129498393937968750D9-5曲线积分共58页文档
曲线积分
k 1
k 1
x dx ds (dx)2 (dy ) 2
x
f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) dt
注: sk 0, tk 0,
因此积分限必须满足 !
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
0
称为被积函数, 称为积分弧段 . 分小、取点、 作和、取极限 m ( x, y )ds 曲线形构件的质量
k 1
如果 L 是 空间中的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积分为
L
f ( x, y, z )ds lim f ( k ,k , k )sk 0
1 2
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1 , 2 组成)
3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
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结束
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件L在xoy平面所占 弧段为AB , 其线密度为 ,计算此构件的质量m。 (1)分小: 在A,B之间依次插入n-1个分点 A=A0, A1, ,Ak-1, Ak, ,An=B把L分成n小段s1 , s2 ,, sn ,其弧长仍用此符号表示。 (2)取近似 (3求和 (4)取极限 max{s1 , s2 ,, sn }
《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分
x2
dS y2
z2
2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
lim
a1
D1
(1
z
2
1 )
1
x2
dxdz
4
lim
a1
01dz
a
0
(1
1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1
2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z
1
其中 是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算
x2
dS y2
z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2
(
y1 z
)2
dxdz
1 dxdz. 1 x2
1
x2
dS y2
z2
Dxz
1 1 z2
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面 右 向 xoz 面投影,得
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
曲线积分
存在,则称此极限值为函数 P(x, y)、(Q(x, y)) 在有 向曲线L上对坐标 x (对坐标 y)的曲线积分. 记作
L
P ( x , y )dx lim P (x i ,h i )xi .
0
i 1
n
n Q(x i ,h i )Δyi . L Q( x , y )dy lim 0 i 1
设 由 1 与 2 组成,则
f ( x , y )dl f ( x , y )dl f ( x , y )dl .
1
对弧长的曲线积分与积分路径 的 由定义可知, 方向无关. 设 为平面曲线弧 AB,则
2016/1/12
AB
f ( x , y , z )dl
被平面
解: 由对称性可知 x 2 ds y 2 ds z 2 ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2p a 3 3 2 3 pa 3
2
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第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节:第一型曲线积分 第二节:第二型曲线积分 第三节:格林公式
第十一章
曲线积分与曲面积分
第一节 第一型曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
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2
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0, 曲线长为 L,
则平面曲线的质量M = 0L.
BA
f ( x , y , z )dl .
6
二、对弧长的曲线积分的计算法
《第四章曲线积分》word版
第四章 曲线积分与曲面积分§1 对弧长的曲线积分教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点与难点:弧长曲线积分的计算 教学内容:1.1 对弧长曲线积分的概念与性质 一、曲线形构件质量设一构件占xoy 面内一段曲线弧L ,端点为B A ,,线密度),(y x ρ连续 求构件质量M 。
解(1)将L 分割i s ∆()n i ,,2,1 = (2)),(i i y x ∀∈i s ∆,≈∆i M i i i s y x ∆⋅),(ρ (3)()ini iis y x M ∆≈∑=1,ρ(4)1lim (,)ni i i i M x y s λρ→==∆∑ },,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ 图4-1-1二、定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,),(y x f 在L 上有界,用i M 将L 分成n 小段i S ∆,任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =, 作和ini iiS f ∆∑=1),(ηξ,令},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ,当λ0→时,01lim (,)ni i i i f S λξη→=∆∑存在,称此极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为:=⎰ds y x f L),(01lim (,)ni i ii f S λξη→=∆∑注意:(1)若曲线封闭,积分号⎰ds y x f ),((2)若),(y x f 连续,则ds y x f L⎰),(存在,其结果为一常数.