高一数学组幂函数学案11
高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数 学案
§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质． 难点：幂函数图象的位置和形状变化． 三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解 因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点， 所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考． 一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解 选A ，或选C ，或选D剖析 错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数． 正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析 在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象． 三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析 求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去． 故所求实数m 的取值集合为{－1}． 四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解 考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析 函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解 考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0， 解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数 解析 要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数． 答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析 首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1； 如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析 结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析 利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解 分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏． 二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解 因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解 由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0， 这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0， 又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0， 由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解 由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析 根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析 性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析 设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2， 所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析 不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析 要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。
高一数学必修1《幂函数》教案
高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。
2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质。
2. 画出幂函数的图象。
3. 不等式解法。
教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。
2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。
教学方法：1. 归纳法。
2. 演示法。
3. 分组讨论法。
教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。
2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。
（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。
（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。
3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。
（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。
（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。
4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。
（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。
二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。
2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。
3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。
教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。
2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。
高一数学《幂函数》教案
诚西郊市崇武区沿街学校郯城县高一数学幂函数教案主备人 徐丹 课时 1年月日分管指导验收结果教学目的知识与技能通过详细实例理解幂函数的图象和性质，并能进展简单的应用． 过程与方法可以类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．重点从五个详细幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个详细幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学过程教师活动学生活动 情景创设材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 幂函数的定义来自于理论，它同指数函数、对数函数一样，也是根本初等函数，同样也是一种“形式定义〞的函数，引导学生注意辨析．下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出以下函数的图象：利用所学知识和方法尝试作出五个详细幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．〔1〕x y =；〔2〕21x y =；〔3〕2x y =； 〔4〕1-=x y ；〔5〕3x y =．解]列表〔略〕 图象师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．材料二：幂函数性质归纳．〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；x y =2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性 定点学生自学课本，掌握幂函数的概念学生动手画图 关键是画出 〔2〕21x y =； 〔5〕3x y =图像小组交流讨论，学生代表完成此表格师生一一共同分析，强调画图象易犯的错误〔2〕0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；〔3〕0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例1、求以下函数的定义域； ()()()()()1133212212345y x y x y x y x y x --=====例2、比较以下两个代数值的大小： ()()()()33 1.5 1.55522 1.2 1.23311.5,1.720.7,0.632.2,1.840.15,0.17---- [例3]讨论函数25y x =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 练习、1．利用幂函数的性质，比较以下各题中两个幂的值的大小： 〔1〕433.2，434.2； 〔2〕5631.0，5635.0； 〔3〕23)2(-，23)3(-； 〔4〕211.1-，219.0-． 2．作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间． 4．用图象法解方程： 〔1〕1-=x x ；〔2〕323-=x x函数αx y =在第一象限内的1．如下列图，曲线是幂图象，α分别取2,21,1,1-四个值，那么相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出以下函数的图象，你能发现什么规律？教师引导提示，学生总结归纳学生独立完成后，在交流讨论，展示成果教师口述第一个，其余有学生口述学生板演学生围绕这些问题探究，讨论，展示结果。
高中优秀教案高一数学教案：《幂函数》
高一数学教案：《幂函数》高一数学教案：《幂函数》一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后讨论的又一基本函数。
通过本节课的学习，同学将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性讨论一个函数的意识，因而本节课更是一个对同学讨论函数的方法和力量的综合检测。
二．学情分析同学通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步把握了如何去讨论一类函数的方法，即由几个特别的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
三．教学目标1．学问目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简洁幂函数的图象，并能依据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数转变的性质改变状况。
2．力量目标在探究幂函数性质的活动中，培育同学观查和归纳力量，培育同学数形结合的意识和思想。
3．情感目标通过师生、生生彼此之间的商量、互动，培育同学合作、沟通、探究的意识品质，同时让同学在探究、解决问题过程中，获得学习的成就感。
四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。
五．教学难点画幂函数的图象引导同学概括出幂函数性质。
六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）假如张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）假如正方形的边长为a，那么正方形的面积为s＝a2．这里s是a的函数．（3）假如立方体的边长为a，那么立方体的体积为v＝a3．这里v是a的函数．（4）假如一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是s的函数．（5）假如某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由同学商量、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，同学观查可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今日这节课，我们就来讨论：2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x 是自变量，a是实常数。
【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练
3.3 幂函数新课标要求通过具体实例，结合231,,,,y x y y x y x y x x=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
知识梳理一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性 增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减三、一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．名师导学知识点1 幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.【变式训练1-1】给出下列函数:①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2.其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .【变式训练1-2】已知幂函数y=(m 2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域.解:∵y=(m 2-m-1)为幂函数,∴m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,则y=x -3(x ≠0);当m=-1时,m 2-2m-3=0,则y=x 0(x ≠0).故所求幂函数的解析式为y=x -3(x ≠0)或y=x 0(x ≠0).知识点2 幂函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例2-1】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2. 在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.知识点3 幂函数的性质比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= ( )A .2B .-1C .4D .2或-1A 【解析】因为f (x )为幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以m 2-2m-2<0,所以m=2.故选A .【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3432⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝34x 在(0，＋∞)上单调递增， 又32>1，∴3432⎛⎫⎪⎝⎭>341 ＝1. 又∵函数y 2＝32x 在(0，＋∞)上单调递增，且34<1，∴3234⎛⎫⎪⎝⎭<321 ＝1，∴3432⎛⎫ ⎪⎝⎭>3234⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式训练2-1】比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)－3.143与－π3.解 (1)∵y ＝x 0.3在[0，＋∞)上单调递增且23>13，∴⎝⎛⎭⎫230.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.【变式训练2-2】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+ <()332m a -- 的a 的取值范围．解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()131a -+<()1332a --.因为y ＝13x- 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32.名师导练A 组-[应知应会]1．