完整word版,2019长春高三二模数学理科
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(含解析)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值. 【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(精品解析)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案.【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：工资人数510204218311企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2)（i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：012②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
吉林省长春市2019届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13iD ．13i2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0}C ．{x|0＜x ＜2}D ．{x|﹣2＜x ＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．C ．2a ＞2bD ．lg （a ﹣b ）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知变量X 服从正态分布N （2，4），下列概率与P （X ≤0）相等的是（ ） A ．P （X ≥2）B ．P （X ≥4）C ．P （0≤X ≤4）D ．1﹣P （X ≥4）7．已知AB 为圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1的直径，点P 为直线x ﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．21210．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）=2，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2，当x ∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g （x ）=f （x ）﹣t （x+1）有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t 2+1），则当时，|﹣t |的取值范围是______．15．已知a ＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d ）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．（1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）． （1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）参考答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13i D ．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z 1在复平面内关于直线y=x 对称的点表示的复数z 2=2+3i ， 所以z 1•z 2=（3+2i ）（2+3i ）=13i ． 故选：D ．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0} C ．{x|0＜x ＜2} D ．{x|﹣2＜x ＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由题意可知A={x|0＜x ＜3}，B={x|﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B={x|0＜x ＜2}． 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0，因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即可得出． 【解答】解：由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0， 因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即当n=10时，S n 取得最大值． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．212 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式； 第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法． 故选：C ．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．10．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a 的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C 1：（x+4）2+y 2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r 1=2； 圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1的圆心为（4，0），半径为r 2=1，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF 1|2﹣r 12）﹣（|PF 2|2﹣r 22） =（|PF 1|2﹣4）﹣（|PF 2|2﹣1）=|PF 1|2﹣|PF 2|2﹣3=（|PF 1|﹣|PF 2|）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3=2a （|PF 1|+|PF 2|﹣3=2（|PF 1|+|PF 2|）﹣3≥2•2c ﹣3=2•8﹣3=13． 当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选B ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意， =（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{p n }、数列{q n }均为周期数列，进而可知数列{p n •q n }中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．【解答】解：由题意可知，p 1=1，p 2=2，p 3=4，p 4=8，p 5=1，p 6=2，p 7=4，p 8=8，p 9=1，p 10=2，p 11=4，p 12=8，p 13=1，…，又p n 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q 1=﹣1，q 2=﹣1，q 3=1，q 4=﹣1，q 5=﹣1，q 6=1，q 7=﹣1，q 8=﹣1，q 9=1，q 10=﹣1，q 11=﹣1，q 12=1，q 13=﹣1，…，又q n 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{p n •q n }，每12项的和循环一次， 易求出p 1•q 1+p 2•q 2+…+p 12•q 12=﹣15， 因此S 2016中有168组循环结构， 故S 2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X 的分布列为：由于X ～B （5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角． 【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B 1为PB 的中点； （2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B 1D 1.，即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 中点．（4分）（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OB 1方向为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则，B （0，1，0），B 1（0，0，t ），从而，，则，又，则．由题可知，OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB ⊥OB 1，即三棱锥B 1﹣ABO 外接球为以OA 、OB 、OB 1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设c=t ，则a=2t ，，推导出点P 为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t ，a=2t ，即，其中t ＞0，又△F 1PF 2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P 为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，则，，直线AA 1的方程为，直线BA 1的方程为，则，，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），则，，，即，即，，即6nt ﹣9+n 2+（4﹣m ）2=0，若PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），即不论t 为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a 的值，令f'（x ）=0，求得可能的极值点，由f ′（x ）＞0及f ′（x ）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g （x ）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x ）的最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C 2有，即，因此曲线C 2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：， ∴t 1+t 2=2sin α，t 1t 2=﹣13，因此sin α=0，|AB|的最小值为，sin α=±1，最大值为8．（10分） 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）．（1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f （x ）+a ≥0恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a 求实数a 的取值范围；（2）根据函数f （x ）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ≥0时，f （x ）+a ≥0恒成立，当a ＜0时，要保证f （x ）≥﹣a 恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a ，解得a ≥﹣1，∴0＞a ≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(详细答案)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题. 4.下列函数中，在内单调递减的是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R 上递减，求得结果.【详解】由题，在R 上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题. 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 32B.C.D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥， 所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论. 【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
