第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
不动点定理与Picard迭代数列的收敛性--不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用
| | | xn - xn-1| = f (xn - 1) - f (xn-2) ≤ L| xn - 1 - | xn - 2 ,0 < L < 1 ，
{ 下证 xn} 为有界变差数列．事实上，
| | | | | | | | xn - xn - 1 ≤ r xn - 1 - xn - 2 ≤ r2 xn - 2 - xn - 3 ≤ ⋯ ≤ rn - 2 x2 - x1 (n ≥ 3) ，
第 42 卷第 3 期 2021 年 6 月
韩山师范学院学报 Journal of Hanshan Normal University
Vol.42 No.3 Jun.2021
不动点定理与 Picard 迭代数列的收敛性
——不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用
许绍元 1，程素玉 2
（1．韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2．韩山师范学院 图书馆，广东 潮州 521041）
( ) xn + 1 = f (xn) ， 令 n → ∞ ， 由 函 数 f (x) 的 连 续 性 有 nli→m∞xn + 1 = nli→m∞ f (xn) = f nli→m∞xn ， 即 x0 = f (x0) ． 下 证
x0 = 0 ．反证法．若 x0≠ 0 则 0 < x0 < a ，再由题设可知 x0 = f (x0) < x0 ，矛盾．故 nli→m∞xn = 0 ．证毕． 在定理 1 中，将 f (x) 的定义域扩大为 [0, +∞) ，得到下面的结论． 推论1 设函数 f (x) 在 [0, +∞) 上连续，且 0 < f (x) < x,x ∈(0, +∞) ．作Picard迭代 xn + 1 = f (xn), x1∈(0, +∞) ．
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim220=+-+→→yx yx y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xyz x y e ϕ=+满足0z z x y∂∂+=∂∂，则()u ϕ=24u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π-x 和直线2π-=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=⎰⎰Ddxdy y x f y x I )](1[223 －2 .6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++ ⎪⎝⎭L 2ln 21- .7. 数项级数∑∞=--1)!2()!2()1(n nn n n n 的和=S －1+cos1+ln2.8. 计算积分⎰⎰⎰++π=1021010)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23141-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线方程为41537-=+=+z y x . 10. 设曲线222:a y xy x C =++的长度为L , 则=++⎰C y x y x ds e e e b e a )sin()sin()sin()sin(L b a 2+ . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-， 即 ()()'()()f x f a f a x a ≤+-，上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根． 三、(10分)设),(y x f 有二阶连续偏导数,),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=, 由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f .x f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x ， 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy ，2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．证明 令.,]11,0[)(),1()()(m M nx n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m Λφ 所以 .)(11M nknm n k ≤≤∑-=φ故存在],11,0[nx n -∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f nf n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n ΛΛφφφφφ)1()(nx f x f n n +=．五、(10分)是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(222x o xx u x o x f x f x o x f x f x f x f x f x u x f x f x x u x x X x f x f Y +=+''='+''='''=''-=-'=-，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解.81)]()0([))](()()0(21)[(lim )]([)())((lim )()())((lim )()(lim 22202000)(00=+''+''''='''='=++++→→→→⎰⎰x o x f x u o x u f x f x f x f x u f x f x u x u f dtt f dtt f x x x x x u x 由洛必达法则有六、(10分) 设函数)(x f 具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S 上,积分⎰⎰--Sxzdxdy edzdx x xyf dydz x xf 2)()(的值恒为同一常数.(1)证明: 对空间区域0>x 内的任意光滑简单闭曲面∑,有0)()(2=--⎰⎰∑zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x; (2) 求函数)0)((>x x f 满足1)(lim 0=+→x f x 的表达式.(1)证明:如图,将∑分解为∑+=21S S,另做曲面3S 围绕原点且与∑相接, 则⎰⎰∑+-xdxdy z dzdx x yf dydz x f sin )()(-+-=⎰⎰+31sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f ⎰⎰+-+-32sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f =0.(2) 由(1)可知, 0)()()('2≡--+xe x xf x f x xf ,其通解为x Ce e x f x x +=2)(, 由1lim )(lim 200=+=++→→x Ce e x f x x x x , 得1-=C ,故)0()(2>-=x xe e xf xx七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线)1(2x a y -= )0(>a 及x 轴所围成的, 现要求当O此薄片以)0,1(为支点向右方倾斜时, 只要θ角不超过ο45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少? 解 0=x 522)1(010)1(01022adydx ydy dx dxdyydxdyy x a x a DD===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-- 倾斜前薄片的质心在)52,0(aP , 点P 与点)0,1(的距离为 1)52(2+a, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 )1)52(,1(2+a M , 此时薄片底边中心在点)22,221(-N 处, 有 =MN k 145tan )221(1221)52(2==---+οa , 解得25=α, 故a 最大不能超过25. .八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x ) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, .1|)(|,1|)(|2≤≤'⎰dx x f x f解 不存在这样的函数.当)2,0(∈x 时, ).2,(),,0(),2)((1)(1)(2121x x x f x f x f ∈∈-'+='+=ξξξξ 由题设知1)(,1)(-≥-≥x x f x x f ,且21)1()(,21)1()(212111=-≥=-≥⎰⎰⎰⎰dx x dx x f dx x dx x f . 下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,,1)(,]1,0[x x f x -=∈时当 时当]2,1[∈x ,,1)(-=x x f 此时函数不满足连续可导的条件.于是,1)()()(2112>+=⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f 故不存在满足所给条件的函数.贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1.函数ln(u x =在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 指向 B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .提示:(2,2,1),AB =-其单位向量为ABl AB=221,,333⎛⎫=- ⎪⎝⎭(cos ,cos ,cos )αβγ=A u x∂=∂ d 1d ln(1)x x x =+1,2= Au y ∂=∂d 0d ln(1y y =0,=12Auz∂=∂ cos cos cos u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂∴=++∂∂∂∂12= 2. 求函数(,)sin(2)f x y x y =+在点(0,)4π的一阶泰勒公式解: (,)2cos(2),(,)cos(2)x y f x y x y f x y x y =+=+(,)4sin(2)xx f x y x y =-+ ，(,)2sin(2)xy f x y x y =-+， (,)sin(2)yy f x y x y =-+(0,)4f π=(0,)4x f π=(0,)4y f π=(,)4sin(2)xx f ξηξη=-+，(,)2sin(2)xy f ξηξη=-+，(,)sin(2)yy f ξηξη=-+所以(,)sin(2)f x y x y =+=0)x -+ )4y π-]+ 12[24sin(2)(0)x ξη-+-+2(2sin(2)(0)()4x y πξη-+--)2sin(2)()4y πξη-+-] )sin(2)4y πξη--+221[22()()]424x x y y ππ+-+- 其中,()44x y ππξθηθ==+-, (01)θ<<3. 求函数(,)ln(1)f x y x y =++在点(0,0)的三阶泰勒公式. 解: 1(,)(,)1x y f x y f x y x y ==++ 21(,)(,)(,)(1)xx xy yy f x y f x y f x y x y -===++3332!(1)p pf x y x y -∂=∂∂++(0,1,2,3)p = 4443!(1)p pf x y x y -∂-=∂∂++(0,1,2,3,4)p =因此,()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+(0,0)(0,0)x y h f k f =+h k =+2()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+22(0,0)2(0,0)(0,0)xx xy yy h f hk f k f =++2()h k =-+ 3()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+333330C (0,0)p p pp p p fh k x y --=∂=∂∂∑32()h k =+(0,0)0,f =又将,h x k y ==代入三阶泰勒公式得 ln(1)x y ++=x y +21()2x y -+331()3x y R +++其中43()(,)x y R h k f h k θθ∂∂∂∂=+h x k y==441()4(1)x y x y θθ+=-⋅++(01)θ<<4. 在曲面z =xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0, 并写出这法线的方程. 解 已知平面的法线向量为n 0=(1, 3, 1).设所求的点为(x 0, y 0, z 0), 则曲面在该点的法向量为n =(y 0, x 0, -1). 由题意知n //n 0, 即113100-==x y , 于是x 0=-3, y 0=-1, z 0=x 0y 0=3, 即所求点为(-3, -1, 3), 法线方程为133113-=+=+z y x .5. 设e l =(cos θ , sin θ), 求函数f (x , y )=x 2-xy -y 2在点(1, 1)沿方向l 的方向导数, 并分别确定角θ, 使这导数有(1)最大值, (2)最小值, (3)等于0.解 由题意知l 方向的单位向量为(cos α, cos β)=(cos θ , sin θ), 即方向余弦为 cos α=cos θ , cos β=sin θ . 因为f x (1, 1)=(2x -y )|(1, 1)=1, f y (1, 1)=(-x +2y )|(1, 1)=1,所以在点(1, 1)沿方向l 的方向导数为 )4sin(2sin cos cos )1 ,1(cos )1 ,1()1,1(πθθθβα+=+=+=∂∂y x f f lf .