(3)几何意义),(y x f =1,则ds y x f L⎰),(=L (L 为弧长)(4)物理意义 M =ds y x L⎰),(ρ(5)此定义可推广到空间曲线ds y z x f ⎰Γ),,(=01lim (,,)ni i i ii f S λξηζ→=∆∑(6)若规定L 的方向是由A 指向B ,由B 指向A 为负方向,但ds y x f L⎰),(与L 的方向无关三.对弧长曲线积分的性质A oxyBa :设21L L L +=,则ds y x f L⎰),(=ds y x f L ⎰1),(+ds y x f L ⎰2),(b :ds y x g y x f L⎰±]),(),([=ds y x f L⎰),(±(),Lg x y ds ⎰ c :ds y x kf L⎰),(=kds y x f L⎰),(。
曲线积分
1.有关曲线积分与曲面积分的基本内容1.1曲线积分的概念1.1.1对弧长的曲线积分概念1)定义:设函数),(y x f 在xoy 面内的一条光滑曲线弧L 上有界,通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对弧长的曲线积分,即1(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰. 2)性质:①与积分路线方向无关,即⎰⎰=ABBAL L ds y x f ds y x f ),(),(.②对曲线具有可加性,即若21L L L +=,则⎰⎰⎰+=21),(),(),(L L Lds y x f ds y x f ds y x f .1.1.2对坐标的曲线积分概念1)定义:设L 为xoy 面上从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧,函数),(),,(y x Q y x P 在L 上有界,通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲线积分,即i i i i i i ni Ly Q x P dy y x Q dx y x P ∆+∆=+∑⎰=→),(),(lim ),(),(1ηξηξλ.2)性质:① 与积分路线方向有关,即ABBAL L Pdx Qdy Pdx Qdy +=-+⎰⎰.② 对曲线具有可加性,即若21L L L +=,则⎰⎰⎰+++=+21L L LQdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .3)空间曲线情况对弧长的曲线积分ini iiis f ds z y x f AB∆=∑⎰=→Γ1),,(lim ),,(τηξλ. 对坐标的曲线积分 ⎰∑Γ=→∆+∆+∆=++ABn i i i iiiiz R y Q x P Rdz Qdy Pdx 1]),,([lim τηξλ.4)两种曲线积分联系设平面曲线AB L 在点),,(y x 的切向量方向余弦为βαcos ,cos ,则ds Q P ds ds dyQ ds dx PQdy Pdx ABABABL ⎰⎰⎰ΓΓ+=+=+)cos cos ()(βα.设空间曲线AB Γ在点),,(z y x 的切向量方向余弦γβαcos ,cos ,cos ,则()ABABdx dy dz Pdx Qdy Rdz PQ R ds ds ds dsΓΓ++=++⎰⎰(cos cos cos )ABP Q R ds αβγΓ=++⎰.5)曲线积分与路径无关的等价条件(设G 是单连通区域,且,P Qy x∂∂∂∂在G 内连续). 曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关⇔在G 内xQ y P ∂∂=∂∂恒成立 ⇔0=+⎰LQdy Pdx ,其中L 为G 内任一闭曲线⇔在G 内存在函数),(y x u ,使得全微分Qdy Pdx y x du +=),(.6)全微分方程若微分方程0),(),(=+y x Q dx y x P 满足xQ y P ∂∂=∂∂,则称为全微分方程. 1.2曲线积分的计算方法1.2.1对弧长的曲线积分――化为定积分. 计算方法与步骤1) 画出积分路线图形;2) 写出积分曲线L 方程⎩⎨⎧<==)(,)()(βαt y y t x x L :; 3) 利用三代换将其化为定积分 ① 曲线参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ;② 弧长元素ds =; ③ 积分曲线L 换为βα<.则(,)((),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰.注 这里α<β(积分下限一定小于积分上限).1.2.2对坐标的曲线积分――化为定积分或二重积分(同1或利用格林公式).计算方法与步骤000?(,)(,),0,,()P y ()x y yes x y D L no L L L D L I P x y dx Q x y dy L I Pdx Qdy Q P L I dxdy x y Q Pdx Qdy I Pdx Qdy Pdx Qdy x L L Q P dxdy Pdx Qdy x y ''+⎧=+⎪⎨⎪=+=⎩∂∂=-∂∂∂∂+⇒=+-+∂∂'+∂∂=--+∂∂⎰⎰⇒⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⇒⎰⎰ÑÑ当不封闭,沿着折线积分,当封闭,沿闭曲线积分为零,即当曲线封闭利用格林公式当封闭,则,()()[((),())()((),())()]L x t L y t I P t t t Q t t t dt βαϕψϕψϕϕψψ'⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=⎧⎪⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎪⎪''=+⎪⎪⎩⎩⎰⎰化为定积分,曲线参数方程,则有定积分说明 若空间曲线Γ参数方程为)(),(),(),(βα≤≤===t t z z t y y t x x ,则化为定积分计算[((),(),())()((),(),())()((),(),())()]I P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt βα'''=++⎰.