2019年最新吉林省高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案解析
吉林省高考数学模拟试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N =ð（D ） （A ）{|23}x x ≤≤（B ）{|23}x x <≤ （C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤（2）已知复数2i1iz +=+，则复数在复平面内对应的点在（D ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（B ） （A ）11 （B ）10（C）7（D ）3（4）下列说法中正确的是（D ）（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:10p x x x ∃∈-->R ，，则2:10p x x x ⌝∀∈--<R ，（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 （D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（B（A ）27 （B ）63（C ）15（D ）31（6）下列函数既是奇函数，又在区间(01)，上单调递减的是（C ） （A ）3()f x x = （B ）()|1|f x x =-+ （C ）1()ln1xf x x-=+ （D ）()22x x f x -=+（7）11)d x x -=⎰ （B ）（A ）4π （B ）2π （C ）3π （D ）12π+ （8）设x y ，满足约束条件32021x y y x y x +-⎧⎪-⎨⎪--⎩，，，………则2z y x =-的最大值（A ）（A ）72（B ）2 （C ）3 （D ）112（9）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若1ABF △是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（C ）（A）1e > （B）01e <（C11e <<（D11e <（10）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组其三视图如图所示，则该几何体的体积是（B ）（A ）32π侧视图俯视图（B ）1π+（C ）16π+（D ）π（11）一个五位自然数12345{012345}12345i a a a a a a i ∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a >>，345a a a <<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个 数为（D ）（A ）110（B ）137（C ）145（D ）146（12）已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（A ）（A ）1(0)2， （B ）(01)，（C ）(0)+∞， （D ）[1)+∞，第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）2532()x x-展开式中的常数项为 .40 （14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________.2 （15）已知数列{}n a 满足11332n n a a a n +=-=，，则na n的最小值为 ． 解析：2112211()()()2[12(1)]3333n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-+=+-，所以331n a n n n =+-，设33()1f n n n=+-，则()f n 在)+∞上单调递增，在(0上单调递减，因为*n ∈N ，所以当5n =或6时，()f n 有最小值． 又因为5653215562a a ==，，所以n a n的最小值为62162a =. （16）如图，在三棱锥D A B C -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .2三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A +=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若1a c ==，ABC △的面积.解析：（Ⅰ）∵sin(2)22cos()sin A B A B A+=++，∴s i n (2)2s i n 2s i n c o s ()A B A A A B +=++， ∴sin[()]2sin 2sin cos()A AB A A A B ++=++，∴sin (A B A AAB+-+=， ∴sin 2sin B A =，∴2b a =，∴2ba=.（Ⅱ）∵1a c ==，2b a =，∴2b =，∴2221471cos 242a b c C ab +-+-===-，∴23C π=.∴11sin 1222ABC S ab C ==⋅⋅=△ABC △的面积（18）（本小题满分12分）ABCD为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件 i i A B ，，123i C i =，，，.由题意知123123123A A A B B B C C C ，，，，，，，，，均相互独立. 则301201101()()()(123).602603606i i i P A P B P C i =======，，，， （Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：331231111A ()6.2366P P ABC ==⨯⨯⨯= （Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +== 由33222(3)()C ()(1)(0123)333k kk XB P X k k -∴==-=，，，，，.X ∴的分布列为其数学期望为()3 2.3E X =⨯= （19）（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．图1 图2（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E M ，分别为棱BC AC ，的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求EN 与平面BMN 所成角的大小． 解析：（Ⅰ）方法一：在图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-. 由AD BC ⊥，45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后(如图2)，AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BDDC D =.所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=︒，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△.于是11(33A BV A -=⋅△312[]1233x x x+-+-=≤，当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．方法二：同方法一，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△.令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =.当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(13)x ∈，时，()0f x '<. 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，12BD AD CD ===，.于是可得(000)(100)(020)(002)D B C A ，，，，，，，，，，，，1(011)(10)2M E ，，，，，，且(111)BM =-，，．设(00)N λ，，，则1(10)2EN λ=--，，，因为EN BM ⊥等价于0EN BM =，解得12λ=，1(00)2N ，，．所以当12DN = (即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥.设平面BMN 的一个法向量为()x y z =，，n ，由BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n ，及1(10)2BN =-，，，得2.y x z x =⎧⎨=-⎩，可取(121)=-，，n ．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ， 则由11(0)22EN =--，，，(121)=-，，n 可得1|1|s i n =||||||EN EN θ--⋅==⋅nn ，即60θ=︒.故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒.图a图b图c 图d方法二：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，12BD AD CD ===，， 如图b ，取CD 的中点F ，连结NF BF EF ，，，则MF AD ∥． 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP DP ，，则四边形DBPF 为正方形，所以DP BF ⊥.取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN DP ∥， 所以EN BF ⊥.因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂平面BCD ，所以MF EN ⊥. 又MFBF F =，所以EN ⊥平面BMF .又BM ⊂平面BMF ，所以EN BM ⊥.因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的． 即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥. 连结MN ME ，，由计算得NB NM EB EM === 所以NMB △与EMB △是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG NG ，，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 则EH ⊥平面BMN ，故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角． 在EGN △中，易得EG GN NE ===，所以EGN △是正三角形， 故60ENH ∠=︒，故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒.（20）（本小题满分12分）已知点(01)F ，，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知圆M 过定点(02)D ，，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A B 、两点，设12DA l DB l ==，，求1221l l l l +的最大值． 解析：（Ⅰ）设()()1P x y Q x -，，，，()()()2101FQ x FP x y QP y ∴=-=-=+，，，，，，代入已知可得，轨迹C 的轨迹方程为24x y =． -------------4分（Ⅱ）设()M a b ，，则24a b =，()22222MD r a b ==+-， ∴圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． ---------6分令0y =，则()224442x a a b x a -=-+=∴-=±，．不妨设()()2020A aB a-+，，，，12l l∴=．