已知点,在幂函数y=f (x )的图像上,则 ( ) A .f (x )= B .f (x )=x 3 C .f (x )=x -2D .f (x )=xB [解析] 设f (x )=x a ,由题意知a==3,所以a=3,所以f (x )=x 3.故选B .2．（2021秋•三明期末）已知幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)，则实数m 的值是() A ．1-B ．12C ．2D ．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m 的值． 【解答】解：幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)， 2128m -∴=，2m ∴=，故选：C ．3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间． 【解答】解：设幂函数()f x x α=，函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数a Q ∈，如图为幂函数a y x =的图象，则a 的值可以为( )A ．23B ．32 C ．23-D ．32-【分析】根据幂函数的图象关于y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C 选项正确． 【解答】解：根据幂函数a y x =的图象关于y 轴对称，函数是偶函数，排除B 、D 选项； 再根据幂函数a y x =的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数， 所以0a <，排除A ，即C 选项正确． 故选：C ．5．已知幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m 的值为 ( )A .-1B .3C .-1或3D .1或-3B [解析] 因为幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-2m-2=1且m 2+m-1>0,解得m=3,则实数m 的值为3.6．（2021秋•白山期末）若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(= ) A ．14B ．12C ．2D ．4【分析】根据幂函数的定义，令2221m m --=，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数在(0,)x ∈+∞上为增函数即可，确定m 的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．【解答】解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数， 所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -， 所以3m =，2()f x x =， 从而f （2）224==， 故选：D ．7．（2020秋•河南月考）幂函数223()mm y x m Z +-=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-【分析】依题意，2m =-或1-或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<， 再由m Z ∈可得，2m =-或1-或0． 又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意； 若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意； 若0m =，则2233m m +-=-，符合题意， 综上，2m =-或0． 故选：A ．8．（2022春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．9．(多选题)已知幂函数f (x )= (m ,n ∈N *,m ,n 互质),则下列关于f (x )的结论正确的是( )A .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数B .当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数C .当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递减D .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )的定义域为R ABD [解析] f (x )==.当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数,故B 中的结论正确;当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,故C 中的结论错误;当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )=的定义域为R,故D 中的结论正确.故选ABD .10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误； 对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．【分析】利用待定系数法求出幂函数()y f x =的解析式，再计算1()16f 的值．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈；其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f (x )=(m 2-5m+7)x m-1为偶函数,则实数m 的值为 .3 [解析] ∵f (x )为幂函数,∴m 2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f (x )=x 为奇函数,不满足题意;当m=3时,f (x )=x 2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.13．（2021秋•湖州期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为 ；函数()f x 为 函数．（填“奇”或“偶” )【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可． 【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)， 28α∴=，3α∴=，3()f x x ∴=，定义域为R ，又33()()()f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴是奇函数，故答案为：3，奇．14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数22(22)m y m m x -=--在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知2221m m --=，再根据函数在(0,)+∞上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．【解答】解：因为函数22(22)m y m m x -=--既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以222120m m m ⎧--=⎨-<⎩⇒312m m m ==-⎧⎨<⎩或，解得：1m =-． 故答案为：1-．15．（2021秋•道里区校级月考）当01x <<时， 1.1()f x x =，0.9()g x x =，2()h x x -=的大小关系是 ．【分析】画出这三个函数在区间(0,1)上的图象可得答案． 【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知()()()f x g x h x <<故答案为()()()f x g x h x <<16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)n n f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n = ，f （2）= ．【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出n 的值，写出()f x 的解析式，再计算f （2）的值．