上海市交大附中高二数学下学期摸底考试试卷

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2018-2019学年上海市交大附中高二(下)3月月考数学试卷

2018-2019学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷一、填空题1．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．3．（3分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量方向相反的单位向量的坐标为．4．（3分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．5．（3分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是．6．（3分）将参数方程（θ为参数）化成普通方程为．7．（3分）已知椭圆的焦距为2，则实数t＝．8．（3分）已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两根，则p+q的值为．9．（3分）下列四个命题：①；②（a+b）2＝a2+2ab+b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的序号是．10．（3分）如图，S是三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的大小为（用反三角函数表示）．11．（3分）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是．12．（3分）动点P（x，y）在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点O沿东偏北α（0）方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定P（x，y）速度为10米/分钟，则当α变化时P（x，y）行走2分钟内的可能落点的区域面积是．二、选择题13．（3分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线14．（3分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直15．（3分）在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．1016．（3分）已知动点P的横坐标x、纵坐标y满足：①xcosα+ysinα＝1（α∈R）；②x2+y2≤4，那么当α变化时，点P形成的图形的面积为（）A．πB．3πC．4πD．4﹣π三、解答题17．如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线P A∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．18．已知椭圆的焦点为F1（﹣t，0），F2（t，0），t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．（1）求椭圆方程；（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2＝120°，求tan∠F1PF2的值．19．已知平面α与平面β的交线为直线l，m为平面α内一条直线；n为平面β一条直线，且直线l，m，n互不重合．（1）若直线m与直线n交于点P，判断点P与直线l的位置关系并证明；（2）若m∥n，判断直线l与直线m的位置关系并证明．20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中如图2，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹①F1（﹣1，0），F2（1，0），a＝2②F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a＝2；③F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a＝4．（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）．①到A（﹣1，﹣1），B（1，1）两点“直角距离”相等；②到C（﹣2，﹣2），D（2，2）两点“直角距离”和最小．2018-2019学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．【分析】利用模长公式|z|＝，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．【解答】解：∵复数2+3i，∴2+3i的模＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B 与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD＝A1D＝A1B故∠BA1D＝60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．3．（3分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量方向相反的单位向量的坐标为（﹣，）．【分析】利用与向量方向相反的单位向量＝即可得出．【解答】解：＝（3，﹣4），与向量方向相反的单位向量＝＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了相反向量、单位向量的定义，属于基础题．4．（3分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．【分析】确定双曲线的焦点、顶点坐标，可得椭圆的顶点、焦点坐标，由此可求椭圆的方程．【解答】解：C：的焦点为（±3，0），顶点为（±2，0）∴椭圆的顶点为（±3，0），焦点为（±2，0）∴b2＝a2﹣c2＝5∴椭圆的方程为故答案为：【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．5．（3分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是x+3y＝0．【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，故答案为x+3y＝0．【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．6．（3分）将参数方程（θ为参数）化成普通方程为（x﹣1）2+y2＝4．【分析】观察这个参数方程的特点，可将x＝1+2cosθ变形，再利用同角三角函数的平方关系就可消去参数θ，即可．【解答】解：由题意得，?，将参数方程的两个等式两边分别平方，再相加，即可消去含θ的项，所以有（x﹣1）2+y2＝4．【点评】当参数方程以角为参数且含这个角的三角函数时，一般可考虑利用三角变换消去参数，最后同样要考虑x或y的取值范围．本题消参后的方程为圆，变量的取值范围与原参数方程一致．7．（3分）已知椭圆的焦距为2，则实数t＝2，3，6．【分析】当t2＞5t＞0时，a2＝t2，b2＝5t，由c2＝t2﹣5t；当0＜t2＜5t，a2＝5t，b2＝t2，由c2＝a2﹣b2＝5t﹣t2，解方程可求【解答】解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2＝t2，b2＝5t此时c2＝t2﹣5t＝6解可得，t＝6或t＝﹣1（舍）当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2＝5t，b2＝t2此时c2＝a2﹣b2＝5t﹣t2＝6解可得，t＝2或t＝3综上可得，t＝2或t＝3或t＝6故答案为：2，3，6【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，分类讨论的思想，属于基础试题，但是要注意需要讨论t的范围以确定方程中的a2，b28．（3分）已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两根，则p+q的值为p+q ＝1．【分析】根据2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，两个根互为共轭复数得到a＝﹣1，b＝2，利用根与系数之间的关系求出一元二次方程的系数，得到结果．【解答】解：因为2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，根据两个根互为共轭复数得到a＝﹣1，b＝2，∴实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根是2±i∴p＝﹣[（2+i）+（2﹣i）]＝﹣4，q＝（2+i）（2﹣i）＝5．∴p+q＝1故答案为：p+q＝1【点评】本题考查根与系数的关系，本题解题的关键是理解实系数一元二次方程的两个根之间的共轭关系，本题是一个易错题．9．（3分）下列四个命题：①；②（a+b）2＝a2+2ab+b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的序号是②④．【分析】由a＝i，计算可判断①；由完全平方公式可判断②；由a＝i，b＝+i，可判断③；由因式分解以及复数为0的条件，可判断④．【解答】解：①不成立，比如a＝i，可得i+＝i﹣i＝0；②（a+b）2＝a2+2ab+b2成立，由完全平方公式可得；③若|a|＝|b|，则a＝±b不成立，比如a＝i，b＝+i，可得|a|＝|b|；④若a2＝ab，则a＝b成立，由a2﹣ab＝0，即a（a﹣b）＝0，由a不为0，可得a＝b．故答案为：②④．【点评】本题考查等式成立的范围，注意运用反例法和推理，考查运算能力，属于基础题．10．（3分）如图，S是三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的大小为（用反三角函数表示）arccos．【分析】以S为坐标原点，分别以SC，SB，SA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线SM与BN所成角的余弦值，再由反三角函数得答案．【解答】解：∵∠ASB＝∠BSC＝，∴以S为坐标原点，分别以SC，SB，SA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设SA＝SB＝SC＝2a，则S（0，0，0），B（0，2a，0），M（0，a，a），N（a，0，0），则，，∴cos＜＞＝．∴异面直线SM与BN所成角的大小为arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查反三角函数的应用，是中档题．11．（3分）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（1）（2）（4）．【分析】根据题意，全面考虑线面的位置关系的几种情况，线面距离的定义，再结合图形判断．【解答】解：（1）正确，直线m、n所在平面α内，则符合题意的点为直线m、n的对称轴；（2）正确，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线在平面α同侧，则平面α为符合题意的点；（4）正确，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；故答案：（1）（2）（4）【点评】本题考查了点线面的位置关系，借助于图形判断，易漏选项．12．（3分）动点P（x，y）在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点O沿东偏北α（0）方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定P（x，y）速度为10米/分钟，则当α变化时P（x，y）行走2分钟内的可能落点的区域面积是100π﹣200m2．【分析】设改变方向的点为M，过M作x轴的垂线，垂足为N，根据速度和时间求出|OM|+|PM|的长，在△OPM中然后根据三角形的两边之和大于第三边列出一个不等式，然后在△OMN中，根据两边之和大于第三边列出另外一个不等式，然后再根据x大于等于0，y大于等于0，在平面直角坐标系中画出相应的平面区域为一个弓形，如图所示，利用四分之一圆的面积减去等腰直角三角形的面积即可求出弓形的面积．【解答】解：解：设改变方向的点为M，依题意|OM|+|MP|＝10×2＝20米，△OPM中，|OM|+|MP|≥|OP|（当O、M、P共线时“＝”成立），∴|OP|≤20，即x2+y2≤400，又△OMN中，|OM|≤|ON|+|MN|（当O、M、N共线时“＝”成立），∴|OM|+|MP|≤|ON|+|MN|+|MP|＝x+y，∴x+y≥20∴区域S：为弓形，则面积为π×202﹣×20×20＝100π﹣200．故答案为：100π﹣200m2．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式、二元一次不等式（组）与平面区域．根据三角形的性质，判断边与边之间的关键是解答本题的关键．本题属于难题．二、选择题13．（3分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选：A．【点评】本题考查了公理的意义，比较简单．14．（3分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【分析】根据空间直线平行和垂直的位置关系即可判断a，c的位置关系．【解答】解：根据直线平行的性质可知，若a⊥b，b∥c，则a垂直c，a与c可能相交，也可能异面，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查空间直线位置关系的判断，利用直线平行和垂直的性质是解决本题的关键．15．（3分）在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，＝0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：＝＝5．故选：C．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．16．（3分）已知动点P的横坐标x、纵坐标y满足：①xcosα+ysinα＝1（α∈R）；②x2+y2≤4，那么当α变化时，点P形成的图形的面积为（）A．πB．3πC．4πD．4﹣π【分析】根据动点P（x，y）的坐标x，y满足xcosα+ysinα＝1（α∈R），表示的区域是单位圆的切线，即可得出结论．【解答】解：动点P（x，y）的坐标x，y满足xcosα+ysinα＝1（α∈R），表示的区域是单位圆的切线，P的轨迹是圆环．∴当α变化时，点P的轨迹所形成的图象的面积是4×π﹣π＝3π，故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．三、解答题17．如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线P A∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出O是AC中点，OE∥PA，由此能证明直线P A∥平面EDB．（2）由直线PD⊥底面ABCD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A?平面BDE，OE?平面BDE，∴直线PA∥平面EDB．解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，设PD＝DC＝a，则BD＝＝，∴tan∠PBD＝＝＝．∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知椭圆的焦点为F1（﹣t，0），F2（t，0），t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．（1）求椭圆方程；（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2＝120°，求tan∠F1PF2的值．【分析】（1）根据等差中项列等式可解得；（2）在△F1PF2中，两次使用余弦定理可得．【解答】解（1）依题意得，解得a＝2c＝2t，∴b2＝a2﹣c2＝3t2，∴椭圆的方程为：+＝1．（2）如图：设PF1＝r1，PF2＝r2，在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°＝＝﹣，结合r1+r2＝2a＝4t，解得：r1＝t，r2＝t，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝，∴tan∠F1PF2＝【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．19．已知平面α与平面β的交线为直线l，m为平面α内一条直线；n为平面β一条直线，且直线l，m，n互不重合．（1）若直线m与直线n交于点P，判断点P与直线l的位置关系并证明；（2）若m∥n，判断直线l与直线m的位置关系并证明．【分析】（1）由条件可得p∈α，p∈β，又α∩β＝l，故p∈l；（2）先用线面平行的判定定理证明m∥β，然后再用线面平行的性质证明m∥l即可．【解答】解：（1）p∈l，证明如下：证明：∵m?α，n?β，m∩n＝p，∴p∈α，p∈β，∵α∩β＝l，∴p∈l．（2）m∥l，证明如下：证明：∵m∥n，m?β，n?β，∴m∥β，又∵α∩β＝l，m?α，∴m∥l．【点评】本题考查了点与直线位置关系的判断和直线与直线位置关系的判断，属基础题．20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中如图2，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹①F1（﹣1，0），F2（1，0），a＝2②F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a＝2；③F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a＝4．（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）．①到A（﹣1，﹣1），B（1，1）两点“直角距离”相等；②到C（﹣2，﹣2），D（2，2）两点“直角距离”和最小．【分析】（1）由已知条件结合图象能求出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（2）条件①轨迹方程为|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，条件②轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x﹣1|+|y ﹣1|＝4，条件③：轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x﹣1|+|y﹣1|＝8，由此能求出结果．（3）满足条件的格点有（﹣2，2），（﹣1，2），（﹣2，1），（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），（2，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣2），对于①，满足|x+1|+|y+1|＝|x﹣1|+|y﹣1|，从而p∈{（x，y）|x+y＝0，﹣1≤x≤1或x≤﹣1，y≥1或x≥1，y≤﹣1}，对于②，D（P A）+D（PB）＝|x+2|+|y+2|+|x﹣2|+|y﹣2|≥|x+2+2﹣x|+|y+2+2﹣y|＝8，从而点P∈{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}．由此能求出格点的坐标．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中如图2，所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标有：（0，2，），（1，1），（2，0），（1，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），（﹣1，1）．（2）条件①轨迹方程为|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，当x≤﹣1，y≥0时，x﹣y+2＝0；当x≤﹣1，y＜0时，x+y+2＝0；当﹣1＜x＜1，y≥0时，y＝1；当﹣1＜x＜1，y＜0时，y＝﹣1；当x≥1，y≥0时，x+y﹣2＝0；当x≥1，y＜0时，x﹣y﹣2＝0．条件②轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x﹣1|+|y﹣1|＝4，当x≤﹣1，y≥1时，（x，y）＝（﹣1，1）；当x≤﹣1，﹣1≤y＜1时，x＝﹣1；当﹣1＜x＜1，y≥1时，y＝1；由对称性可得其他部分图形．条件③：轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x﹣1|+|y﹣1|＝8，当x≤﹣1，y≥1时，x﹣y+3＝0；当x≤﹣1，﹣1≤y＜1时，x+3＝0；当﹣1＜x＜1，y≥1时，y＝3．由对称性可得其他部分图形．（3）如图，满足条件的格点有（﹣2，2），（﹣1，2），（﹣2，1），（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），（2，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣2），对于①，设P（x，y）满足到A（﹣1，﹣1）、B（1，1）两点“直角距离”相等，即满足|x+1|+|y+1|＝|x﹣1|+|y﹣1|，解得p∈{（x，y）|x+y＝0，﹣1≤x≤1或x≤﹣1，y≥1或x≥1，y≤﹣1}，如图．对于②，设P（x，y）到C（﹣2，﹣2），D（2，2）两点“直角距离”和最小，即D（P A）+D（PB）＝|x+2|+|y+2|+|x﹣2|+|y﹣2|＝|x+2|+|x﹣2|+|y+2|+|y﹣2|≥|x+2+2﹣x|+|y+2+2﹣y|＝8，当且仅当﹣2≤x≤2且﹣2≤y≤2等号成立，可得点P∈{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}．如图故同时满足条件①②的格点的坐标是：（﹣2，2），（﹣1，2），（﹣2，1），（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），（2，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣2）．【点评】本题考查格点坐标的求法，考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