22212122112l l l ll l l l+∴+===-----------10分①0a=时，12212l ll l∴+=；②0a≠时，1221l ll l+=当且仅当a=±等号成立．综上，1221l ll l+的最大值为．-----------12分（21）（本小题满分12分）函数ln()a xf xx+=，若曲线()f x在点(e(e))f，处的切线与直线2e e0x y-+=垂直（其中e为自然对数的底数）.（Ⅰ）若()f x在(1)m m+，上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求证：当1x>时，1()2ee1(1)(e1)xxf xx x->+++.解析：（Ⅰ）因为21ln()a xf xx--'=，由已知21(e)ef'=-，所以221e ea-=-，得1a=.所以1ln()xf xx+=，2ln()(0)xf x xx'=->，当(01)x∈，时，()0f x'>，()f x为增函数，当(1)x∈+∞，时，()0f x'<，()f x为减函数.所以1x=是函数()f x的极大值点，又()f x在(1)m m+，上存在极值，所以11m m<<+，即01m<<，故实数m的取值范围是(01)，.（Ⅱ）1()2ee1(1)(e1)xxf xx x->+++等价于11(1)(ln1)2ee1e1xxx xx x-++>++.令(1)(ln1)()x xg xx++=，则2ln()x xg'xx-=，再令()ln h x x x =-，则11()1x h'x x x-=-=， 因为1x >，所以()0h'x >，所以()h x 在(1)+∞，上是增函数， 所以()(1)10h x h >=>，所以()0g'x >，所以()g x 在(1)+∞，上是增函数， 所以1x >时，()(1)2g x g >=，故()2e 1e 1g x >++. 令12e ()e 1x x m x x -=+，则122e (1e )()(e 1)x x x m'x x --=+，因为1x >，所以1e 0x -<，所以()0m'x <，所以()m x 在(1)+∞，上是减函数. 所以1x >时，2()(1)e 1m x m <=+， 所以()()e 1g x m x >+，即1()2e e 1(1)(e 1)x xf x x x ->+++.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)参考答案
长春市普通高中2019届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】A {|2},{1,0,1,2}A x x A B =≤=-.故选A.3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C 7. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D. 9. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所 示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2b F A b AB OA a ===所以222b a =，从而3e =.故选B.12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 414.64315.16. ；三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法. 【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+， 可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. X 的取值为0,1,2，因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X 的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为：1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为：1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少. （如有其它情况，只要理由充分，也可给分） （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos BD BDC DBA =∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),A B C D ，有(1,0,PB =(2,2,2),(0,2,PC PD =-=，令平面PBD 的法向量为n ，由PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(2,1,1)n =，由（1）可知平面BDM的一个法向量为(2,PC =，所以经计算M BD P --的余弦值为12. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====所以22143x y +=. （4分） （2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=， 由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得t =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增； ()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <， 即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <- 当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-， 令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0b g e g x <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >， 综上，1b e <-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分） （2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ 因此点P 到直线l 的距离可表示为||cos sin 1|)1|2224d θθπθθθ-==--=+-当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =，即5k m +<-. （10分）。
完整word版,2019长春高三二模数学理科
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）、选择题：本题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的21•已知复数z i i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限B .第二象限C.第三象限 D.第四象限2.集合 A {x|、、2 > x 0}, B { 1,0,123}，则 AI BA.{ 1,0,1,2}B. { 1,0,1}C.{0,1,2}D. {1,2,3}3命题 “ x R ， xe > x 1”的否定是A. x R ， xe x 1 B. x 0 R ,e x0 > x 0 1C.x R ，xe x 1D.xR , e" x 。
14.下列函数中，在 (0, ）内单调递减的是A . y22xB.x-1 yC . y1 xlog 121 D.yx2小x 2x a5•—个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为7•右边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为 27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票 在这一年中的波动程度，给出下列结论：① 股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定； ② 购买股票乙风险高但可能获得高回报；③ 股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大； ④ 两只股票在全年都处于上升趋势 . 其中正确结论的个数是A. 1B. 2C.3 D. 432 B.64 332 C.3D. 86•等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项的和, a 2 a g 10，S654，则该数列的公差d 为A. 2B. 3C.4 D. 6A.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12• 收盘价/元甲• 收盘价/元乙8.直线y 2x绕原点顺时针旋转45得到直线I，若I的倾斜角为，则COS2的值为A.8+J010B.8 1010C.4D.59•正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点,uuu uuu uuu 2F为CD边上一点，若AF AE |AE | , uur则|AF |10.已知曲线yC. D.sin x在点P(x°,sin X o)(O < x o<)处的切线为I，则下列各点中不可能在直线I上的是A. ( 1,1)B. (2,0)C. (1, 2)D. (4,1)11.已知双曲线2y_b21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1, F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A, B两点，O为坐标原点，若AOF]S爲2，则双曲线的离心率为,A. 2 C. 2 D. 512.定义在[0, ]上的函数y sin( 6)( 0)有零点，且值域£,)，则的取值范围是r1 4A.[,]2 3B. G2]C. 1D.[6,2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分.x y 2< 013. 已知实数x, y满足x y<0 ，则z x 2y的最大值为.x>014. 直线y 2x与抛物线x2=4y围成的封闭图形的面积为15. 在ABC 中，角A B、C 的对边分别为a、b c，a ,2，acosB bsi nA c，则ABC的面积的最大值为__16. 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M,N,E,F 分别是A^B n AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为__________，CE和该截面所成角的正弦值为三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）各项均为整数的等差数列｛%｝，其前n项和为S n，务1,32,33,84 1成等比数列.（1）求｛a.｝的通项公式;（2）求数列｛（ 1）n a n｝的前2n项和T2n.18. （本小题满分12分）某研究机构随机调查了A,B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如下: A企业元的概率; 工资人数[2000,3000)5 [3000,4000)10 [4000,5000)20 [5000,6000)42 [6000,7000)18[7000,8000)3 [8000,9000)1[9000,10000]1（1）若将频率视为概率,（2）①若从A企业收入在［2000,5000）的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在［3000,4000)的人数X的分布列;②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.19. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形AB// CD , BAD 90 ,CD 2AB 2 , PA 平面ABCD , PA AD 、2,M 是PC 的中点.(1)求证：平面PBC 平面BMD ;⑵求二面角M BD P的余弦值•20. (本小题满分12分)2 2X y已知椭圆C :二2 1(a b 0)的左、右焦点为F1,F2 , P是椭圆C上一点，且满足a b3 1PF2 x轴，|PF2| -，离心率为q.