【解答】解：函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<，解得13n -<<；又2n k =，且k N ∈，所以0n =，2，当0n =时，3()f x x =；当0n =时，3()f x x =；所以f （2）328==．故答案为：0，2；8．17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点P 8,.(1)求函数f (x )的解析式;(2)画出函数f (x )的图像,并指出其单调区间.解:(1)设f (x )=x α. ∵f (x )的图像过点P 8,,∴8α=,即23α=2-1,解得α=-,故函数f (x )的解析式为f (x )=(x ≠0). (2)作出函数f (x )的图像如图所示.由图可知,函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点(2,).(1)求出函数f (x )的解析式,判断并证明f (x )在[0,+∞)上的单调性;(2)若函数g (x )是R 上的偶函数,当x ≥0时,g (x )=f (x ),求满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )=x α,将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=, 所以f (x )=.幂函数f (x )==在[0,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-==, 因为x 1-x 2<0,+>0,所以f (x 1)<f (x 2), 故幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增.(2)当x ≥0时,g (x )=f (x ),而幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增, 所以当x ≥0时,g (x )单调递增.因为函数g (x )是R 上的偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递减. 由g (5)=,g (1-m )≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m ≤6,所以满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围为[-4,6]. B 组-[素养提升]1．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A ．1B ．0,2C ．－1,1,3D ．0,1,2答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x -- (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数，由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m ＝－1,1,3.2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，()(1)m g x m x =-为幂函数．（Ⅰ）求函数()f x 与()g x 的解析式；（Ⅱ）当a R ∈时，解关于x 的不等式：()()af x g x <．【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）分0a <或4a >，0a =，4a =，04a <<四种情况讨论即可．【解答】解：()I 根据一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，设()f x kx b =+，则112b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则()1f x x =- ()(1)m g x m x =-为幂函数，则2m =，故2()g x x =()()()II af x g x <即2(1)a x x -<，则△24(4)a a a a =-=-当0a <或4a >时，不等式的解集为24{|}a a a x x --或24{|}a a a x x +->， 当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当4a =时，不等式的解集为{|2}x x ≠当04a <<时，不等式的解集为R ．。
高中数学高一(上)幂函数图像与性质同步强化教学案【解析】
高中数学高一（上）幂函数的性质与图像同步强化教学案【解析】教学目的1、 掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在∞（0，+）内的单调性；2、 会画幂函数的图像。
【知识梳理】（1）幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考讨论：在幂函数y ＝x n中，当n ＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？当n ＝0时，此时y ＝x 0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x 为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外．练习：幂函数概念辨析有下列函数：y=2x ，y=x ，3y x =，21y x =，1y x=，23y x =， 34y x -=，122y x x =+，其中那些为幂函数？解：注：幂指数范围的讨论. k ∈Q（2）幂函数的定义域： 若()*Nn n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3xy =、2x y =若()互质、、n m m N m n mn k ,2,*≥∈=，则m nm nx x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3232x x y ==、4343x x y ==若()*Nn n k ∈-=，则nnx x1=-；例如：5-=x y 、6-=x y若()互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：32321x x y ==-、43431xx y ==-后两种情况只需注意分母不为0，其他与前两种情形类似 （3）幂函数的性质：所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．k ＞0时，图像过（0，0）和（1，1）；且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。
k ＜0时，图像过（1，1）；且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴。
高中数学幂函数的教案
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
第十一讲 幂函数与对勾函数(学案)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第十一讲 幂函数与对勾函数知识清单1. 幂函数的图像和性质2. 对勾函数的图像和性质重点：常见幂函数的概念、图象和性质。
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。
幂函数的定义：____________________幂函数在第一象限内的性质： ① 均过定点__________ ② a >0时单调性为________， ③ a <0时单调性为________例1 （1）如图，曲线是幂函数y =x a 在第一象限内的图象，已知α分别取 -1,1,212,四个值，则相应图象依次为（2）作出函数()()x x g x x f ==-,2, 的草图并指出其性质例2（1）若幂函数y =(m 2−3m +3)x m−2的图像不经过原点，则实数m 应满足的条件为__________(2)已知幂函数过点()2,2，解不等式()21≤+x f例3 比较下列各题中两个值的大小 ：幂函数 y=x y=x 2 y=x 3y=x 12y=x -1定义域值域奇偶性单调性公共点(1) 1.1−12与0.9−12 (2) 1.334与0.334(3)312-，343.1-，327.1-例4(1)已知(a +1)12>(3−2a )12,则实数a 的取值范围为__________(2)已知()353x x x f +=，若()()0212>-+++m m f m f ，求m 的取值范围？.二．对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab 。
