝S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋1，又S 1＝a 1＝1，那么数列{1S n }是首项和公差都为1的等差数列，∴1S n＝1＋(n －1)＝n ，即S n ＝1n ，∴a n ＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，－1n (n －1) (n ≥2).【巩固提升】1．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)等于( )A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014[答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)， ∴f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＝2×1007＝2014. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 2015＝( )A ．6042B ．6048 C.16043 D.16047[答案] C[解析] ∵1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2，∴a 2015＝16043.3．由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n个数，则第n组的首项为()A．n2－n B．n2－n＋1 C．n2＋n D．n2＋n＋1 [答案] B[解析]前n－1组共有1＋2＋…＋(n－1)＝(n－1)(n－1＋1)2＝n(n－1)2个奇数，故第n组的首项为2×n(n－1)2＋1＝n2－n＋1.[点评]可直接验证，第2组的首项为3，将n＝2代入可知A、C、D都不对，故选B.4．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n＋2n，那么a2014的值是()A．2012×2013 B．2013×2014C．2010×2011 D．2011×2012[答案] B[解析]解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4，猜想a2014＝2013×2014，故选B.解法2：a n－a n－1＝2(n－1)，a n－1－a n－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．＝2(n－1)(n－1＋1)2＝n(n－1)．∴a2014＝2013×2014.5．(2012·福建文，11)数列{a n}的通项公式a n＝n cos nπ2，其前n项和为S n，则S2012等于()A．1006 B．2012 C．503 D．0[答案] A[解析]本题考查了数列求和中的分组求和思想方法．∵y＝cos nπ2的周期T＝2ππ2＝4，∴可分四组求和．a1＋a5＋…＋a2009＝0，a2＋a6＋…＋a2010＝－2－6－…－2010＝503·(－2－2010)2＝－503×1006，a3＋a7＋…＋a2011＝0，a4＋a8＋…＋a2012＝4＋8＋…＋2012＝503·(4＋2012)2＝503×1008，∴S2012＝0－503×1006＋0＋503×1008＝503·(－1006＋1008)＝1006.[点评]对于不能直接套用已有公式的情形，要注意适当化归或分组，数列求和一般有直套公式型，分组求和型，裂项相消型和错位相减型等．6．如图所示的程序框图，如果输入值为2015，则输出值为________．[答案]－5[解析]此程序框图计算数列{a n}的第n项，并输出，其中a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n依次计算可得数列的项为：1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，故该数列周期为6，又2015＝335×6＋5，∴a2015＝a5＝－5.7．若数列{n (n ＋4)(23)n}中的最大项是第k 项，则k ＝________. [答案] 4[解析] 由题意可列不等式组⎩⎨⎧a k ≥a k ＋1，a k ≥a k －1.即⎩⎪⎨⎪⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k－1.化简可得⎩⎨⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0.解之得10≤k ≤1＋10，又∵k ∈Z ，∴k ＝4.8.2012全新课标 16）数列{a n }满足a n+1+（-1）n a n =2n-1，则{a n }的前60项和为________。