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若点M为y轴正半轴上的定点，过点M的直线I交椭圆C于代B两点，设O为坐标3原点，S AOB tan AOB,求点M的坐标.21. (本小题满分12分)已知函数f (x) e x bx 1 (b R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若方程f (x) In x有两个实数根，求实数b的取值范围(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲(1)求直线I 的普通方程以及曲线 C 的参数方程;(2)当a 1时，P 为曲线C 上动点，求点 P 到直线I 距离的最大值23. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知函数f (x) | x 2|. (1)求不等式f(x) f ( x)>6的解集；长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分) 1. B 【命题意图】 本题考查复数的运算•【试题解析】B z 1 i .故选B. 2. A 【命题意图】 本题考查集合运算•【试题解析】A A {x|x 2}, AI B { 1,0,1,2}.故选A. 3. D 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定•【试题解析】D 易知•故选D. 4. A 【命题意图】 本题主要考查函数的性质•【试题解析】A 易知•故选A.5. B 【命题意图】 本题考查三视图的相关知识•【试题解析】B 易知•故选B.6. C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识 •【试题解析】C 3] a 6 a 2 a 5 18,2d a 2 a 5 (a 2 a 3) 8,d 4 .故选 C7. C 【命题意图】 本题考查统计识图能力• 【试题解析】C 易知①②③正确•故选C.8. D 【命题意图】 本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识1 2 【试题解析】D 由题意可知tan( 45 )2, tan ,cos 2 2cos 132 4 21.故选D.tan 2159. D 【命题意图】 本题主要考查平面向量的相关知识 .【试题解析】D 由数量积的几何意义可知5EF AE ，由E 是BC 中点，所以AF —.故 匸、/选2X /在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为ft(t 为参数)，以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3 1 2cos 2⑵若不等式f(x 4) f (x 1) kx m 的解集为()，求k m 的取值范围D. 10. C 【命题意图】【试题解析】 （1, 2） •故选 C. 11. B 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用C 画出切线I 扫过的区域，如图所本题考查双曲线的相关知识 【试题解析】 B 由题意可知|F 2A| b,|AB| 示，则不可能在直线上的点为K-,|OA| a,所以 2a 2从而e 12.C 【命题意图】 .3 .故选B. 本题是考查三角函数的相关知识 【试题解析】 C 由Ox ，有6 -，所以6从而16 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分,13. -.故选C.3 共20分） 14.4 【命题意图】 本题考查线性规划问题 【试题解析】由可行域可确定目标函数在 64 【命题意图】本题是考查定积分运算 3 （0,2）处取最大值4. 【试题解析】 由题意封闭图形的面积为 （2x （X?訓 64 3 1 2 一 【命题意图】 本题是考查解三角形的相关知识 2 【试题解析】由acosB bsinA sin AcosB sin Bsin A sin （A B ）所以 15.c 得 sin AcosB sin Bsin A sinC sinBsi nA cosAs inB 所以 tan A 2 2 b c 2bccos —, 4 0 A 有A -,由余弦定理得2 4所以 2 、、2bc b 2 c 2> 2bc 所以 bc < 2+、、2 所以 S ABC 从而2 b 2 c 2，所以1，因为、、•2bc . J bcAsinA W 心 2 2 16. 2 .2 ； -10【命题意图】本题是考查线面平行性质与判定，线面角的计算 10【试题解析】 取BC,CD 的中点P,Q ，则平面EFPQ 过EF 与MN 平行，易求矩形 EFPQ 的面积为 2 .2，取PQ 中点H , 所以 CEH 为CE 和该截面所成角，从而 sin CEH = 10（或者由空间向量计算求解）10 三、解答题 17. （本小题满分12分） 【命题意图】本题考查数列的基本方法 【试题解析】 解：（1）由题意可知（1可得 d 2,a n 2n 3. （6 分） （2）由（1）, T 2n 18. （本小题满分12分） 2d)2( 1 d)( 3 6d), a ? 83 84 L a 2n 1 a 2n 2n . (12 分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识 . 【试题解析】 解：（1）由饼状图知工资超过 5000的有68人，故概率为0.68. （4分）2019长春二模理科数学 第6页共9页(9分)②A 企业的员工平均收入为：1 （2500 5 3500 10 4500 20 5500 42 6500 18 75003 8500 1 9500 1）1005260B 企业的员工平均收入为：1 （25002 3500 7 4500 23 5500 50 6500 16 7500 2） 5270.100参考答案1:选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高• 参考答案2 :选企业A ，A 企业员工的平均收入只比 B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的•参考答案3:选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少 （如有其它情况，只要理由充分，也可给分）（12分）19.（本小题满分12分）【命题意图】 本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 .【试题解析】 解：（1 ）在直角梯形中，BD . 3,cos BDC cos DBA在BCD 中，由余弦定理，BC .3，又PB 、、3, PD 2，有 PCD, PCB 是等腰三角形，所以 PC MD, PC MB ，PC 平面MDB ， 所以平面PBC平面BDM .（ 6分）p（0,0,72），uur rPD n 0 由 uuu r ，PB n 0 （2,，所以经计算M BD P 的余弦值为丄.（12分）220.（本小题满分12分）【命题意图】 本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识2c 1 b3_ , r 【试题解析】 解：（1）由题意知，，，a 2,b . 3，a 2 a22 2x y所以1. （ 4分）4 3（2）① A 企业［2000,5000）1:2:4,即按照分层抽样7人 的人数为2. X 的取值为中三个不同层次人数比为 所抽取的收入在［3000,4000） 0,1,2，因此p （x 0)C 5 1021，P(X 1) CC c ；10 21P(X 2)C 2 C；—，X 的分布列为: 21（2）以A 为原点，AB, AD, AP 为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，A （0,0,0）,B （1,0,0）,C （2,、、2,0）,D （0, 2,0），有 PB （1,0,2）,uur — ——Luur r PC （2八2, . 2）, PD （0八2, -.2）,，令平面PBD 的法向量为n ，可得一个n C. 2,1,1），由（1 ）可知平面BDM 的一个法向量为 PC(2 )设M(0,t), l:y kx t，设A(X1,yJ, B(X2,y2)，由条件可得, uur ujur 一 _ |OA||OB|cos AOB 3,OA OB 3，联立直线l 和椭圆C，2y 有 2x 7 kx 2y t，有(3 4k 2)x 2 8ktx 4t 2 12， 1 由x 1x 2(kx i t)(kx 2 t) 3，由韦达定理可得t -21. ( 12分) 7 21.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法, 考查学生解决问题的综合能力 • 【试题解析】解：(1 )由题可得f x 当 b 0 时，f x 0， 当 b 0时，x ln( b), f x x ln( b), f x (2)令 g x bx 1 In x,g 的零点，不妨设为 x ),g (x o ) 0, 故若有 即e x0 bXo有两个零点，需满足务11 In x 0 e x,(— x 。
吉林省2019届高三第二次模拟考试卷 理科数学
2019届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·湘潭一模]设集合()(){}140A x x x =+->，{}09B x x =<<，则A B 等于（ ）A ．()1,4-B ．()4,9C ．()0,4D ．()1,9-2．[2019·郴州质检]设312ii 2i z +=--，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．45- C ．2i - D ．2-3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．24πB ．36πC ．48πD ．60π 4．[2019·潍坊期末]若cos π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α=（ ） A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 5．[2019·佛山质检]()()522x y x y -+展开式中33x y 的系数为（ ） A ．40- B ．120 C ．160 D ．200 6．[2019·宜昌调研]已知两点()1,0A -，()1,0B 以及圆()()()222:340C x y r r -+-=>，若圆C 上 存在点P ，满足0AP PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5 D ．[]4,6 7．[2019·山东外国语]若函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2019·龙岩质检]已知定义在R 上的可导函数()f x 、()g x 满足()()263f x f x x +-=+，()()113f g -=，()()6g x f x x ''=-，如果()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号9．[2019·泉州质检]已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为（ ）A．254 B． C．272 D．25210．[2019·辽宁期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin2B A B A A ++-=，且c =π3C =，则ABC △的面积是（ ）ABCD11．[2019·湖北联考]如图，点A 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有 三个公共点，则C 的离心率为（ ）ABC ．2 D12．[2019·哈尔滨六中]定义域为R 的函数()()()2212x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=，恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++ 等于（ ）A ．0B ．2C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·揭阳毕业]若向量()1,x =a 、()1,2=--b 不共线，且()()+⊥-a b a b ，则⋅=a b _______．14．[2019·荆州质检]函数()ln f x x x =在1x =处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．