[小初高学习]2018年秋七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.2 等式的性质学案(无答案)(新
七年级数学上册 第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.2 等式的性质课件 (新版)新人教版
左 子），结果仍相等．
a=b
右
a-c = b-c
K12课件
18
bb
aa
左
右
a=b
2a = 2b
K12课件
19
bbb
aaa
左
a=b
右
3a = 3b
K12课件
20
b C个 b b b b bb
a aaaaa a C个
左
a=b
右
ac = bc
K12课件
21
b
a
等式的性质２：等式的
两边乘同一个数，或除
两边同乘-3，得
所以：x 4 K12课件
x 27 26
等式的性质１：等式的两边加（或减）同一 个数（或式子），结果仍相等．
等式的性质２：等式的两边乘同一个数， 或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转 化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化 的重要依据．
K12课件
24
练习： 如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3 ，
等式性质1，在等式两边同加3
如果4x=-12y，那么4x÷4= -12y÷4 ，
等式性质2，在等式两边同时除以4
如果-0.2x＝6，那么-0.2x÷(-0.2)= 6÷(-0.2)，
等式性质2，在等式两边同除(-0.2)
K12课件
25
a b 左 以同一个不为=０的数， 右
结果仍相等．
ab ab
ab
(c 0)
c c 2 2 3 3 K12课件
22
想一想：
(1)从x=y能否得到x+5=y+5？为什么
数学七年级上册第三章知识点
数学七年级上册第三章知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
下面是我整理的数学七年级上册第三章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学七年级上册第三章知识点一元一次方程定义通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。
即一元一次方程必须同时满足4个条件：⑴它是等式;⑴分母中不含有未知数;⑴未知数最高次项为1; ⑴含未知数的项的系数不为0。
一元一次方程的五个核心问题一、什么是等式?1+1=1是等式吗?表示相等关系的式子叫做等式，等式可分三类：第一类是恒等式,就是用任何允许的数值代替等式中的字母, 等式的两边总是相等, 由数字组成的等式也是恒等式, 如2+4=6, a+b=b+a等都是恒等式;第二类是条件等式, 也就是方程, 这类等式只能取某些数值代替等式中的字母时, 等式才成立, 如x+y=-5, x+4=7等都是条件等式;第三类是矛盾等式, 就是无论用任何值代替等式中的字母, 等式总不成立, 如x2=-2, |a|+5=0等。
一个等式中, 如果等号多于一个, 叫做连等式,连等式可以化为一组只含有一个等号的等式。
等式与代数式不同, 等式中含有等号, 代数式中不含等号。
等式有两个重要性质1)等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式, 所得结果仍然是一个等式;(2)等式的两边都乘以或除以同一个数除数不为零, 所得结果仍然是一个等式。
二、什么是方程, 什么是一元一次方程?含有未知数的等式叫做方程,如2x-3=8,x+y=7 等。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程知识归纳 湘教版
第三章一元一次方程
1.等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
2.等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
3.等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
4.方程：含未知数的等式，叫方程.
5.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；
6.移项要变号
7.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
8.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
9.一元一次方程解法的一般步骤：
去分母--------同乘（不漏乘）最简公分母
去括号--------注意符号变化
移项--------要变号
合并同类项----合并后注意符号要不要改变
系数化为1----未知数系数是几就除以几
10.商品利润＝商品售价－商品成本价
11.商品利润率＝商品利润÷商品成本价×100%
12.商品销售额＝商品销售价×商品销售量
13.商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
14.顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
15.利息=本金×利率×期数；
本息和=本金+利息；
16.工作量＝工作效率×工作时间
17.完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
18.路程＝速度×时间
1 / 11 / 1。
七年级数学上册第三章一元一次方程3.1.1一元一次方程(图文详解)
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
请你判断下列给定的t的值中,哪个是方程2t＋1＝7-t 的解？
(1)t＝-2 (2)t＝2 (3)t=1 根据方程的解的定义，我们得到t＝2是方程2t＋1＝7－t 的解.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.方程x=3是下列哪个方程的解？（ C ）
(A)3x+9=0
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
你知道什么 叫方程吗？
含有未知数的等式—方程
你能举出一些 方程的例子？
练习：
判断下列式子是不是方程,正确的打“√”,错误的打”×”:
(1) 1+2=3 (2) 1+2x=4 (3) x+1-3
(×) (4) x 2 1 (×)
(√) (5) x+y=2
4．已知数x-5与2x-4的值互为相反数，列出关于x的方程. 解：由题意得：（x-5）＋（2x-4）＝０.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.方程、方程的解、一元一次方程的概念. 2.根据实际问题中的等量关系，用一元一次方程表示问 题中的数量关系. 注:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系 列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，
王家庄到翠湖的路程有多远？
回顾:路程=速度×时间 速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
分析：若知道王家庄到翠湖的路程（比如x千米）， 用含x的式子表示关于路程的数量： 那么王家庄距青山_（__x_-_5_0_）_千米，王家庄距秀水（_x_+_7_0_）_千米. 有关时间的数量： 从王家庄到青山行车___3__小时，王家庄 到秀水行车__5__小时.
