【创新设计】-高中数学 3.1.2 相关系数同步练习 北师大版选修2-3

1.2 相关系数
双基达标限时20分钟
1．下列说法中不正确的是( )．A．回归分析中，变量x和y都是普通变量
B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
C．线性相关系数可能是正的，也可能是负的
D．如果线性相关系数是负的，y随x的增大而减少
解析在回归分析中的两个变量是具有相关关系的两个变量．
答案 A
2．通过相关系数来判断两个变量相关关系的强弱时，相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据的效果就越好，如果相关系数r∈[0.75,1]则两个变量( )．
A．负相关很强B．相关性一般
C．正相关很强D．两变量之间几乎没有关系
答案 C
3．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：
①n＝7，r＝0.953 3 ②n＝15，r＝0.301 2 ③n＝17，r＝0.499 1 ④n＝3，r＝
0.995 0
则变量y和x具有线性相关关系的是( )．
A．①和②B．①和④
C．②和④D．③和④
解析相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关关系越强，故选B.
答案 B
4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，则下列说法正确的是________．
①b与r的符号相同②a与r的符号相同③b与r的符号相反④a与r的符号相
反
解析因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜
0.
答案①
5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下
表(单位：百万元)：
解析 x ＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10
10
＝6.6.
y ＝
15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45
10
＝31.5.
∴r ＝
∑i ＝1
10
x i －x
y i －y
∑i ＝1
10
x i －x
2
∑i ＝1
10 y i －y
2
＝0.991 8.
答案 0.991 8
6．维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这
个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据. 甲醛浓度
克/升
缩醛化度
克分子
解 列表如下
x ＝
7＝24，y ＝7
，
r ＝
l xy
l xx l yy
＝∑i ＝1
7
x i yi －7x y
∑i ＝1
7
x 2
i －7x
2
∑i ＝1
7
y 2i －7y 2
＝
4 900.16－7×24×
202.94
74 144－7×242
5 892－7×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫202.9472
＝0.96.
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系．
综合提高
限时25分钟
7．对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图①：对变量u 、
v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断
( )．
A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
解析 在图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量x 与
y 负相关；同理，变量u 与v 正相关，故选C.
答案 C
8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则
( )．
A ．r 2＜r 1＜0
B ．0＜r 2＜r 1
C ．r 2＜0＜r 1
D ．r 2＝r 1
解析 由线性相关系数公式知
r
＝
∑i ＝1
n
x i －x
y i －y
∑i ＝1
n
x i －x
2
∑i ＝1
n
y i －y
2
.
∵X ＝U ＝11.72，Y ＝V ＝3，
X i ＝U i (i ＝1,2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1,2，…，5)，
∴
∑i ＝15
X i －X
2
∑i ＝1
5
Y i －Y
2
＝
∑i ＝1
5
U i －U
2
·
∑i ＝15
V i －V
2
.
令∑i ＝1
5
(X i －X )(Y i －Y )＝A
＝(10－X )(1－Y )＋(11.3－X )(2－Y )＋(11.8－X )(3－Y )＋(12.5－X )(4－Y )＋(13－X )(5－Y )，
∑i ＝1
5
(U i －U (V i －V )＝B
＝(10－U )(5－V )＋(11.3－U )(4－V )＋(11.8－U )(3－V )＋(12.5－U )(2－V )＋(13－U )(1－V )， ∴A ＞0，B ＜0，∴r 1＞0，r 2＜0. 答案 C
9．关于回归分析，下列说法错误的是________．
①在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
②线性相关系数可以是正的也可以是负的
③回归分析中，如果r 2
＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关 ④样本相关系数r ∈(－1,1)
解析 样本的相关系数应满足－1≤r ≤1，故只有④错． 答案 ④
10．去年一轮又一轮的寒潮席卷全国，某商场为了了解某品牌羽绒服的月
销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当
月平均气温、数据如下表：
气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．
解析x＝10，y＝38，a＝38－(－2)×10＝58，
∴回归方程为y＝－2x＋58.
当x＝6 ℃时，y＝46.
答案46
11．5个学生的数学和物理成绩如表：
解法一涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．
以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图．
由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关．
法二列表：
∴r ＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝15
x 2i －5x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫∑i ＝15
y 2
i －5y
2
＝
23 190－23 100
250×40
＝0.9＞0.
∴两变量具有相关关系且正相关．
12．(创新拓展)下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？该结论与相关系数
r 的计算一致吗？
解 (1)散点图如下：
列表：
∴r＝
∑
i＝1
7
x i y i－7x y
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
∑
i＝1
7
x2i－7x2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
∑
i＝1
7
y2i－7y2
＝
4 300
700×27 771.43
≈0.975.
(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大约分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．又由于r＝0.975＞0，故散点图与r的计算一致.。