15．[2019·盐城一模]设函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．16．[2019·湖南联考]已知直线:2l y x b =+被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为______． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是递增的等比数列且149b b +=，238b b =， 求()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++． 18．（12分）[2019·山东外国语]某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时， 每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为800元， 原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润． （1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数； （2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14x =，标准差2s =，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）．①()0.6826P x s X x s -<<+≥；②()220.9544P x s X x s -<<+≥； ③()330.9974P x s X x s -<<+≥，评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线． 试判断该生产线是否需要检修．19．（12分）[2019·牡丹江一中]在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．（1）证明：11AC BC D ∥平面；（2）若11AA AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D，求三棱柱111ABC A B C -的高．20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为12， 直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于不同两点M ，N ，直线FM ，FN 分别交y 轴于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：FA FB =．21．（12分）[2019·河南联考]已知a ∈R ，函数()()2e 3e 32x x af x a x =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB +的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·皖南八校]已知函数()224f x x x =-++．（1）解不等式：()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且()0,0m n a m n +=>>，求11m n+的最小值．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题意，集合{}14A x x =-<<，{}09B x x =<<，根据集合的交集运算， 可得{}04A B x x =<<，故选C ．2．【答案】D 【解析】()()()()312i 2i 12i 5ii i i 2i 2i 2i 2i 5z +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是2-，故选D ．3．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得：该几何体的外接球的半径r =(24π48π=⨯=，故选C ．4．【答案】C【解析】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭得到sin α=，所以211cos212sin 1233αα=-=-⋅=，故选C ．5．【答案】B【解析】()()522x y x y -+展开式中33x y 的项为()()()323223333333552C 2C 216040120x x y y x y x y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-=，则展开式中33x y 的系数为120，故选B ．6．【答案】D【解析】0AP PB ⋅=，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ，151r r ∴-≤≤+，解得46r ≤≤，故选D ．7．【答案】D【解析】由函数()()01x x f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数，故01a <<．函数()log 1a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数()log 1a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的，故选D ． 8．【答案】D 【解析】()()6g x f x x ''=-，()()23g x f x x c =-+， ()()113f g -=，则0c =，故()()23g x f x x =-， ()()263f x f x x +-=+，则()()22333f x x f x x -=--++， ()()()22333f x x f x x ⎡⎤∴-=----+⎣⎦，()()3g x g x ∴=--+， 故()g x 的图象关于30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，322M N +∴=，3M N +=，故选D ． 9．【答案】A 【解析】设球O 的半径为R，AB x =，AC y =， 由24π29πR =，得2429R =．又()222222x y R ++=，得2225x y +=． 三棱锥A BCD -的侧面积11122222ABD ACD ABC S S S S x y xy =++=⋅+⋅+△△△， 由222x y xy +≥，得252xy ≤，当且仅当x y ==时取等号， 由()()2222222x y x xy y x y +=++≤+，得xy +≤xy ==时取等号，∴12525224S ≤⨯=，当且仅当x y ==时取等号．∴三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为254．故选A ． 10．【答案】D 【解析】依题意有sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=， 即sin 3sin B A =或cos 0A =． 当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3b a =①， 由余弦定理得222π2cos 3a b ab =+-②，解由①②组成的方程组得1a =，3b =，所以三角形面积为1π1sin 13232ab =⨯⨯=当cos 0A =时，π2A =，三角形为直角三角形，b ==故三角形面积为1122bc =，故选D ．11．【答案】A【解析】由题意可得(),0A a ，A 为线段OB 的中点，可得()2,0B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,P a ，由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -， 即2AP a =，即有2a =a b =，ce a ==A ．12．【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当2x ≠时，方程()()20f x bf x c ++=至多四个解，不满足题意，当2x =是方程()()20f x bf x c ++=的一个解时，才有可能5个解，结合()f x 图象性质，可知123452222210x x x x x ++++=⨯+⨯+=，即()()12345108f x x x x x f ++++==， 故答案为C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】3【解析】由于()()+⊥-a b a b ，故()()0+⋅-=a b a b ，即22=a b ，即()()222112x +=-+-，解得2x =±， 当2x =时，()1,2==-a b ，两者共线，不符合题意．故2x =-．所以143⋅=-+=a b ．14．【答案】12【解析】()ln f x x x =，()ln 1f x x '∴=+，则()10f =，()11f '=， 故曲线()f x 在点()1,0P 处的切线l 的方程为1y x =-， 令0x =，得1y =-；令0y =，得1x =，则直线l 与两坐标轴的交点为()0,1-和()1,0， 所围成三角形的面积为111122⨯⨯=，故答案为12． 15．【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】()f x 取零点时x 满足条件()π3πk x k ωω=-+∈Z ，当0x >时的零点从小到大依次为12π3x ω=，25π3x ω=，38π3x ω=，所以满足5π2π38π2π3ωω⎧⎪≤⎨>⎪⎪⎪⎩，解得54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 16．【答案】【解析】（1）()222244202y x b x b p x b y px =+⎧⇒+-=+⎨⎩=， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦=⎥，又直线l 经过C 的焦点，则22b p -=，b p ∴=-， 由此解得2p =，抛物线方程为24y x =，()00,M x y ，2004y x ∴=， 则()()()222220000033418MN x y x x x =-+=-+=-+，故当01x =时，MN =即答案为 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+． 【解析】（1）由已知得12712153a d a d +=+=⎧⎨⎩，16a ∴=-，1d =，()6117n a n n =-+-⋅=-． （2）由已知得：141498b b b b ⋅+==⎧⎨⎩，又{}n b 是递增的等比数列，故解得11b =，48b =，2q =，12n n b -∴=，∴()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++ ()()13211321n n a a a b b b --=+++++++ ()()16422814164n n -=---++-+++++()()2146284172143nnn n n n --+--=+=-+-．18．【答案】（1）()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且，8条生产线；（2）见解析． 【解析】（1）由题意知：当5x ≤时，()11001001012001000y x x x =-⨯-=-， 当510x <≤时，()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+，()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且， 当7700y =时，9005007700x +=，8x =，即8条生产线正常工作．（2）14μ=，2σ=，由频率分布直方图得：()()12160.290.1120.80.6826P x ∴<<=+⨯=>，()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<， ()()8200.940.0150.00520.980.9974P X ∴<<=++⨯=<， 不满足至少两个不等式，∴该生产线需重修．19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连结1B C 交1BC 于点E ，连结DE ，则E 是1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1DE AC ∥，且DE ⊂面1BC D ，1AC ⊄面1BC D ， 所以1A C ∥面1BC D ．