上海交大附中2012-2013学年高二第二学期期末数学试卷及答案

上海交通大学附属中学2012-2013学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数3a ii+-（R a ∈）是纯虚数，则a = . 【答案】31 2. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有种不同的排法。

【答案】2403. 在5(32)x y -的展开式中，若各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b += ．【答案】334.若在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n = 。

【答案】85. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为。

【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。

则共有11234333216C C C P =6. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为．（结果用最简分数表示）【答案】5117. 若复数z 满足61()31i z i i-+-+≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为 . 【答案】3π8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______. 【答案】3:29. 已知1321===z z z，则122331123z z z z z z z z z ++=++ 。

【答案】110 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】1311. 不等式31416151----+<+n n n n C C C C 的解集为。

2019-2020学年上海市交大附中高二(下)数学期末模拟试卷

2019-2020学年上海市交大附中高二（下）数学期末模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如图，在下列三棱柱中，若M、N、P分别为其所在棱的中点，则不能得出平面MNP的是A. B.C. D.2.已知四棱柱中，平面ABCD，且底面ABCD是正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.3.半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，则它的最高处距桌面A. 4cmB. 2cmC.D.4.设a，b是异面直线，下列命题正确的是A. 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B. 过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C. 过a一定可以作一个平面与b垂直D. 过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.证明点P在平面内的方法是________证明点P在直线l上的方法是________6.在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则；其中真命题的序号为______ ．7.已知异面直线a与b所成的角，P为空间一点，则过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条8.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E为AB的中点，F为的中点，则EF的长为______．9.在三棱锥ABCD中，，E，F分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为______ ．10.在正方体中，与平面之间的关系是________．11.在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线DP与所成的角最大是．12.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．13.已知平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于则动点P的轨迹方程为______ ．14.已知在棱长为1的正方体中，点E是线段上的动点，点F是线段BC上的动点，则的最小值是______．15.在直三棱柱中，，，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为______ ．16.如图，在四面体中，，对棱AC与BD所成的角为，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.设，求证：；已知，，比较与的大小．18.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，Q是棱PC上异于P，C的一点．求证：；过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面点F在棱PB上，求证：．19.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABE，，F为CE上的点，且平面ACE．求证：；求三棱锥的体积；设M在线段AB上，且满足，试在线段CE上确定一点N，使得平面DAE．21.如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，，是以CD为底边的等腰三角形，且点F为PC的中点．求证：平面BFD；求二面角的余弦值；求三棱锥的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法解决问题．【解答】解：在A，B中，可得，所以平面MNP；在D中，可得，所以平面MNP；故选C．2.答案：D解析：解：如图，连接，，则为异面直线与所成角，由已知可得：，．．异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由已知画出图形，找出异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积及圆锥的轴截面，先根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，利用轴截面等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．【解答】解：设圆的半径为R，，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为H，根据题意：，，故，，最高处距桌面距离：，故选D4.答案：D解析：【分析】本题考查了空间中的位置关系，根据线面、线线的位置关系逐项判断即可．【解答】解：A项错，若点P与a所确定的平面与b平行，就不能作一条直线与a，b相交；B项错，若平面都与a，b垂直，则与a，b是异面直线矛盾；C项错，假如这样的平面存在时，平面，则，当直线a与b不垂直时，平面不存在，所以C错误；D项正确，在a上任取一点A，过A点作直线，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．故选D．5.答案：证明；证明，，解析：【分析】本题主要考查点与直线和平面的关系，属于基础题．【解答】解：证明点P在平面内的方法是证明，证明点P在直线l上的方法是证明，，，故答案为证明；证明，，．6.答案：解析：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若，，则，满足平行线公理，所以正确；中正方体从同一点出发的三条线，也错误；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：．有平行线公理判断即可；中正方体从同一点出发的三条线进行判断；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；由线面垂直的性质定理可得；与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．7.答案：2 1 4解析：解：平移a，b过P，如图，平面内，设a与b所成锐角的角分线为m，所成钝角的角分线为n，则m与a，b所成最小角为，n与a，b所成最小角为，过P点与a和b所成角的直线有1条；上下旋转m，可得与a和b所成角的直线有2条；分别上下旋转m，n，可得过P点与a和b所成角的直线有4条，故答案为：2，1，4．平移a，b过P，通过异面直线所成角的概念结合直线旋转得答案．本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：解析：【分析】利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出．熟练掌握向量模的计算公式和向量的数量积的定义是解题的关键．【解答】解：，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E 为AB的中点，F为的中点，，，故答案为．9.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是异面直线所成的角，属于基础题．设G为AC的中点，其中根据三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角或其补角，是解答本题的关键．【解答】解：设G为AC的中点，连接EG，FG，则、F分别是AB、CD中点且且，为异面直线AD、BC所成的角或其补角，，即异面直线AD、BC所成的角为．故答案为：．10.答案：垂直解析：【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用．【解答】解：在正方体中，，，，平面．故答案为垂直．11.答案：解析：【分析】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由，得为异面直线DP与所成角，由此能求出异面直线DP与所成角的最大值．【解答】解：如图，在正方体中，连接，DB，则，所以为异面直线DP与所成的角，易知当点P与点B重合时，最大，且最大为．12.答案：12解析：【分析】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线有：，，CD，，BC，，，，，BD，，，共12条．故答案为：12．13.答案：或解析：【分析】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．根据平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当时，点P到F 的距离等于点P到直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当时，也满足题意．【解答】解：平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当时，点P到F的距离等于点P到直线的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为；当时，．动点P的轨迹C的方程为或．故答案为或．14.答案：解析：解：如图，，把正方体上底面折起，连接与B重合，则的最小值是．故答案为：．由题意画出图形，再由勾股定理求解．本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：设棱柱的内切球的半径为r，则的内切圆为球的大圆，设，，则，由等面积可得，．设，，则，设，，，，直三棱柱内切球的表面积的最大值为．故答案为：．棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．本题考查了棱柱的结构特征，棱柱与内切球的关系，属于中档题．16.答案：或解析：解：取BC的中点P，连接MP、NP，因为M、N分别是AB、CD的中点，所以，，，，所以，就是异面直线AC与BD所成的角或补角，即或又，所以当时，为正三角形，所以当时，本题考查直线与直线的位置关系，平行线性质定理，异面直线所成的角，属于较综合的题型。

上海交通大学附属中学高二数学下学期摸底考试试题苏教版

上海交通大学附属中学高二数学下学期摸底考试试题苏教版高二数学摸底考试试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（共12题，每小题3分，满分36分） 1、直线2423x y +-=的倾斜角为_______________。

【答案】3arctan 22、向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫⎪⎝⎭变化后得到的矩阵为______________。

【答案】32⎛⎫⎪⎝⎭1-40 3、动点P 到直线50x +=的距离减去它到点M (4,0)的距离等于1，则P 的轨迹方程 ___________。

【答案】216y x = 2-554、若行列式4513789xx 中，元素1的代数余子式的值大于0，则x 的取值范围是__________。

【答案】45(,)8+∞ 一课pg95 5、曲线224640x y x y +--+=上的点到直线3420x y ++=距离的最小值为________。

【答案】1 2-276、设向量(2,1),(,1)()a b R λλ=-=-∈，若,a b 的夹角为钝角，则λ取值范围为_________。

【答案】1(,2)(2,)2-⋃+∞ 1-307、已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________。

【答案】11(3,)(,2)22--- 8、直线l ：3y x =+与曲线2194x x y -=交点的个数为_________。

【答案】3 9、O 是平面上一点,C B A ,,是平面上不共线三点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,12λ=时, 则()PA PB PC +的值为__________。

【答案】0解:当12λ=时,1()2OP OA AB AC =++,即1()2OP OA AB AC -=+,所以1()2AP AB AC =+,即P 是BC 的中点.所以0PB PC +=,所以()0PA PB PC +=10、椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上，如果线段1PF 中点在y 轴上，且1PF 2t PF =，则t 的值为_______。