人教版七年级数学上册第三章 一元一次方程知识点复习
的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，那么这个数就不是方程的解。
温馨提示 ②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
③等式的基本性质是解方程的依据。
④方程的解是结果，而解方程得到这个结果的一个过程。
课堂练习
1.下面等式变形：①若������ = ������，则������������ = ������������；②若������������ = ������������，则������ = ������；③若4������ = 7������，则������������ = 74；④若������������ = 74，则4������ = 7������。
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程的另 一边（记住移项要变号）
合并同类项 把方程化为������������ = ������（������ ≠ 0）的形式
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数������，得到方程的解������
=
1
3
������.方程 ‒ 3������ = 2的解是������ = ‒ 2
6.用等式性质求下列方程的解。
（1）3������ ‒ 1 = 2 + ������；
（2）12������
+
1 3
=
2������
‒
12。
3.2 解一元一次方程
知识点 1.一元一次方程 1.定义 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 2.标准形式
������ ������
变形依据 等式性质2 去括号法则、分配律
七年级上册 数学 人教版 第三章 一元一次方程 3.1.2等式的性质 课件
方程和等式之间存在什么关系？ 方程是含有字母的等式
1.描述图中的两个天平，以及它们之间的关系？ 2.如果用a表示球，用b表示正方体，用c表示四棱锥，你能用a,b,c表示图 中平衡的天平吗？ 3.等式就像平衡的天平一样，它有什么性质？请用数学语言表述。
（3）如果a=2,那么-3a=2
依据是等式的性质
（4）如果a=2,那么
a 5
依据是等式的性质
。 ，在等式的两边都
。 ，在等式的两边都
。 ，在等式的两边都
。 ，在等式的两边都
温馨提示：学友要把每一个知识点讲给师傅听,师傅负责教会学友
。 。 。 。
例2 利用等式的性质解下列方程。
x 7 26
5x 20
一、判断。
(1)如果x=y,那么x-3=y-3. (2)如果-3a=-3b,那么a=b. (3)如果3ac=4a,那么3c=4.
() () ()
二、选择。
（1）.已知mx=my，下列结论错误的是（ ）.
A. x=y
B. a+mx=a+my
C. mx－y=my－y
D. amx=amy
（2）.下列变形，正确的是（ ）.
A. 若ac = bc，则a = b
B.
若
a c
b c
,则a=b
温习题馨师提友示自：主师C完友.成进若。行a分=层b,次则练习ac,基础bc性习题由学D.友直若接说13给x师傅听6,,则师傅x=指-2导,纠错,拓展性
三、已知：x＝y ，字母a，c可取任何值，则等式ax＋c＝ay＋c一定成立吗？
温馨提示：错题中的基础性问题学友讲给师傅听,错题中的拓展性问题师傅要教会学友。
2018-2019学年度七年级数学上册第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.1.2等式的性质同步练
3.1.2 等式的性质学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．下列等式变形正确的是（）A．若﹣3x=5，则x=﹣B．若，则2x+3（x﹣1）=1C．若5x﹣6=2x+8，则5x+2x=8+6 D．若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=12．如果x=5是关于x的方程x+m=﹣3的解，那么m的值是（）A．﹣40 B．4 C．﹣4 D．﹣23．设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．3个4．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（）A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a﹣=b﹣C．如果ac=bc，那么a=b D．如果=，那么a=b5．下列运用等式性质正确的是（）A．如果a=b，那么a+c=b﹣c B．如果a=b，那么=C．如果=，那么a=b D．如果a=3，那么a2=3a26．已知等式a=b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是（）A．a﹣c=b﹣c B．a+c=b+c C．﹣ac=﹣bc D．7．若x=1是方程2x+m﹣6=0的解，则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．88．若方程2x+a﹣14=0的解是x=﹣2，则a的值为（）A．10 B．7 C．18 D．﹣189．下列变形正确的是（）A．4x﹣3=3x+2变形得：4x﹣3x=﹣2+3B．3x=2变形得：x=C．2（3x﹣2）=3（x+1）变形得：6x﹣2=3x+3D． x﹣1=x+3变形得：4x﹣6=3x+1810．下列方程：（1）2x﹣1=x﹣7，（2）x=x﹣1，（3）2（x+5）=﹣4﹣x，（4）x=x﹣2．