因此 (1)当4πϕ=时, 方向导数最大, 其最大值为2;(2)当45πϕ=时, 方向导数最小, 其最小值为2-;(3)当43πϕ=及47π时, 方向导数为0.6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处沿外法线方向的方向导数.解 椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处有外法向量为),,(202020c z b y a x =n , 其单位向量为),,(1)cos ,cos ,(cos 202020424242c z b y a x c z b y a x n ++==γβαe .因为u x (x 0, y 0, z 0)=2x 0, u y (x 0, y 0, z 0)=2y 0, u z (x 0, y 0, z 0)=2z 0, 所以, 所求方向导数为γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000),,(000z y x u z y x u z y x u n u z y x z y x ++=∂∂4242422002002004242422)222(1c z b y a x c z z b y y a x x c z b y a x ++=⋅+⋅+⋅++=.7. 求平面1543=++z y x 和柱面x 2+y 2=1的交线上与xOy 平面距离最短的点.解 设M (x , y , z )为平面和柱面的交线上的一点, 则M 到xOy 平面的距离为d (x , y , z )=|z |.问题在于求函数f (x , y , z )=|z |2=z 2在约束条件1543=++z y x 和x 2+y 2=1下的最不值. 作辅助函数:)1()1543(),,(222-++-+++=y x zy x z z y x F μλ.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1154305202402322y x z y x z zF y y F x x F λμλμλ, 解方程组得54=x , 53=y , 1235=z . 因为可能的极值点只有)1235 ,53 ,54(这一个, 所以这个点就是所求之点.8. 在第一卦限内作椭球面1222222=++c z b y a x 的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.解 令1),,(222222-++=c z b y a x z y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =, 22c z F z =. 椭球面上点M (x , y , z )处的切平面方程为0)()()(222=-+-+-z Z c z y Y b y x X a x , 即1222=++c zZ b yY a xX . 切平面在三个坐标轴上的截距分别为x a X 20=, y b Y 20=, z c Z 20=. 切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为xyz c b a V 22261⋅=. 现将问题化为求函数xyz cb a V 22261⋅=在条件1222222=++c z b y a x 下的最小值的问题, 或求函数f (x , y , z )=xyz 在1222222=++c z b y a x 下的最大值的问题.作辅助函数)1(),,(222222-+++=c z b y a x xyz z y x F λ.令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1020202222222222c z b y a x c z xy z F b yxz y F a x yz x F λλλ, 解方程组得3a x =, 3b y =, 3cz =. 于是, 所求切点为)3 ,3 ,3(c ya , 此时最小体积为abcV 23=.。
第15届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲.乙组试题及解析
第十五届北京市大学生（非数学专业） 数学竞赛本科甲、乙组试题及解析(本试题共九道 、 甲组九题全做，乙组只做前七题） （2004年10月10日 上午9：00~11：00）一、填空题1.在0=x 的附近与函数x x f sec )(=的差为2x 的高阶无穷小的二次多项式为 ．解 应填.2112x +因为,1)0(,0)0(,1)0(=''='=f f f 有泰勒公式知 ).(211)(22x x x f ++= 2.设曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，则极限=∞→)2(lim nnf n ．解 应填.2因为,1|)(sin )0(,00sin )0(0='='===x x f f 由导数的定义知.2)0(22)0()2(lim2)2(lim ='=-=∞→∞→f nf n f nnf n n 3.设,)1sin(sin 1cos )1(2cos ),(-++--+==y x x y y sianxy y x f z 则=∂∂)1,0(|y z．解 应填.1-1)1sin(1)(1()1(lim 1)1,0(),0(lim)1,0(11-=-+---=--='→→y y y y f y f f y y y 4.设)(x f 有连续导数且,0)(lim≠=→a xx f x 又⎰-=x dt t f t x x F 02,)()()(当0→x 时)(x F '与nx 是同阶无穷小，则=n ． 解 应填2. 因为⎰⎰-=xxdt t tf dt t f xx F 02)()()(，)(x f 与ax 是等价无穷小),0(→x.00)0()0(2)()(2lim)()(2lim)()(2lim00=='='==→→→⎰⎰af f x f x f x f dtt f x xf dtt f x x xx xx)()()(2)(20x xf x f x dt t f x x F x --=⎰与)(x xf -等价，因而与2ax -等价。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
2019北京卷理科数学解析版
2019北京卷理科数学一、单选题1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B . 3．已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D 【解析】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 4．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 5．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】D 【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u u v的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∵|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|⇔|AB u u u v +AC u u u v |>|AB u u u v -AC u u uv |⇔|AB u u u v +AC u u u v |2>|AB u u u v -AC u u uv |2AB u u u r ⇔•AC u u u v >0AB u u u r ⇔与AC u u u v的夹角为锐角.故“AB u u u v与AC u u u v 的夹角为锐角”是“|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C.8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；①曲线C ； ①曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论∵正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点. 结论∵正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法∵错误.故选C. 二、填空题9．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π. 【解析】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=4012．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l①m；①m①α；①l①α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l∵α，m∵α，则l∵m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l∵α，m∵α，则l∵m. 正确；（2）如果l∵α，l∵m，则m∵α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l∵m，m∵α，则l∵α.不正确，有可能l与α斜交、l∵α.13．设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】-1; (],0-∞. 【解析】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；①在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】130. 15. 【解析】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元. 所以x 的最大值为15.三、解答题15．在①ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （①）求b ，c 的值； （①）求sin （B –C ）的值．【答案】(∵) 375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(∵)【解析】(∵)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(∵)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=16．如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ①平面ABCD ，AD ①CD ，AD ①BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （①）求证：CD ①平面PAD ； （①）求二面角F–AE–P 的余弦值； （①）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】(∵)由于P A ∵平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ∵CD ， 由题意可知AD ∵CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ∵平面P AD .(∵)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =u u u r u u u r 可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12PE PD =u u u r u u u r可得()0,1,1E ，设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =u r，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，cos ,m n m n m n⋅<>===⨯u r ru r r u r r ，二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P. (∵)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =u u u r u u u r 可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，其0m AG ⋅=u r u u u r且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（①）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（①）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（①）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【解析】(∵)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (∵)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (∵)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。
2019年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号 里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足 刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴 有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有 可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线 可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一 个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作。
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
,
.
| x | ( x ,0 ) |x| (0,0), lim x 0 x ( ) (0,0) 0, f x (0,0) f ( x, y ) f (0,0) f x (0,0) x f y (0,0) y
x
lim
0
(0,0) |x x
2
0. |x| | y| y
2
lim
x y
|x
x y y | ( x, y ) x2 y2
2
2
y
2
,
y| y .