2023年上海交大附中高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2023年上海交大附中高考数学模拟试卷1. 设集合，，则______.2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则__________.3. 在平面直角坐标系内，直线l：，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为______.4. 已知，，则_____________.5. 设定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是______.6. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点，若OA的垂直平分线过抛物线C：的焦点，则抛物线C的方程为______.7. 设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是，，，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是______ 用分数作答8. 记的展开式中第m项的系数为，若，则______.9.从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望______.10. 已知函数有两个零点1，2，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为______ .11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为______ .12. 已知，函数的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若恒成立，则a的最大值是______.13. “”是“”的条件.( )A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 设，为两条不同的直线，为一个平面，则下列命题正确的是( )A. 若直线平面，直线平面，则B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则C. 直线与平面所成角的取值范围是D.若直线平面，直线平面，则15. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )A. 1B. 2C.D.16. 已知函数，若存在实数，，，满足，其中，则取值范围是( )A. B. C. D.17. 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，D为侧棱的中点求证：平面；求二面角的大小结果用反三角函数值表示18. 已知函数求函数的单调递增区间；将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求方程的解．19. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；求B、C两处垃圾之间的距离；精确到求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小；用反三角函数表示20. 如图，设F是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P若，求k的值；求证：；求面积的最大值．21.已知正项数列，满足：对任意正整数n，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，求证：数列是等差数列；求数列，的通项公式；设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】解：，或，则，故答案为：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算实是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】【分析】本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．设出，得到，根据实部虚部对应相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．【解答】解：设，则，，，解得，故，故答案为：3.【答案】【解析】解：由题意可知：，，方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题．4.【答案】【解析】解：，，，，，，解得：，，故答案为：由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】【解析】解：当，则，此时，是奇函数，，，即，，当时，由，得，当时，成立，当时，由，得，即，则，综上或，即不等式的解集为故答案为：根据函数奇偶性的性质，先求出函数的解析式，然后解不等式即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．6.【答案】【解析】解：点，依题意我们容易求得直线的方程为，把焦点坐标代入可求得焦参数，从而得到抛物线C的方程为：故答案为：先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．基本性质的熟练掌握是解答正确的关键．7.【答案】【解析】解：部件的总体良品率是：故答案为：部件的总体良品率是，计算得到答案．本题主要考查全概率公式，属于基础题．8.【答案】5【解析】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得，解得，故答案为根据题意，结合二项式定理可得，，解可得答案．本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．9.【答案】【解析】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，，，，的可能取值为，，，故答案为：所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，推导出的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，巧妙地把立体几何和概率有机地结合在一起，是一道难得的好题．10.【答案】【解析】解：函数有两个零点1，2，，，，，为首项为，公比为2的等比数列，数列的前2023项的和为，故答案为：计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为2的等比数列，求和得到答案．本题考查函数的零点的概念，根据数列的递推公式求通项公式，等比数列的定义与通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．11.【答案】【解析】解：焦点，设，则，，设M 到准线的距离等于d，则令，，则，当且仅当时，等号成立故的最大值为，故答案为设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得，化简为，令，则，，利用基本不等式求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，，，直线l的方程为设恒成立恒成立，在上小于等于0恒成立①或时，恒成立．②时，由基本不等式得：此时的最大值为由A、B的坐标可以将直线l的方程找到，通过M点坐标可以得到N的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值．本题考查通过两点坐标求直线l方程，去绝对值，以及由基本不等式确定a的范围．13.【答案】B【解析】解：时，，，得出，得不出，即不是的充分条件；时，，，得出，是的必要条件．故选：可看出时，；而时，，从而可得出正确的选项．本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面的距离相等，错误；对选项C：直线与平面垂直时夹角为，错误；对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确．故选：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，当直线与平面相交时，也成立，B错误，直线与平面垂直时夹角为，C错误，D正确，得到答案．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量的数量积的定义和性质，同时考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得，可得，所以，，即为，，当，，即，同向时，的最大值是故选：16.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，进行转化是解决本题的关键，属于中档题．先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数的图象如下图所示：若满足，其中，则，，则，即，则，同时，，，关于对称，，则，则，则，，，即，故选：17.【答案】证明：底面是等腰直角三角形，且，平面，，，平面解：以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由得是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图形知二面角的大小是锐角，二面角的大小为【解析】推导出，，由此能证明平面以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：函数，由得：，则的单调递增区间是；由已知得：，由得：，，则【解析】把函数的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间，求出x 的范围，即为函数的单调递增区间；根据平移规律“左加右减”，由的解析式得到向右平移2个单位后的解析式，令，得到，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值，即为方程的解．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．19.【答案】解；设，则，，由题意得，在中，由余弦定理得：解得由知，，【解析】设，则，，，利用余弦定理列方程解出x ；利用的结论得出三角形ABC 的三边长，使用余弦定理求出，得到B 的大小．本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．20.【答案】解：联立，得，直线与椭圆相交于A、B两点，，即或，设，，则，，，，代入上式，解得证明：由图形得要证明，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于，，解：或，令，则，，，当且仅当，即，取等号，面积的最大值为【解析】联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出证明，等价于证明等价于，由此能证明令，利用基本不等式性质能求出面积的最大值．本题考查直线的斜率的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量相等、基本不等式、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21.【答案】解：由已知，得①，②．由②得③．将③代入①得，对任意，，有即是等差数列．分设数列的公差为d，由，经计算，得，分由得不等式化为即设，则对任意正整数n恒成立．当，即时，不满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，的对称轴为，关于n递减，因此，只需解得，综上，分【解析】通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证利用等差数列的通项公式求出，求出，先通过裂项求和的方法求出，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．。

上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试卷 (含解析)

上海市交大附中2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共11小题）.1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是．4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有种．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．8．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+ 14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1 15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14 B．15 C．16 D．17三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．上海市交大附中2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷参考答案一、填空题：1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．解：设数字朝上的次数为X，则X～B（3，），故P（X＝1）＝••（1﹣）2＝，故答案为：．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．解：设翻折前AC与BD相交于点O，则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，∴∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角．∵OB＝OD＝，BD＝1，∴△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，∴二面角B﹣AC﹣D的大小为．故答案为：．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是15π．解：∵圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，∴圆锥的母线l＝5则圆锥的侧面积S＝πrl＝15π故答案为：15π4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为4．解：根据题意，（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝C6r•x6﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•C6r••x6﹣3r，令6﹣3r＝0，可得r＝2，当r＝2时，T3＝（﹣1）2•C62•a＝15a，又由题意，可得15a＝60，则a＝4．故答案为：4．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有70种．解：分两种情况，1A2B，有C51C42＝30种，2A1B，有C52C41＝40种，共70种，故答案为：70．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．解：过点A作AE⊥PB于点E，连接CE、AC，由题可知，△PAB≌△PCB，∴CE⊥PB，∴∠AEC即为二面角A﹣PB﹣C的平面角．设底面ABCD的边长为a，则AC＝，∵PA＝PC，∠APC＝60°，∴△PAC为等边三角形，PA＝PC＝＝PB，在△PAB中，＝，由等面积法可知，，∴AE＝＝CE，在△ACE中，由余弦定理知，cos∠AEC＝＝．由题可知，二面角A﹣PB﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．故答案为：．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第34行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．解：∵二项式展开式第r+1项的系数为T r+1＝∁n r，∴第n行的第14个和第15个的二项式系数分别为∁n13与∁n14，∴＝，整理得＝，解得n＝34故答案为348．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．解：根据题意：画出如下图：△ABC中，线段AC所在的直线为水平面，AB＝d，当太阳光线与木棍垂直时，木棍在地面的影子最长为AC＝．故答案为：9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．解：如图，正方体ABCD﹣EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G﹣EHD的体积，并且＜正方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣＝，答案为（，）．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有①③．解：对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度不低于22℃；对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；当5个数据为19，20，27，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；对于③，丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．由此肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故答案为：①③．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．解：有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．7位评委依次揭晓票选结果，基本事件总数n＝27＝128，选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的情况有以下五种：∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先包含的基本事件个数m＝23+22+21+22+21＝20，∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率P＝＝＝．故答案为：．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要解：直线l∥平面α⇒直线l平行于平面α上的一条直线，反之不成立，可能l⊂α．∴“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的必要非充分条件．故选：B．13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+解：由题意，＝＝＝＝；故选：A．14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是α，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为S0，则由面积射影公式，得：P1＝S0÷cosα，P2＝S0÷cosα，P3＝S0÷cosα，∴P1＝P2＝P3．故选：D．15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14 B．15 C．16 D．17解：过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图所示，设球的半径R，实心小球的半径r，由题意可得，，∴R＝（3+2）r，∵小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，EF＝，周长为2πEF＝π（R+r），∴2rn≤π（R+r），即n＝＝2（1+）π≈15.16故该工艺品最多放15个小球．故选：B．三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：＝；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：＝；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为＝＝1.1925a．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．解：（1）∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，且A1E∩A1F＝A1，∴A1D⊥平面A1EF，则A1D的长为三棱锥D﹣A1EF的高．∵正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，∴A1E＝A1F＝1，则三棱锥A1﹣EFD的体积V＝；（2）取EF中点G，连A1G，DG，∵A1E＝A1F＝1，EA1F＝90°，∴A1G⊥EF且A1G＝．又由（1）知A1D⊥平面A1EF，∴A1D⊥EF，∵A1D∩A1G＝A1，∴EF⊥平面A1DG，∵EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面A1DG；在平面A1DG内，过A1作A1H⊥DG于H，得A1H⊥平面DEF，∴∠A1DG为A1D与平面DEF所成角．在直角三角形A1DG中，A1G＝，A1D＝2，∴tan A1DG＝．∴A1D与平面DEF所成角的大小为arctan．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．解：（1）∵不等式|f（x）|＜3 的解集为（﹣1，5），∴|f（﹣1）|＝3 且|f（5）|＝3，∴|﹣k+2|＝|5k+2|＝3，解得k＝﹣1，∴f（x）＝﹣x+2，∴不等式；等价于，解得x∈[1，2），即A＝[1，2）．（2）∵ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，∴（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]；当a＝2 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；当a＜0 时，（﹣ax+2）（x+1）≤0，即此时的一元二次函数开口向上，当﹣2＜a＜0 时，解集为；当a＝﹣2时，x∈{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式的解集为；当a＞0时，（ax﹣1）（x+1）＞0，此时一元二次函数开口向上，当0＜a＜2 时，不等式解集为；当a＞2时，不等式解集为．故综上所述，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1）；当a＞0时，不等式解集为；当a＝﹣2时，不等式解集为{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式解集为；当﹣2＜a＜0 时，不等式解集为．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？解：（1）以底面正六边形的中心O为坐标原点，以AD所在直线为x轴，以AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（，，0），D1（0，a，h），C（，，0），F1（，，h），，，设异面直线BD1和CF1所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴异面直线BD1和CF1所成角的大小为arccos；（2）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，求得，，，则，得CD1⊥D1F1，∴．，，设平面CD1F1的一个法向量为，由，取x＝，得．，∴B到平面CD1F1的距离d＝．∴四面体BCD1F1的体积为V＝＝；（3）正六棱柱的表面积S＝12+6ah＝．正六棱柱的体积V＝．又2h+a＝K，且a＞0，h＞0，∴＝＝．当且仅当2h＝，即a＝，h＝时上式等号成立．20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由题，（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．当n＝3时，（1+）3＝7+5＝a3+b3，∴a3＝7，b3＝5．∴a3+b3＝12．当n＝4时，（1+）4＝17+12＝a4+b4，∴a4＝17，b4＝12．∴a4+b4＝29．（2）证明1：由题，a n，b n为正整数．（1+）n＝a n+b n，①．∴（1﹣）n＝a n﹣b n，②．①×②，得：＝﹣2，∴﹣2＝（﹣1）n，∴|a n2﹣2b n2|＝1．证明2：由二项式定理可得：，所以，，所以＝＝＝，∴|a n2﹣2b n2|＝1．（3）由（2）知|a n2﹣2b n2|＝1，①当n为偶数时，，所以，显然b n会随着n的增大而增大，所以会随着n的增大而减少，并且会越来越接近于1，所以会无限趋近于，且比要大；②当n为奇数时，，，同理可以确定会随着n的增大而增大，会无限趋近于，且比要小；从而可以得出满足（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立的λ的值为．。

2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案

2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．【考点】点，线，面的位置关系．2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【答案】D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（） A ．π B ．3π C ．4π D ．4π-【答案】B【解析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.二、填空题5．复数23i +（i 是虚数单位）的模是__________．【答案】13【解析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】22232313i +=+=故答案为：13【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题.6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角7．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -， ∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭8．以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。

上海市交大附中2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷含详解

【详解】由解析式可知：当时，为周期函数且有增有减；
当时，单调递增；
所以不是上的严格增函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除ACD，
对于B：当时，值域是；
当时，的值域是；
故函数的值域为，故B正确，
故选：B
14.已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（）
A 0个B.1个C.2个D.3个
15.已知为定义在上的函数，则“存在，使得 ”是“ 既不是奇函数也不是偶函数”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
16.函数在上严格增，设，若，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
三､解答题（共5题，满分76分）.
故答案为： .
3.某学校模拟社区共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50名.为了了解成员的情况，需要采用分层抽样的方式抽取50名学生进行调查，那么需要在高三年级抽取___________名.
【答案】
【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意可知，需要在高三年级抽取名，
（3）已知函数，对任意，恒成立，若由“ 具有性质”能推出“ 恒等于 ”，求正整数的取值的集合.
交大附中高二期末数学试卷
2022.06
一､填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.

