第讲相干传递函数与非相干传递函数

 

表明在相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不 变的。
空间不变线性系统的变换特性在频域中来描述更方便。 频域中描述系统的成像特性的频谱函数称为衍射受限系统的相干 传递函数，记作CTF。

系统的本征函数和信号频谱
相干成像系统的物像关系卷积积分描述
该卷积积分把物点看做基元，而像点是物点产生的衍射图样在该 点处的相干叠加 从频域来分析成像过程，系统的本征函数是复指数函数

考察系统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱和输 出频谱分别为

~ Ggc  f x , f y F U g ~ x , y

 



Gic  f x , f y F  U i xi ,yi 

相干传递函数CTF 的计算
相干传递函数CTF 是点扩散函数的傅里叶变换

~ H c ( f x , f y )  F h  xi , y i 

 c

a

2f

相干传递函数计算例题解答（续）
按题意要求二者相等，即

c  c '

，于是得

D a 2
应当注意，尽管表面上看第二个系统的光栏孔径可以比第一个系 统的透镜孔径要小，但是由于要求光阑直径应不小于透镜直径与 物面直径之差第二个系统的透镜孔径并不小，另一方面由于第二 个系统的光栏面直接就是频谱面，做空间滤波操作比较简单，因 此是一个常用的光学信息处理系统 第二个系统的两个透镜焦距并不一定相等，在光学信息处理中， 有时需要放大率不是一





由于点扩散函数本身是光瞳函数的傅里叶变换，因此根据傅里叶 变换的积分定理有

  P(di f x ,di f y ) H c ( f x , f y )  FFPd i ~ x , d i ~ y 
这说明，相干传递函数等于光瞳函数，仅在空域坐标和频域坐标 之间存在着一定的坐标缩放关系。而且上一节给出的光瞳上的坐 标变换产生了具体的物理意义，即空间频率

 x  y P( x, y)  rect rect  a a
相干传递函数为
 d i f y  d i f x  H ( f x , f y )  P(d i f x , d i f y )  rect rect  a  a   f    fx  y    rect  rect  a / d   a / d   i  i       

它允许通过的最高频率称为系统的截止频率，用

f  表示

圆形光瞳相干传递函数计算
对于直径为D的圆形光瞳，其孔径函数可表为
 x2  y 2 P( x, y)  circ  D/2     

故其相干传递函数和截止频率分别为

 f 2 f 2 x y  H c ( f x , f y )  P(d i f x , d i f y )  circ  D / 2d i 

Hale Waihona Puke Baidu    

f 

D d i

例如：出瞳直径 D  mm ，出瞳与像面距离 d i  mm ，照 明光波长    nm ，则有   c    ( mm )        

正方形光瞳相干传递函数计算
对于出瞳是边长为

a

的正方形，则光瞳函数为

相干传递函数计算例题解答
这两个系统都是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率 和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为

D c  4 f
凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通 过此成像系统 对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳 分别在物方和像方无穷远处。对于这种放大率为1的系统，能通过 光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，系统的截止频率 可通过光阑的尺寸来计算 要保证4f系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波 均都毫无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径应不小于透镜 直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为

fx  ~ x

x y , fy  ~ y d i d i

一般光瞳函数都是中心对称的，故可在一个反射坐标中来定义相 干传递函数，去掉负号的累赘，将相干传递函数改写为

H c ( f x , f y )  P(d i f x , d i f y )

衍射受限系统是一个低通滤波器
一般说来光瞳函数总是取1和0两个值，所以相干传递函数也是如 此，只有1和0两个值

显然，不同方位上的截止频率不相同，在 x, y 轴方向上，系统 的截止频率 f   a d i  。系统的最大截止频率在与 x 轴成 45°角方向上

相干传递函数计算问题举例
如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中 光阑直径为 D ，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径 a 应等于多大（相对于 D 写出关系式）？
若由频率决定的光瞳坐标值 x  d i f x , y  d i f y 在光瞳内， 则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅衰减 也没有相位变化，即传递函数对此频率的值为1。 若由频率决定的光瞳坐标值在光瞳之外，则系统将完全不能让此 种频率的指数基元通过，也就是传递函数对这频率的值为0。 这就是说，衍射受限相干光学成像系统是一个低通滤波器，在空 间频域中存在一个有限的通频带
光学信息技术原理及应用

(十二)
相干传递与非相干传递函数

衍射受限相干光学成像系统

上图的衍射受限相干光学成像系统输入面上照明光是相干光，即 单一波长，单一偏振方向，光场中在成像过程中任意两点之间的 光程差（相对位相）恒定。

相干传递函数
公式
~ ~ ~ U i ( xi , y i )    U g ( x 0 , y 0 ) h ( xi  ~ x0 , y i  ~ y 0 )d~ x0 d~ y0 ~  U g ( xi , y i )  h ( xi , y i )

非相干照明的特点
非相干照明时物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此 独立、统计无关的。 虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布， 但由于物面的照明是非相干的，应该先由这些复振幅分布分别求 出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加）而 得到像面强度分布。 在传播时光的非相干叠加对于强度是线性的，因此非相干成像系 统是强度的线性系统。 在等晕区光学系统成像是空不变的，故非相干成像系统是强度的 线性空不变系统。