2
x
2
x2
y2
2,
0 0
0.
f ( x, y )
(0,0)
(10
)
f ( x) [ 1, 1] f ( ) f (1) f ( 1) 6 2
f (0) f (0)
, f (0) .
( 1,1),
f (0) f ( 1 ) , 2! 3! f (0) f ( 2 ) f ( 1) f (0) f (0) , 2! 3! 1 f (1) f ( 1) 2 f (0) [ f ( 1 ) f ( 2 )]. 6 f (1) ( 1, f ( ) 6
f ( x ) 0,
f (0) 0,
, sin(arctan ) sin x 1. 2 2
2
tan (arctan ) 2 1 tan (arctan ) 2 1 tan(sin x) , f ( x ) 0.
2
1
4
2
4
,
4
4
tan 1.
, tan(sin x ) sin(tan x).
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北京市大学生数学竞赛试题
| y| x2 y2
2,
三、 (10分 ) 设 f ( x ) 在区间 [ 1, 1] 上三次可微 , 证明 存在实数 ( 1,1), 使得 f ( ) f (1) f ( 1) f (0) . 6 2
证 f (0) f (1 ) , 2! 3! f (0) f ( 2 ) f (1) f (0) f (0) , 2! 3! 1 f (1) f (1) 2 f (0) [ f (1 ) f ( 2 )]. 6 f (1) f (0) f (0)
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
（2007 年 10 月 14 日 下午 2：30--5：00）
注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题
一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分） m 1. 设当 x 1时, 1 是 x 1的等价无穷小 , 则 m ______ . 1 x x m 1 解 m 3.
, B g , 根据题意知 A 0. 于是有 1 AB 1 AB arctan(
分离变量得
dv dt , 积分得 Av 2 B
代入初始条件 t 0, v v 0 , 得 C t 1 AB arctan( 1 AB A v0 ) B arctan( 1 AB
0
五、 (10分) 计算
D 2π
( sin 2 sin cos ) d π,
L : x 2 y 2 1, 正向.
z2 1( y 1), 取外侧. 4
x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy , 其中 : ( x 1) 2 ( y 1) 2
2024-2025学年张掖市肃南裕固族自治县四年级数学第一学期期末检测试题含解析
2024-2025学年张掖市肃南裕固族自治县四年级数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、我会选（把正确答案的序号填在括号里。
每题 2 分，共 10 分）1．和万位相邻的两个数位分别是（）A．千位和百位B．十万位和百位C．十万位和千位2．录入一篇书稿，甲单独录完要13小时，乙单独录完要14小时，甲乙合作（）小时能完成．A．712B．127C．173．6平方米＝（）平方分米．A．6 B．60 C．6004．有一组对边平行，另两条边相等的四边形一定是( )。
A．长方形B．梯形C．正方形5．截止至2019年10月31日，共有110所中小学应用广州智慧阅读平台，学生使用人数135278名，教师使用人数10035名，提交阅读作品近12万份。
以上信息的划线部分，（）是近似数。
A．110 B．135278 C．12万D．10035二、我会判断。
（对的打√，错的打×。
每题 2 分，共 12 分）6．准确数50亿和近似数50亿相比，准确数大．（____）7．做一件工作，甲用了12小时，乙用了13小时，乙的效率高些。
（____）8．480÷40＝24÷2。
（______）9．线段有两个端点，是直线的一部分。
（______）10．读数和写数都从个位起。
（______）11．画一条2厘米长的直线。
（______）三、我能填。
（每题 2 分，共24分）12．如图，以电影院为观测点，学校在___偏___的方向上；火车站在___偏___的方向上．13．最大的九位数和最小的十位数的差是（______）。
14．10枚一元硬币叠放在一起的高度约是2厘米。
照这样计算，60枚叠放在一起的高度约是（_______）厘米。
第十七届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题
第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题（2006年10月14日 下午2：30 - 5：00）注意：本考卷共九题。
甲组九题全做，乙组只做前七题一、 填空题（每题2分，共20分）.___)1(,3)1(,2)1(,1)1(),(,)(.1=''=''='===ϕϕ则且其反函数为有二阶连续导数设严格单调函数f f f y x x f y ._______|]||||[|1lim ,,),π0(.220=+-+<<→→→→→→→βαβαθθθβαθb a b a b a 则为正常数的夹角为与设单位向量._______)0(,4211)(.3)100(2=++=f xx x f 则设._______d |sin |.4π20060=⎰x x x .__,])27[(lim )4(.54=-++>+∞→αα则存在且不为零使极限已知有整数x x x n n n x._____,.1)1(lim ,1,0.611的取值范围为则收敛若且设p a a e n p a n n n n p n n ∑∞=∞→=->>._____.7222===+A xOy y z a y x 面之间的侧面积与夹在平面圆柱面.____)(,1)(,0)1(,)(0.8==∂∂+∂∂-==>u f yz x z e e f z f u f u y x 则满足又二元函数且有一阶连续导数时当 ._____________1.9==''-'''y x y x y 的通解为.____),(lim lim ),(lim lim ),0(1tan 1),(.1000=-≠+=→∞→∞→→y x f y x f y x yx y x y x y x f x y y x 则设函数.)(,1)0(,2π2πtan cos )(sin )10(.x f f x x x x x f 求且，已知分二=<<-++=' .)(,1)0(,)()()(,,),()()10(.x f f a f e b f e b a f b a x f b a 求又成立都有等式且对于任意的实数上有定义在设分三='+=++∞-∞.),(1)10(.2200022立体的体积所围成处的切平面与抛物面上任意一点求抛物面分四y x z y x P y x z +=++= .)0(202,)728(15π2d )1()10(.2222之间的部分和夹在平面为抛物面其中证明分五>==+=∑-≤--⎰⎰∑t t z z y x z S y x .,2.1112,,,)10(.时达到最大问两针尖相离的速度何与设时针和分针分别长后再次重合小时经过再由大变小由小变大两针针尖间的距离逐渐后分针和时针在零点重合分六a a .1),0,1()1,0(,),()10(.22yf x x f y y x f f y x f ∂∂=∂∂=+=点满足方程上至少存在两个不同的证明在单位圆周且有一阶连续偏导数设二元函数分七 以下两题乙组考生不做 .1111211)10(.ne n e ne n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<>，求证：设整数分八.21d )(]1,0[,,0d )(,1|)(|,]1,0[)()10(.10成立都有证明对于任意的且上连续在闭区间设函数分九≤∈=<⎰⎰b a x x f b a x x f x f x f。
北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题一、 填空题（每小题2分，共20分）.3.______,111,1.11==-+++-→-m m x x x mx m 解则的等价无穷小是时设当 .)1()1()1(.________)1(,)()2)(1()()2)(1()(.21+-='='+++---=-n n f f n x x x n x x x x f n 解则设 .)]11(1[lim ._____)]11(1[lim ,1)0,1()(.3e nf nf y x f y n n n n =++=++-=∞→∞→解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.1.______lim .411-==∑=∞→+e e nk nkn kn 原式解π.4._________d )cos 1(sin .52π2π22-==++⎰-原式解x x xx .0232___.__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22=--+=+=+++=+=z y x y x f z y x o y x y x f y x f z 切平面方程为解方程，域内可ρρ.1旋转转曲面方程._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕111101线.7222=-+-=-=-z y x z z y x 解直.0.