2020-2021年上海市交大附中高二下学期开学考试数学试题

2020-2021年上海市交大附中高二下学期开学考数学试题一、填空题 1.设()1224i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 .3.直线3445x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的斜率为__________.4.已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)n m n =-，若l α⊥，则m n +=5.已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为6.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(5,4,3)，则1D B 的坐标为7.已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是8.在四面体ABCD 中，5,6,7AB CD AC BD AD BC ======，则,AB CD 所成角的余弦值为__________.9.在空间中，已知一个正方体的12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α=10.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则△PBC 的面积的最小值为12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的是______（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a t y a t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）；（2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈.二、选择题13.12,z z 是复数，下列结论正确的是（）A ．若22120z z +>，则2212z z >-B ．()21212124z z z z z z -=+-⋅C ．22121200z z z z +=⇔== D ．2211z z =14.如图，在大小为45︒的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．32-15.定义：复数z 与i 的乘积i z 为复数z 的“旋转复数”，设复数i z x y =+（,x y ∈R ）对应的点(,)x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（） A. 220y xy x +-= B. 220y xy x -+= C. 220y xy x ++= D. 220y xy x --=16.如图，已知正四面体1234A A A A ，点5678910,,,,,A A A A A A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1,10i j ≤≤且i j ≠时，数量积4i jA Q A A ⋅的不同取值的个数是（B ）A ．3B ．5C ．9D ．21 三、解答题17.如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λ(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.18.已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0．（1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值．19.如图，AB 是圆柱的底面直径且2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角C PB A --的大小. （结果用反三角函数值表示）20.如图，在Rt SOA △中，6OSA π∠=，斜边4SA =，半圆H 的圆心H 在边OS 上，且与SA相切，现将Rt SOA △绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒．（1）求球H 的半径；（2）求点O 到平面SAB 的距离；（3）设P 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．21.已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b -=>>，设P 是双曲线Γ上任意一点，O 为坐标原点，F 为双曲线右焦点，12,A A 为双曲线的左右顶点.（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）已知：无论点P 在右支的何处，总有||||PO PF >，求ba 的取值范围；（3）若2,3a b ==动点Q 与双曲线的顶点不重合，直线1QA 和直线2QA 与直线1:l x =分别相交于点S 和T ，试问：以线段ST 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.参考答案一、填空题1. 22. 9π3.45-4. 16-5. 256. (4,3,2)-7. ()2,2- 8. 25139. 33 10. 8 11.552 12. （1）（3）（4）二、选择题13. D 14. D 15. C 16. B三、解答题17. （1）3π；（2）32=λ； 18. （1）12i ±；（2）0或819. （1）证明略；（2）6arcsin20. （1）233；（2）217d =；（3）422142211414⎢⎣⎦ 21. （1）23θπ=- ；（2） 03ba << （3）定点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭。

上海交通大学附属中学学高二下学期期末考试数学-7页文档资料

上海交通大学附属中学2019-2019学年度第二学期高二数学期末试卷（满分150分，120分钟完成。

答案一律写在答题纸上）命题：陈海兵审核：杨逸峰一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 如果复数=z 421ii -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。

2. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是（用数字作答）. 3. 顶点在原点，以x 轴为对称轴且经过点)3,2(-M 的抛物线的标准方程为____________．4. 双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是__________．5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。

则双曲线的方程为。

6.则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.7. 某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8. 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。

已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11. △ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。

上海交通大学附属中学高二下学期质量检测一数学试题

交大附中高二年级第二学期质量检测一2017.03.14一、填空题（1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1、直线032=-+y x 的倾斜角为_______2、增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-411211k k 的方程中，若解x 与y 相等，则k 的值为______ 3、抛物线x y 162=的焦点与双曲线19222=-y a x 的一个焦点重合，则双曲线的实轴长为____ 4、已知复数233)3(2)()1(i a i a i z --+=（i 为虚数单位），且32||=z ，则实数a 的值为______ 5、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=21cos log 21sin 2ααi z ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则____=α 6、若点),(y x P 在直线042=-+y x 上，则y x --+42的最小值是_____7、若1||=z ，则|1|i z -+的最大值为_______8、如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线AB 与CD 所成角的大小为______9、设函数⎩⎨⎧>+-≤<=51050)(ln x x x e x f x ，若方程k x f =)(（k 为常数）有三个不同的实数解c b a ,,，且c b a <<，则abc 的取值范围是_______10、在复数范围内写出求方程z z 22=的解集_______11、设),(n n n y x P 是直线))(1(23*N n x n y ∈-=+与椭圆13422=+y x 在第一象限的交点，则极限_____123lim =--∞→n n n x y 12、已知复数集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤≤≤=1|)Im(|2)Re(0z z z U ，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-≤≤≤=1|1|,|)Re(||)Re(|)Re()Re(0w w z w z z M ，则集合M C U 在复平面上表示区域的面积为________二、选择题（每小题5分，共20分）12、两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C 的公切线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14、如图，D C B A ,,,是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直15、设21,z z 均是复数，则下列命题中的真命题是（）A. “21z z >”是“021>-z z ”的必要不充分条件B. “121>z ”是“),1()1,(1+∞--∞∈ z ”的充分必要条件C. “02221=+z z ”是“021==z z ”的充分非必要条件D. “R z z ∈+21”是“21z z =”的既不充分也不必要条件 16、已知曲线Γ的参数方程为⎩⎨⎧++=-=)1ln(cot 23t t y t t t x ，其中参数R t ∈，则曲线Γ （） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性三、解答题（共5大题，共76分）17、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知关于t 的方程)(0342C z i zt t ∈=++-有实数根；（1）设)(,5R a ai z ∈+=，求a 的值；（2）求||z 的取值范围；18、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知数列}{n a 中，211=a ，点)2,(1n n a a n -+在直线x y =上，其中,...3,2,1=n ；（1）令11--=+n n n a a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项；19、（第1小题6分，第2小题8分，共14分）如图，空间四边形ABCD 中，H G F E CD AB ,,,,8==分别是线段DB AD CA BC ,,,的中点，6=FH ；（1）求证：直线EG 与直线FH 相互垂直；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；已知10,z z 均为复数，且00111z z z -+=，记10,z z 在复平面上对应的点分别为Q P ,；（1）若10z z =，求0z 的值；（2）若点P 在y 轴上运动，求点Q 的轨迹方程；（3）点P 在圆)0()1(:2221>=+-r r y x C 上运动，点Q 的轨迹记为曲线D ，求r 的值，使得圆C 与曲线D 只有一个公共点；设椭圆)0,(1:2222>=+Γb a by a x 过点)1,6(),2,2(N M ；（1）求椭圆Γ的方程；（2）21,F F 为椭圆的左、右焦点，直线l 过1F 与椭圆交于B A ,两点，求AB F 2∆面积的最大值；。

上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年交附高二下期末数学试卷一、填空题1.随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是______. 【答案】38【解析】【分析】由随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立，所以数字朝上恰好出现一次的概率为123113(1)228P C =⨯⨯-=. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用独立重复试验的概率计算公式进行求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.2.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使得点B 和D 的距离为1，则二面角B AC D --的大小为______. 【答案】2π【解析】【分析】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知BOD ∠即为所求，易证BOD ∆为等腰直角三角形，故2BOD π∠=，从而得解．【详解】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，而翻折之后的图形如图所示，BOD ∴∠为二面角B AC D --的平面角．OB OD ==1BD =， BOD ∴为等腰直角三角形，且2BOD π∠=，∴二面角B AC D --的大小为2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于基础题．3.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．【答案】15π 【解析】分析：由已知中圆锥底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，圆锥的母线长5l =，则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.4.若6x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则a ＝_____【答案】4 【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a 的值．【详解】∵62x x ⎛- ⎝⎭展开式的通项公式为T r+1＝66(r r r C x -=⋅⋅•x ﹣2r ＝r r 6(C ⋅•x 6﹣3r ，令6﹣3r ＝0，可得 r ＝2，∴展开式的常数项为226(C ⋅＝60，解得a ＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某校开设A 类选修课5门，B 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种【答案】70 【解析】【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数. 【详解】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：A 类2门，B 类1门，共有215440C C =种，或A 类1门，B 类2门，共有1254C C 30=，所以不同的选法共有403070+=种方法.故答案为：70【点睛】本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型.6.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为______.【答案】17- 【解析】【分析】设AB a ，则2AC a =，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥，所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在AEC 中，用余弦定理可求得结果.【详解】设AB a ，则2ACa =，因为60APC ∠=︒，所以2PA PC a ==，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥，如图：所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在PAB △中,222cos 42AB aPBA PB a∠===，所以2214sin 144PBA ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以在直角AEB △中，sin AE AB EBA =⋅∠144a =，同理144CE a =，在AEC 中，222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅222214142161614216a a a a +-=⨯17=-. 故答案为：17-.【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档题.7.在由二项式系数所构成的杨辉三角形，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3；【答案】34 【解析】依题意有1314C 2C 3nn =，()()!13!13!142!13314!14!n n n n n -==--，解得34n =. 【点睛】本题主要考查二项式系数与杨辉三角的对应关系，考查组合数的计算公式.二项式展开式的二项式系数为01C ,C ,,C n nnn，由于计数是从0开始的，故第14，与15项的比为1314C 2C 3nn =，在用阶乘表示组合数的计算公式，约分后解方程可求得n 对应的数值. 8.集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将iA 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______. 【答案】1980 【解析】【分析】根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可. 【详解】因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=，所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案：1980【点睛】本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题. 9.太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.【答案】sin dα【解析】【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d ACαθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=，因为α是不变量，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．10.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．【答案】15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法11.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．【答案】①③【解析】【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．12.有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______. 【答案】532【解析】【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率.【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭，若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.二、选择题13.空间中，“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”的（）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】B 【解析】【分析】由线面平行的判断定理和性质定理判断即可得出结论.【详解】由线面平行的判定定理可知,当直线l 在平面α内，l 平行于平面α上的一条直线，则不能得出结论“直线//l 平面α”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”不充分条件；由直线和平面平行性质定理可知,“直线//l 平面α”则经过直线l 的平面和平面α相交,那么直线l 和交线平行，所以能得出“直线l 平行于平面α上的一条直线”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”必要条件. 故选：B【点睛】本题考查直线和平面平行的判断定理和性质定理，考查理解辨析能力，属于基础题.14.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（）A.1122a b c ++ B. 1122a b c --+ C.1122a b c -+ D. 1122-++a b c 【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+ 11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =，则()112AA AB AD +-+ 1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.15.一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（）A. 321P P P >>B. 321P P P >=C. 321P P P =>D. 321P P P ==【答案】D 【解析】【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cos S P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，， ∴321P P P ==．故选:D ．【点睛】本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．16.如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（）个小球.A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B 【解析】【分析】圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R ，实心小球的半径为r ，由题意可得：22r r R R ++=，解得：(322)R r =+，因为小球球心在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，2EF =，周长为2EF π，所以22rn EF π≤，即()()22(322)22222215.16222r r R r EFn rr rπππππ⎡⎤+++⎣⎦≤====+≈. 故该工艺品最多可放入15个小球. 故选：B.【点睛】本题考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.三、解答题17.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A的估计值；（2）求续保人本年度平均保费的估计值.【答案】（1）1120；（2）1.1925a.【解析】【分析】（1）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求()P A的估计值；（2）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【详解】（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，()P A 的估计值为：1101120020=；（2）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.75202101.1925200a a a a a a x a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．属于基础题.18.如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是边AB 及BC 的中点，将AED 、BEF 及DCF 折起，使A 、B 、C 三点重合于1A 点.（1）求三棱锥1A EFD -的体积；（2）求1A D 与平面DEF 所成角的大小. 【答案】（1）13；（2）1arcsin 3.【解析】【分析】（1）首先证明1A D ⊥平面1A EF ，再求三棱锥的体积；（2）首先证明平面1A MD ⊥平面EFD ，再说明1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，并求角的大小. 【详解】（1）由条件可知11A E A D ⊥，11A F A D ⊥，且111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥平面1A EF ，1A EF 是等腰直角三角形，1111122A EFS∴=⨯⨯=, 1111111123323A EFD D A EFA EF V V S A D --∴==⨯⨯=⨯⨯=；（2）取EF 的中点M ，连结1A M ，DM ，11A E A F =，1A M EF ∴⊥，同理，DM EF ⊥，且1A MEF M =EF ∴⊥平面1A MD ,又EF ⊂平面1A MD ，∴平面1A MD ⊥平面EFD ，且平面1A MD 平面EFD MD =，∴1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，1A D ⊥平面1A EF ，11A D A M ∴⊥11222A M EF ==，()22221232522DM DE EF ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111sin 3A M A DM MD ∴∠==, 即11arcsin 3A DM ∠= ，1A D 与平面DEF 所成角为1arcsin 3.【点睛】本题考查垂直关系，几何体的体积，线面角，重点考查直观想象能力，计算能力，推理证明能力，属于基础题型.19.（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【答案】（1）[)1,2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩，解得12x ≤<， ∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-；当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a <-即20a -<<时，解得21x a≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-；当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．20.如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，底面边长AB a ，高1AA h =.（1）若a h =，求异面直线1BD 和1CF 所成角的大小；（2）计算四面体11BCD F 的体积（用,a h 来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a 和高h 满足：23h a k =（k 为定值），则当底面边长a 和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？【答案】（1）5；（223h ；（3）3a =，14h k =，取得最小.【解析】【分析】（1）延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH ，得111BCFGB C F H 是直四棱柱，证明1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面1BF C 法向量，求出1D 到平面1BF C 的距离，可得四面体11BCD F 的体积.（3）求出正六棱柱的表面积2633S ha a , 正六棱柱的体积233Va h ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.【详解】（1）补形如图：延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH 由正六边形性质知BCFG 是平行四边形，从而得111BCFG B C F H 是直四棱柱，则1//BC HF 且1=BC HF 所以四边形1BCF H 是平行四边形，所以1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小. 在三角形1BD H 中，由平面几何知识和余弦定理得：17D Ha ，5BH a ，12BD a ,22222211115cos 210252BH BD HD HBD BH BD a a15arccos10HBD（2）如图，建立分别以1,FB FE FF ，为,,x y z 轴的空间直角坐标系，则 (3,0,0)B a ，(3,,0)C a a ，133,)2a aD h ，1(0,0,)F h (0,,0)BCa ，1(3,0,)BF a h ，13(,,)2a aCD h 设平面1BF C 法向量为(,,)n x y z =100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ , 030ay ax hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3x ，则3az h，0y =3(3,0,)a n h所以1D 到平面1BF C的距离123330223a a a hn CD h dnh 又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ,22211BC BF F C122111322BF CSBC BF a a h 11122221113332239D BF CBF C V S d a a h h h （3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin606332S ha a ha a正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a又2h k = 22221()22416V hk h h h k kh Skkk所以当=4kh 时，VS 有最大值，也即S V取得最小值，此时=4k h ，6a k = 【点睛】本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题. 21.对任意*n N ∈，定义(1nn a b +=+n a ，n b 为正整数.（1）求33a b +，44a b +的值；（2）求证：2221n n a b -=；（3）设nn na cb =是否存在实数0λ>，使得()()10n n c c λλ+--<对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）12，29；（2）证明见解析；（3）存在，λ=【解析】【分析】（1）分别令3n =和4n =，将3(1+和4(1展开，求得3344,,,a b a b 的值，进而求得结果；（2）分别列出n a 和n b 的值，列出关系，得到222(1)nn n a b -=-，从而证得结果；（3）假设存在实数0λ>，满足条件，根据题意找关系，确定出nn na cb =的极限，求得结果. 【详解】（1）(31167+=++=+所以337,5a b ==，所以3312a b +=，(411624417+=+⨯+⨯=+，所以4417,12a b ==，4429a b +=；（2）12233(11(2)n nn n n n n C C C C =+⋅+++，所以224361222n n n n a C C C =++++，132522n n nn b C C C =+++，所以222()()n n n n n n a b a a -=224361325224361325[(1222)2(22)][(1222)2(22)]nn n n nn nnnn nnC C C C C C C C C C C C =++++++++⋅++++-+++12232[(1(2)]n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++2233[1(]nn n n n C C C C ⋅-⋅-⋅++-(1(1[(1(1)n n n n ==+=-，所以2221n n a b -=；（3）由（2）知，2221n n a b -=，设2221n n a b -=，== 可以发现132522n n n n b C C C =+++会随着n 的增大而增大，=n的增大而减小，并且会越来越接近与1，所以nnnacb=要大；当2221n na b-=-时，==同理可以确定nnnacb=会随着会随着n，从而可以得出满足()()1n nc cλλ+--<的λ.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的有关问题，涉及到的知识点有二项式定理和数列的综合题，在解题的过程中，注意极限的思想的应用，属于难题.。