其中解为x=﹣6的方程的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．如果x=y，那么下列等式不一定成立的是（）A．x+a=y+a B．x﹣a=y﹣a C．ax=ay D． =12．下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣=x﹣，答案显示此方程的解是x=，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣二．填空题（共8小题）13．有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是．14．若x=2是关于x的方程x+a=﹣1的解，则a的值为15．写出一个满足下列条件的一元一次方程：（1）未知数的系数﹣2；（2）方程的解是，则这样的方程可写为．16．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”个．17．若x=﹣2是方程3x+4=+a的解，则a xx+= ．18．如果a，b为常数，关于x的方程不论k取何值时，它的解总是﹣1，则a b= ．19．已知y=﹣（t﹣1）是方程2y﹣4=3（y﹣2 ）的解，那么t的值应该是．20．若x=0是方程xxx﹣a=xxx+4的解，则代数式﹣a2﹣a+2的值为．三．解答题（共4小题）21．当取什么整数时，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数？22．已知：x=5是方程ax﹣8=20+a的解，求a．23．已知关于x的方程3（x﹣1）=3m﹣6与2x﹣5=﹣1的解互为相反数，求（m+）3的值．24．（1）已知x=5是关于x的方程ax﹣8=20+a的解，求a的值．（2）已知关于x的方程2（x﹣1）=﹣3a﹣6的解与方程2x+3=﹣1的解互为倒数，求a xx的值．（3）小丽在解关于x的方程2x=ax﹣21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果她得到方程的解为x=﹣3，求a的值和原方程的解．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：A、若﹣3x=5，则x=﹣，错误；B、若，则2x+3（x﹣1）=6，错误；C、若5x﹣6=2x+8，则5x﹣2x=8+6，错误；D、若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1，正确；故选：D．2．解：把x=5代入方程，得×5+m=﹣3，解得m=﹣4．故选：C．3．解：根据图示可得，2×○=△+□（1），○+□=△（2），由（1），（2）可得，○=2□，△=3□，∴○+△=2□+3□=5□，故选：B．4．解：（C）若c=0时，此时a不一定等于b，故选：C．5．解：A、如果a=b，那么a+c=b+c，故此选项错误；B、如果a=b，那么=（c≠0），故此选项错误；C、如果=，那么a=b，正确；D、如果a=3，那么a2=3a，故此选项错误．故选：C．6．解：A、根据等式性质1，等式两边都减c，即可得到a﹣c=b﹣c；B、根据等式性质1，等式两边都加c，即可得到a+c=b+c；C、根据等式性质2，等式两边都乘以﹣c，即可得到﹣ac=﹣bc；D、根据等式性质2，等式两边都除以c时，应加条件c≠0，所以D错误；故选：D．7．解：根据题意，得2×1+m﹣6=0，即﹣4+m=0，解得m=4．故选：B．8．解：把x=﹣2代入方程2x+a﹣14=0得：﹣4+a﹣14=0，解得：a=18，故选：C．9．解：A、4x﹣3=3x+2变形得：4x﹣3x=2+3，错误；B、3x=2变形得：x=，正确；C、2（3x﹣2）=3（x+1）变形得：6x﹣4=3x+3，错误；D、3x﹣1=x+3变形得：18x﹣6=3x+18，错误；故选：B．10．解：（1）2x﹣1=x﹣7，把x=﹣6代入，可得﹣12﹣1=﹣6﹣7，所以x=﹣6是方程的解；（2）x=x﹣1，把x=﹣6代入，可得﹣3=﹣2﹣1，所以x=﹣6是方程的解；（3）2（x+5）=﹣4﹣x，把x=﹣6代入，可得﹣2≠﹣4+6，所以x=﹣6不是方程的解；（4）x=x﹣2．把x=﹣6代入，可得﹣4≠﹣6﹣2，所以x=﹣6不是方程的解；故选：C．11．解：A、等式x=y的两边同时加上a，该等式仍然成立；故本选项正确；B、等式x=y的两边同时减去a，该等式仍然成立；故本选项正确；C、等式x=y的两边同时乘以a，该等式仍然成立；故本选项正确；D、当a=0时，、无意义；故本选项错误；故选：D．12．解：设被墨水遮盖的常数是a，根据题意得：﹣=﹣a，解得：a=﹣2．故选：B．二．填空题（共8小题）13．解：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b，正确；②由a=b，得ac=bc，正确；③由a=b（c≠0），得=，不正确；④由，得3a=2b，正确；⑤由a2=b2，得a=b或a=﹣b，不正确．故答案为：①②④14．解：把x=2代入方程x+a=﹣1得：1+a=﹣1，解得：a=﹣2，故答案为：﹣215．解：根据题意可知：﹣2x+=0故答案为：﹣2x+=0（答案不唯一）16．解：设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y得，x+2y=y+z③，由①③得，2x=x+2y，∴x=2y，代入②得，z=3y，∵x+z=2y+3y=5y，∴“？”处应放“■”5个．故答案为：5．17．解：把x=﹣2代入，得3×（﹣2）+4=+a，解得a=﹣1，所以a xx+=（﹣1）xx+=2．故答案是：2．18．