（2）取AC 的中点O ，连结1A O ，因为点1A 在面ABC 上的射影在AC 上，且11A A AC =， 所以1AO ⊥面ABC ，可建立如图的空间直角坐标系O xyz -，设1A O a =， 因为2AC BC ==，120ACB ∠=︒，则()B -，()1,0,0C -，()12,0,C a -，32D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =，()10,BC a =，112C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,x y z =n 为面1BC D的法向量，1130102BC az C D x⎧⋅⎪⎨⎪=-+=⋅==⎩+n n ，取y a =-，则,,a =-n ， 由BC 与平面1BCD，即cos ,BC ==n ，解得a = 所以三棱柱111ABC A B C - 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得22211 2c c a a b c ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩C 的方程为22143x y +=． （2）设()11,M x y ，()()22121,1N x y x x ≠≠且． 由()224143y k x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=， 依题意()()()22223244364120Δk k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦+=+=+=------ ()()22126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--． 所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠． 因为OF AB ⊥，所以FA FB =． 21．【答案】（1）详见解析；（2）6a <-． 【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2e e 3e 3e 31x x x x f x a a a '=-++=--． ①当0a ≤时，e 30x a -<，令()0f x '<，得0x >；令()0f x '>，得0x <，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，()0,+∞上单调递减． ②当0a >时，()()()()e e 11e 3e 3x x x x f x a a a ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，（i ）当31a =，即3a =时，因为()()2e 310x f x '=-≥，所以在(),-∞+∞上单调递增； （ii ）当301a <<，即3a >时，因为()()e e 31x x f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在3ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,+∞上单调递增；（iii ）当31a >，即03a <<时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在(),0-∞上单调递增； 在30,ln a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）由（1）知当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减， 要使()f x 有两个零点，只要()0302af =-->，所以6a <-．（因为当x →+∞时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →-∞）下面我们讨论当0a >时的情形： ①当31a =，即3a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②当301a <<，即3a >时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在3ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,+∞上单调递增；因为()0302af =--<，3ln 0a <，所以393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()f x 没有两个零点； ③当31a >时，即03a <<时，因为()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()0302a f =--<，393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()f x 没有两个零点． 综上所述：当6a <-时，()f x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）2212x y +=；（2）11MA MB += 【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， 222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=． （2）将1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=， 1222cos 1sin t t αα∴+=-+，12211sin t t α-=+⋅， 121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-⋅⋅⋅，12tt -=，2111sin 11sin MA MB αα+∴+==+． 23．【答案】（1）12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）1． 【解析】（1）()32,22246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩， 可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时，3234x x +≥-+，得13x ≥，可得2x >． ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩， 可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >，∴()()111111*********n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当n m m n =，即2m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为1．。
2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】
2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A ． _________B ．______________C ． _________D ．2. 若实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A ． ________B ．C ．D ．3. 设集合，，则（）A．B．C．D ．4. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（）A ．B ． ________C ． ________D ．5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． ____________________B ．_________C ．______________ D ．6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（） A．___________B．___________C． ________D ．7. 函数与的图象关于直线对称，则可能是（）A ． ________B ．______________C ． ________D ．8. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（）A ． ___________B ．C ．D ．9. 已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． ___________________________________ B．C ． ___________D ．10. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（）种．A ． ______________B ．____________________C ．________D ．11. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A ． ___________B ．________________________C ． _________D ．二、填空题12. 已知实数，满足，则的最小值为___________ ．13. 已知向量，，则当时，的取值范围是 _________ ．14. 已知，展开式的常数项为15，则___________ ．15. 已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积，已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________ ．三、解答题16. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．17. 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0 ． 6，对服务的好评率为0 ． 75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0 ． 1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：① 求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；② 求的数学期望和方差．（，其中）18. 在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积．19. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．20. 已知函数在点处的切线与直线平行．（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；21. 选修4—1：几何证明选讲．如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若．（1）求证：∽ ；（2）求证：四边形是平行四边形．22. 选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于，两点，求的最大值和最小值．23. 选修4—5：不等式选讲．设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019届吉林省高三上学期二模理科数学试卷【含答案及解析】
试题分析:集合 1 (x v>Hy>0
}表示的是汰盹 0)M 0)M 4 简対顶点的直角三
I
沖 0(m a 0)]
角形内§B<含边嘉，由題意这个三角形在@U-2)^(y-2)a = 8^,则(4-2)1 +<4^-2)2<8
•又^>0，
第 15 题【答案】
2C 11
【解析】
试题分析；叭=珂+ (逊一砂)十(碍—比!〉+玄 4■(弧一枫= 1+2 +3 十 L+科=—-_ | 1 _2 o,心十 D
11
7. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为
n 且支出在［20,60 ）
元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
［50,60 ）元的学生有 30 人，则 n 的
8. 某程序框图如图所示，若输出的
S= 57,贝 V 判断框内为（）
［H 鮒］
丿丿
A. k> 3 ?
B . k> 4 ?