____d )cos(d 1||||.822==+-=++⎰原式解的正向一周，则为封闭曲线设Ly y x x y x y x x L .322.______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223==∂∂-=--=原式解的方向导数方向处沿在点则其散度设向量场M M z y x z y x z y x A ll A k j i A.14._______,)1(.102222222=++=++=+'+''++=γβαγβαγβα解则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y.0)0,0()0,0(),(.)0,0(),(),,(||),()10(=-=ϕϕϕ件是点处可微的充分必要条在试证明函数的一个邻域内连续在点其中设二元函数分、二y x f y x y x y x y x f .)0,0(),(.0),(||lim ,2||||||,),(||)0,0()0,0()0,0(),(.0)0,0(,0)0,0(,0)0,0()(.0)0,0(),0,0()0,(||lim ),0,0()0,(||lim ,)0,(||lim )0,0()0,(lim )0,0(.)0,0(),0,0(,)0,0(),()(220022222222220000点处可微在由定义所以又因为则可知若充分性故有且由于存在则点处可微在设必要性证y x f y x y x y x yx y y x x y x y x y x y x y x y x y f x f f y x f f f xx x x x x xx x x f x f f f f y x f y x y x y x x x x x x y x =+-≤+++≤+-+-=+'-'--='='==-===-='''→→→→→→-+ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.)0(2)1()1(6)(),1,1(,]1,1[)()10(f f f f x f '---='''-∈-ξξ使得存在实数证明上三次可微在区间设分三、.)0(2)1()1(6)()].()([21)(),,()].()([61)0(2)1()1(,!3)(!2)0()0()0()1(,!3)(!2)0()0()0()1(21212121f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f '---=''''''+'''='''∈'''+'''+'=--'''-''+'-=-'''+''+'+=ξξξξξξξξξξξ于是使得实数由导数的介值性知存在证.d ,),(,1),(,),(,),(),(),(,1:),(),,()10(22⎰⎰•≡≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=≤+Dy y x v y x u D y v x v y u x u y x y x u y x v y x y x D y x v y x u σg fj i g j i f 求的边界上有且在又上有一阶连续偏导数在闭区域设函数分四、.,1:π,d )cos sin sin (d d d d d )()(d ,)()(22π202正向解=+-=+-=+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∴∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰••y x L yy x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D Dθθθθσσg f g f .),1(14)1()1(:,d d d d d d )10(222222取外侧其中计算分五、≥=+-+-∑++⎰⎰∑y z y x y x z x z y z y x π.325π2π319π,319d )sin 32sin sin 41sin cos 41(d 4d sin )2sin sin sin cos 2(d d 2d )(2d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:π022π0102π0π0220000=+=∴=++=++=+=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式则原式左侧设解ϕϕϕθϕθθϕϕθϕθϕθrr r r v y x v z y x x z z x D y VVDπ.325π2π311π38,24)1(:π,611d )2(2πd d d d ,1,24)1(:π,34d )2(πd d d d π.2d )(2,d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:2222221222202202200=++=∴-≤+-=-⋅⋅==≥-≤+-=-==+++=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式故原式则原式左侧设另解y y z x D y y y y x z x y v y y x x zy D x x x x z y xx v x v z y x v z y x x z z x D y y D Vx D V V VDyx.)1(2)2(;2lim )1(.,)10(121211∑∑∞=→∞∞=+++++++n nnn n nn n na a a nna a a S a试求：且和为收敛设正项级数分六、.1)1(22122)1(2)2(;02lim ,112)1(1121212121212112112112121++→∞---+++++++-+++=++++-+++=++++=-=+++∴-⋅-+++-=+++-=-++-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n na a a n na a a n na a a n na a a n n na a a S S nna a a nn n S S S S n S S S S nS S S S S S S n na a a 解.)1(2)1(2,21111121112121S a a b n n na a a a b b n n na a a n na a a b n n n n n nn n n nn n ==+=++++∴+-=+++++++=∑∑∑∞=∞=+∞=++ 则记.,./,/,,./,.)10(22220需的时间求飞机从着陆到停止所千克机的质量为设飞米秒千克为在垂直方向的比例系数米秒千克平方向的比例系数为在水正比的阻力与速度的平方成且飞机运动时所受空气为飞机与地面的摩擦系数秒米水平速度为速度在着陆时刻已失去垂直陆飞机在机场开始滑行着分七、m k k v y x ⋅⋅μ).(arctan )()arctan(10).arctan(1)arctan(1).arctan(1,,0.)arctan(1,d d .0d d ,0)d d (d d .0,,.0)d d (d d ).(,,000002222222222秒时，当得代入初始条件积分得分离变量得即于是有根据题意知记由牛顿第二定律，有摩擦力垂直方向的阻力水平方向的阻力解v gm k k g k k mv BAABt v v BA ABv B AABt v BA ABC v v t C t v BAAB t BAv vB Av t vB t s A ts A g B mk k A g t s m k k t s R mg W v k R v k R y x y x yx y x y y x y x μμ-μμ-===-=∴===+-=-=+=++=++>μ=μ-==μ+μ-+-μ===以下两题乙组考生不做.1sin )10(是无理数证明分八、.1sin .,)12(2cos )1(,12,1|cos |).(cos )12(2)1(cos )12(2)1(])!12()1(!71!51!311[)!12()!12().12(cos )!12()1()!12()1(!71!51!311sin .,,1sin 1sin 11是无理数所以矛盾不可能是整数故然而两个整数之差仍是整数是整数知，由的展开式有根据是互素的正整数是有理数，则设证+->≤+-+-+--++-+--=->-+-+--++-+-==--n n n n n n n n n q p n q n n n q p x q p qpn n nn nn ξξξξξ.)sin(tan )tan(sin ,)2π,0()10(论的大小，并证明你的结与试比较函数内在区间分九、x x ).sin(tan )tan(sin ,)2π,0,.0)(,)2π,2π[arctan .1tan )tan(sin 1.1sin 4π,4ππ4π4π12π)2π(arctan tan 1)2π(arctan tan )2πsin(arctan .1sin )2πsin(arctan ,)2π,2π[arctan .0)(,0)0(,0)()2πarctan ,0(.cos )(sin cos )cos(tan ,cos 3sin 2tan cos,3sin 2tan .02sin 4tan 3cos 2sec )(3sin 2tan )(.3sin 2tan cos )]cos(sin 2)[cos(tan 31)(sin cos )cos(tan 2π0.2πsin 0,2πtan 02πarctan 0.cos )(sin cos )(sin cos )cos(tan cos sec )cos(tan cos )(sin sec )(则),sin(tan )tan(sin )( 设 解2223222232222322x x x x f x x x x x x f f x f x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x f x x x f >∈>∈∴<<<<>+=+=+=<<∈>=>'∈<<+>+>-=-+='-+=+≤+≤<<<<<<-=-='-=时（当综上可得时当于是故由于时当所以又时，于是当即所以于是，设）上的凸性有，由余弦函数在（时，当ϕϕ。
