3第四章 抽样分布

χ2分布的α上侧分位数（右尾概率）。
χ2分布是不对称的
表中表头的概率α 是χ 2大于表内所列χ 2值的概率。 P（χ
df = 2
2 2 2
≧ 5.99）＝0.05 ≧ 9.21）＝0.01 ≧ 0.10）＝0.95
P（χ P （χ
六、 F 分布 样本方差比的分布
设从一正态总体N(μ, σ2) 中随机抽取样本容量为 n1、n2的两个独立样本，其样本方差为s12、 s22， 则定义其比值：
第四章：统计数的分布——抽样分布
从总体中抽取的样本提供的信息仅是总体的一部分，它不能 提供完全准确的信息，必然存在着一定的误差。 对于样本容量相同的多次随机抽样样本，其统计量是变异的， 且其取值有一定的概率，即样本统计量也是一个随机变量，此 分布规律称为抽样分布(sampling distribution)。
2 s1 F 2 s2
此Ｆ值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度 df2=n2-1。
六、 F 分布
df1 df1 df2 1 ( ) df1 df 2 2 F 2 2 2 f (F ) df1 df2 df1 df 2 df1 df2 ( ) ( ) (df1 F df2 ) 2 2 2
其样本平均数x是一具有平均数 μ,方差σ2/n的
正态分布，记作N(μ，σ2/n)。
x N ( , )
2
x N ( ,

2
n
)
中心极限定理 (central limit theorem)
（4）如果被抽总体不是正态分布总体，但具有平均数 μ和方差σ2 ，当随样本容量n的不断增大，样本平均数 x 的分布也越来越接近正态分布，且具有平均数μ，方 差 σ 2 /n 。
Ｆ分布是随自由度df1和df2进行变化的一组曲线。
Ｆ分布的概率累积函数
f (F )

F
0
f ( F )dF
六、F 分布
1
Ｆ分布的平均数μF=1 ，Ｆ的取值区间为[0,+∝ ）
Ｆ分布曲线的形状仅决定于df1和df2。在df1＝1或2时， 2 Ｆ分布曲线呈严重倾斜的反向Ｊ型，当df1≧ 3时，转
为左偏曲线。
您能回答以下问题吗？
抽样分布有哪些主要类型，特点是什么？ u、t、F的计算公式？
x
/ n
x s/ n
N (0,1)
t=
N ( , )
2
t分布
总体方差未知或样本容量n小于30时，标准离差的分布呈t分布。
四、 t 分布
对于不同的自由度，t分布有不同的曲线。
四、 t 分布
( 1 ) t分布曲线左右对称，围绕平均数μt =0 向两侧递降。 （2）t分布受自由度df=n-1制约，每个df都有一条t分布曲线。 （3）df小，t值离散程度大。 （4）和正态分布相比，t分布的顶端偏低，尾部偏高，自由度
df>30时，其曲线接近正态分布曲线，df→∝时则和正态分布曲 线重合。 S S
x
x x
四、t 分布
t分布曲线与横轴所围成的面积为1。 同标准正态分布曲线一样，统计应用中最为关心的是t分 布曲线下的面积（即概率Ｐ）与横轴t值间的关系。 为使用方便，统计学家编制了不同自由度df下的t界值表。
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05
连续型变量 正态分布
离散型变量
偏态分布
不论总体为何种分布，只要是大样本，
就可运用中心极限定理，认为样本平均数的
分布是正态分布，在计算样本平均数出现的
概率时，样本平均数可按下式进行标准化。
u
x x
x

x
/
n
三、样本平均数差数分布
样本平均数差数的分布
从两个相互独立的正态总体中抽取样本，得到 样本平均数差数的分布也是正态分布。样本平均 数差数的平均数等于总体平均数的差数，样本平 均数差数的方差等于两样本平均数方差除以各自 样本容量之和。
如，从N（5 ，25 ）的总体中抽取 n1 ＝35 的样 本，从 N（10，5）的总体中抽取n2 ＝40的样本， 则两样本平均数差数的平均数为－5。方差为25／ 35＋5／40＝47／56
四、 t 分布
x N (, )
2
标准差已知的样本平均数分布
u=
在实际研究中，经常遇到σ 未知，且样本容量n不大的情 况，这时若用 s 来代替σ 。 其并不服从正态分布，而是 服从具n-1自由度的t分布。
2 2 2 3 2 n n
u u u ... u ui2
i 1
u (
2 i 1 2 i 1
k
k
x
2

)
1
2
2 ( x )

1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2 ( x x ) df
s2
2
df = n-1
五、 χ2分布
概率密度函数
f ( 2 ) ( 2 ) 2
P(t 1.812) 0.05 P(t 1.812) 0.05
在相同的自由度df时，t值越大，概率P越小。 在相同的P值下，随df的增加，临界t值减小。 在相同t值时，双尾概率P为单尾概率P的两倍。 df增大，t分布接近正态分布，即t值接近u值。
四、t 分布
-2.776
+2.776
且呈反J型的偏斜分布。
2分布的偏斜度随自由度降 χ 2 低而增大，当自由度df=1时，
曲线以纵轴为渐近线。
3 随自由度df的增大， χ2分布曲线渐趋左右对称，当
df>30时，卡方分布已接近正态分布。
五、 χ2分布
对于给定的α(0<α<1)，
称满足条件 P{χ2 >χα2(n)}=α的点 χα2(n)为
t落于[- t0.05, + t0.05 ] 内的概率为0.95
t落于[- t0.01, + t0.01 ] 内的概率为0.99
置信度为５％和１％的t临界值。 t0.05（4）＝2.776
t0.01（4）＝4.604
x N ( , )
2
五、 χ2分布 样本方差的分布
u
2
x

2 1
N (0,1)
二、样本平均数的分布 （1）样本平均数分布的平均数＝总体平均数。
x
（2）样本平均数分布的方差＝总体方差除以样本容量。

2 x


2
n
样本平均数的标准误差（标准误） （standard error of mean)
x

n
二、样本平均数的分布
（3）如果从正态分布总体N(μ，σ2）进行抽样，
六、F 分布
对于给定的α(0<α<1)， 称满足条件 P{Ｆ>Ｆα(n１，ｎ２)}=α的点
Ｆα(n１，ｎ２)为Ｆ分布的上α分位点（或临界值点）。
P（Ｆ ≧ 3.48）
＝0.05
2
P（Ｆ ≧5.99） ＝0.01
概率和概率分布 概率的基础知识
概率的概念 概率的计算
大数定律
概率的分布
离散型变量 二项分布 连续型变量 正态分布
总体
样本1 x1
样本2 x2
样本3 x3
样本n xn
一、抽样试验与无偏估计
如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于总体的 相应参数，则称该统计数为总体相应参数的无偏估计值。 样本平均数 x 是总体平均数μ的无偏估计值。 样本方差 s2 是总体方差σ2的无偏估计值。
样本标准差 s 不是总体标准差σ的无偏估计值。
df 2 df 1 2 1 2 2
df ( ) 2
e
概率累积函数
F ( 2 )
2
0
f ( 2 )d ( 2 )
五、 χ2分布
χ2分布是连续型变量的分布，每个不同的自由度都有一 个相应的卡方分布曲线，所以其分布是一组曲线。
特征
五、 χ2分布
2 1 χ 分布于区间[0,+∝ ），并
x n x
常见的理论分布
P( x) C p q
x n
f ( x)
泊松分布
e x P( x) x!
1 2
e
( x )
2
2

2
抽样与无偏估计
统计数的分布
x N ( , 2 )
x1 x2 N ( 1 2 ,
12
n1

2 2
n2
)
t
2
F