注意 这里α为曲线Γ起点对应的参数值,β为曲线Γ终点对应的参数值,且α不一定小于β.1.2.3二元函数全微分的求积问题若Q P ,在单连通区域D 内偏导数连续,则1)曲线积分与路径无关的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 2)表达式Qdy Pdx +为某函数),(y x U 全微分的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂,且该函数为 00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰.1.2.4全微分方程1)全微分方程 0),(),(=+y x Q dx y x P ,且xQ y P ∂∂=∂∂,则积分与路径无关.通解为00(,)(,)(,)x y x y u x y Pdx Qdy C =+=⎰,(沿着折线积分)即 00(,)(,)(,)xyx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰0(,)(,)x yx y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰.2)非全微分方程 0),(),(=+y x Q dx y x P ,且x Qy P ∂∂≠∂∂,找一个函数),(y x μ(称积分因子)乘以该方程0),(),(=+y x Q dx y x P μμ两边,则xQ y P ∂∂=∂∂)()(μμ为全微分方程. 注 1)求积分因子一般说来不是意见容易的事,且积分因子不是唯一的,因而通解可能具有不同的形式.2)熟悉以下全微分公式对寻找积分因子是有帮助的.()ydx xdy d xy +=;2()xdy ydx yd x x-=;2()xdy ydx x d y y -=-; (ln )xdy ydx y d xy x -=;22(arctan )xdy ydx yd x y x-=+.1.3曲线积分的应用1.3.1几何应用曲线L 的长度 ⎰=Lds s ;由曲线L 所围成区域D 的面积 ⎰-=Lydx xdy A 21. 1.3.2物理应用 线密度为(,)x y μ的曲线构件,① 质量: (,)LM x y ds μ=⎰;② 重心坐标: 1(,)Lx x x y ds M μ=⎰,1(,)Ly y x y ds M μ=⎰③ 转动惯量: 2x LI y ds μ=⎰,2y LI x ds μ=⎰,22()o LI x y ds μ=+⎰. ④ 变力→→→+=j y x Q i y x P F ),(),(沿曲线AB L 所作功为W=)()(→→→→→→+⋅+=⋅⎰⎰j dy i dx j Q i P ds F ABABL L =⎰+ABL Qdy Pdx .二、例题分析1.对弧长的曲线积分的计算计算方法:1) 画出积分路线图形;2) 写出积分曲线L 方程: ⎩⎨⎧<==)(,)()(βαt y y t x x L :; 3) 利用三代换①⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ;②ds =;③ L 换为βα<.(1)当积分曲线弧参数方程为L :⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ)(βα≤≤t ,则)()()()](),([),(22βαψϕψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f L.(2)当积分曲线弧直角坐标方程为L :X x x x y ≤≤=0),(ϕ,则(,)(,(XLx f x y ds f x x ϕ=⎰⎰(将x 看作参数). (3)当积分曲线弧直角坐标方程为L :Y y y y x ≤≤=0),(ψ,则⎰⎰'+=Yy Ldy y y y f ds y x f 0)(1)),((),(2ψψ(将y 看作参数). (4)当空间积分曲线弧参数方程为Γ:βαψϕ≤≤===t t w z t y t x ),(),(),(,则⎰⎰'+'+'=Γβαψϕψϕdt t w t t t w t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222.(5)当积分曲线弧极坐标方程为L :(),ρρθαθβ=≤≤,由直角坐标与极坐标关系,cos ()cos sin ()sin x y ρθρθθρθρθθ==⎧⎨==⎩,将θ看作参数,则(,)(cos ,sin Lf x y ds f βαρθρθθ=⎰⎰.特别注意:积分的下限一定小于积分的上限. 例1.计算曲线积分ds y x L⎰+22,其中L 为圆周ax y x =+22)0(>a .解: 方法1:利用参数方程计算.因为曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=π20,sin 2)cos 1(2t ta y t a x L :, 所以 dt adt t t a ds 2)cos (sin 4222=+=,于是ds y x L⎰+22⎰⎰+=++ππ20220222)cos 22(4sin )cos 1(4dt t a dt t t a =⎰⎰⎰=-=ππππ20220222]2cos 2cos [2|2cos |2a dt tdt t a dt t a =方法2:利用极坐标计算. 因为曲线的极坐标方程为 cos ,22a ππρθθ=-≤≤,所以ds ad θθθ===,cos a ρθ==,于是L=22222cos a d a =⎰-θθππ.例2.设曲线L 为椭圆13422=+y x ,其周长为a ,求曲线积分ds y x xy L⎰++)432(22. 解:设椭圆的参数方程为π20sin 3cos 2≤≤⎩⎨⎧==t ty tx ,椭圆方程也可写为223412x y +=于是ds y xxy L⎰++)432(22ds xy L⎰=2+ds y x L⎰+)43(22⎰⎰++-=Lds dt t t t t 12)cos 3()sin 2(sin 3cos 222220π34=a dt t t t 12sin 3sin cos 220++⎰π32==+++⎰a t d t 12)sin 3(sin 32202πa 12.例3.计算曲线积分Lxyds ⎰Ñ,其中L 是球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线. 