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组） 一、 填空（20分）1．1)0(,)1(2='=+'-+''y e y x y x y x ，且a xxx y x =-→2)(lim，则__________=a .解 由a xxx y x =-→2)(lim，得0)0(=y ，利用方程，得2)0(=''y ，得1=a . 2．))(()(b x a x be xf x ---=，e x =为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则__________=b .e解 ))(1()(b x x be xf x ---=3.,),0(,)0,(,),,(22y y f x x f y x yx zy x f z ==+=∂∂∂= 则 __________),(=y x f .解 __________),(=y x f y x xy y x +++2222. 4.,)2()2()2(222dz xy z dy xz y dx yz x du -+-+-= 则__________),,(=z y x u .解 C xyz z y x z y x u +-++=23__________),,(333 5.,)(13)(1022⎰--=dx x f x x x f 则__________)(=x f . 解 ,13)(2x k x x f --=其中⎰--=1022)13(dx x k x k ,得k k k dx x kx x k dx x k x k 2329)16)9(()13(22102221022-+=+---=--=⎰⎰,得,2992k k +=得23,3439472819=±=-±=k .6.⎰⎰≤+-→=++22222._________)cos(1lim20r y x y x r dxdy y x er解 π. 7. ,4)cos 1)(1ln(121lim=-+-→x x f x x 则.__________)(lim 30=→xx f x 解 2ln 28.,)1(,)()(a f xx f x f ==' 则.__________)2(=f 解 .2)2(,)(,)1(,)(,1)(/)(a f ax x f a f cx x f xx f x f =⇒=⇒==⇒='9.14:22=+y x L ,周长为l ,则.__________)2(2=+⎰ds y x L解 l 410.设,0>x 或,1-<x 则级数∑∞∞=-+++-+1))1(21)(1()21)()1(1(lnn x n nx nx x n 的和为_______.解∑∞∞=-+++-+1))1(21)(1()21)()1(1(lnn x n nx nx x n =.2ln 211lim ))21()1(ln ))1(21())1(1((ln1=++-=++--+-+∞→∞∞=∑nx nxnx nx x n x n n n . 二、)(x f '存在，且,cos 6sin 4cos )(23C x x x x x dx x f x +--='⎰求)(x f . 解 x x x x x x x x x f x sin 6sin 4cos 4sin cos 2)(23+---=' 问题：可能是设)(x f '连续，积分才有意义。
2022年北京大学强基计划笔试数学试题 及解答
2022年北京大学强基计划笔试数学试题1.已知2n+1与3n+1均为完全平方数且n不超过2022，则正整数n的个数为.答案：1解：设2n+1=a2，3n+1=b2化简得到3a2−2b2=1，即(3a)2−6b2=3，由于(3,1)为佩尔方程x2−6y2=3的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，对其任意一组解(x k,y k)，由于x2k =6y2k+3，所以x k为被3整除的正奇数.则a=x k3，n=a2−12，知这样的n均为正整数.由于1≤n≤2022，知1<a≤63，所以3<x k≤189，由佩尔方程的通解知x k=(3+2√6)(5+2√6)k+(3−2√6)(5−2√6)k2，由特征方程知其所对应的递推公式为x k+2=10x k+1−x k，x1=3，x2=27，得x3=267，因此仅x2=27满足条件，此时n=40.所以这样的n为1个.12.已知凸四边形ABCD 满足∠ABD =∠BDC =50◦，∠CAD =∠ACB =40◦，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为.答案：2解：对凸四边形ABCD ，由∠CAD =∠ACB ，有AD BC ；由∠ABD =∠BDC ，图1:第2题图有AB CD .故四边形ABCD 为平行四边形.如图，设对角线AC 中点为O .我们下面固定对角线AC ，则点D 在固定的射线AD 上，我们只需求出该射线上满足∠CDO =50◦的点D 个数即可.记过C,O 且与射线AD 相切的圆为ω(易知这样圆存在且唯一)，切点为D ′，由圆幂定理知AD ′2=AO ·AC 从而AD ′=√2AO .首先说明∠CD ′O >50◦.该结论等价于180◦−∠CAD ′−2∠AD ′O >50◦，即∠AD ′O <45◦.设∠AD ′O =θ,易知θ<90◦.在△AD ′O 中，由正弦定理,AO sin θ=AD ′sin (140◦−θ)⇒sin (140◦−θ)sin θ=√2注意到√2=sin (140◦−θ)sin θ 1sin θ，所以sin θ sin 45◦，且当θ=45◦时等号不成立，故θ<45◦,结论得证.射线AD 上在D ′的左右两侧各有一个满足∠CO ′D =50◦的点D ，故满足条件的形状不同的凸四边形有两种. 3.已知正整数y 不超过2022且满足100整除2y +y ，则这样的y 的个数为.答案：20解：由于100|2y +y ，所以4|2y +y .显然y =1，所以y ≥2，所以4|2y ，进而得到4|y .设y =4f (1≤f ≤504)，则5|24f +4f ，由于24≡1(mod 5)，所以4f +1≡0(mod 5)，即f ≡1(mod 5).设f =5d +1，则y =4f =20d +4(0≤d ≤100).则220d +4+20d +4≡0(mod 25).由欧拉定理，φ(25)=20，所以220≡1(mod 25).进而得到0≡220d +4+20d +4≡20d +20(mod 25).所以25|20d +20，5|d +1，所以d =5k +4(0≤k ≤19).因此这样的y 有20个.4.已知[x ]表示不超过x 的整数，如[1.2]=1，[−1.2]=−2.已知α=1+√52，则[α12]=.答案：321解：记a n =(1+√52)n +(1−√52)n ，则由其所对应的特征根方程知数列a n 满足a n +2=a n +1+a n 且a 0=2，a 1=1，依次可得a 2=3，a 3=4，a 4=7，a 5=11，a 6=18，a 7=29，a 8=47，a 9=76，a 10=123，a 11=199，a 12=322.而|1−√52|∈(0,1)，所以(1−√52)12∈(0,1)，所以a 12>(1+√52)12>a 12−1，所以[α12]=321. 5.已知六位数y 1y 2f 3f 4d 5d 6，满足y 1y 2f 3f 4d 5d 6f 4d 5d 6= 1+y 1y 2f 3 2，则所有满足条件的六位数之和为.（f 4d 5d 6不必为三位数）答案：2065020解：假设y 1y 2f 3=m ，f 4d 5d 6=n ，则100≤m ≤999，1≤n ≤999.由此可得原命题等价于1000m n +1=(1+m )2，即1000n=2+m .由于102≤2+m ≤1002，所以1≤n ≤9且n |1000，所以n =1,2,4,5,8，因此对应的(m,n )有5种不同的取值，对应的六位数为1000m +n =1000×(1000n−2)+n ，即998001,498002,248004,198005,123008.这样的六位数之和为2065020.6.已知整数a,b,c,d 满足a +b +c +d =6，则ab +ac +ad +bc +bd +cd 的正整数取值个数为.答案：10解：由于a,b,c,d 均为整数，所以ab +ac +ad +bc +bd +cd =(a +b +c +d )2−(a 2+b 2+c 2+d 2)2为整数.因此只需(a +b +c +d )2−(a 2+b 2+c 2+d 2)>0，即a 2+b 2+c 2+d 2<36.原命题即为求a 2+b 2+c 2+d 2小于36的不同取值的个数.由柯西不等式知(a 2+b 2+c 2+d 2)(1+1+1+1)≥(a +b +c +d )2=36，因此a 2+b 2+c 2+d 2≥9，又因为a 2+b 2+c 2+d 2与a +b +c +d 奇偶性相同，所以a 2+b 2+c 2+d 2的取值必为10到34之间的偶数.下证a 2+b 2+c 2+d 2不为8的倍数：采用反证法，若否，则a 2+b 2+c 2+d 2≡0(mod 4)，此时a,b,c,d 要么同为偶数要么同为奇数.(i)a,b,c,d 同为偶数：设a =2a ′,b =2b ′,c =2c ′,d =2d ′.此时a ′+b ′+c ′+d ′=3,a 2+b 2+c 2+d 2=4(a ′2+b ′2+c ′2+d ′2).