高考数学2020届一轮复习专题速递《第一章命题及其关系、充分条件与必要条件》

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念q⇒[1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A B)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(选修2－1P5练习引申)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C3.(选修2－1P22B2改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为解析 “a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”. 答案 若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数4.(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件. 答案 A5.(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.解析 a >b >c ，取a ＝－2，b ＝－4，c ＝－5，则a ＋b ＝－6<c .答案 －2，－4，－5(答案不唯一)6.(2019·安徽江南十校联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的________条件.解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x 为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件.考点一 命题及其关系【例1】 (1)(2019·郑州模拟)下列说法正确的是( )A.“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B.“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题C.存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4 x 0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题 (2)(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.解析 (1)对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，A 错；对于B 项，若“am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，B 错；对于C 项，由指数函数的图像知，任意x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，C 错；对于D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).答案 (1)D (2)f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2) 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【训练1】 (1)(2018·肇庆一诊)命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A.“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B.“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C.“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D.“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”(2)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m <sin x (x ∈R )恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”.(2)命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0.因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2<－1，解得a <1.则实数a 的取值范围是[0，1). 答案 (1)D (2)[0，1)考点二 充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2mx ＋1，x ≥0，－x －1x ，x <0.则“m >1是f [f (－1)]>4”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 (1)|a －3b |＝|3a ＋b |⇔(a －3b )2＝(3a ＋b )2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此|a －3b |＝|3a ＋b |是“a ⊥b ”的充要条件.(2)当m >1时，f [f (－1)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（－1）－1（－1）＝f (2)＝22m ＋1>4， 当f [f (－1)]>4时，f [f (－1)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（－1）－1（－1）＝f (2)＝22m ＋1>4＝22， ∴2m ＋1>2，解得m >12.故“m >1”是“f [f (－1)]>4”的充分不必要条件.答案 (1)C (2)A规律方法 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m α，nα，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2019·汉中质检)已知函数f (x )＝3x －3－x ，任意a ，b ∈R ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (1)若m α，n α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m α，n α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件.(2)因为f (x )＝3x －3－x ，所以f ′(x )＝3x ln 3－3－x ln 3×(－1)＝3x ln 3＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以函数f (x )＝3x －3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a >b ”可得“f (a )>f (b )”，由“f (a )>f (b )”可得“a >b ”，即“a >b ”是“f (a )>f (b )”的充要条件.答案 (1)A (2)C考点三 充分条件、必要条件的应用典例迁移【例3】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.【迁移探究2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件.∴p ⇒q 且q p ，即P S .∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，又因为S 为非空集合，所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 (2018·浏阳三校联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 由p 得(x －3a )(x －a )<0，当a <0时，3a <x <a .由q 得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2.设p ：A ＝(3a ，a )，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又p 是q 的充分不必要条件.可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.[思维升华]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.2.充分、必要条件与集合的关系，p ，q 成立的对象构成的集合分别为A 和B .(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.[易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2019·河南八市联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.答案 A2.设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.当x ≤2时不一定有0≤x ≤2，而当0≤x ≤2时一定有x ≤2，∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件.答案 B3.设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A.ac 2>bc 2B.a b >1C.a －c >b －cD.a 2>b 2解析 对于选项A ，a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；对于选项B ，a >b ，若a >0，b <0，则a b <1，故B 错；对于选项C ，a >b ，则a －c >b －c ，故C 正确；对于选项D ，a >b ，若a ，b 均小于0，则a 2<b 2，故D 错.答案 C4.(2018·成都诊断)命题p ：cos θ＝22，命题q ：tan θ＝1，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由cos θ＝22，得θ＝±π4＋2k π，k ∈Z ，则tan θ＝±1，故p q ，p 是q 的不充分条件；由tan θ＝1，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，则cos θ＝±22，故q p ，p 是q 的不必要条件；所以p 是q 的既不充分也不必要条件.答案 D5.原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个解析 原命题：若c ＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a ，b ，c ∈R ，若“ac 2>bc 2，则a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.答案 C6.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是 綈p ，则a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件.故a ≥1. 答案 A7.(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线.故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件.答案 A8.下列结论错误的是( )A.命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，不能推出m>0.所以不是真命题.答案 C二、填空题9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).解析“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.答案必要10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.解析①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝log a x在其定义域内是增函数.②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.答案②④11.直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解之得－1<k <3.答案 －1<k <312.(2019·陕西师大附中月考)设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________.解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，由q 是p 的必要而不充分条件可知A B ，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ，所以S 4＋S 6>2S 5等价d >0，所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件.答案 C14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x －a x －a －1>0，且綈q 的一个必要不充分条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[－3，0]B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)C.(－3，0)D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)解析 法一 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.则綈p 对应的集合为A ＝{x |－3≤x ≤1}.命题q ：x >a ＋1或x <a ，则綈q 对应的集合为B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.依题意綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以B A ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋1≤1.解得－3≤a ≤0. 法二 ∵綈q 的一个必要不充分条件是綈p ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，p 对应的集合C ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x <－3或x >1}，q 对应的集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －a x －a －1>0＝{x |x >a ＋1或x <a }， 由于p 是q 的充分不必要条件知，CD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋1≤1，解得－3≤a ≤0. 答案 A15.若不等式m －1<x <m ＋1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，借助数轴得⎩⎪⎨⎪⎧13≥m －1，12≤m ＋1，解得－12≤m ≤43，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 16.“a ＝1”是“函数f (x )＝e x a －a e x 是奇函数”的__________条件.解析 当a ＝1时，f (－x )＝－f (x )(x ∈R )，则f (x )是奇函数，充分性成立.若f (x )为奇函数，恒有f (－x )＝－f (x )，得(1－a 2)(e 2x ＋1)＝0，则a ＝±1，必要性不成立.故“a ＝1”是“函数f (x )＝e x a －a e x 是奇函数”的充分不必要条件.答案 充分不必要。