解：把x=﹣1代入得：整理，得（b﹣2）k﹣2a﹣2=0，∵无论k取何值时，它的根总是﹣1，∴b﹣2=0，﹣2a﹣2=0，解得：b=2，a=﹣1．∴a b=（﹣1）2=1故答案为：1．19．解：将y=﹣（t﹣1）=1﹣t代入方程，得：2（1﹣t）﹣4=3（1﹣t﹣2），解得：t=﹣1，故答案为：﹣1．20．解：把x=0代入方程xxx﹣a=xxx+4得﹣a=4，解得a=﹣4，所以﹣a2﹣a+2=﹣16+4+2=﹣10．故答案为﹣10．三．解答题（共4小题）21．解：由原方程，得（2k﹣k﹣2）x=6，即（k﹣2）x=6，∵方程的解是正整数，则k﹣2=1或2或3或6．解得：k=3或4或5或8．即k取3或4或5时或8，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数．22．解：把x=5代入方程ax﹣8=20+a得：5a﹣8=20+a，解得：a=7．23．解：解方程2x﹣5=﹣1得：x=2，∵关于x的方程3（x﹣1）=3m﹣6与2x﹣5=﹣1的解互为相反数，∴把x=﹣2代入方程3（x﹣1）=3m﹣6得：m=﹣1，∴（m+）3=﹣．24．解：（1）把x=5代入方程ax﹣8=20+a，得5a﹣8=20+a，解得a=7．（2）由方程2x+3=﹣1解得x=﹣2，因此由题意可知方程2（x﹣1）=﹣3a﹣6的解为，代入可得﹣3a﹣6=﹣3，解得a=﹣1，∴a xx=﹣1．（3）根据题意知：小丽移项后所得方程为2x+ax=﹣21，将x=﹣3代入这个方程可得：﹣6﹣3a=﹣21，解得a=5．所以原方程为2x=5x﹣21，解得x=7．综上，a=5，原方程的解为x=7．。
七年级数学上册第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.1.2等式的性质课件新版新人教版2019011
初中数学（人教版）七年级 上册第三章 一元一次方程知识点一 等式的性质内容符号表示等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等如果a=b,那么a±c=b±c等式的性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么 =重要提示(1)等式变形时,等式两边的运算必须相同,等式才成立,否则会破坏相等关系.(2)等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为0,因为0不能作除数或分母.(3)在等式的性质2中,往往被一些表面上不是0而实际上可以是0的数所迷惑,如m,m2,m2-1都有等于0的可能知识拓展(1)等式的对称性:若a=b,则b=a.(2)等式的传递性:若a=b,b=c,则a=c.等式的传递性习惯上也称作等量代换例1 用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式.(1)如果a-3=b+2,那么a+1= ;(2)如果3x=2x+5,那么3x- =5;(3)如果 x=5,那么x= ;(4)如果5m=2n,那么m= .解析 (1)a-3=b+2 由a-3变成a+1 b+2变成b+2+4=b+6 (2)3x=2x+5 由2x+5变成5 3x变成3x-2x (3) x=5 由 x变成x 5变成5×2=10(4)5m=2n 由5m变成m 2n变成2n÷5= n答案 (1)b+6 (2)2x (3)10 (4) n方法归纳 先从不需要填空的一边入手,比较这一边是怎样变形的,再根据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.知识点二 利用等式的性质解方程目的步骤利用等式的性质解方程将方程化成x=a(a是常数)的形式(1)方程两边同时加(或减)同一个数(或式子),使一元一次方程左边是含未知数的一项,右边是常数项;(2)方程两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为0),使未知数的系数化为1,从而得出方程的解例2 利用等式的性质解下列方程:(1)x+5=7;(2)-4x=20;(3)4x-4=8;(4)4x=8x-12.分析 利用等式的性质解方程,必须注意在加或减、乘或除以某个数时,方程两边要同时进行,否则会出现错误.解析 (1)利用等式的性质1,两边都减去5得x+5-5=7-5,即x=2.(2)利用等式的性质2,两边都除以-4得 = ,即x=-5.(3)利用等式的性质1,两边都加上4得4x-4+4=8+4,即4x=12.利用等式的性质2,两边都除以4得x=3.(4)利用等式的性质1,两边都减去8x得4x-8x=8x-12-8x,即-4x=-12.利用等式的性质2,两边都除以-4得x=3.温馨提示 综合应用等式的性质使复杂的一元一次方程转化为x=a(a 是常数)的形式,这就是解方程的基本思想.题型一 判断等式变形是否正确例1 判断下列说法是否正确.(1)如果a=b,那么ac=bc;(2)如果ac=bc,那么a=b;(3)如果a=b,那么-2a+m=-2b+m;(4)如果a=b,那么 a-n= b-n.解析 (1)从a=b变形为ac=bc,等式两边同时乘c,正确.(2)从ac=bc变形为a=b,等式两边要同时除以c,但当c=0时不能变形,a与b 不一定相等,不正确.(3)从a=b变形为-2a+m=-2b+m要分两步,第一步是两边同时乘-2,第二步是两边同时加m,正确.(4)从a=b变形为 a-n= b-n要分两步,第一步是两边同时乘 ,第二步是两边同时减n,正确.点拨 判断等式的变形是否正确,关键是确定利用等式的哪个性质变形.当对等式两边加、减或乘同一个数(或式子)时,变形均正确;当对等式两边除以同一个数(或式子)时,要先判断这个数(或式子)是不是0,若确定该数(或式子)不为0,则该变形正确,否则错误.