因为a ′2+b ′2+c ′2+d ′2与a ′+b ′+c ′+d ′奇偶性相同，所以a 2+b 2+c 2+d 2不可能为8的倍数.(ii)a,b,c,d 同为奇数：由于奇数的平方模8同余于1，所以a 2+b 2+c 2+d 2≡4(mod 8)，所以a 2+b 2+c 2+d 2不可能为8的倍数.因此a 2+b 2+c 2+d 2的取值必为10到34之间的偶数且不为8的倍数.另一方面，设f (a,b,c,d )=a 2+b 2+c 2+d 2，我们有f (2,2,1,1)=10,f (2,2,2,0)=12,f (3,2,1,0)=14,f (3,3,0,0)=18,f (3,3,1,−1)=20,f (4,2,1,−1)=22,f (4,3,0,−1)=26,f (4,2,2,−2)=28,f (4,3,1,−2)=30,f (4,4,0,−2)=34，因而a 2+b 2+c 2+d 2的取值为所有10到34之间不为8的倍数的偶数，因此ab +ac +ad +bc +bd +cd 的不同取值为10个. 7.已知凸四边形ABCD 满足：AB =1，BC =2，CD =4，DA =3，则其内切圆半径取值范围为.答案： √155,2√65解：先证明一个引理：平面上四边形ABCD 的四边长分别记为a,b,c,d ，那么四边形ABCD 的面积S ABCD = (p −a )(p −b )(p −c )(p −d )−abcd cos 2A +C 2,其中p 为四边形ABCD 的半周长12(a +b +c +d )．引理的证明：在△ABD 和△CBD 中分别应用余弦定理，有BD 2=a 2+d 2−2ad cos A,BD 2=b 2+c 2−2bc cos C,又S ABCD =12ad sin A +12bc sin C,于是可得 ad cos A −bc cos C =12(a 2−b 2−c 2+d 2),ad sin A +bc sin C =2S ABCD,两式平方相加，移项可得S 2ABCD =14 a 2d 2+b 2c 2 −116 a 2−b 2−c 2+d 2 2−12abcd cos (A +C ),整理即得．回到本题中，一方面，r =S p ≤ (p −a )(p −b )(p −c )(p −d )p =2√65另一方面，欲求r 最小值，只需使得S 最小，只需使得cos 2A +C 2=cos 2B +D 2最大即可.又因为max A +C 2,B +D 2 ≥π2,所以只需令max A +C 2,B +D 2最大即可.设AC =x,BD =y ,有1<x <3,2<y <4，易知∠A,∠C 随y 增加而增加，∠B,∠D 随x 增加而增加，所以只需比较x →3和y →4的情况即可，此时四边形ABCD 分别趋向退化成边长为3,3,4和4,4,2的三角形，经比较可得面积较小者为√15.故r =S p >√155综上，r ∈ √155,2√65. 8.已知a,b ∈R ，z 1=5−a +(6−4b )i ，z 2=2+2a +(3+b )i ，z 3=3−a +(1+3b )i ，当|z 1|+|z 2|+|z 3|最小时，3a +6b =.答案：337解：已知|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|10+10i |=10√2，当且仅当arg z 1=arg z 2=arg z 3=π4时取等.此时5−a =6−4b ，2+2a =3+b ，3−a =1+3b ，解得a =57，b =37，所以当|z 1|+|z 2|+|z 3|取最小值时3a +6b =337.9.已知复数z ，满足z 2与2z的实部和虚部均属于[−1,1]，则z 在复平面上形成轨迹的面积为.答案：12−2π解：图2:第9题图设满足要求的复数z =x +y i (x ,y ∈R )，则原命题即为2x x 2+y 2+2y x 2+y 2i 与x 2+y 2i 的实部和虚部均属于[−1,1]，因此−1≤2x x 2+y 2≤1，−1≤2y x 2+y 2≤1，−1≤x 2≤1，−1≤y 2≤1.整理后得−2≤x ≤2，−2≤y ≤2，(x −1)2+y 2≥1，(x +1)2+y 2≥1，x 2+(y −1)2≥1，x 2+(y +1)2≥1.因此点z 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形.此区域面积为8×(2×22−1×12−π×124)=12−2π. 10.在△ABC 中，S △ABC =c 2(a −b )，其外接圆半径R =2，且4(sin 2A −sin 2B )=(√3a −b )sin B ，则sin A −B 2+sin C 2=.答案：1解：因为R =2，所以4(sin 2A −sin 2B )=(√3a −b )sin B ⇒a 2−b 2=(√3a −b )b ⇒a =√3b因为S △ABC =c 2(a −b )，所以bc sin A =c (a −b )⇒sin A =√3−1进而有sin B =sin A √3=1−√33，于是(sin A −B 2+sin C 2)2=(sin A −B 2+cos A +B 2)2=sin 2A −B 2+cos 2A +B 2+2sin A −B 2cos A +B 2=1−12cos (A −B )+12cos (A +B )+sin A −sin B =1−sin A sin B +sin A −sin B=1因为0<A −B,C <π，所以sin A −B 2+sin C 2=1. 11.在梯形ABCD 中，ADBC ，M 在边CD 上，有∠ABM =∠CBD =∠BCD ，则AM BM 取值范围为.答案：(12,+∞)解：∠ADM =180◦−∠BCD =180◦−∠ABM ，所以A,B,M,D 四点共圆，于是AM BM =sin ∠ABM sin ∠BDM =sin ∠DCB sin ∠BDC =DB BC易知DB BC ∈(12,+∞). 12.已知√1−x 2=4x 3−3x ，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为.答案：12解：令x =cos θ(θ∈[0,π]).则sin θ=cos 3θ，即cos π2−θ=cos 3θ，由于π2−θ∈[−π2,π2]，cos 3θ∈[0,3π]，所以3θ=π2−θ或3θ=π2−θ+2π或3θ=θ−π2+2π.解得θ=π8或5π8或3π4.因而其全部解为x =cos π8或cos 5π8或cos 3π4.由题意知，所求值为：3cos π8cos 5π8cos 3π4=3−cos π8sin π8cos 3π4=6sin π4cos π4=12sin π2=12. 13.若A 为十进制数，A =a 0a 1...a n ，记D (A )=a 0+2a 1+22a 2+···+2n a n .已知b 0=203310，b n +1=D (b n )，则b 2022各位数字的平方和200（横线上填大于，小于或等于）.答案：小于解：由题意知若A 为n +1位数，则D (A )≤(2n +1−1)×9<2n +1×10，b 0=203310<1040，所以b 0至多为40位，所以b 1<240×10<814×10<1015，所以b 1至多15位，进而b 2<215×10<85×10<106，所以b 2至多6位，进而b 3<26×10<640，所以b 3至多3位，进而b 4<23×10<80，所以b 4至多2位，进而b 5<40也至多两位，依此类推可得b 2022至多两位，其各位数字的平方和不超过81+81=162，小于200.【注】原问题为求b2022各位数字的平方和，题目中所给出选项分别为“730”，“520”和“370”和“以上答案均不正确”。
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、 填空（20分）1．1)0(,)1(2='=+'-+''y e y x y x y x ，且a xx x y x =-→20)(lim ，则__________=a . 解 由a xx x y x =-→20)(lim ，得0)0(=y ，利用方程，得2)0(=''y ，得1=a . 2．))(()(b x a x b e x f x ---=，e x =为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则__________=b .e解 ))(1()(b x x b e x f x ---= 3.,),0(,)0,(,),,(22y y f x x f y x yx z y x f z ==+=∂∂∂= 则 __________),(=y x f .解 __________),(=y x f y x xy y x +++2222. 4.,)2()2()2(222dz xy z dy xz y dx yz x du -+-+-= 则__________),,(=z y x u .解 C xyz z y x z y x u +-++=23__________),,(333 5.,)(13)(1022⎰--=dx x f x x x f 则__________)(=x f .解 ,13)(2x k x x f --=其中⎰--=1022)13(dx x k x k ,得 k k k dx x kx x k dx x k x k 2329)16)9(()13(22102221022-+=+---=--=⎰⎰,得,2992k k +=得23,3439472819=±=-±=k .()()03212,033>-+-=''<x x y x ，()(),0321233>-++=''x x y()()1,03111,3111,2022==-++-='-++=<<x x x y x x y x ， ()(),03212,2033>-++=''<<x x y x ()()002,00>-'<+'y y ，极小值=()1.1=y()(),01111,1111,,222<--+-='-++=≥x x y x x y x y 单调减少。