解:记LIxyds ⎰Ñ,由对称性有1()3LI xy xz yz ds =++⎰Ñ, 因为 2222()222x y z x y z xy yz xz ++=+++++,则22221[()]2xy yz xz x y z x y z ++=++---有因为 2222x y z R x y z ⎧++=⎨++=⎩,所以 2211()(0)36L LI xy xz yz ds R ds =++=-⎰⎰蜒 2231112663LR ds R R R ππ--===-⎰Ñ2.对坐标的曲线积分的计算沿平面曲线L 对坐标的曲线积分⎰+LQdy Pdx 有三种计算方法:(1)化为定积分计算:1)若曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ,当参数t 单调地由α变到β,作三代换化为定积分;①)(),(t y t x ψϕ==; ②dt t dy dt t dx )(,)(ψϕ'='=; ③ 积分区间],[βα或],[αβ.则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+'=βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{.注意:积分限的下限α不一定小于积分上限β,下限α对应于曲线L 的起点,上限β对应于曲线L 的终点.2)若积分曲线直角坐标方程为)(x y L ϕ=:,则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(dx x x x Q x x P ba})()](,[)](,[{⎰'+=ϕϕϕ下限a 对应L 的起点,上限b 对应L 的终点. 3)若积分曲线直角坐标方程为)(y x L ψ=:,则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰+'=dcdy y y Q y y y P ]}),([)(]),([{ψψψ.下限c 对应L 的起点,上限d 对应L 的终点.4)若空间曲线Γ参数方程为)(),(),(t w z t y t x ===ψϕ,则⎰Γ++Rdz Qdy Pdx⎰'=βαϕψϕ)}()](),(),([{t t w t t P dt t w R t t w t t Q )}()()](),(),(['+'+ψψϕ 下限α对应于Γ的起点,上限β对应于Γ的终点.(2)当xQy P ∂∂=∂∂时,曲线积分与路径无关,可以选折线*L (平行于坐标轴的直线)积分,即⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰+=*),(),(L dy y x Q dx y x P .(3)应用格林公式化为二重积分计算. 例4.计算曲线积分,||||⎰++=ABCDAL y x dydx I 其中ABCDA 是以点)0,1(A ,)0,1(),1,0(-C B )1,0(-D 为顶点的正方形.解:方法1:将积分化为定积分计算由于曲线的方程分别为,,1,1,,1,1dy dx y x L dy dx y x L dy dx y x L dy dx y x L DA CD BC AB ==--=-=+==+--==+:;::;:于是||||ABCDAL dx dyI x y +==+⎰⎰⎰⎰⎰+++++++DACDBCABL L L L dy dx dy dx dy dx dy dx )()()()(0)11()11()11()11(10111=++-+++-=⎰⎰⎰⎰--dx dx dx dx ,方法2:利用格林公式计算,但是不可以直接应用格林公式,因为Q y x P =+=||||1在点)0,0(不连续,所以在该点没有连续的偏导数.但是可以利用积分路径的方程代入被积函数后,再利用格林公式计算.由于积分路径的方程为1||||=+y x L :,故有 ⎰++=ABCDAL y x dydx I ||||⎰+=ABCDAL dy dx 00)(==∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰DDdxdy dxdy y Px Q .例5.计算积分⎰Γ=xyzdz I ,其中Γ是用平面z y =截球面1222=++z y x 所得截线从z 轴的正向看去,沿逆时针方向.解:由于曲线的参数方程为π20,sin 21sin 21cos ≤≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t t z t y tx ,且tdt dz cos 21=,所以222220sin cos sin 2I t tdt tdt ππ==⎰20(1cos 4)t dt π=-=⎰162π. 练习题: 例6.求曲线积分22Lydx xdyx y-+⎰,其中22(1)19x L y -+=:的上半平面内部分,从点(2,0)-到(4,0)的一段.解:因为在ABDCA 中,P Qy x∂∂=∂∂且连续, 所以积分与路径无关,则有»»*0LBDL CA+++=⎰⎰⎰⎰因为»220BDydx xdy x y -=+⎰,»220CAydx xdyx y -=+⎰(0y =) 所以 222222*00(sin cos )L L ydx xdyr dx y r ππθθθ---=-=-=+⎰⎰⎰⎰. 例7.计算曲线积分22323L ydx xdyx xy y --+⎰Ñ,其中L 为1x y +=解:因为 22323y P x xy y =-+,22323xQ x xy y -=-+ 且在闭区域»»*0L AB L BA +++=内,P Qy x∂∂=∂∂所以»»*0LABL BA+++=⎰⎰⎰⎰, 其中»»0ABBA+=⎰⎰,即**LL L -=-=⎰⎰⎰, 其中*cos sin x r L y r θθ=⎧⎨=⎩:,于是22323L ydx xdyx xy y --+⎰Ñ2222222220sin cos 3(sin cos )2sin cos r r d r r πθθθθθθθ---=+-⎰220032sin cos 3sin 2d d ππθθθθθ=-=---⎰⎰ 222(cos sin )d πθθθ=-+-⎰202()422sin ()4d ππθπθ-=-+-⎰7424121sin d ππθθ-=-+⎰222200tan 222cos 2sec 1d d ππθθθθ=-=---⎰⎰ tan 22200tan 222tan 121t d dtt πθθθ=+∞=-===-++⎰⎰2+∞==-. 例8.