题型二 利用等式的性质对已知等式进行变形例2 利用等式的性质在横线上填上适当的数或式子,并说明变形的根据以及是怎样变形的.(1)如果2x-3=-5,则2x= ,x= ;(2)如果5x+2=2x-4,则3x= ,x= ;(3)如果 x=2x-3,则- x= ,x= .分析 首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论.解析 (1)-2;-1.根据等式的性质1,等式两边同时加3,得2x=-2;再根据等式的性质2,两边同时除以2,得x=-1.(2)-6;-2.根据等式的性质1,等式两边同时减(2x+2),得3x=-6;再根据等式的性质2,两边同时除以3,得x=-2.(3)-3; .根据等式的性质1,等式两边同时减2x,得- x=-3,再根据等式的性质2,两边同时乘- ,得x= .点拨 等式的变形先要联想到等式的性质,比较等号同一侧的变化特征,从而确定是应用了等式的哪条性质,然后利用这一性质变形.易错点 利用等式的性质2时,常常忽略除数不为0这一条件例 能不能由(a+3)x=b-1,得到x= ?错解 能,根据等式的性质2,(a+3)x=b-1的两边同时除以(a+3)即可得到x = .正解 当a=-3时,由(a+3)x=b-1,不能得到x= ;当a≠-3时,由(a+3)x=b-1,能得到x= .错因分析 利用等式的性质2时,要注意等式的两边同时除以的数(或式子)不能为0.知识点一 等式的性质1.下列等式变形错误的是 ( )A.若x-1=3,则x=4 B.若 x-1=x,则x-1=2xC.若x-3=y-3,则x-y=0 D.若3x+4=2x,则3x-2x=-4答案 B B选项, x-1=x,根据等式的性质2,两边都乘2,可得x-2=2x,故B 选项错误,故选B.2.根据等式的性质,下列各式变形正确的是 ( )A.由- x= y得x=2yB.由3x-2=2x+2得x=4C.由2x-3=3x得x=3D.由3x-5=7得3x=7-5答案 B A选项,等式两边同时乘-3,得x=-2y;C选项,等式两边同时减去2x,得x=-3;D选项,等式两边同时加5,得3x=7+5.3.下列是等式 -1=x的变形,其中根据等式的性质2变形的是 ( )A. =x+1B. -x=1C. + -1=xD.2x+1-3=3x答案 D 根据等式的性质2,等式两边同时乘3,得2x+1-3=3x.知识点二 利用等式的性质解方程4.在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.(1)如果- = ,那么x= ,根据 ;(2)如果-2x=2y,那么x= ,根据 ;(3)如果 x=4,那么x= ,根据 ;(4)如果x=3x+2,那么x- =2,根据 .答案 (1)-2y;等式的性质2,两边都乘-10(2)-y;等式的性质2,两边都除以-2(3)6;等式的性质2,两边都乘 (4)3x;等式的性质1,两边都减去3x5.利用等式的性质解方程.(1)4x-6=-10;(2)-5x=-15;(3)10x=5x-3;(4)7x-6=8x.解析 (1)方程两边同时加上6,得4x-6+6=-10+6,即4x=-4.方程两边同时除以4,得x=-1.(2)方程两边同时除以-5,得x=3.(3)方程两边同时减去5x,得10x-5x=-3,即5x=-3.方程两边同时除以5,得x=- .(4)方程两边同时减去7x,得7x-6-7x=8x-7x,合并,得-6=x,即x=-6.1.下列变形不是根据等式的性质的是 ( )A. = B.若-2a=x,则x+2a=0C.若x-3=2-2x,则x+2x=2+3D.若- x=1,则x=-2答案 A 选项A的变形是根据分数的基本性质,分子、分母同乘10,不是根据等式的性质.2.(2018湖北孝感八校联考)若a=b,则下列各式正确的是 ( )A.a-9=b+9B. = C.3a=-3bD.-3a=-3b答案 D 选项D依据的是等式的性质2,两边同时乘-3.3.下列变形正确的是 ( )A.如果ax=bx,那么a=bB.如果(a+1)x=a+1,那么x=1C.如果x=y,那么x-5=5-yD.如果(a2+1)x=1,那么x= 答案 D A中在等式两边同时除以x,但当x=0时不能直接变形,a与b不一定相等,不正确;B中在等式两边同时除以(a+1),但当(a+1)=0时不能直接变形,x不一定等于1,不正确;C中根据等式的性质不可能得到;D中在等式两边同时除以(a2+1),且a2+1≠0,故成立.4.把等式2x-y=10变形为-4x+2y=-20,其依据是 ( )A.等式的性质1B.等式的性质2C.分数的基本性质D.乘法分配律答案 B 在等式2x-y=10的两边同时乘-2得,-4x+2y=-20,故依据是等式的性质2.故选B.5.等式3x=2x+1的两边同时减去 ,得x= ,其依据是 .答案 2x;1;等式的性质16.如果(a2+1)x=b,可得x= ,这是根据 ,在等式两边同时 .答案 ;等式的性质2;除以(a2+1)解析 因为a2+1>0,所以根据等式的性质2,等式两边同时除以(a2+1),得x = .7.用适当的数或式子填空,使变形后仍是等式,并说明是根据哪一个性质得到的.(1)若3x+5=2,则3x=2- ;(2)若-4x= ,则x= .解析 (1)5.根据等式的性质1,方程两边都减5.(2)- .根据等式的性质2,方程两边都除以-4.1.已知由- x=6可得x=-24,下列变形方法:①方程两边同乘- ;②方程两边同乘-4;③方程两边同除以- ;④方程两边同除以-4.其中正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B 因为 × ≠1; ×(-4)=1,且6×(-4)=-24; ÷ =1,且6÷ =-24; ÷(-4)≠1,所以②③正确,①④错误.2.