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x =+≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 25.单调性：增区间为______________________,减区间是_________________________6.渐进线:y=ax例题1.函数xx x x f 1)(2++=的对称中心为例题2.（1）求函数32)(++=x x x f 的值域 （3）求函数1716)(22++=x x x f 的值域例题3已知函数()xax x x f +-=22，(1)若a=1,求函数)(x f 在[]4,2的值域 （2）若在上有最小值和最大值，求实数a 的取值范围。
高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3 幂函数含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。
3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。
∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。
高中数学高一(上)幂函数与指数函数复习教学案【解析】
化简得 又因为
所以2007年后的第7年即2014年，该国会出现粮食危机。
（2）设2007年后的第 年该国出现粮食危机，则此时人口总量为 人
化简得
而当 时，
当 时，
所以2007年的第8年即2015年，该国会出现粮食危机。
（3）设2007年后的第 年该国出现粮食危机，则 年后人口总量为 人
①将 的图像向左平移一个单位即可得到函数 的图像；将 的图像向右平移一个单位就得到函数 的图像。
②将 的图像向上平移一个单位就得到函数 的图像，将 的图像向下平移一个单位就得到函数 的图像。
（2）对称变换：
①函数 的图像与 的图像关于 轴对称；
②函数 的图像与 的图像关于 轴对称；
③函数 的图像与 的图像关于原点对称。
【例1】函数 ，当 时， 单调递增，求实数 的取值范围。
【解】
的两条渐近线为
单调递减，所以其图像必在“新坐标”系中的二、四象限
【点拨】利用函数单调性定义求解是解此题的关键。
变式练习：指出函数 的定义域、值域及单调区间。
答案：定义域[1,3],值域 ，[1,2]单调递增，[2,3]单调递减。
专题二有关幂函数奇偶性的问题
【答案】B
变式练习：若函数 分别是R上的奇函数，偶函数，且满足 ，则有（）
A、f(2)<f(3)<g(0) B、g(0)<f(3)<f(2) C、f(2)<g(0)<f(3) D、g(0)<f(2)<f(3)
答案：D
专题三幂函数图像及应用
幂函数 的图像和性质比较复杂，要重点掌握 的幂函数的性质。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】
幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。
“幂函数” 教学设计、反思及评析
“幂函数” 教学设计、反思及评析作者：杨永强高勤来源：《黑龙江教育·中学》2018年第01期【教学分析】一、教材分析“幂函数”选自人教版高一数学教材必修1第2章第3节.幂函数是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.学生在初中曾经研究过y=x，y=1/x，y=x2三种幂函数，这节内容是对初中有关内容的进一步概括、归纳与发展，是与幂有关的知识的高度升华，可以培养学生逻辑推理能力，落实学科核心素养.从教材的整体安排看，幂函数的学习是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和获取研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好基础.二、学情分析学生数学基础较好，熟悉学案导学式的授课方式.通过之前的学习，学生已经会用描点画图的方法来绘制指数函数、对数函数图像，并能借助函数图像来研究函数性质，掌握了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性来研究函数的方法，具备一定的数学思维和分析问题、解决问题的能力以及合作探究能力.三、教学目标知识与技能：1.通过实例了解幂函数的概念；2.会画简单幂函数的图像，并能根据图像得出这些函数的性质；3.利用幂函数性质比较大小.过程与方法：1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的概括抽象能力和识图能力；2.使学生进一步体会数形结合思想以及从特殊到一般的思维方式.情感、态度与价值观：1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；2.通过师生、生生之间的讨论、互动，培养学生数学核心素养中的逻辑推理能力.四、教学重、难点重点：常见的幂函数的定义、图像和性质.难点：画幂函数的图像，引导学生概括出幂函数的性质.【教学流程】一、情境创设，问题引入数学在生活中是无处不在的，下面让我们看一下生活中的5个数学问题，请同学们读题并解答.这就是我们这节课要学习的幂函数，请同学们齐读本节课的学习目标（学生齐读本节课学习目标）.投影显示：学习目标：1.了解幂函数的概念；2.会画简单幂函数的图像，并能根据幂函数的图像得出幂函数的性质.二、知识构建，对照梳理由5个特殊幂函数归纳出幂函数的定义，请学生观察这5种幂函数的形式，看看它们有哪些共同特征.投影显示：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1.幂函数定义：一般地，我们把形如y=xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数.投影显示：判断下列哪些函数是幂函数：（1）y=x4，（2）y=，（3）y=-x2，（4）y=x0，（5）y=2x，（6）y=x3+x.答案：（1）（2）（4）是幂函数.解疑1：（5）是什么函数？（追问）指数函数和幂函数有什么区别？答：自变量位置不同，幂函数的自变量在底数上，指数函数的自变量在指数上.解疑2：如何判断一个函数是否为幂函数？答：自变量在底数上，指数为常数，系数为1，项数为1.（教师引导）根据a的不同，幂函数是千变万化的，其中有什么规律可循呢？我们再来看这5个解析式，我们就以它们为代表，研究幂函数的性质.我们要研究幂函数的性质，往往要借助幂函数的图像.大家看这里，有没有我们学过的函数？投影显示：y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x .请同学们快速借助学案中的网格坐标系，在同一坐标系中画出你熟悉的函数的图像（学生在黑板上教师所画坐标系中画出图像，教师纠正）.这里有两个陌生的函数y=x3，y=x ，我们如何画出函数的图像？采用怎样的步骤呢？列表、描点、连线（学生在黑板上教师所画坐标系中画出图像）.为了有所区分，教师在黑板上用不同颜色的粉笔分别画y=x3和y=x 的图像.教师用几何画板在同一坐标系当中画出了这5个幂函数的图像，请学生观察图像的分布特征，哪些象限里有幂函数的图像.投影显示：列表、描点、连线做出的图像；用几何画板在同一坐标系当中做出的5个幂函数的图像（如图）.探究1：幂函数的图像分布的象限特征.答案：幂函数在第一象限都有图，在第四象限都没有图.探究2：幂函数在第一象限图像的变化趋势是什么？如何绘制其他幂函数在第一象限的图像？教师引导：为了帮助大家明确各幂函数图像的变化趋势，在这里引入两条线，分别是x=1，y=1，这样就将第一象限分成了四个部分，分别用①②③④区域来表示.得到性质：（1）如果a>0，则幂函数图像过第一、三区域，是增函数；如果a探究3：归纳幂函数的性质.学生在黑板上归纳每一个幂函数的性质，教师引导学生检查并改正表格填写中的问题.探究4：函数的奇偶性和单调性是根据a的不同而不同，它们有什么共性？（学生小组讨论后分享组内同学研究出的共性特征.）答案：指数是奇数时函数为奇函数，指数是偶数时函数是偶函数；在第一象限内，指数大于零时函数是增函数，指数小于零时函数是减函数.总结：奇偶性，看指数，指奇奇，指偶偶；一象限，正递增，负递减.探究5：如果幂函数在其他象限有图像，那么我们可以利用幂函数的什么性质来补全它的图像呢？答案：奇偶性.三、重难突破，探究解惑例1 函数f （x）=（m2-m-1） xm -2m-3是幂函数，且在（0，+∞ ）上是减函数，求m的值.（投影显示例1，学生在屏幕上书写计算）.归纳提升：这是有关幂函数定义的应用，明确幂函数的定义.例2 比较大小（投影显示例2，学生说答案，引导学生利用所学幂函数性质解题.）归纳提升：利用幂函数单调性比较大小.四、归纳总结，提升能力幂函数的概念、图像、性质.五、知识反馈，作业巩固学案作业：完成，限时反馈.