计算曲线积分22(1)(1)L ydx x dy I x y --=-+⎰Ñ积分,其中1.L 为圆周2220x y y +-=的正向;2.L 为椭圆周22480x y x +-=的正向.解:这里 2222222(1)()(1)[(1)]P y x y Q y y x y x y x∂∂--∂===∂∂-+-+∂, 1.在圆22(1)1x y +-≤中,P Q y x∂∂=∂∂,所以0L I ==⎰Ñ; 2.因为函数2222(1),(1)(1)y x P Q x y x y --==-+-+在(1,0)处定义,所以函数在22480x y x +-=即椭圆22(1)112x y -+=中除椭圆中心(1,0)外,恒有P Q y x∂∂=∂∂,于是以(1,0)为中心作一个圆周*1cos sin x L y θθ-=⎧⎨=⎩: (θ从2π变到0)所以 2022*2sin sin cos cos sin LL I d πθθθθθθ--==-=-+⎰⎰⎰202d πθπ=-=-⎰.例9.设椭圆22149x y +=在点A 的切线交y 轴与点B ,设L 为从A 到B 的直线段,试计算曲线积分sin ()[cos ln(1)1LyI dx y x dy x =++++⎰ 解:先求切线方程,因为斜率94Ax k y=-=所以切线方程为y x =+ 令0x =,得y =B点的坐标为,C点坐标为. 于是有ABABBCCABCCALL L L L L L ==++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()BC CA L L DP Q d y xσ∂∂=---∂∂⎰⎰⎰⎰102(1Ddx x σ=+--+⎰⎰⎰109[sin 1)]222x x =+--+-(其中1224A ==)39222=--+21sin 242=-.例10.计算曲线积分¼[()cos ][()sin ]AMBI y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰其中¼AMB 为连接(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 下方的任意路线且该线段与»AB 所围成的图形面积为2. 解:这里(()cos )()cos P y x y y x y yϕπϕπ∂∂'=-=-∂∂ (()sin )()cos Q y x y x x xϕπϕ∂∂''=-=∂∂ 对于含有抽象函数,一般是加边使曲线封闭,再用格林公式,因此¼»»¼ABAMBBABAAMAI =+-=-⎰⎰⎰⎰⎰Ñ对于¼()2DDAMAQ Pd dxdy x y σππ∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ, 又直线AB 方程为2423y x πππ--=--, 即1xy π=+, 所以 [()cos ()sin ]BABABAy xdx y xdy ydx dy ϕϕππ'=+-+⎰⎰⎰(,2)(3,4)(()sin )BAd y x ydx dy ππϕπ=++⎰⎰3(,2)(3,4)1[()sin ][(1)]x y x dx ππππϕπππ=+++⎰2323111[][(1)]22x x x x x ππππππππ=++=++ 262ππ=+.于是 222(62)6I ππππ=-+=-. 练习题:1.已知曲线)2(x x y -=与x 轴交于原点O 和点)0,2(A ,曲线在点A 处的切线交y 轴于点B ,试计算沿从A 到B 的直线段的积分⎰+⋅++++-+=ABdy x y x dx y xyI )]1ln(cos 1[)11sin (.(10) 2.曲线积分与路径无关问题曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关⇔在G 内xQ y P ∂∂=∂∂;⇔0=+⎰LQdy Pdx ,L 为G 内任一闭曲线;⇔在G 内存在),(y x U ,使得Qdy Pdx y x dU +=),(.例11.设2)0(-=f ,试决定函数)(x f ,使积分⎰+-)4,4()0,0()()tan )(2sin (ππdy x f dx x x yf x y与路径无关,并计算该积分. 解: 1)先求出未知函数)(x f .因为 sin 2()tan P y x yf x x =-,()Q f x =, 又积分与路径无关,所以)(tan )(2sin x f xQ x x f x y P '=∂∂=-=∂∂, 即 x x x f x f 2sin tan )()(=+'.初值问题 ⎩⎨⎧-==+'2)0(2sin tan )()(f xx x f x f ,这是一阶线性微分方程,其满足初始条件的特解是x x f 2cos 2)(-=.2)求积分因为积分与路径无关,所以沿折线积分,即⎰+-)4,4()0,0()()tan )(2sin (ππdy x f dx x x yf x y2440002cos 4dx dy πππ=+-⎰⎰444cos 22πππ-=⋅-=.练习题:1.设函数)(x ϕ一阶连续可导,1)0(=ϕ,曲线积分⎰+-Ldy x dx x x y x )(]tan )(2[sin ϕϕ与路径无关,(1)求)(x ϕ,(2)计算dy x dx x x y x )(]tan )(2[sin )4,4()0,0(ϕϕππ+-⎰-.( (1)()cos x x ϕ=,(2)128+ ) 2.曲线积分b a dy y x x by dx x y y ax I L,()sin cos ()sin cos (22⎰-+-=均为常数)在整个xoy 平面上与路径无关,试求b a ,.并求当b a ,取上述值时,L 是曲线x y sin =上从)0,0(到)1,2(π这一段时曲线积分的值.(1cos 4,2,22π===I b a )3.二元函数全微分求积问题若Q P ,在单连通区域D 内偏导数连续,则1)曲线积分与路径无关的充要条件是xQy P ∂∂=∂∂. 2)表达式Qdy Pdx +为某函数(,)u x y 全微分的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂,且该函数为 00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰.例12.设函数22()f x y +连续可微,求22()f x y +使得22()[()()]f x y x y dx x y dy +-++在除了原点外的任何平面域D 内为某二元函数的全微分.