上海市交大附中高二数学下学期摸底考试试题

上海市交大附中08-09学年高二下学期摸底考试（数学）（满分100分，90分钟完成，答案请写在答题纸上）命题：倪桓华审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分36分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1．计算：4 23 5-= ；2．计算n = ； 3．如果 1 213 43A ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则矩阵A = ；4．已知a ⊥b ，并且a ),3(x = ，b =（5，10），则 x = ；5．已知等差数列0，132-，-7，… 则13(2)2n -+是这个数列的第项；6．已知数列{a n }满足a 1=0，1n a +（n ∈Z +），则a 2009+a 2010= ；7．过点（1，1）的直线的一个方向向量为（-1，2），则该直线方程是； 8．若点(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是；9．按如图所示的程序框图运算．若输入8x =，则输出k = ；10．已知平面上直线l 的方向向量e =(45-，35)，点O (0，0)和A (1，-2)在l 上的射影分别是O ' 和A '，则''O A =λe ，其中λ= ；11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的坐标12变成1，等等）。

那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（n ≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为。

∙∙ ∙ 121 0二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号填在答题纸相应题序的空格内，选对得3分，否则一律得零分。

上海交大附中-度第二学期高二数学期终考试试卷必修三

上海交通大学附属中学2007-2008学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上一、填空题(3’*12=36’)1、化简224(1)ii ++=__________ 2、圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为_________3、若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为-80，则实数_______a =4、平面α外的两条直线a 、b ，且a∥α，则a∥b 是b∥α的______条件(填充分必要性)5、空间四边形ABCD ，P N M CD AB 、、,8==分别为BC AC BD 、、的中点，若异面直线CD AB 和成60︒的角，则MN = ．6、若3-2i 是实系数方程2x 2+bx+c=0的根，则b+c=_______7、若直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1有且只有一个公共点，则k 的值为______8、已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为_________9、命题：(1)、若a 、b 是异面直线，则一定存在平面α过a 且与b 平行；(2)、设a 、b 是异面直线，若直线c 、d 与a 、b 都分别相交，则c 、d 是异面直线；(3)、若平面α内有不共线的三点A 、B 、C 到平面β的距离都相等，则α∥β；(4)、分别位于两个不同平面α、β内的两条直线a 、b 一定是异面直线；(5)、直线a⊥α，b∥α，则a⊥b。

上述命题中，是假命题．．．的有____________。

（填上全部假命题的序号） 10、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 _________种.（以数字作答）11、已知(1-x+x 2)5=a 10x 10+a 9x 9+…+a 1x+a 0，则(a 1+a 3+a 5+a 7+a 9)2-(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)2=_________ 12、若动点P 到定点（0，-3）的距离比它到x 轴的距离多了3，则点P 的轨迹方程是___________二、选择题(4’*4=16’)（13、14题理科只需做标明（理）的，文科只需做标明（文）的，）13、（理）下列以t 为参数的参数方程中表示焦点在y 轴上的椭圆的是（）(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x (B)⎩⎨⎧==t t b y t a x cos sin 22cos （a ﹥b ﹥0） (C)⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin 2cos 21 (D)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t t x 221 （文）不等式组220001x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域形状是一个（）（A ）三角形；（B ）矩形；（C ）梯形；（D ）五边形.14、(理)在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-＝关于（）(A)直线3πθ=轴对称 (B)点），（32π中心对称 (C)直线65πθ=轴对称（D ）极点中心对称 (文)设变量x y ，满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为（）Ａ. 10 Ｂ. 12 Ｃ. 13Ｄ.14 15、若a ，b 是异面直线，则下列结论中不正确．．．的为（）(A)一定存在平面α与a 、b 都平行；(B)一定存在平面α与a 、b 都垂直； (C)一定存在平面α与a 、b 所成角都相等； (D)一定存在平面α与a 、b 的距离都相等。

上海市上海交大附中2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题

18．已知抛物线：上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点、，且，是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、，得到和，按此方法继续下去，解决下列问题：
①求证：；
6．
【分析】
根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为
【详解】
因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程的判别式小于零，即，
关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，因此有 .
二、解答题
13．在复数范围内分解因式： ________.
14．（1）设，且，求复数；
（2）已知，求 .
15．如图，、是焦点为的抛物线上的两个不同的点，且线段的中点的横坐标为3，直线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围.
16．如图所示，已知点，过点作直线、与圆：和抛物线：都相切.
3．⑤
【分析】
根据复数和实数的关系，根据复数模的定义，复数与共轭复数的关系逐一判断即可.
【详解】
①：当两个复数是实数时，可以比较大小，故本命题是假命题；
②：当是实数时，本命题才是真命题，当是虚数时，是假命题，因此本命题是假命题；
③：当时，成立，显然不成立，因此本命题是假命题；
④：当时，成立，但是不是纯虚数，因此本命题是假命题；
【点睛】
本题考查了复数模的性质，考查了互为共轭复数的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.