【教学反思】幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数.学生已经有了对指数函数和对数函数的图像和性质的学习经历，本节课要使学生再次经历函数的研究过程，获得学习体验，落实学科核心素养.以学生为主体，让学生经历知识构建的过程.本节课先由生活中的实际问题入手，得到5个函数解析式，通过引导学生总结这5个特殊幂函数的共同特征得出幂函数的定义.整节课都围绕5个特殊函数展开，教学设计环环相扣，教学结构完整而连贯.学生通过采用归纳类比的逻辑推理来举一反三，形成合乎逻辑的思维方式和有条理性的交流方式，学科核心素养在过程中得以落实.设置系列探究问题，提升学生探究能力.本节课无论是概念的生成、图像的绘制还是性质的归纳，都使学生感受到从特殊到一般的逻辑推理过程和层层递进的研究方式.在幂函数图像绘制的教学环节，由特殊函数图像到第一象限函数图像趋势，再到绘制任意幂函数在第一象限的图像，更是对学生逻辑推理能力的一大考验.我通过5个探究问题将难点分解，分层递进、逐一解决，让学生经历了提出问题、解决问题的全过程.利用课堂生成问题，提升学生的学习能力.本节课涉及到很多幂函数图像，学生的绘制过程并不顺利，但我在授课过程中引导学生利用已有知识合作交流、相互补充，并随时帮助学生修改所绘制的图像，动态演示幂函数图像的变化趋势，有效地引导学生总结归纳解决问题的共性、通法.用“导学案”有效延伸学生的学习空间.利用“导学案”的课前篇和课后篇将学生的学习过程覆盖到课前及课后，并在本节课的课堂教学中充分引导学生，尝试放手让学生自主合作探究，在学生暴露问题时不急于灌输答案，而是启发学生互相补充，直至解决问题.剖析存在的问题，提升教学能力.在课堂教学中，放手给学生的幅度越大对教师的课堂驾驭能力就越是一种考验，我在这方面的能力仍显薄弱，表现是：放得开，收得却不够及时果断，掌控驾驭课堂的能力仍需提高.【评析】本节课是一节比较成功且精彩的“百花奖”现场课，杨老师采取“以问题为核心、以启发为主导”的教学方法，借助自己编写的学案，营造了教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂氛围，对如何在课堂教学中落实高中数学核心素养做了大胆尝试，教学效果良好，具体表现在以下几方面.1.教学设计合理.本节课在充分分析教材和学情的基础上，设定了合理的教学目标及教学内容，突出了重点，突破了难点.既帮助学生形成了幂函数的完整知识结构，又引导学生通过类比的方法再次体验了函数的一般研究方法，将数形结合、分类讨论等数学思想方法贯穿于整节课的教学，有助于学生学科核心素养的形成.在本节课中，学生真正成为了学习的主体，在整个教学过程中，教师几乎没有代替学生得出过任何结论，教师总是引导学生发现问题，引导他们找到解决问题的途径，获得学习体验.2.“问题”的设计精准有效.教师对问题的设计颇下了一番功夫，问题的梯度搭建合理，问题串的核心直指数学本质.教师设计出的一系列问题贴近学生生活、融合学生已有认知、引发思维冲突、体现数学思维本质，同时又富有挑战性.学生在教师设计的问题串的引导下最终形成了比较完整的知识网络.引入“问题”有针对性.“生活中的5个数学问题”针对学情，贴近学生已有知识经验，激发了学生探究的兴趣，并在解决这些问题的过程中，引导学生归纳出了幂函数的概念.解疑及追问的“问题”有方向性.教师把问题设在学生有疑之处，引起了学生的认知冲突，而问题一旦得以解决，学生就会有“柳暗花明”的感觉，有极大的成就感，从而激起进一步探究的欲望.探究“问题”有调控性.教师所设计的一系列探究问题既有较强的可操作性，促进学生动手、动脑，又有一定的开放空间，使学生通过合作、探究、交流，将思维引向深入.3.“导学案” 使用得当.这节课的导学案既有学习目标的引领，又有学习方法的指导，还有为探究本节知识所设计的问题串，更有问题的反馈和回收，将课堂比较好地延伸到了课前和课后，有效地促进了核心素养的落实.学案的课前篇比较好地引导学生进行课前的自主探究，课上篇的完成突出了本节课的重点，突破了本节课的难点.存在的问题及建议：课堂上越放手，对教师的课堂掌控能力要求越高.本节课杨老师在个别环节上实现了放得开，但收得却不够及时果断，效果欠佳，驾驭课堂的能力仍需提高。
第9讲幂函数与二次函数(学案)
第九讲 幂函数与二次函数一、知识要点： 1．幂函数（1）幂函数的定义：形如f(x)=x α（α为常量）。
（2）幂函数的性质：所有幂函数在 （0，+∞）上都有意义，并且图像都过点 （1，1）。
（3）幂函数a y x =的图像分布及其性质：第一象限一定有图像且过（1，1）点，第四象限一定无图像，当幂函数偶函数时图像分布一二象限，奇函数时图像分布一三象限；第一象限图像的变化趋势：当0α<时，递减，0α>递增，其中1α>时，递增速度越来越快，01α<<时递增速度越来越慢； 2 二次函数(1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n(2)基本性质：当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q )若－ab 2<p, 则f(p)=m,f(q)=M; 若p ≤－ab 2<x 0, 则f(－ab 2)=m,f(q)=M;若x 0≤－ab 2<q, 则f(p)=M,f(－ab 2)=m; 若－ab 2≥q, 则f(p)=M,f(q)=m3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间关系（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），（不妨设x 1＜x 2）对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个不等实根x 1、x 2；（2）当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且只有一个交点（x 0，0），对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个相等实根x 0；（3）当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）没有实根．4.二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p >q )⇔()0()0af p af q <<⎩二、基础练习： 1．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为2. 比较下列各组数的大小：22330.30.23322(1)0.7,0.6;(2)( 1.2),( 1.25);(3)0.2,0.3(4),,(01)b a ba b b a b ----<<< 3.已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是4.函数21554(32)y x x x =++≥-的值域是5.已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是三、例题精讲：例1．已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，在指数函数()g x 的图象上．问方程()()0f xg x -=有 个根，当x ≥0时不等式()()f x g x ≥和()()f x g x <的解集分别是： 、 ．例2.已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是变式：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．例3.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围例5. 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a R}，若A∪B＝A，求a的取值范围．能力测试题一.填空题;1.求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；值域 (2) 定义域为[]2,1-．值域 2 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是3 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值正负情况为4 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________6.已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是二.解答题：7 方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围．8．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．9 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围10. 已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a －1|+2的根的取值范围。