下列说法正确的是 ( )A.等式ab=ac两边都除以a,可得b=cB.等式a=b两边都除以c2+1,可得 = C.等式 = 两边都除以a,可得b=cD.等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a-b答案 B 选项A中,a可能为0,不能直接变形,b与c不一定相等,故A不正确;选项C中,由 = 得b=c,两边应是同乘a,故C不正确;选项D中,两边都除以2应是x=a- b,故D不正确.故选B.3.如图3-1-2-1①,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图3-1-2-1②,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与 个砝码C的质量相等.图3-1-2-1答案 2解析 ①砝码A的质量=砝码B的质量+砝码C的质量,②砝码A的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量+砝码C的质量.将①代入②,得砝码B的质量+砝码C的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量+砝码C的质量.两边都减去砝码C的质量,得砝码B的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量.所以砝码B的质量=砝码C的质量.所以砝码A的质量=砝码C的质量+砝码C的质量,即1个砝码A的质量=2个砝码C的质量.1.下列变形正确的是 ( )A.若3x-1=2x+1,则x=0B.若ac=bc,则a=bC.若a=b,则 = D.若 = ,则 = 答案 D A选项,两边同时减(2x-1),应该得到x=2,不正确;B、C选项没有说明c≠0,也是错的;D选项在等式两边同时乘a,正确.2.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是 ( )A.方程本身是错的B.方程无解C.不能确定(x-1)的值是不是0D.2(x-1)小于3(x-1)答案 C 方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定(x-1)的值是不是0.3.某同学在做作业时发现:方程2-( )x=- +2x不能求解了,因为( )处的数字在印刷时被污迹盖住了,经过翻看后面的答案,知道该方程的解为x = ,该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.你认为将该方程复原出来应为 .答案 2-5x=- +2x解析 设被污迹盖住的数字为a,则原方程变为2-ax=- +2x,把x= 代入方程,得2- a=- +1,解得a=5.所以将该方程复原出来为2-5x=- +2x.4.已知x=5是关于x的方程3x-2a=7的解,则a的值为 .答案 4解析 把x=5代入方程,得15-2a=7,根据等式的性质1,等式两边同时减去15,得15-2a-15=7-15,即-2a=-8,根据等式的性质2,等式两边同时除以-2,得a=4.5.(1)如果mx=4m,那么x=4对吗?为什么?(2)如果x=4,那么mx=4m对吗?为什么?解析 (1)不正确,等式两边不能同时除以m,因为不能确保m一定不为0.(2)正确,根据等式的性质2,等式两边同时乘同一个数,结果仍相等.6.下列方程的变形是否正确?为什么?(1)由3+x=5,得x=5+3;(2)由7x=-4,得x=- ;(3)由 y=0,得y=2;(4)由3=x-2,得x=-2-3.解析 (1)由3+x=5,得x=5+3,变形不正确,因为方程左边减3,方程的右边加3,所以变形不正确.(2)由7x=-4,得x=- ,变形不正确,因为方程左边除以7,方程右边乘 ,所以变形不正确.(3)由 y=0,得y=2,变形不正确,因为方程左边乘2,方程右边加2,所以变形不正确.(4)由3=x-2,得x=-2-3,变形不正确,因为方程左边加(x-3),方程右边减(x+3),所以变形不正确.7.利用等式的性质解下列方程: (1)3x+5=-13;(2) x-6=5; (3)3x+4=-13;(4) x-1=5.解析 (1)等式两边同时减5,得3x+5-5=-13-5,即3x=-18.等式两边同时除以3,得x=-6.(2)等式两边同时加6,得 x-6+6=5+6,即 x=11.等式两边同乘3,得x=33.(3)等式两边同时减4,得3x+4-4=-13-4,即3x=-17.等式两边同除以3,得x=- .(4)等式两边同时加1,得 x-1+1=5+1,即 x=6.等式两边同乘 ,得x=9.一、选择题1.(2018安徽东至庆丰中学月考,3,★☆☆)下列变形错误的是 ( )A.若x=y,则x+5=y+5B.若 = ,则x=yC.若-3x=-3y,则x=yD.若x=y,则 = 答案 D A.x=y,等式两边同加5,得x+5=y+5,正确;B. = ,等式两边同乘a,得x=y,正确;C.-3x=-3y,等式两边同除以-3,得x=y,正确;D.没有说明m能否取0,错误.故选D.2.(2018辽宁大连九中期末,2,★☆☆)下列变形符合等式的性质的是 ( )A.如果2x-3=-7,那么2x=7-3B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2C.如果-2x=5,那么x=5+2D.如果- x=1,那么x=-3答案 D 将- x=1的两边同乘-3,得(-3)× =(-3)×1,即x=-3.二、填空题3.(2016湖南湘潭阶段检测,10,★☆☆)由2x-1=0得到x= ,可分两步,按步骤完成下列填空:第一步:根据等式的性质 ,等式两边 ,得到2x=1.第二步:根据等式的性质 ,等式两边 ,得到x= .