2023年上海交通大学附属中学高二下期中数学试卷及答案

上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.2.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为___________.3.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.5.函数2y =的最小值是______．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.8.设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9B.10C.11D.1215.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB ，求实数k 的值.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.【答案】{}2【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再解含绝对值符号的不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2680x x -+≤，得(2)(4)0x x --≤，解得24x ≤≤，即{|24}A x x =≤≤，解不等式|1|2x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，即{0,1,2}B =,所以{2}A B = .故答案为：{}22.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的数量投影为___________.【答案】35##0.6【解析】【分析】利用向量的数量积转化求解向量a ，b在方向上的数量投影即可．【详解】解：设向量a 与b 的夹角是θ，则向量a 在b方向上的数量投影为：3||cos 5||a b a b θ⋅==．故答案为：353.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件求解．【详解】因为12//l l ，所以2424m m ⎧-=-⎨≠⎩，解得2m =-．故答案为：2-4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.【答案】5【解析】【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可.【详解】由i 34i z =+可得()2i 34i 34i 43i i iz ++===-，所以43i z =+，5z ==，故答案为：55.函数2y =的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】将函数化为y =++，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【详解】解：函数22y ====++= ．当且仅当=0x =，取得等号．则函数的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.【答案】128π【解析】【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，所以侧面展开图的弧长为：810π16π5⨯=.设该圆锥的底面圆的半径为r ，所以2π16πr =，解得8r =，所以该圆锥的高6h ==，所以该圆锥的体积2211ππ86128π33V r h ==⨯⨯=.故答案为：128π.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.【答案】23130x y +-=【解析】【分析】作图分析可知，当原点到直线l 的距离最大时，OP l ⊥，求出l 的斜率，根据点斜式即可求出直线l 的方程.【详解】由题意知，OP l ⊥，32OP k =，所以直线l 的斜率23k =-，所以直线l 的方程为：()2323y x -=--，即23130x y +-=.故答案为：23130x y +-=.8.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.【解析】【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当a =与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.【详解】∵13πsin 2sin 2sin 223x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴方程的解即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的交点的横坐标，∵[]0,2πx ∈，∴ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π3z x =+，画出函数2sin y z =在π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，如下：由图象可知当且仅当a =.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.【答案】3【解析】【分析】根据二项分布的数学期望得p 的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得()D X 的最大值.【详解】随机变量()12,X B p ~，由()8E X ≤可得0128p <≤，所以203p <≤又()()211211232p p D X p p +-⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当12p =时，“”=成立，故()D X 的最大值为3.故答案为：3.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．【答案】38##0.375【解析】【分析】求出()P A B ，结合()()()()P A B P A P B P AB =+- 求出()P AB ，进而利用求条件概率公式求出答案.【详解】由题意可知()()710P C P A B =⋂=，则()()73111010P A B P A B ⋃=-⋂=-=．又()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()423115151010P AB P A P B P A B =+-⋃=+-=，则()()()13104815P AB P B A P A ===．故答案为：3811.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴12226461313cDE y =-=⨯=⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.【答案】5033【解析】【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB 点，则OA =OB =10米，作AOB ∠的角平分线OC ，过A 作AD ⊥OB ，垂足为D 点，交OC 于C 点，设机器人先在道路OA 上前进t 分钟到达P 点,此时2OP t =，AP=102t -，后进入危险区域，其能探测到达的点组成以P 为圆心，以()5t -为半径的圆弧 QR，由题意可知：1sin 2r OAD AP ==∠，即AD 与该圆弧相切，设切点为E ，故随P 点从O 移动到A ，机器人可探测的区域为OAD △，结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有OAD △与OBF ，即图中阴影部分，其面积为2OAC S ，易知OAC 为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：215032sin12023OA ⨯⨯⨯=.故答案为：5033【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外【答案】C 【解析】【分析】根据l 与O2r >，即可推出||r OP >，即可得答案.【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为222:O x y r +=22r =>，故r >，由于(2,3)P，则OP =||r OP >,则点(2,3)P 在O 内，故选：C ．14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9 B.10 C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得()ln105e 100t R t =，结合()20000R t >及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设0050(0)e 100(5)e 1000kR R R R ⎧==⎨==⎩，可得0100ln105R k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()ln105e100R t =，则ln105e10020000t >，故5ln 2005lg 2005(lg 22)11.50511ln10t ===⨯+≈>，所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D15.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③【答案】D 【解析】【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.【详解】对①，幂函数的图象都过(1,1)，偶函数的图象关于y 轴对称，∴图象不经过点(1,1)-的莫函数一定不是偶函数，故①正确；对②，若平面内的无数条直线互相平行，则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；对③，若有两个相邻的侧面是矩形，则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；对④，当7n a n =-时,满足数列{}n a 是递增数列，116S a ==-，2126511S a a =+=--=-，则12S S >，不满足数列{}n S 是递增数列，故④不正确；故选：D.16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点【答案】AD 【解析】【分析】联立方程可得2224420x cx c r -+-=，构建()222442f x x cx c r =-+-，根据二次函数讨论()f x 在[],c r c r -+上的零点分布，并结合对称性分析C 与Γ右支的交点个数.【详解】设双曲线方程为：2222c x y -=，联立方程()2222222c x y x c y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2224420x cx c r -+-=，由圆222:()C x c y r -+=可知：x 的取值范围为[],c r c r -+，构建()222442f x x cx c r =-+-，[],x c r c r ∈-+，则()f x 的对称轴2cx c c r =<<+，且()()()222222,20,2402c f c r r c c f r f c r r cr c ⎛⎫-=--=-<+=++>⎪⎝⎭，当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩即2122c c r ⎛-<≤ ⎝⎭时()f x 有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+，当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩即212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有一个零点0212x c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-≥⎪⎩即2012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 无零点.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-<⎪⎩即212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有两个零点()01,,x x c r c r ∈-+.当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-<⎪⎩即12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x有且只有两个零点()011,,2x c x c r c r ⎛⎫=+∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩即2122c r c ⎛⎫<<+ ⎪ ⎪⎝⎭时有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+.注意到当212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，C 与Γ的交点坐标为21,02c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当212r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，C 与Γ的交点坐标有21,02c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即会出现交点在对称轴上，结合C 与Γ的对称性可得：当012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ没有公共点，即C 与Γ的右支没有公共点；当212r c ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有且仅有一个公共点，即C 与Γ的右支有且仅有一个公共点；当221122c r c ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，使C 与Γ有两个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有三个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有四个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点.对A ：对于任意r ，存在c ，使得212r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点，A 正确；对B ：对于任意r ，存在c ，使得12r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，B 错误；对C ：存在c ，使对于任意r ，使得212r c ⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支没有公共点，C 错误；对D ：存在c ，使对于任意r ，使得12r c ⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，D 正确.故选：AD.三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）【答案】（1）m （2）264m 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出BAC ∠，然后利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出AD = ，然后利用两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由已知得1801054530BAC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，因为sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，即50sin30sin45AC︒︒=，所以AC =，所以,A C两点间的距离为m.【小问2详解】在DCA △中，因为90,tan ADDAC AC∠α==，所以tan75AD AC == ，又因为()tan75tan 4530=+31tan45tan30321tan45tan3033++==+-所以2AD =+=141.4122.45263.85264≈+=≈，答：楼高约为264m .18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB，求实数k 的值.【答案】（1）1k =±或k =（2）0k =【解析】【分析】（1）联立方程组，消元后得到()221220k xkx -+-=，分210k -=、210k -≠两种情况求解即可；（2）先由题意可得11k -<<，令直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，从而得到1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x .【小问1详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=①，当210k -=，即1k =±时，方程①有一解，l 与C 仅有一个交点（与渐近线平行时）.当()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩，得22,==k k l 与C 也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得k 的取值是1k =±或k =【小问2详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=，首先由()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，得k <<且1k ≠±，并且12122222,11--+==--k x x x x k k ，又因为l 与C 的左右两支分别交于A ､B 两点，所以120x x <，即22020,11k k-<->-，解得11k -<<，故11k -<<.因为直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，所以1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x ，故22121212222248,4811--⎛⎫⎛⎫-=∴+-=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭k x x x x x x k k .解得0k =或62k =±.因为11k -<<，所以0k =.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.【答案】（1）当0a =时，函数是偶函数，当0a ≠时，函数是非奇非偶函数；（2）当12a 时，min 3()4f x a =-；当1122a -<<时，2min ()1f x a =+；当12a 时，min 3()4f x a =+.【解析】【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．【详解】解：（1）当0a =时，函数2()()||1()f x x x f x -=-+-+=此时，()f x 为偶函数当0a ≠时，()21f a a =+，2()2||1f a a a -=++，()()f a f a ≠-，()()f a f a ≠--此时()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x a时，2213()1(24f x x x a x a =-++=-++当12a ，则函数()f x 在(-∞，]a 上单调递减，从而函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为()21f a a =+．若12a >，则函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为13(24f a =+，且1(()2f f a．②当x a时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+若12-a ，则函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为13()24f a -=-；若12a >-，则函数()f x 在[a ，)∞+上单调递增，从而函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为()21f a a =+．综上，当12-a 时，函数()f x 的最小值为34a -当1122a -< 时，函数()f x 的最小值为21a +当12a >时，函数()f x 的最小值为34a +．【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）2142x y =+；（3）10．【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知0OA OB ⋅=，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出t 的值，即可证得结论成立；（2）设线段AB 的中点为(),N x y ，可得出2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得出线段AB 的中点的轨迹方程；（3）利用平面向量的数量积推导出()222224MP MQMO PQ '+=+，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得22MP MQ +的最小值.【详解】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()22141606t m t m∆++==>，所以124y ym +=，124y y t =-，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，过定点()4,0；（2）21248x x m +=+ ，直线l 中点为圆心()224,2O m m +'，设线段AB 的中点为(),N x y ，可得2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 得228y x =-，因此，线段AB 的中点的轨迹方程为2142x y =+；（3）如下图所示，易知圆心O '为线段PQ 的中点，()()111222MO MP PO MP PQ MP MQ MP MQ MP ''=+=+=+-=+ ，所以，2MO MP MQ '=+ ，所以，()()222222422MO PQ MQ MP MQ MP MQ MP '+=++-=+ ，即()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当22m =±时，22MP MQ +的最小值为10．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证；（2）点的坐标代入椭圆方程，化简得1212346x x y y +=-，再由椭圆的参数方程化简可得cos()αβ-，再由重心可得3ABC AOB S S = 求证即可；（3）根据直线CD 、EG 的方程及点在椭圆上可得曲线系()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，可由方程根的关系得证.【小问1详解】设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，因为,A B 在椭圆上，所以222211221,14343x y x y +=+=，两式相减得：121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-，则31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM ､､的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，即123111k k k ++为定值.【小问2详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 因为ABC 的重心为O ，故1231230x x x y y y ++=++=又A B C ､､都在椭圆22143x y +=上，故()()222222121211221,1,1434343x x y y x y x y +++=+=+=化简得1212346x x y y +=-，设11222cos ,,2cos ,x y x y ααββ====，代入上式可得：2cos cos 2sin sin 1αβαβ+=-，即()1cos 2αβ-=-，()122139322ABC AOB S S x y x y αβ==-=-=△△，即ABC 的面积为定值92.【小问3详解】设直线CD 方程为：()11y k x =-，直线EG 的方程为：()21y k x =-，直线CD 与直线EG 上所有点对应的曲线方程为：()()11220y k x k y k x k -+-+=，又C D E G ､､､都在椭圆上，则同时过C D E G ､､､的二次曲线系可设为：()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，得213034y λ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，易知该方程的两根分别为,M N y y ，由韦达定理可知，0M N y y +=，则FM FN =.【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得1212346x x y y +=-，利用椭圆的参数方程，结合重心的性质找出3ABC AOB S S = ，并且能应用三角函数求出AOB S 的大小，是研究三角形面积为定值的关键，本题困难，不易解答.。