【解析】
故当 B=304 时，sinB+3ii7C55 得最犬值"
第 18 题【答案】
+—ua ^ = wa(60°+^
』然后用余弦
<1)见解析 d (2) * ■
k 解析】
⑴只有 s 个適直因吐可用列举
法写出所有可能，直接 1 号通直 ,1 ； 2 号 1 号』S ■ 3 号 1 号，4=4」2 号 3 号 1 号』或 3 号 2 号 1
这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
(A) 232
( B) 252(C) 472来自4 张.从中任取 3 张,
2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5} B．{3，4} C．{﹣9，3} D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f（1）= ．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．15．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．16．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y 的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N1；（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]的参数方程为（a＞b＞0，φ为参22．在平面直角坐标系中，曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正数），且曲线C1半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5} B．{3，4} C．{﹣9，3} D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为 V 几何体=V 三棱柱+V 三棱锥 =××2+×××2=． 故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f （x ）=sin （2x+）（x ∈[0，]），若方程f （x ）=a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+2x 2+x 3的值为（ ） A ．π B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．（x≥﹣2），构造函数g 【分析】依题意，可得2a≥[]min（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f（1）= 3 ．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故答案为：3．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：715．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：416．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y 的最大值为 4 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】以O为坐标原点，GC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设菱形的边长为2，从而求出D，H点的坐标，这样便可得到向量、的坐标．再设P（X，Y），根据条件即可得出x+y的解析式，设x+y=z，X，Y的活动域是菱形的边上，根据线性规划的知识求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图所示，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（1，），H（﹣3，﹣）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（1，）+y（﹣3，﹣）；∴；∴x+y=Y﹣X；设z=Y﹣X；∴Y=X+z， z表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（0，2）时，截距最大；∴2=0+z；解得z=4；∴x+y的最大值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由已知和余弦定理可得cosA=，可得；（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得，由三角函数的最值可得，可判△ABC是直角三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得，∵A∈（0，π），∴；（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，∵B∈（0，π），∴当，即时，f（B）取最大值，∴此时易知道△ABC是直角三角形．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N；1（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6，P 7，P4=0.04×5=0.2，从而，由此能求出[30，35）之间的志愿者人数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人，设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，由此推导出女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P 6，P7，P4=0.04×5=0.2，所以…由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1，而P3=1﹣（P1+P2+P4+P5+P6+P7）=1﹣5（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3∴[30，35）之间的志愿者人数N1=40×P3=40×0.3=12人…（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，所以…[45，55）之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取3人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3…所以；；…ξ 1 2 3PEξ=2，…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面线面垂直的判定定理即可证明AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）建立坐标系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理建立方程关系即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C是边长为4的正方形，所以AA1⊥AC，…因为平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，…所以AA1⊥平面ABC…（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略）则A，B，C，A1，B1，C1点坐标分别为：A（0，0，0）；B（0，3，0）；C（4，0，0）；A1（0，0，4）；B1（0，3，4）；C1（4，0，4）…则设平面CA1B1的法向量所以，所以…令x′=1，所以，又易知平面A1B1C1的法向量为…所以所以二面角C﹣A1B1﹣C1的大小为45°…（Ⅲ）设E（x1，y1，z1）；平面AA1C1C的法向量．因为点E在线段AB1上，所以假设AE=λAB1，所以（0＜λ≤1）即E（0，3λ，4λ），所以．…又因为平面AA1C1C的法向量易知．而DE ∥面AA 1C 1C ，所以，所以…所以点E 是线段AB 1的中点．…若采用常规方法并且准确，也给分．20．已知抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0），点R （1，2）在抛物线C 上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点Q （l ，1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线l ：y=2x+2于M ，N 两点，求|MN|最小时直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C 的方程． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2y 2），设直线AB 的方程为x=m （y ﹣1）+1，m ≠0，设直线AR 的方程为y=k 1（x ﹣1）+2，由已知条件推导出x M =﹣，x N =﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标，又==，∴xM==﹣，同理点N的横坐标xN=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|xM ﹣xN|=|﹣|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为，设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令，得出，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．【解答】解：（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设，∴∴1+a=1，∴a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2），∀x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2当△≤0，即时，g'（x）≤0．∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根，，当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．综上所述，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，），可得，解得即可得到圆C2的极坐标方程．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入曲线C1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x ﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。
长春市普通高中2019届高三质量监测二理科试题及详细解析
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷及答案详析（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷与答题卡，满分150分，考试时间为120分钟。
2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题12上小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的1、已知复数z=,则在复平面内，z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、集合A=, B={-1,0,1,2,3},则A B=A. {-1,0,1,2}B. {-1,0,1,}C. {0,1,2}D.{1,2,3}3、命题A=的否定是A. B.C. D.4、下列是函数中，在（0，）内单调递减的是A. B. C. D.5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.32 B、 C. D.86、等差数列{}中，是它的前n项和，，则该数列的公差为A.2B.3C.4D.6长春市普通高中2019届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1A x x A B=≤=-.故选A. 3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C 7. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D. 9. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所 示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2b F A b AB OA a ===所以222b a =，从而e =故选B.12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 414.64315.16. ； 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法.【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+， 可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. X 的取值为0,1,2，因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为： 1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为： 1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少. （如有其它情况，只要理由充分，也可给分） （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos cos BD BDC DBA =∠=∠， 在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),A B C D，有(1,0,PB =(2,2,2),(0,2,PC PD =-=，令平面PBD 的法向量为n ，由00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(2,1,1)n =，由（1）可知平面BDM 的一个法向量为PC =，所以经计算M BD P --的余弦值为12. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====所以22143x y +=. （4分） （2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=， 由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得7t =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增；()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <， 即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <-当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-， 令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0bge gx <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >， 综上，1b e <-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分） （2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为cos sin 1|)1|4d πθθθ==--=+-当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2.（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =，即5k m +<-. （10分）。