解:因为22()[()()]f x y x y dx x y dy +-++为某函数全微分,则有xQ y P ∂∂=∂∂成立, 这里2222()(),()()P f x y x y Q f x y x y =+-=++,所以()2'()2'P Q x y yf f x y xf f y x∂∂=--==++∂∂ 化简得 222222()()()0f x y x y f x y '++++=,令22u x y =+,有()()0f u uf u '+=,这是可分离变量的一阶微分方程,求出其解为()(0)C f u C u=≠),即2222()(0)Cf x y C x y +=≠+为所求.4.曲线积分的应用例13.设空间曲线构件的线密度为μ=,且曲线方程是由曲面2222x y z a ++=与平面0x y -=的交线,求曲线构件的质量M . 解:相交的曲线方程为2222y x x y z a=⎧Γ⎨++=⎩:, 消去x 得到一个过曲线Γ的柱面方程2222y z a +=.又该曲线构件质量222M a ds a a a ππΓ=====⎰⎰⎰g ?.例14.质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F u r的作用,F u r 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP ,且F u r与y 轴正向的夹角小于2π,求变力F u r 对质点P 所做的功.解:我们知道变力F u r对质点P 所做的功LLW Fds Pdx Qdy ==+⎰⎰u r r本题的关键是求出力F Pi Q j =+u r r r .方法1 :设动点(,)P x y ,则OP xi y j =+u u u r r r ,又设与OP uuu r 垂直的力为F ai b j =+u r r r,具题意 0OP F ⋅=u u u r u r ,即0ax by +=且2222a b x y +=+, 因为F u r 与y 轴正向的夹角小于2π,有{0,1}0F >u r g ,即0b >.解方程组2222ax by a b x y+=⎧⎨+=+⎩,将by a x=代入2222a b x y +=+中得到 22b x =,因为0b >得到b x =.将b x =代入bya x=中得a y =-. 因此F yi x j =-+u r r r方法2: 设OP uuu r 用复数表示为z x iy =+,F u r复数形式为22()i i u zex iy eππ±±==+因为F u r 是OP uuu r 逆时针方向转到,所以取2π+,即有2()()(cossin )()22iu x iy e x iy i x iy i y ix πππ=+=++=+=-+ 因此所求的力为 F y ix =-+u r于是 LW ydx xdy =-+⎰求弧AB 方程:因为AB 中点是圆心,即0013242,322x y ++====,半径R == 22(2)(3)2x y -+-=,用参数方程表示为23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩.当1x =时,12t =+,cos 2t =-,当2y =时,23t =,sin 2t =-, 因此得到34t π=-, 当3x =时,32t =,cos 2t =,当4y =时,43t =+,sin 2t =, 因此得到4t π=,于是434)sin )cos ]2(1)W t t t t dt πππ-=+=-⎰.例15.有一方向指向原点,大小等于作用点到原点的距离的力构成的力场,试确定当质点沿螺旋线cot,sin ,x a y t z kt ===,从0t =的点移到2t π=的点时场力所做的功.分析:质点在力F Pi Qj Kk =++u r作用下,沿曲线Γ从点A 到点B 时,力F u r 所做的功为LW Pdx Qdy Rdz =++⎰关键是求力F u r的表达式.解:设力F u r 的作用点为(,,)M x y z ,则力的方向与{,,}MO x y z =---u u u u r相同,所以与F u r 同方向的单位向量为0MO F MO ==u u u u r u u r u u u u r 又力的大小为F MO ==u r u u u u r 从而 0{,,}F F F x y z ==---u u ru r u r于是 W xdx ydy zdz Γ=---⎰2220[cos cos sin sin ]2a tda t a tda t ktdkt k ππ=---=-⎰.练习题:1.设曲线构件成半圆形π≤≤==t t a y t a x L 0,sin ,cos :,其上每一点处的线密度等于该点的纵坐标的平方,求曲线构件的质量M .(321a π)2.一空间力场,力的方向垂直与z 轴且指向z 轴,其大小与作用点到z 轴的距离成反比,一质点沿圆周cos ,1,sin x t y z t ===从点0A t =运动到点2B t π=,求力场对质点所作的功.(022xi y j F F F k x y +=-=-+r ru u r u r u r )6.综合题例16.在过点)0,()0,0(πA o 和的曲线族)0(,sin >=a x a y 中,求一条曲线L ,使得沿该曲线从点o 到点A 的积分⎰+++=Ldy y x dx y I )2()1(3的值最小.解: 1)先计算该曲线积分 因为 y x Q y P +=+=2,13,且 23,2y yPx Q =∂∂=∂∂. 利用格林公式计算,33()(1)(2)(1)(2)L L L I a y dx x y dy y dx x y dy ''+=+++-+++⎰⎰Ñ3()(1)(2)DL Q Pdxdy y dx x y dy x y '∂∂=---+++∂∂⎰⎰⎰ 02(32)Dy dxdy dx π=--⎰⎰⎰sin 20(32)a x dx y dy ππ=-+⎰⎰3sin 00[2]a xdx y y ππ=-+⎰330(sin 2sin )a x a x dx ππ=-+⎰π+-=a a 4343. 2)求)(a I 的最小值由2()440I a a '=-=得,1±=a ,又因为0>a ,所以1=a ,因此,当1=a 时,I 最小,且最小值38)1(-=πI . 例17.质点在变力→→→→++=k xy j zx i yz F 的作用下,由原点沿直线运动到椭球面1222222=++cz b y a x 上第一卦限的点),,(000z y x P ,问),,(000z y x P 取何值时,力→F 作功最大,最大值是多少? 