上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．关于x 的不等式201x x -≤-的解集是________. 2．已知11()f x x x a=+-，(1)y f x =+是奇函数，则实数a 的值是________.3．已知某社区的家庭年收入（单位：万元）的频率分布直方图如图所示，同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则该社区内家庭的平均年收入的估计值是________万元.4．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.5．2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为2(lg 11.4)3R E =-，那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的________倍.（精确到0.1） 6．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__（精确到0.001）． 7．设11()22x x f x ---=-，当R x ∈时，2(2)(2)0f x mx f ++>恒成立，则实数m 的取值范围是________.8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________.9．设集合{1234}I =，，，，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有________种（用数字作答）10．A 、B 、C 、D 是海上的4个岛屿，任意两个岛屿之间都有条件用一条海底光缆相连，一条光缆只能连接两个岛屿，为了节省开支，现决定拉3条光缆，使这4个岛屿形成用光缆连接的连通网络，则不同的拉光缆方案共有________种（用数字作答） 11．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的a D ∈，存在唯一的b D ∈，使得()()4f a f b +=，则称()f x 在D 上的“特征”为4，给出下列函数：（1）()ln f x x =，51[,]x e e∈；（2）2()1f x x =-，[1x ∈-；（3）()1xf x x =-，1x <；（4）2()x f x x e =⋅，其中“特征”为4的函数的序号是________.12．对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）二、单选题13．若a 、b 为实数，则“1ab >”是“1b a”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（）种. A ．333963C C CB ．3339633C C CC ．3339636C C CD ．3339636C C C15．设()|22|x f x =-，,R a b +∈，且ab ，则下列关系式中不可能成立的是（）A ．>2()>()2a b abf f f a b ++ B ．2()(2>)>ab a bf f f a b ++C ．2()>()2ab a bf f f a b +>+ D ．>2()()>2ab a bf f f a b ++ 16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，谁先赢满3局谁胜，已知甲方每一局赢的概率都是12，则甲最终以3：1获胜的概率是（） A ．13B ．14C ．316D ．320三、解答题17．如图所示，已知长方体1111ABCD A BC D -中，3AB BC ==，点G 是1ACB 的重心，1D G ⊥面1ACB .（1）求1D G 的长；（2）求AB 与平面1ACB 所成角的大小.18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ，假定函数()ax b f x e c +=+，e 是自然对数的底，a 、b 、c 为实数，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域为(0,1].（1）求a 、b 、c 的值；（2）现有(0)t t >单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由. 19．已知2021()(52)f x x =+.（1）证明(f f +是整数，并求f 的整数部分的个位数；（2）将()f x 按照x 的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数.20．对于给定的函数()y f x =，记{()}A x f x x ==，{(())}B x f f x x ==.（1）若()f x =，用列举法表示集合A 、B ；（2）若()f x 在其定义域上是增函数，求证：A B =；（3）若()f x ()y f x =的反函数为1()y f x -=，若关于x 的方程1()()f x a f x a --=+有实数解，求实数a 的取值范围.21．在平面直角坐标系中，两点11(,)P x y 、22(,)Q x y 的“曼哈顿距离”定义为1212x x y y -+-，记为PQ ，如点(1,2)P --、(24)Q ，的“曼哈顿距离”为9，记为9PQ =.（1）点(1,2)P --，Γ是满足1PQ ≤的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积；（2）动点P 在直线22y x =-上，动点Q 在函数2yx 图像上，求PQ 的最小值；（3）动点Q 在函数2([3,3])y x x =∈-的图像上，点()P a b ，，PQ 的最大值记为(,)M a b ，请选择下列二问中的一问，做出解答：①求证：不存在实数a 、b ，使()5,M a b =； ②求(,)M a b 的最小值.参考答案1．(]1,2 【分析】根据分式不等式的解法，转化为不等式组，即可得不等式的解集，得到答案. 【详解】由不等式201x x -≤-等价于2010x x -≤⎧⎨->⎩或2010x x -≥⎧⎨-<⎩，解得12x <≤，即不等式201x x -≤-的解集为(]1,2. 故答案为(]1,2. 2．2 【分析】求出函数(1)f x +的解析式，再利用奇函数定义域关于原点对称可求参数，进而检验即可得解. 【详解】依题意，11(1)11f x x x a +=+++-，由1010x x a +≠⎧⎨+-≠⎩得11x x a ≠-⎧⎨≠-⎩，函数(1)f x +定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x a ≠-，要(1)y f x =+为奇函数，必有1(1)0a -+-=，即2a =，而2a =时11()11g x x x =++-，1111()()()1111g x g x x x x x -=+=-+=--+--+-，函数()g x 是奇函数，即(1)f x +是奇函数，所以实数a 的值是2. 故答案为：2 3．6.5 【分析】根据频率分布直方图的平均的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得该社区内年收入的平均值为：4.50.205.50.206.50.207.50.268.50.079.50.07 6.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.即该社区内家庭的平均年收入的估计值是6.5万元. 故答案为：6.5. 4．10[2,]3【分析】由给定条件求出(21)f x +的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数()y f x =的值域是1[,3]2，从而得函数(21)t f x =+值域为1[,3]2，函数()F x 变为1y t t =+，1[,3]2t ∈，由对勾函数的性质知1y t t =+在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t =时，min 2y =，而12t =时，52y =，3t =时，103y =，即max 103y =，所以原函数值域是10[2,]3. 故答案为：10[2,]35．1412.5 【分析】把给定的两个震级分别代入公式，列出各自释放的能量表达式，两者相比计算即得. 【详解】由2(lg 11.4)3R E =-得311.4210R E +=，于是得里氏6.8级地震释放的能量36.8.1114210E ⨯+=，得里氏8.9级地震释放的能量38.9.2114210E ⨯+=，从而有38.911.423 6.811.42 3.1521101412.05101E E ⨯+⨯+==≈，所以里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的1412.5倍. 故答案为：1412.56．0.996．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数1210，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有1012A 种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数1210，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有1012A 种结果， ∴要求的事件的概率是110121012A -≈0.996．故答案为0.996．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．7．( 【分析】根据题意把不等式2(2)(2)0f x mx f ++>转化为即2(2)(2)f x mx f +>-，结合函数的单调性和奇偶性，得到2220x mx ++>在x ∈R 上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数11111(22)[2(()2)]2222x x x x x x f x ----==⋅-=--，根据指数函数的图象与性质，可得函数()f x 是x ∈R 上的单调递增函数，且满足1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为2(2)(2)0f x mx f ++>，即2(2)(2)(2)f x mx f f +>-=-，可得222x mx +>-恒成立，即2220x mx ++>在x ∈R 上恒成立，则满足2(2)420m -⨯<，即248m <，解得m <，所以实数m 的取值范围是(.故答案为：(. 8．10 【分析】根据三视图还原几何体，再由三视图中所给数据即可作答. 【详解】三视图还原成的四棱锥P ABCD -，如图所示，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，90ABC ∠=，AD =4，BC =1，AB =4，P A =PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的高为3，梯形ABCD 的面积为1()102S AD BC AB =⋅+⋅=，所以该四棱锥的体积为13103V S =⋅=. 故答案为：10 9．17 【分析】按集合A 中最大元素分情况讨论，求出每种情况下的方法数，再由分类加法计数原理即可得解. 【详解】A 中最大数是1，则集合{234}，，的任一非空子集均可为集合B ，这样的集合B 有3217-=个，A 中最大数是2，则集合{3}4，的任一非空子集均可为集合B ，这样的集合B 有2213-=个，而集合A 有{2},{1,2}两个，共有236⋅=种，A 中最大数是3，则符合条件的集合B 只能是{4}，此时集合A 有{3},{2,3},{1,3},{1,2,3}四个，从而共有4种，所以由分类加法计数原理得不同的选择方法共有7+6+4=17种. 故答案为：17 10．16 【分析】先计算出“任意两个岛屿之间一条光缆相连”需要修建光缆的数目，从所得光缆条数中任取3条并去掉3条不能连通4个岛屿的数即可得解. 【详解】4个岛屿，任意两个岛屿之间一条光缆相连，需要246C =条海底光缆，从6条光缆中任取3条有3620C =个不同方案，其中3条不能连通4个岛屿的有4个不同方案，3条能连通4个岛屿的有20-4=16，所以拉3条光缆，使这4个岛屿形成用光缆连接的连通网络，则不同的拉光缆方案共有16种.故答案为：16 11．（1）【分析】根据给定条件对4个函数逐一分析判断即可作答. 【详解】对于(1)，51[,]a e e ∀∈，1ln 5a -≤≤，则()4()[1,4]f b f a =-∈-，51b e e≤≤，而()f x 在51[,]e e 单调，即()f x 在51[,]e e上的“特征”为4，(1)符合；对于(2)，因(1)(1)4f f f f +=+-=，即[1a =-，存在1b =或1b =-使得()()4f a f b +=成立，即b 值不唯一，(2)不符合；对于(3)，1x <时，(1)11()1111x f x x x -+==+<--，即,(,1),()()2a b f a f b ∀∈-∞+<，(3)不符合；对于(4)，显然2(0)x f x x e =⋅≥恒成立，22(2)()4()44f f b e f b e +=+≥>，即2a =时使等式成立的b 值不存在，(4)不符合，所以“特征”为4的函数的序号是(1) 故答案为：(1) 12．（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答. 【详解】对于(1)，因S T ⊆，x S ∈时，x T ∈，()()1S T f x f x ==，x S ∉时，()0S f x =，而()0T f x =或()1T f x =，则()()S T f x f x ≤，(1)正确；对于(2)，x S ∈时，Xx S ∉，则()1,()0X S S f x f x ==，x S ∉时，X x S ∈，即()0,()1X S S f x f x ==，()()1X S S f x f x +=，从而有()1()X S S f x f x =-，(2)正确；对于(3)，x ST ∈，则,x S x T ∈∈，()1,()1,()1S T S T f x f x f x ===，即()()()S T S T f x f x f x =⋅，x S T ∉⋂，则()0S T f x =，此时x S ∉与x T ∉至少有一个成立，即()0S f x =与()0T f x =中至少一个成立，从而()()()S TS T f x f x f x =⋅成立，综上知(3)正确；对于(4)，x S T ∈⋃时，()1ST f x =，若,x S x T ∈∈，则()1,()1S T f x f x ==，()()13[][]122S T f x f x ++==，若,x S x T ∈∉，则()1,()0S T f x f x ==，()()1[]12S T f x f x ++=，若,x S x T ∉∈，同理可得()()1[]12S T f x f x ++=，若x S T ∉⋃，则,x S x T ∉∉，()()()0S T S T f x f x f x ===，()()11[][]022S T f x f x ++==，综上得()()1()[]2S ST T f x f x f x ++=，(4)正确.故答案为：（1）（2）（3）（4） 13．D 【分析】利用推理判断或举特例说明命题“若1ab >，则1b a ”和“若1b a，则1ab >”的真假即可作答. 【详解】若1ab >成立，取1,2a b =-=-，而121-<-，即命题“若1ab >，则1b a”是假命题，若1ba成立，取1,2a b =-=，而(1)20-⋅<，即命题“若1b a，则1ab >”是假命题，所以“1ab >”是“1b a”的既不充分也不必要条件. 故选：D 14．A 【分析】依次分析3个路口的分配方法数，再由分步计数乘法原理列式即得. 【详解】从9个人中任取3人去第一个路口，有39C 种方法，再从余下的6人中任取3人去第二个路口，有36C 种方法，最后3人去第三个路口，有33C 种方法，由分步计数乘法原理得不同的分派方案共有333963C C C 种. 故选：A 15．D 【分析】由条件,R a b +∈，且a b 分析出22a b aba b++的大小关系，再讨论函数()f x 的单调性即可逐一判断作答【详解】因,R a b +∈，且ab ，则有2a b+>22ab a b a b <⇔<++22a b aba b+>>+，函数22,1()22,1x x x f x x ⎧-<=⎨-≥⎩，则()f x 在(0,1]上递减，在[1,)+∞上递增，当21ab a b≥+时，有>2()>()2a b abf f f a b ++成立，A 选项可能成立；当012a b +<≤时，有2()>()2ab a bf f f a b +>+成立，C 选项可能成立；由0221x <-<知21log 3x <<，即2a b+取2(1,log 3)某个数，存在201ab a b<<<+，使得2()(2>)>ab a bf f f a b ++成立，如图，即B 选项可能成立；对于D ，由2()>ab f f a b +1>，由>()2a bf f +成立知，必有1<，即出现矛盾，D 选项不可能成立，所以不可能成立的是D. 故选：D 16．C 【分析】甲以3:1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，根据相互独立事件的概率公式求出甲以3:1获胜的概率．【详解】解：由题意每局甲赢的概率是12，则甲输的概率为11122-=，甲以3:1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以3:1获胜的概率是：2136111123122P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．17．（1）（2【分析】(1)连接B 1G 并延长交AC 于点O ，在矩形BDD 1B 1中利用111cos cos BOB D BO ∠=∠求得BB 1长即可得解；(2)利用(1)的结论证得BG ⊥平面AB 1C 即可得解. 【详解】(1)在长方体1111ABCD A BC D -中，连接B 1G 并延长交AC 于点O ，因点G 是1ACB 重心，则点O 是正方形ABCD 的中心，如图：连BD ，B 1D 1，因3AB BC ==，则122BO BD ==，设BB 1=a ，则1B O =，1123B G B O ==，因1D G ⊥面1ACB ，1B O ⊂面1ACB ，则11DG BO ⊥，在矩形BDD 1B 1中，于是有111cos cos BOB D BO ∠=∠，即1111B G BO B O B D =，221112132B O B D =，22291()322a +=，解得3a =，由此得1BG =，1D G ==所以1DG = (2)由(1)知长方体1111ABCD A BC D -是正方体，则三棱锥1B ACB -为正三棱锥，而点G 是1ACB 重心，连BG ，于是得BG ⊥平面1ACB ，连AG ，则AG 是AB 在平面1ACB 内的射影，即BAG ∠ 是AB 与平面1ACB 所成角，因1D G ⊥面1ACB ，从而得B ，G ，D 1三点共线，而1BD =由(1)知BG ，Rt ABG中，sin 3BG BAG AB ∠==，所以AB 与平面1ACB18．（1）ln 2a =-，0b =，0c ；（2）两种方案残留农药量一样多，理由见解析.【分析】（1）由题设有(0)11(1)2f f =⎧⎪⎨=⎪⎩且lim ()0x f x →+∞=，即可求a 、b 、c 的值；（2）根据题意，设未清洗前的农药量为1，分别写出两种清洗方式的最终残留农药量的表达式，即可比较它们残留农药的多少关系. 【详解】（1）由题意知：(0)11(1)2b a bf e c f e c +⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩且lim ()0x f x →+∞=， ∴y ax b =+单调递减且0c，由上，12ae =，故ln 20a =-<符合题意，则0b =，∴ln 2a =-，0b c ==.（2）由（1）知：设未清洗前的农药量为1，1、(0)t t >单位量的水清洗1次，残留农药量为ln2()t f x e -=，2、把水平均分成2份后清洗2次，则第1次残留农药量为ln 22()2t tf e -=，第2次残留农药量为ln 2ln 22ln 222()2t t t t f e e e ---=⋅=， ∴由上知：两种方案残留农药量一样多.19．（1）证明见解析，9；（2）最大项是第578项，最小项是第2022项. 【分析】(1)把f 和(f 按二项式定理展开，分析它们的同次幂的奇次项和偶次项，再讨论(f 的范围即可作答；(2)分析()f x 按x 的升幂展开的第r +1项和第r +2项系数的比与1的关系即可作答. 【详解】(1)2021()(52)f x x =+按x 的升幂展开的第r +1项是：202120211202120215(2)5(2),,2021r r r r r r r T C x C x r N r --+=⋅⋅=⋅∈≤，r为偶数，f 和(f 展开式中该项值都为正且相等，r 为奇数，f 和(f 展开式中该项值互为相反数，于是101010102202122220212202120210(2[5]2(524)nnnnn n n n f f CC --==+=⋅⋅=⋅⋅∑∑，而,1010n N n ∈≤，对于每一个n 值，2202122021524n nn C -⋅⋅都是正整数，即(f f +是整数，显然对于每一个n 值，2202122021524nnn C -⋅⋅都有因数5，即(f f +个位数字为0，而5(0,1)-，则0(1f <<，从而得f 的整数部分的个位数是9，所以(f f +是整数，且f 的整数部分的个位数是9；(2)令()f x 按x 的升幂展开的第r +1项的系数为20211202125r r rr a C -+=⋅⋅，,2021r N r ∈≤，显然10r a +>恒成立，从而得120201202122021120212021!25222021(1)!(2020)!2021!25551!(2021)!r r r r r r r r C a r r r a C r r r +-++-+⋅⋅-+⋅-==⋅=⋅⋅⋅+⋅-，由22021151rr -⋅>+得576r ≤，即576r ≤时211r r a a ++>，123577578a a a a a <<<<<，577r ≥时211r r a a ++<，57857958020212022a a a a a >>>><，而202120211202252a a =>=，所以展开式中系数最大是第578项，最小的项的项数是第2022项.20．（1）{2A =-，{1,3,2B =-；（2）证明见解析；（3）7[,)4+∞. 【分析】（1）根据题意和函数()f x（2）任取1x A ∈，由()111(())f f x f x x ==，得到1x B ∈，得出A B ⊆；任取2x B ∈，得到22(())f f x x =，利用反证法的思想，证得22()f x x =，得到2x A ∈，得出B A ⊆，即可证得A B =；（3）由1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，得到(())g g x x =，根据()g x 的解析式得到函数()g x 单调递增函数，根据（1）转化为()g x x =x =有实数解，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由()f x =x =，即24130x x +-=，解得2x =-{2A =-，又由(())f f x f x ==x =，整理得2(413)(1)(3)0x x x x +---=，解得2x =-1x =或3x =，即集合{1,3,2B =-.（2）任取1x A ∈，可得()11f x x =，则()111(())f f x f x x ==，所以1x B ∈，可得A B ⊆.任取2x B ∈，则22(())f f x x =，下面证明：22()f x x =，若22()f x x >，则()222(())f f x f x x >>；若11()f x x <，则()222(())f f x f x x <<，这与22(())f f x x =矛盾，所以22()f x x =，即2x A ∈，所以B A ⊆，综上可得A B =.（3）由1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，令()()g x f x a =+，即函数()y g x =的反函数为()1y g x -=，则()11()()()(())fx a f x a g x g x g g x x ---=+⇔=⇔=，因为()g x =在定义域上为单调递增函数，由（2）值(())g g x x =，可得()g x x =，x =有实数解，即22x a x +-=在[0,)+∞有实数解，可得22172()24a x x x =-+=-+在[0,)+∞有实数解，所以74a ≥，即实数a 的取值范围7[,)4+∞.21．（1）2；（2）12；（3）①证明见解析；②498. 【分析】(1)利用“曼哈顿距离”的定义，列出不等式并探求出它表示的平面区域即可得解；(2)设出动点21122(,22),(,)P x x Q x x -，利用“曼哈顿距离”的定义列出二元函数，将它视为以2x 为参数，1x 为自变量的函数即可作答；(3)选择①，取特值借助反证法探求出矛盾即可作答；选择②，先取特值确定出最小值，再验证有实数a 、b ，即可作答. 【详解】(1)设点(,)Q x y ，由1PQ ≤得：|1||2|1x y +++≤，因曲线||||1x y +=是原点为中心，顺次连接四点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形，将其左移1个单位，下移2个单位即得曲线|1||2|1x y +++=，于是得点集Γ所占区域是四点(0,2),(1,1),(2,2),(1,3)-------为顶点的正方形及内部，面积为2；(2)设21122(,22),(,)P x x Q x x -，则2121222PQ x x x x =-+--，将PQ 看成关于1x 的函数，则PQ 在12x x =或212112x x =+时取得最小值，即222222min1min{|1|,|22|}2PQx x x x =-+-+，而2222211111(1)2222x x x -+=-+≥，当且仅当21x =时取“=”，2222222(1)11x x x -+=-+≥，当且仅当21x =时取“=”，所以当123,12x x ==时，PQ 取得最小值12；(3)设点2(,)Q x x ，则2PQ a x b x =-+-，选择①，假定存在实数a 、b ，使()5,M a b =，则25PQ a x b x =-+-≤对任意的[3,3]x ∈-成立，取0x =有a b m +≤，取3x =有39a b m -+-≤，于是得2|||||3||9|(|||3|)(|||9|)12m a b a b a a b b ≥++-+-=+-++-≥，当且仅当03,09a b ≤≤≤≤时取“=”，而5m ≤，即有1012≥与1210≥矛盾，于是得假设是错的，所以不存在实数a 、b ，使()5,M a b =；选择②，若存在实数a 、b ，使(),M a b t =，则2PQ a x b x t =-+-≤对任意的[3,3]x ∈-成立，取12x =-有11||||24a b t ++-≤，取3x =有39a b t -+-≤，则11112|||||3||9|(|||3|)(|||9|)2424t a b a b a a b b ≥++-+-+-=++-+-+-73549244≥+=，498t ≥，取470,8a b ==，247||||8PQ x x =+-是[3,3]-偶函数， [0,3]x ∈，若2478x ≤，24714949()8288PQ x x x =+-=--+≤，若24798x ≤≤，2474988PQ x x =+-≤，当且仅当3x =时取“=”，所以存在实数a 、b 且470,8a b ==，(,)M a b 的最小值为498.。