2019年北京卷高考数学计算题真题解析
2019年北京卷高考数学计算题真题解析高考数学计算题一直是考生备受关注的内容之一，因为它们往往是考察数学应用能力和解题技巧的重要途径。
以下是2019年北京卷高考数学计算题的真题解析，帮助考生更好地理解和应对这些题目。
题目一：某日报用一项数据显示，2019年1月1日至2019年6月1日，全市日均降水量为7.3mm。
将这段时期分为两个6周和1天，则这两个6周的日均降水量之比为7:5。
问：这两个6周的日均降水量之比是多少？解析：题目给出的信息是全市日均降水量为7.3mm，而我们要求的是两个6周的日均降水量之比。
首先，我们需要计算出这个六周的总降水量。
某年一共有52周，将这一年分成两个6周即可得到12周。
由于给定了全市的日均降水量为7.3mm，所以我们可以计算出这个6周的总降水量为7.3mm × 7 × 6 = 306.6mm。
同样地，我们可以计算出另一个6周的总降水量为7.3mm × 5 × 6 = 219mm。
因此，这两个6周的日均降水量之比为306.6mm：219mm，简化后为153.3mm：109.5mm，再进一步简化得到51mm：37mm。
题目二：已知等差数列{an}的公差为3，且其前n项和Sn与下述等差数列{bn}的前n项和Sn'满足关系Sn = 2Sn' - n。
若{bn}的通项为bn = 4 +n(n-1)，则求{an}的第2020项的值。
解析：题目给出了等差数列{an}的公差为3，并且已知其前n项和Sn与等差数列{bn}的前n项和Sn'之间的关系。
根据题目所给的关系式Sn = 2Sn' - n，我们可以进行进一步推导。
首先，我们计算等差数列{bn}的前n项和Sn'，根据等差数列前n 项和的公式，可得：Sn' = n(2a1 + (n-1)d)/2。
代入已知条件，得到：Sn' = n(2(4) + (n-1)(2)) / 2 = n(2n + 3)/2。
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第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim220=+-+→→yx yx y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xyz x y e ϕ=+满足0z z x y∂∂+=∂∂，则()u ϕ=24u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π-x 和直线2π-=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=⎰⎰Ddxdy y x f y x I )](1[223 －2 .6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++ ⎪⎝⎭L 2ln 21- .7. 数项级数∑∞=--1)!2()!2()1(n nn n n n 的和=S －1+cos1+ln2.8. 计算积分⎰⎰⎰++π=1021010)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23141-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线方程为41537-=+=+z y x . 10. 设曲线222:a y xy x C =++的长度为L , 则=++⎰C y x y x ds e e e b e a )sin()sin()sin()sin(L b a 2+ . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-， 即 ()()'()()f x f a f a x a ≤+-，上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根． 三、(10分)设),(y x f 有二阶连续偏导数,),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=, 由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f .x f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy y 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''='' 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e fg xyxy xy xy y '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x ， 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy ，2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．证明 令.,]11,0[)(),1()()(m M nx n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m Λφ 所以 .)(11M nknm n k ≤≤∑-=φ故存在],11,0[nx n -∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f nf n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n ΛΛφφφφφ)1()(nx f x f n n +=．五、(10分)是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(222x o xx u x o x f x f x o x f x f x f x f x f x u x f x f x x u x x X x f x f Y +=+''='+''='''=''-=-'=-，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解.81)]()0([))](()()0(21)[(lim )]([)())((lim )()())((lim )()(lim 22202000)(00=+''+''''='''='=++++→→→→⎰⎰x o x f x u o x u f x f x f x f x u f x f x u x u f dtt f dtt f x x x x x u x 由洛必达法则有六、(10分) 设函数)(x f 具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S 上,积分⎰⎰--Sxzdxdy e dzdx x xyf dydz x xf 2)()( 的值恒为同一常数.(1)证明: 对空间区域0>x 内的任意光滑简单闭曲面∑,有0)()(2=--⎰⎰∑zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x; (2) 求函数)0)((>x x f 满足1)(lim 0=+→x f x 的表达式.(1)证明:如图,将∑分解为∑+=21S S,另做曲面3S 围绕原点且与∑相接, 则⎰⎰∑+-xdxdy z dzdx x yf dydz x f sin )()(-+-=⎰⎰+31sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f ⎰⎰+-+-32sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f =0.(2) 由(1)可知, 0)()()('2≡--+xe x xf x f x xf ,其通解为x Ce e x f x x +=2)(, 由1lim )(lim 200=+=++→→x Ce e x f x x x x , 得1-=C ,故)0()(2>-=x xe e xf xxO七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线)1(2x a y -= )0(>a 及x 轴所围成的, 现要求当 此薄片以)0,1(为支点向右方倾斜时, 只要θ角不超过ο45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少? 解 0=x 522)1(010)1(01022adydx ydy dx dxdyydxdyy x a x a DD===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-- 倾斜前薄片的质心在)52,0(aP , 点P 与点)0,1(的距离为 1)52(2+a, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 )1)52(,1(2+a M , 此时薄片底边中心在点)22,221(-N 处, 有 =MN k 145tan )221(1221)52(2==---+οa , 解得25=α, 故a 最大不能超过25. .八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x ) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, .1|)(|,1|)(|2≤≤'⎰dx x f x f解 不存在这样的函数.