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长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2z i i =+，则在复平面内z 对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.集合{|0},{1,0,1,2,3}A x B ==-，则A B =IA. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {1,2,3} 3.命题“1xx e x R ∀∈+，≥”的否定是A. 1xx e x R ∀∈<+， B. 0001xx e x R ∃∈+，≥ C. 1xx e x R ∀∉<+， D. 0001x x ex R ∃∈<+，4.下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是 A. 22xy -= B. -11x y x =+ C. 121log y x= D. 22y x x a =-++ 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 32 B.643 C. 323D. 86.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项的和，2310a a +=，654S =，则该数列的公差d 为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 67.右边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定； ②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大； ④两只股票在全年都处于上升趋势. 其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48.直线2y x =绕原点顺时针旋转45︒得到直线l ，若l 的倾斜角为α，则cos2α的值为A.10 B. C. 4-5 D. 459.正方形ABCD 边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若2||AF AE AE ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则||AF =u u u rA. 3B. 5C.32 D. 5210.已知曲线sin y x =在点000(,sin )(0)P x x x π≤≤处的切线为l ，则下列各点中不可能在直线l 上的是A. (1,1)-B. (2,0)-C. (1,2)-D. (4,1)11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若12AOF AOBS S ∆∆=，则双曲线的离心率为， A.B. C. 2 D.12.定义在[0,]π上的函数sin()(0)6y x πωω=->有零点，且值域 1[,)2M ⊆-+∞，则ω的取值范围是A. 14[,]23B. 4[,2]3C. 14[,]63D. 1[,2]6FEDCB A40 35 30 25 20 15 10 5 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知实数,x y 满足2000x y x y x +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为 .14. 直线2y x =与抛物线2=4x y 围成的封闭图形的面积为 . 15.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，2a =，cos sin a B b A c +=，则ABC ∆的面积的最大值为 .16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,,M N E F 分别是111111,,,A B AD B C C D 的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，CE 和该截面所成角的正弦值为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，12341,,,1a a a S =-+成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -⋅的前2n 项和2n T .18. (本小题满分12分)某研究机构随机调查了,A B 两个企业各100名员工，得到了A 企业员工收入的频数分布表以及B 企业员工收入的统计图如下：[2000,3000)5[3000,4000)10[4000,5000)20[5000,6000)42[6000,7000)18[7000,8000)3[8000,9000)1[9000,10000]1A 企业工资人数（1）若将频率视为概率，现从B 企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）①若从A 企业收入在[2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000,4000)的人数X 的分布列；②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由. 19. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 为直角梯形AB CD ∥， 90BAD ∠=︒,22CD AB ==，PA ⊥平面ABCD，PA AD ==M 是PC 的中点.(1)求证: 平面PBC ⊥平面BMD ； (2)求二面角M BD P --的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 是椭圆C 上一点，且满足2PF x ⊥轴，23||2PF =，离心率为12. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M 为y 轴正半轴上的定点，过点M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设O 为坐标原点，3tan 2AOB S AOB ∆=-∠,求点M 的坐标. 21. (本小题满分12分)已知函数()1()xf x e bx b R =+-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若方程()ln f x x =有两个实数根，求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为123x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22312cos ρθ=+.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）当1a =时，P 为曲线C 上动点，求点P 到直线l 距离的最大值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数()|2|f x x =+.(1)求不等式()()6f x f x +-≥的解集；(2) 若不等式(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞，求k m +的取值范围.长春市普通高中2019届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.B 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B. 2.A 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】A {|2},{1,0,1,2}A x x A B =≤=-I .故选A. 3.D 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4.A 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5.B 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6.C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C 7.C 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8.D 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D. 9.D 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D.10.C 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所 示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C.11.B 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2b F A b AB OA a ===所以222b a =，从而e =故选B.12.C 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4 【命题意图】本题考查线性规划问题. .【试题解析】由可行域可确定目标函数在(0,2)处取最大值4.14.643【命题意图】本题是考查定积分运算. 【试题解析】由题意封闭图形的面积为2382800x 642)(x )|4123x x dx -=-=⎰（.15. 12+ 【命题意图】本题是考查解三角形的相关知识.【试题解析】由cos sin a B b A c +=得sin cos sin sin sin A B B A C +=，所以sin cos sin sin sin()A B B A A B +=+所以sin sin cos sin B A A B =所以tan 1A =，因为0A π<<有4A π=，由余弦定理得2222cos 4b c bc π=+-，从而222b c =+.所以2222b c bc +=+≥所以bc ≤1sin 2S ABC bcA A ∆=16. ；10【命题意图】本题是考查线面平行性质与判定，线面角的计算. 【试题解析】取,BC CD 的中点,P Q ，则平面EFPQ 过EF 与MN 平行，易求矩形EFPQ 的面积为，取PQ 中点H ，所以CEH ∠为CE 和该截面所成角，从而sin CEH ∠（或者由空间向量计算求解）. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法. 【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+， 可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=L .（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. X 的取值为0,1,2，因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X 的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为：1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为：1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少. （如有其它情况，只要理由充分，也可给分） （12分） 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos BD BDC DBA =∠=∠=， 在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),A B C D，有(1,0,PB =u u u rPC PD ==u u u r u u u r ，令平面PBD 的法向量为n r ，由0PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，可得一个n =r ，由（1）可知平面BDM的一个法向量为PC =u u u r ，所以经计算M BD P --的余弦值为12. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====，所以22143x y +=. （4分） （2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-u u u r u u u r，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=， 由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得t =. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增； ()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <， 即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <-当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-， 令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0b g e g x <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >， 综上，1b e <-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分） （2）当1a =时，直线l0y --=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ 因此点P 到直线l 的距离可表示为|cos sin 1||)1|2224d θθπθθθ-==--=+-当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞U . （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =， 即5k m +<-. （10分）。