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数学（满分100分，90分钟完成，答案请写在答题纸上）命题：倪桓华审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分36分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1．计算：4 23 5-= ；2．计算n = ；3．如果 1 213 43A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则矩阵A = ；4．已知a ⊥b ，并且a ),3(x = ，b =（5，10），则 x = ；5．已知等差数列0，132-，-7，… 则13(2)2n -+是这个数列的第项；6．已知数列{a n }满足a 1=0，1n a +（n ∈Z +），则a 2009+a 2010= ；7．过点（1，1）的直线的一个方向向量为（-1，2），则该直线方程是； 8．若点(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是；9．按如图所示的程序框图运算．若输入8x =，则输出k = ；10．已知平面上直线l 的方向向量e =(45-，35)，点O (0，0)和A (1，-2)在l 上的射影分别是O ' 和A '，则''O A =λe ，其中λ= ； /11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的坐标12变成1，等等）。

∙ ∙ ∙121 0二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号填在答题纸相应题序的空格内，选对得3分，否则一律得零分。

12．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元／斤，食用油的价格是15元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（）(A)201510 1.9； (B) 20 1.91015； (C)()1.9201015⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) ()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. 13．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（） (A) 相交； (B) 相离； (C) 外切；(D) 内切14．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = （） (A) 2 ； (B) 4 ； (C) 6 ； (D) 815．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足=31 (21+OB 21+2)，则点P 一定为三角形ABC 的（） (A) AB 边中线的中点； (B) 重心； (C) AB 边中线的三等分点（非重心）； (D) AB 边的中点三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

16．（本题满分8分）已知向量2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，p 是实数．若存在唯一实数x ，使a b +与(1,2)c =平行，试求p 的值。

17．（本题满分8分）已知点F (2 ,0) ，点P 在y 轴上运动，过P 作PM ⊥PF 交x 轴于点M ，在线段MP 的延长线上取点N ，使PN PM =。

（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）直线2y x =-与轨迹C 交于点A ，B ，求ABO ∆的面积（O 为坐标原点）。

18．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知a a =1 (3≠a )，n n n S S 321+=+，*∈N n . （1）设n n n S b 3-=，*∈N n ，证明数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为单调递增数列，求a 的取值范围。

19．（本题满分12分）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A 由全体二元有序实数对组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素),,(b a =α),(d c =β，规定：α⊙β)(　， bc ad d b c a -=．（1）计算：)3,2(⊙)4,1(-；（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；（3）A 中是否存在唯一确定的元素I 满足：对于任意A ∈α，都有α⊙=I I ⊙αα=成立，若存在，请求出元素I ；若不存在，请说明理由；20．（本题满分12分）函数()f x 是这样定义的：对于任意整数m ，当实数x 满足不等式12x m -<时，有()f x m =．（1）求函数()f x 的定义域D ，并画出它在[]0,4x D∈上的图像；（2）若数列22105nn a ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，记()()()()123n n S f a f a f a f a =++++，求n S ；（3）若等比数列{}n b 的首项是11b =，公比为q (q >0)，又()()()1234f b f b f b ++=，求公比q 的取值范围．2高二摸底试卷一、1．262．23．1 0⎛⎫ ⎪⎝⎭4．-1.5 5．n+3 6．07．2x+y-3=08．（-1，1） 9． 4 10．；-2 11．14，34；2n i，i 为[1,2n ]中的所有奇数二、12．（ D ） 13．（ A ） 14．（B ） 15．（ C ）三、16．（本题满分8分）解： 2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，∴2(4,2)a b x x p +=+++,又a b +与(1,2)c =平行，∴22(4)2x x p +=++，即2260x x p --+=，由题意知方程2260x x p --+=有两个相等的实根，∴18(6)0p ∆=--=，∴478p =．17．（本题满分8分）解：（1）设N 点坐标为),(y x ，则M 、P 两点的坐标为(,0),(0,)2y x -因为PM ⊥PF ，所以0=⋅，所以28y x =(x >0) （2）228y x y x=-⎧⎨=⎩28160y y ⇒--=，16AB ∴，而点O 到直线2y x =-的距离dABO S ∆=18．（本题满分12分）解：（1）1113n n n S b +++=+，依题意，1132(3)3n n n n n b b +++=++12n n b b +⇒=且11330b S a =-=-≠，所以，数列{}n b 为公比为2的等比数列。

（2）()132,*n n b a n N -=-∈⇒()1332,*n n n S a n N -=+-∈ 于是，当2n ≥时，()1212332n n n n n a S S a ---=-=⨯+-12(1)23(3)2 (2,)n n n a n a a n n N --=⎧∴=⎨⨯+-≥∈⎩（3）{}n a 单调递增1n n a a +⇒>对所有正整数n 均成立。

首先，213a a a =+> 当2n ≥时，2133122n n n a a a -+⎛⎫>⇔>-⋅ ⎪⎝⎭23()3122n f n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭在2n ≥且n ∈N 上递减，∴max ()(2)9f n f ==- 综上，所求的a 的取值范围是(9,3)(3,)-+∞19．（本题满分12分）解：（1）)3,2(⊙)14,5()4,1(=-（2）设A 中的任意三个元素),,(b a =α),(d c =β，),(f e =γ 交换律：α⊙=-+=),(ac bd bc ad ββ⊙α结合律：（α⊙β）⊙=----++=),(bce ade acf bdf ace bde bcf adf γα⊙（β⊙γ）（3）假设存在),(y x I =，),,(b a =α则I ⊙αα=，即),(y x ⊙=),(b a ),(b a )(　， ya xb b y a x -⇔),,(b a =则bx ay aax by b+=⎧⎨-+=⎩对任意实数a 、b 恒成立22[(1)]0ab x y ⇒+-=⇒1,0==y x 所以，存在)1,0(=I 满足：对于任意A ∈α，都有α⊙=I I ⊙αα=成立20．（本题满分12分）解：(1）函数()f x 的定义域是1,,2D x x m m Z x R ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭，图像如图所示；（2）由于22105n n a ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，所以()61423324n n n f a n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪≥⎩，因此61102273n n S n n n =⎧⎪==⎨⎪+≥⎩；（3）由()()()1234f b f b f b ++=得()()23f q f q +=，当01q <≤时，则21q q ≤≤，所以()()()21f q f q f ≤≤，因为()11f =，所以不合题意；当1q >时，则21q q >>，即()()21f qf q ≥≥，所以只可能是()()212f q f q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20.5 1.51.5 2.5q q <<⎧⎨<<⎩32q <.。