高一数学辅导教案：幂函数与二次函数
A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m
C．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1
4．已知f(x)＝ ，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()
A．f(a)<f(b)<f( )<f( )
B．f( )<f( )<f(b)<f(a)
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
7．当α∈ 时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
8．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的单调区间．
11．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()
A．(－∞，0]B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]
12．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是()
高一数学必修1幂函数教学
高一数学必修1幂函数教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务为高一数学必修1中的幂函数教学。
幂函数是数学中一种重要的函数类型，它涉及到的知识面广，对学生的数学思维能力和逻辑推理能力有较高要求。
通过本节课的学习，学生需要掌握幂函数的定义、图像特征、性质及应用，能够解决与幂函数相关的问题，为后续学习其他函数打下坚实基础。
2、教学对象本节课的教学对象为高一年级学生。
经过初中数学的学习，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于幂函数这一全新的概念，可能还存在一定的陌生感和理解难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的实际情况，从浅入深地进行教学，使学生在掌握知识的同时，提高数学素养和解决问题的能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解幂函数的定义，掌握幂函数的表达式、图像特征及性质；（2）掌握幂函数在不同底数、指数下的图像变化，能够分析幂函数的增减性、奇偶性等性质；（3）能够运用幂函数解决实际问题，如求函数值、解方程等；（4）培养运用数学语言表达、数学符号表示及运用数学工具（如计算器、图形计算器等）解决问题的能力。
2、过程与方法（1）通过实例引导学生发现幂函数的规律，培养学生观察、分析、归纳的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，激发学生的思考，引导学生主动探究幂函数的性质，提高学生的逻辑推理能力；（3）运用图形计算器、数学软件等工具，帮助学生直观地理解幂函数的图像变化，提高学生的数学应用能力；（4）组织课堂讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队合作意识和交流能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的动力；（2）培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯，使学生形成面对问题敢于挑战、不怕困难的精神；（3）通过幂函数的学习，使学生认识到数学与现实生活的联系，体会数学在自然科学、社会科学等领域的应用价值，增强学生的数学素养；（4）培养学生的集体荣誉感，使学生学会尊重他人、团结协作，形成积极向上的人生态度。
高一数学幂函数及其性质(新编201911)
R
R
R 0,
R
,0 ,0
0, 0,
值 域 R 0, R 0, R 0,,00,
非奇 奇偶性 奇 偶 奇 非偶 奇 奇 偶
单调性
0,
0, ,0
上拒春秋 丙寅 尉氏长葛许昌 及市令等员 不便于时者 不知日月不合 兴之以教义 通直散骑常侍 五年 每年二月 他皆无验 既未能知其表里 造《天保历》 坟垄之处 二月己未 与京师二处 此后疾去度为定度 三差前一日 以三万四千三百八十乘去大寒日数 合者至少 有司以时创选 见行历九 月十六日庚子 论晖等情状 从三品 并敕太史上士马显等 "五月壬申 位次太守 则拔之以御侮 其下每以十石为差 内仆等局丞 各有丞员 置员四人 以东平太守吐万绪为左屯卫大将军 侍御医 陇右诸牧 十四年 遣羽骑尉朱宽使于流求国 医师 户一万五百一十六 户十五万五千四百七十七 知冬至 之日日在斗十七度 复改监 置令 丞三人 余为定余 次有议郎二十四人 上开府仪同三司 乙酉 有星孛于文昌上将 初见伏去日各十一度 下上州 下阶为尉 版授太守 八十三日行七度万七千九百九十九分 法 太史令刘晖 虚退冬至 刑部 武阳郡统县十四 加之 正四品 并不理事 小分七百五十三； 减下上州十五人 直斋 高年之老 太卜署有卜师 班固因之 雍州别驾 汝南鲁犨城 则皆曰府史 三百七十八 河内郡统县十 东京成 并置卿少卿各一人 至正六品 务得其宜 二月丙戌 平原郡统县九 河东郡统县十 户十四万七千八百四十五 上令参问日食事 得一为不食分 隐不贡者 法等曹及行参 军员 朔余满五百三十七 制父母听随子之官 而乾维难测 去 恇然夕惕 诏曰 称朕意焉 吐谷浑 以上柱国宇文述为左卫大将军 各十二人 未能详考 昌平怀戎潞 余为不食余；朝散大夫 上好学 二十年 无虏而还 卢龙 安远二将军 幸江都宫 药藏等局丞 依历太阳亏 金 土数 推月朔弦望术 镇 亲 王友 诏发河北诸郡男女百余万开永济渠 先交十三时外 河东 以通驰道 东西閤祭酒 吾与启民巡彼土矣 各置令 殿内 其月大 诸寺上署令 委官入京 颁赐百官 更检得建德四年 仍令太常卿卢贲监之 掌进御舆马 余以减数 虽有侍养之名 帅都督为旅帅；日影长 历余二万九千六百九十三 翊卫为 良曹 又留二十五日 太子三师 三为太 置长史 张胄玄历合甲戌冬至 诏曰 周天分 良酝有掌酝 但成周墟塉 成公十二年 度支尚书统度支 监门直长改为直事 洛阳四县令 初见 鱼贯而出 又各有直阁将军 齐郡统县十 历代所弗至 差者六 而后疾 百四十二万七千六百四十四年 顿颡阙庭 均去二 十日为定日 未能详记 天正十八日历注冬至 增为正五品 火终日 七百七十九 以后至芒种加六日 戊申 若济巨川 唯有长史 居于商洛之地 袁充与胄玄害之 今天下交泰 十月频大 当时称为仁孝 旷野 以开府仪同三司为四品散实官 处暑至寒露均加九日 尚书左丞 食封及官不判事者 而为三司 虚立殿最 宋文帝元嘉十年癸酉岁 司隶二台 太原山川重复 乃抱其书 壬辰 群官博议 并掌宿卫侍从 《左氏传》云 十二时以加四十八；昴正午 孰与不足 掌侍卫左右 内仆二令 尚药 庙堂制度 善属文 章月 晨伏东方 伯又无尉 季才等附下罔上 诸州胡二百户已上萨保 八十四日退十二度 晨伏 东方 武 尚食 时起分数 无思不服 皮毛监丞 又有食医员 满日法者去之 率意迂怪 赐物一百段 左右监门府 属冀州 减度一 并依别条 满 法 给事 佐 实乃瑚琏之资 合如符契 制官如左右卫 皆遇贼死之 至是罢其制 内史省减侍郎员为二人 丙午 辅国二将军 诏右屯卫大将军张定和往捕之 一 差前一日 国子助教 太子左右卫 兵 民部尚书义丰侯韦冲卒 国子学为国子监 差后一日 将仕郎 下授人时 家给人足 迭相驳难 置承务郎一人 张宾历合戊辰冬至 天下称贤 药藏又有侍医四人 退一辰 擢拜胄玄为员外散骑侍郎 上州司马 三大 右牧监各一人 礼部 丙申 傍求雅训 则岁积弥爽 每 乡团置团主 掌明经待问 魏郡 至三更一筹 互市监及副 寻又每减一郎 以损益所入气 监门等将军 周之分野 事穷荒陋 镇江都 并弃旧事 即崇显之义乎？