解: 1)先求所作的功原点0到点P 的方程00000000--=--=--Γz z y y x x :,为方便,曲线方程化成参数方程t y y t x x 00,==Γ:)10(,0≤≤=t t z z ,于是所作的功⎰⎰ΓΓ→→++=⋅=xydz zxdy yzdx s d F W =000120003z y x dt t z y x =⎰,2)再求最大功求函数),,(000z y x W 在条件1220220220=++cz by ax 下的极值, 设拉格朗日函数λ+=000000),,(z y x z y x F (1220220220-++cz by ax ), 对其求偏导数,并令它们为令,得设Σ为光滑曲面,函数f(x,y,z)在Σ上有界,把Σ任意地分成n 个小曲面ΔS,在每个小曲面解方程组0000002000200022220002222020201x y z x F y z ay F x z b z F x y c x y z a b c λλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪++=⎪⎩,得,3,3,3000c z b y a x === 由实际问题的性质可知这样的问题存在最大值,因此当1.2.曲面积分1.2.1曲面积分的定义Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS,并求和Σf(Xi,Yi,Zi)dS ,记λ=max(ΔS的直径) ,若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在,且极限值与Σ的分法及(Xi,Yi,Zi)在Σ上的取法无关,则称极限值为f(x,y,z)在Σ上对面积的曲面积分,也叫做第一类曲面积分。
第十章 曲线积分和曲面积分(最全)word资料
第十章 曲线积分和曲面积分1. 设L 为03,02x x y =≤≤, 则4_________.L dS =⎰2. 设L 是连结原点和点(1,1)P 的直线段, 则_______.Lxds =⎰3. 设L 是园周222(0)x y a a +=>, 则________.=⎰4. 设是以点O (0, 0)、A (2, 0)、B (2, 1)为顶点的三角形边界,方向为逆时针方向, 则________.Lydx xdy -=⎰5. 设L 是园周222(0)x y aa +=>上位于第一卦象由点(,0)A a 到点(0,)B a 的一段弧, 则22(1)_________.Lxydx x dy ++=⎰6. 若线段AB 垂直于x 轴,则(,)________.ABP x y dx =⎰若线段AB 垂直于y 轴,则(,)________.ABP x y dy =⎰7. 设L 是0,0x y ==及2x y +=所围成的三角形的正向边界,()2________.Lx y dx xdy +-=⎰.6A , .6B -, .3C , .3D -8. 设L 为取顺时针方向的园周222x y ay +=, 则________.Lydx xdy -=⎰2.2A a π, 2.2B a π-, 2.C a π-, 2.D a π9. 设L 是园域222x y x +≤-的正向边界, 则22()()________.Lx y dx x y dy -+-=⎰.2A π-, .0B , 3.2C π, .2D π10. 计算积分I =⎰, 其中L 是抛物线2x y =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的一段弧. ()1112⎛⎫⎪⎝⎭11. 计算积分I =22(2)(2)L x y dx x y dy -+-⎰, 其中L 为沿上半椭园22221x y a b+=由点(,0)A a 到点(,0)B a -的一段弧, 3223ab a π⎛⎫-⎪⎝⎭12. 设L 是摆线()()sin 1cos x R t t y R t =-⎧⎨=-⎩从()0,0到()2,0R π的一拱,求曲线积分()2LI R y dx xdy =-+⎰. ()22R π- 13. 计算积分sin LI ydx xdy =+⎰, 其中L 为()sin 0y xx π=≤≤与x 所围的闭曲线,取顺时针方向. ( 2 ) 14. 计算积分22LI xy dx x ydy =+⎰, 其中L 为正向园周曲线222x y a +=. 212a π⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 计算积分()()332y y LI yxe dx xy xe y dy =+++-⎰, 其中L 为正向园周曲线222x y a +=. ( 0 ) 16. 计算积分LI xdx =⎰, 其中L 为园周曲线222x y a +=在第一卦象中的部分,取顺时针方向. 214a π⎛⎫- ⎪⎝⎭17. 验证2322(32)(32)x xy dx x y y dy +++是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. ()3232(,)u x y x x y y =++18. 计算积分()sin ()cos x x L I e y b x y dx e y ax dy ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰, 其中L 为园周 222x y ax +=, 方向为顺时针方向, ,a b 为常数. ( 2()a b a π- )19. 试求常数λ, 使曲线积分()()00,,x y x y I xy dx x ydy λλ=+⎰与路径无关,并求I 的值.222200112,22I x y x y λ⎛⎫==- ⎪⎝⎭第十章 曲线积分和曲面积分参考答案1. 6,2.2, 3. 22a π, 4. 2-, 5. a 6. 0, 0, 7. B, 8. A, 9. D.第四章三相交流电路4-1 三相电源三相对称正弦电动势三相正弦电动势用A相、B相、C相表示。
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第第九章
一、 对弧长的曲线积分 二、 对坐标的曲线积分 三、 两类曲线积分之间的联系
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
一、对弧长的曲线积分
1. 对弧长的曲线积分的概念与性质
引例 曲线形构件的质量
假设曲线形细长构件在空间所占
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
例3 计算曲线积分 线
解 (x2y2z2)ds
第五节 曲线积分
其中 为螺旋
的一段弧.