答案 1;同时加1;2;同时乘 (或同时除以2)解析 根据等式的性质即可得到答案.1.(2018广东深圳百合外国语学校月考,1,★☆☆)将方程 x= 中未知数的系数化为1后,得出方程的解为 ( )A.x=12B.x= C.x=3D.x= 答案 D 在方程两边同时乘4即可.2.(2018安徽祁门古溪中学月考,3,★☆☆)下列等式变形正确的是 ( )A.如果x=y,那么x-2=y-2B.如果- x=8,那么x=-4C.如果mx=my,那么x=yD.如果|x|=|y|,那么x=y答案 A B选项,如果- x=8,那么x=-16,故此选项错误;C选项,如果mx= my,那么只有当m≠0时,x=y,故此选项错误;D选项,如果|x|=|y|,那么x=±y,故此选项错误.故选A.3.(2017云南师大附中期末,7,★★☆)下列等式变形错误的是 ( )A.如果x+7=26,那么x+5=24B.如果3x+2y=2x-y,那么3x+3y=2xC.如果2a=5b,那么2ac=5bcD.如果3x=4y,那么 = 答案 D D选项,如果3x=4y,那么只有当a≠0时, = 才成立,故此选项错误,故选D.4.(2017湖北沙市中学月考,5,★☆☆)下列运用等式的性质进行的变形中,不正确的是 ( )A.如果a=b,那么a-c=b-cB.如果a=b,那么a+c=b+cC.如果a=b,那么 = D.如果a=b,那么ac=bc答案 C 如果a=b,那么只有当c≠0时, = 才成立,故选C.选择题1.(2017浙江杭州中考,5,★☆☆)设x,y,c是有理数,下列说法正确的是 ( )A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则 = D.若 = ,则2x=3y答案 B 当c≠0时,A不成立;无论c取何值,B都成立;当c=0时,C不成立;若 = ,则3x=2y,故D不成立.故选B.2.(2016海南中考,2,★☆☆)若代数式 x+2 的值为1,则x等于 ( )A.1B.-1C.3D.-3答案 B 由题意得x+2=1,利用等式的性质1,方程两边同时减去2,得x= 1-2,即x=-1.3.(2013山东滨州中考改编,3,★☆☆)把方程 x=1变形为x=2,其依据是 ( )A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质1答案 B 在等式 x=1的两边同乘2,得x=2,故依据是等式的性质2.1.(2016广东中考,9,★★☆)已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为 ( )A.5B.10C.12D.15答案 A 把x-2y看成一个整体,根据等式的性质1,等式两边同时减去3,得x-2y=5.2.(2015湖北咸宁中考,2,★☆☆)方程2x-1=3的解是 ( )A.-1B.-2C.1D.2答案 D 根据等式的性质1,方程两边都加1,得2x-1+1=3+1,即2x=4,再根据等式的性质2,方程两边同时除以2,得x=2,故选D.3.(2014四川眉山中考,3,★☆☆)方程3x-1=2的解是 ( )A.x=1B.x=-1C.x=- D.x= 答案 A 方程两边同时加1,得3x=3.方程两边同时除以3,得x=1,故选A.4.(2014浙江湖州中考,11,★☆☆)方程2x-1=0的解是x= .答案 解析 因为2x-1=0,所以2x=1,所以x= .1.已知2x2-3=5,你能求出x2 +3的值吗?说明理由.解析 能.由2x2-3=5,得2x2=5+3,x2=4,所以x2+3=4+3=7.2.a、b、c三个物体的质量关系如图3-1-2-2所示:图3-1-2-2回答下列问题:(1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重?(2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?解析 (1)根据题图知2a=3b,2b=3c,则a= b,b= c,进而有a= c,因为 c> c>c,所以a>b>c,所以a、b、c三个物体就单个而言,a最重.(2)由(1)知a= c,即4a=9c,所以若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,则天平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c.1.规定“*”为一种新运算,对任意有理数a、b,有a*b=a+2b,若6*x=12,试用等式的性质求x的值.解析 由6*x=12,得6+2x=12,根据等式的性质1,等式两边同时减去6,得6 +2x-6=12-6,即2x=6,根据等式的性质2,等式两边同时除以2,得x=3.。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.2 等式的性质教学课件上册数学课件
数学(shùxué) 七年级上册 湘教版
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第3章 一元(yī yuán)一次方程
3.2 等式的性质
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3.2 等式 的性质 (děngshì)
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1.在现实的情景中理解等式(děngshì)的性质；
等式性质2)； 等式性质2 )；
等式)性. 质1
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2. 判断下列等式变形是否(shì fǒu)正确，并说明理由.