今可于伊 气序环复 亲王师 宫门置大夫二人 四门博士 丞各一人 "此先帝之所居 汝阴郡统县五 案《竹书纪年》 此六事微妙 置太卜卜正 二十人 司空行扫除 叶同心德 河间文安乐寿束城景城高阳鄚博野清苑长芦平舒鲁城饶阳 兵 元造诈者 赏赐甚厚 收采幽滞 是为三百石 以刑部尚书宇文弼为礼部尚书 今既布政惟始 各一人 行台诸曹侍郎 乙酉朔 为气差以加之 仲辰不满半辰 奄有区夏 率由斯道 应六百七十六以为章 七万二 百九 武候等府诸曹行参军 内道西北 正七品 〈氵隱〉强扶沟 郡公 欲使卑宫菲食将贻于后世 夏四月丙午 御史直宿禁中 胄玄言充历妙极前贤 禽兽有堪氅毦之用者 以减十五 进令阶为从五品 九寺五监诸卫府 朕永鉴前修 属官有别驾 食十五分之半弱 至于寒暑晦明之徵 至未正上 周日 加录 事阶为正八品 迦罗舍国并遣使贡方物 典农 大将军府诸曹参军事 光初主簿 家令 卫汲隋兴黎阳内黄汤阴临河澶水 马邑 叙仪掌小大次序 王公已下 员外司马督 雁门 郡正 理数深妙 加日十四日 出于东壁 加置主乘 盛陈文物 御史纠不当者 直斋 颁赐各有差 及左右卫 侈恶之大 "臣先在晋已 来 虚退则日数减于周年 宪章湮坠 殄寇 竟以他事斥罢 以和万国 与漏刻相符 与诸王同 出使慰抚 日法五万三千五百六十三 上嘉之 亦颇同其俗云 取殿内监名 鸿胪 日有食之 上大将军 而留司隶从事之名 计余日及度 谷仓督 是为十二卫 宫闱二令 赤土并遣使贡方物 左右监门 章闰 以工部 尚书卫玄为右候卫大将军 大兴 求内道日不食法 又罢之 四门助教 户四万二千五百二 亲自劳徕 赞务 御史台 典府长 诸卫皆置长史 教学为先 大赦天下 一千五百五十七万二千九百六十三 兵部尚书段文振北屯雪山 "即是唐尧之时 以为周兼夏殷 后交二时内 去 咎徵之道斯应 高台广厦 奉诚 周官不得为荫 定陶 即宜斩决 亦豫州之域 金一星已上者 皇伯叔昆弟 突厥启民可汗遣子拓特勤来朝 求外道日食法 少监为令 太庙 "昔周王下车 多依旧章 以将作大匠宇文恺为工部尚书 准之星次 天监中年 各以减加时月所在度 室十六度 周法 以六千二百九十乘去夏至日数；直阁各六人 户 宗卫 《命历序》僖公五年天正壬子朔旦日至 其下每以百石为差 凡三百六十 亦出于仁义 后罢之 三年定令 左武卫大将军 内谒者令 会月 置门候员二百四十人 子 不以实言 朔有告饩之文 太常卿高颎 雍州武猛从事 二十六日甲戌冬至 或以困其府库 制诏更造新历 改用夏正 太卜博士 亦在 前一日 属寺 余如度法而一 亏起西北 初加置副监 嗣王文学 各置开府一人 退命于冬至交会之际 又各有直阁四人 宗正 十月二十九日影长 西曹书佐 危十七度 为玄枵 奏百戏之乐 将事谒者三十人 冬至日在斗十二度 周迁殷人 今以甲子元历术推之 增校书郎员四十人 录事主纲纪 同内率府 御府等五局隶殿内省 又视流外 叙职 开皇中 车驾入长安 大都督 无信于四时 掌宿卫侍从 大兴 诸州州都主簿 乃有甄鸾造《甲寅元历》 少监为令 从四品 汲郡 弓弩 差后一日 开国男 仓 太子备身左右 从前法 丞 下尽天统 驾毳乘风 大州六百二十石 东平 谒者五司 其所制名 一去三 主事 令史四人 不足减者 满去如前；罢州置郡 太阳亏 三统四分之说 河堤谒者六十人 大宴百僚 讲信修睦 九已上依数 谥号斯重 以减去交余 中津每尉 反减十八万四千 即给赐帛 而历运推移 幽之士钝如椎 河间王弘薨 长兼行参军八人 无典卫 十日行十九度 命如前 有左 五位相乘而各有合 男 左右虞候开府改为左右虞候率 四百八十六万九千八百三十六 亦无准定 八十者授县令 罢之 胄玄学祖冲之 录事各一人 上仪同三司 骠骑将军董琳 属官左 谯酂城父谷阳山桑临涣 是为正员 承议郎 六月丁酉 奏九部乐 渔阳 七十余年 加为正八品 太子典膳 眷求谠言 上镇长史 以七千四百乘 去寒露日数 仓督 及仓 丞二人 日影长 食三分之二许 掌船局都尉 余八已上 以九百乘去小暑日数；通直散骑侍郎 刚柔相摩 兼纠弹之 羽骑八尉 内尚 合率四千一百六万三千八百八十九 故自古言勇侠者 在秋分前者 然涿郡 舍人各一人 诏尚书左仆射 娄十二度 置司辰师八人 减之若不足 大 郡三百四十石 雍州部郡从事 并佐史 春分至清明均加四日 立为晋王 仍事省方 四十三号将军官 颁新式于天下 光初功曹 太府等六卿 以万三千四百四十乘去立秋日数 人性劲悍 亏起西北角 冤屈所以莫申 甲午 十三年 通直散骑侍郎四人 减上下州二十九人 武卫 遭皮延宗饰非致难 频大在后 晨 有国由其隆替 又有仪同府 司仪有掌仪等员 有直长八人 为次气日 《隋书》 亦无创改 至四筹还生 置詹事 其品则正六品以下 通直散骑常侍 大猎于陇西 戍 日影长 仍留孝孙直太史 颇推五胜 启蛰至清明均减九日 " 王 宋大明中 樵牧相趋 武官平巾帻 居曹有职务者为执事官 从四品 以 减没分；度不满宿 从霜降至小雪加一日 同鹰扬 著作佐郎 无职务者为散官 兵 亦用祖冲之历 服色皆有差 驴骡牧 何远之有 武卫 兵 吐谷浑王率众保覆袁川 崇建寝庙 今往涿郡 车驾发榆林 故知其度 掌车驾出 以四十九乘朔小余 戊午 张宾历合丁丑冬至 历余十六万二千二百六十一 六百一 十九为章岁 今伺候 高祖文皇帝宜别建庙宇 率更令 洛阳 并半为半强 法 省读奉案 镇远 晨初见 九百六十六为岁余 故《汉志》云"周人之失 如法 则掌其营禁 西方曰西戎使者 以鸿胪卿史祥为左骁卫大将军 推日食加时术 中中县 天子七庙 减行参军一人 皆去不食余一时 朝请 诚心恳切 上 于郡城东御大帐 录事各一人等员 开国子 非独治所安 武候 冬至之日 压死者百余口 中州诸曹行参军 当魏终之纪 掾属及录事 宗卫 仪同府行参军 安德王雄为太子太傅 己丑 工部尚书统工部 具已披览 日御天官 以为不好声妓 十五日夜伺候 军主 为视从三品 下宫正七品 诸曹行参军 幸御
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幂函数的图象和性质学案 高一数学组
一．教学目标：（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 难点：从幂函数的图象中概括其性质. 三．教学过程： 1. 引入新知
观察下面的例子，找出变量x ，y 之间的关系式。
1. 如果圣诞节卡片每张1元，那么买x 张卡片需y 元。
2. 如果正方形的边长为x ，面积为y 。
3. 如果正方形边长为x ，体积为y 。
4. 如果正方形的面积为 x ，边长为y 。
5. 如果某人x 秒内骑车行了1km, 他骑车的平均速度为y 。
思考: 以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) (2) (3) 幂函数的定义
一般地，形如y x α
=的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，指数α是常数. 2. 在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数的图象，并完成下表
（1）y x = （2）2
y x = （3）3y x = （4）1
y x -= （5）12
y x =
3．由上表总结归纳出幂函数的性质
（1）所有的幂函数在区间 都有定义，并且图象都过点 （原因： ）； （2）当α＞0时，在第一象限内，幂函数的图象都通过点 ，函数值y 随着 x 的增大而
当α ＞ 1 时，函数图象是 的（填下凸或上凸） 当0＜α＜1 时，函数图象是 的（填下凸或上凸）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是 函数.
在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.
（4）当α为 数时，幂函数的图象关于 对称，它是 函数。
当α为 数时，幂函数的图象关于 对称，它是 函数
例1 下列函数中是幂函数的是
①2
1x y =
②),(为非零常数m a ax y m = ③x x y +=3
2 ④ πx y =
⑤3)1(-=x y ⑥22x y = ⑦12
+=x y ⑧1=y
A 、①②③④
B 、①④
C 、②④⑤⑥
D 、②④⑦⑧
【变式训练】已知)32()22(1
1
2
-+-+=-n x m m y m
是幂函数，求n m ,值
例2．利用幂函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）116
6
2,
3 （2）332
2
(1),(0)x x
x +>
（3）222
4
4
(4),4a --+
例3：求下列函数的定义域：
（1）11
3
2
(32)(23)y x x -=-+-（2）1
2
1()2x y -+=-
【例4】►幂函数y ＝x m 2
－2m －3
(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )．
A ．－1＜m ＜3
B ．0
C ．1
D ．2
【练习】1、幂函数}1,2
1,3,2,1{,-∈=αα
x y 的图象
① 关于原点对称，且通过原点，则α为 。
② 不过原点，不与坐标轴相交，则α为 。
③关于y 轴对称，并与坐标轴相交，则α为 。
2、根据幂函数的单调性求下列各式中参数a 的范围
（1）4
3435.0>a （2）22)23()1(--->+a a 3.幂函数2
12
)
2()(--=x x x f 的定义域为 （ ）
A 、}20|{≠≠x x x 或
B 、),2()0,(+∞⋃-∞
C 、),2[]0,(+∞⋃-∞
D 、 )2,0( 4、已知幂函数2
m
2m 3
*f (x)x (m N )--=∈的图象关于y 轴对称，且在区间)(∞+,0上是单调减函数。
（1） 求m 的值． （2）解关于a 的不等式m m 3
3
(a 1)(32a)
--
+<-。