当)2,0(∈x 时, ).2,(),,0(),2)((1)(1)(2121x x x f x f x f ∈∈-'+='+=ξξξξ 由题设知1)(,1)(-≥-≥x x f x x f ,且21)1()(,21)1()(2121101=-≥=-≥⎰⎰⎰⎰dx x dx x f dx x dx x f . 下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,,1)(,]1,0[x x f x -=∈时当 时当]2,1[∈x ,,1)(-=x x f 此时函数不满足连续可导的条件.于是 ,1)()()(2112>+=⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f 故不存在满足所给条件的函数.贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1.函数ln(u x =在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 指向 B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .提示:(2,2,1),AB =-其单位向量为ABl AB=221,,333⎛⎫=- ⎪⎝⎭(cos ,cos ,cos )αβγ=Au x∂=∂ d 1d ln(1)x x x =+1,2= Auy ∂=∂d 0d ln(1y y =0,=12Auz∂=∂ cos cos cos u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂∴=++∂∂∂∂12= 2. 求函数(,)sin(2)f x y x y =+在点(0,)4π的一阶泰勒公式解: (,)2cos(2),(,)cos(2)x y f x y x y f x y x y =+=+(,)4sin(2)xx f x y x y =-+ ，(,)2sin(2)xy f x y x y =-+， (,)sin(2)yy f x y x y =-+(0,)42f π=，(0,)4x f π= (0,)42y f π=，(,)4sin(2)xx f ξηξη=-+，(,)2sin(2)xy f ξηξη=-+，(,)sin(2)yy f ξηξη=-+所以(,)sin(2)f x y x y =+=2+[ 2(0)2x -+ )24y π-]+ 12[24sin(2)(0)x ξη-+-+2(2sin(2)(0)()4x y πξη-+--)2sin(2)()4y πξη-+-] )sin(2)4y πξη--+221[22()()]424x x y y ππ+-+- 其中,()44x y ππξθηθ==+-, (01)θ<<3. 求函数(,)ln(1)f x y x y =++在点(0,0)的三阶泰勒公式. 解: 1(,)(,)1x y f x y f x y x y ==++ 21(,)(,)(,)(1)xx xy yy f x y f x y f x y x y -===++3332!(1)p p f x y x y -∂=∂∂++(0,1,2,3)p = 4443!(1)p p f x y x y -∂-=∂∂++(0,1,2,3,4)p =因此,()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+(0,0)(0,0)x y h f k f =+h k =+2()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+22(0,0)2(0,0)(0,0)xx xy yy h f hk f k f =++2()h k =-+3()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+333330C (0,0)p ppp p p fh kx y --=∂=∂∂∑32()h k =+(0,0)0,f =又将,h x k y ==代入三阶泰勒公式得 ln(1)x y ++=x y +21()2x y -+331()3x y R +++其中43()(,)x y R h k f h k θθ∂∂∂∂=+h x k y==441()4(1)x y x y θθ+=-⋅++(01)θ<<4. 在曲面z =xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0, 并写出这法线的方程. 解 已知平面的法线向量为n 0=(1, 3, 1).设所求的点为(x 0, y 0, z 0), 则曲面在该点的法向量为n =(y 0, x 0, -1). 由题意知n //n 0, 即113100-==x y , 于是x 0=-3, y 0=-1, z 0=x 0y 0=3, 即所求点为(-3, -1, 3), 法线方程为133113-=+=+z y x .5. 设e l =(cos θ , sin θ), 求函数f (x , y )=x 2-xy -y 2在点(1, 1)沿方向l 的方向导数, 并分别确定角θ, 使这导数有(1)最大值, (2)最小值, (3)等于0.解 由题意知l 方向的单位向量为(cos α, cos β)=(cos θ , sin θ), 即方向余弦为 cos α=cos θ , cos β=sin θ . 因为f x (1, 1)=(2x -y )|(1, 1)=1, f y (1, 1)=(-x +2y )|(1, 1)=1,所以在点(1, 1)沿方向l 的方向导数为 )4sin(2sin cos cos )1 ,1(cos )1 ,1()1,1(πθθθβα+=+=+=∂∂y x f f lf .因此 (1)当4πϕ=时, 方向导数最大, 其最大值为2;(2)当45πϕ=时, 方向导数最小, 其最小值为2-;(3)当43πϕ=及47π时, 方向导数为0.6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处沿外法线方向的方向导数.解 椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处有外法向量为),,(202020c z b y a x =n , 其单位向量为),,(1)cos ,cos ,(cos 202020424242c z b y a x c zb y a x n ++==γβαe .因为u x (x 0, y 0, z 0)=2x 0, u y (x 0, y 0, z 0)=2y 0, u z (x 0, y 0, z 0)=2z 0,所以, 所求方向导数为γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000),,(000z y x u z y x u z y x u n u z y x z y x ++=∂∂4242422002002004242422)222(1c z b y a x c z z b y y a x x c z b y a x ++=⋅+⋅+⋅++=.7. 求平面1543=++z y x 和柱面x 2+y 2=1的交线上与xOy 平面距离最短的点.解 设M (x , y , z )为平面和柱面的交线上的一点, 则M 到xOy 平面的距离为d (x , y , z )=|z |.问题在于求函数f (x , y , z )=|z |2=z 2在约束条件1543=++z y x 和x 2+y 2=1下的最不值. 作辅助函数:)1()1543(),,(222-++-+++=y x zy x z z y x F μλ.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1154305202402322y x z y x z zF y y F x x F λμλμλ, 解方程组得54=x , 53=y , 1235=z . 因为可能的极值点只有)1235 ,53 ,54(这一个, 所以这个点就是所求之点.8. 在第一卦限内作椭球面1222222=++c z b y a x 的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.解 令1),,(222222-++=c z b y a x z y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =, 22c z F z =.椭球面上点M (x , y , z )处的切平面方程为0)()()(222=-+-+-z Z c z y Y b y x X a x , 即1222=++c zZ b yY a xX . 切平面在三个坐标轴上的截距分别为x a X 20=, y b Y 20=, z c Z 20=. 切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为xyz c b a V 22261⋅=. 现将问题化为求函数xyz cb a V 22261⋅=在条件1222222=++c z b y a x 下的最小值的问题, 或求函数f (x , y , z )=xyz 在1222222=++c z b y a x 下的最大值的问题.作辅助函数)1(),,(222222-+++=c z b y a x xyz z y x F λ.令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1020202222222222c z b y a x c z xy z F b yxz y F a x yz x F λλλ, 解方程组得3a x =, 3b y =, 3cz =. 于是, 所求切点为)3 ,3 ,3(c ya , 此时最小体积为abcV 23=.。