（1）若 13a+3=b，-则1 a+3=3b-3；
不正确(zhèngquè)，应该是 a+9=3b-3. （2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2.
你从上述过程中发现了等式的哪些性质？怎样用字母 (zìmǔ)表示数来表示等式的性质呢？
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一般(yībān)地，等式有以下的性质：
等式的性质(xìngzhì)1 等式的两边都加上（或
都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式.
用字母可以表示为：
如果 a b ，那么 acb.c
不正确，应该是 x-3=2y-1.
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1.等式的性质有那几条？用字母怎样表示？
2.利用等式的性质进行(jìnxíng)变形.
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数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易
从事实中归纳出来，但证明却隐藏(yǐncáng)的极深
.
（2）如果3x = 9y，那么 x=
人教版 数学 七年级 上册 第三单元 一元一次方程 知识点
第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程（1）方程：含未知数的等式；（2）一元一次方程：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）；（3）方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值；（4）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b ，那么a ±c=b ±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b ，c ≠0，那么cb c a =； 3.2、3.3解一元一次方程——合并同类项与移项、去括号与去分母（1）合并同类项：把含x 的项合并在一起；（2）移项：把等式一边的某项变号反移到另一边；（3）一元一次方程解法的一般步骤：去分母----------两边同乘最简公分母去括号----------注意符号变化移项----------注意要变号合并同类项--------合并后注意符号系数化为1---------等式右边除以x 的系数3.4实际问题与一元一次方程（1）“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系；“工作量＝人均效率×人数×时间”是计算工作量的常用数量关系式；（2）列一元一次方程解应用题：①读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.②画图分析法: 多用于“行程问题”仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.（3）列方程常用公式1.行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量3.顺水逆水问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程4.商品利润问题： 售价=定价 ， %100⨯-=成本成本售价利润率； 利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润商品销售额＝商品销售价×商品销售量商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．5.若干应用问题等量关系的规律（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
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3.2 等式的性质
[学习目标] 1、知道等式的性质；
2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[重点] 理解并掌握等式的性质。
[难点] 会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[学习过程]
[练习一]
已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：
①3+a 3+b ； ②3-a 3-b ； ③)6(-+a )6(-+b ； ④x a + x b +； ⑤y a - y b -； ⑥3+a 5+b ；
⑦3-a 7-b ； ⑧x a + y b +。
⑨)32(++x a )32(++x b ； ⑩)32(++x a )32(++x b 。
[等式的性质1]等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。
[练习二]
已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：
①a 3 b 3； ②4a 4b ； ③a 5- b 5-； ④2-a 2
-b 。
[等式的性质2]等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
[练习三]
利用等式的性质解下列方程：
（1）267=+x ； （2）205=-x ；（3）453
1=--
x ；（4）10)1(2=+-x 。
解：（1）两边减7，得
72677-=-+x
∴=x
（2）两边 ，得
∴=x .
（3）两边 ，得
，
两边 ，得
，
∴=x .
（4）两边 ，得
， 两边 ，得
，
∴=x .
**请检验上面四小题中解出的x 是否为原方程的解.
[练习四] 利用等式的性质解下列方程并检验：
（1）69=-x ； （2）102.0=-x ；
（3）23
13=-
x ； （4）012=+-x ；
[小结]
1、等式有哪些性质？
2、在用等式的性质解方程时要注意什么？
[练习五] 自主探究 巩固提高
A 组
利用等式的性质解下列方程，并检验结果是否正确
（1）85=+x ；
（2）01=--x ；
（4）026=-x ；
B 组
1、下列结论正确的是
A ）x +3=1的解是x= 4
B ）3-x = 5的解是x=2
C ）35=x 的解是35=
x D ）2
323=-x 的解是x = -1 2、方程12-=-x a x 的解是2=x ，那么a 等于（ ）
A) －1 B) 1 C) 0 D) 2
3、已知04-2=x ，则=-13x 。
4、已知t=3是方程at －6= 18的解，则a=________
5、当y=_______时，y 的2倍与3的差等于17.
6、代数式x+6的值与3互为相反数，则x 的值为 .。