a2k2 2π[a2k2t2]dt 0
高等数学(下)
2πa2k2(3a24π2k2). 3
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
例4 设 C 是由极坐标系下曲线 ra,0及
y
ALf(x,y)ds
x
ds
L
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
性质
(1 )f(x ,y,z)g(x,y,z)d s f(x,y,z)dsg(x,y,z)ds
(, 为常数)
(2) f(x,y,z)ds 1f(x ,y ,z )d s 2f(x ,y ,z )d s
(由
f(r()c o,rs ()s in ) r2()r2()d.
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
例2 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解 L :yx2(0x 1 )
1
0 x
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
1(5 51). 12
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第五节 曲线积分
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
O
1x
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
推广 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t ) y , ( t ) , z ( t ) ( t )
则 f(x,y,z)ds f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
(3) 注意到 ds (d x)2(d y)2
y ds dy
2(t) 2(t)dt,
dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. O x x
如果曲线 L 的方程为
则有
b
f
(x,(x))
12(x)dx.
a
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
和对局部的 任意取点,下列“乘积和式极限”
n
记作
(k,k,k)
lim
0
k 1
f(k, k, k) sk
f(x,y,z)ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数, 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M(x,y,z)ds
高等数学(下)
定理
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t ) ,( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) d t .
说明
( 1 ) s k 0 , tk 0 ,因此积分限必须满足 !
( 2 ) 可运用奇偶对称性简化运算.例如 x2y2a22xyds0.
40 π4rco sr2()r2()d
4 π4a2cosd 0
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第五节 曲线积分
例7 计算
其中 为球面
x2y2z29 2与平 x面 z1的交 . 线
解 :12(x12)214y21, 化为参数方程
xz1
x 2co s1 2
: y2sin
0 2π
则
z1 2 2cos
B
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k,k,k)
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
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第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
是定义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割
π 4
所围区域的边界,
求
y yx ra
解 分段积分
π 4
O y 0 ax
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第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
例5 计算
其中 为球面
被平面
所截的圆周.
解 由轮换对称性可知
x2 ds y2 ds z2 ds
x 2 d s 1 3 (x 2 y 2 z2 )d s
1 a2 ds 1a22πa
d s( 2sin)2
( 2sin)2d 2d
I92π2d1π 8 20
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
3. 对弧长的曲线积分的物理意义
可表示在空间沿位于光滑曲线Г的螺旋弹簧、细棒和
电线的质量和转动惯量及重心等.
3
3
2 πa3 3
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
例6 计算
其中L为双纽线
( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 )( a 0 )
解 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L 1 :r a c2 o( 0 s π 4 )
O
x
利用对称性 , 得
高等数学(下)
第九章 多元函数积分学及其应用
第五节 曲线积分
几何意义 柱面上曲边梯形的面积
如图曲边梯形是以 zf(x,y)为顶边,以L为底边的柱面
上的曲边梯形.假设函数 zf(x,y) 在光滑弧段L上连续,
则图示曲边梯形的面积元素
z
zf(x,y)
d A f(x ,y )d s
得到曲边梯形的面积为
o
组成)
高等数学(下)
( l 为曲线弧 的长度)
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第五节 曲线积分
例1 计算 (a0).
其中 L 是圆周
解法一 被积函数在圆周上取值
解法二 利用几何性质
z
高等数学(下)
o
y
x
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2.对弧长的曲线积分的计算法
基本思路 求曲线积分 转 化 计算定积分
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第五节 曲线积分
如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f(x,y)ds.
思考
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问Lds表示什?么
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.