Jeffcott碰摩转子系统混沌控制研究

收稿日期:2005208229
基金项目:甘肃省自然科学基金项目(3ZS0512A252030)
作者简介:张永祥(19772),男,山东潍坊人,硕士,研究方向为非线性系统的分岔、混沌及混沌控制.
E 2mail :y ongxiangxinan @
　文章编号:167223961(2006)0520117203
Jeffcott 碰摩转子系统混沌控制研究
张永祥1
,俞建宁
2
(1.沈阳农业大学　基础部,　辽宁　沈阳　110161;　2.兰州交通大学　数理与软件工程学院,　甘肃　兰州　730070)
摘要:根据Jeffcott 碰摩转子系统的非线性动力学方程,利用P oincar é映射图和全局分岔图对系统的混沌行为进行了分析,采用距离空间上的不动点定理分析了混沌控制后的距离空间结构,并构造压缩映射实现混沌控制.用线性压缩映射和小波函数构成的非线性映射对Jeffcott 碰摩转子中的混沌行为进行数值仿真,能够把系统控制到不动点或稳定周期轨道,研究结果为转子系统的故障诊断、振动控制及安全运行提供了理论参考.关键词:碰摩转子系统;压缩映射;不动点定理;小波函数;P oincar é映射中图分类号:O322 文献标识码:A
Study on chaos control for a rub 2impact Jeffcott rotor system
ZH ANG Y ong 2xiang 1
,　Y U Jian 2ning
2
(1.Department of F oundation ,　Shenyang Agricultural University ,　Shenyang 110161,　China ;2.School of Mathematics ,　Physics and S oftware and Engineering ,　Lanzhou Jiaotong University ,
Lanzhou 730070,　China )Abstract :Based on the nonlinear dynamical equation of the rub 2im pact Jeffcott rotor ,the chaotic behaviors of this system were analyzed by using P oincar émapping and global bifurcation diagram.The structure of metric spaces after controlling chaos was analyzed by fixed point theorem on metric space.A method was used to con 2trol chaos by contraction 2mapping.The chaotic behaviors of the Jeffcott rub 2im pact rotor system were imitated numerically by linear contraction 2mapping and the nonlinear mapping on wavelet function.The Jeffcott rub 2im pact rotor system was controlled to fixed point or steady periodic orbits.The results can provide theory refer 2ences to fault diagnoses ,vibration control and safety operating of the rotor system.
K ey w ords :rotor system with rub 2im pact ;contraction mapping ;fixed 2point theorem ;wavelet function ;P oincar émapping
0　引言
混沌控制是近年来非线性动力学研究的热点课题之一,国内外学者相继“对此”提出了不同的控制混沌的方法,主要分为反馈控制和非反馈控制两大类.目前对混沌控制的研究多是基于离散系统和低维连续系统,而关于转子—轴承系统中的混沌行为
控制的文献却较少.文献【1,2】揭示了在碰摩转子系
统中存在混沌现象,对于从概周期通向混沌的系统,OGY 方法及其改进方法尚无法应用,许多控制方法也不适合此类系统.笔者用不动点定理分析了混沌控制后的距离空间结构与控制前的距离空间结构之间的关系,并构造了几种压缩映射施加于系统变量,成功地控制了Jeffcott 碰摩转子系统中混沌行为.
　第36卷　第5期V ol.36　N o.5 山　东　大　学　学　报　(工　学　版)
JOURNA L OF SH ANDONG UNIVERSITY (E NGINEERING SCIE NCE )
2006年10月　Oct.2006　
1　碰摩转子模型及混沌行为
文献【1】给出了Jeffcott碰摩转子模型:在转盘
处的等效集中质量为2m,两端由相同的油膜轴承支承,转子与支承之间为无质量弹性轴段.设转盘处的径向位移坐标为(x
1
,y1),支承处的位移坐标为
(x
2
,y2),则碰摩转子系统的微分方程为:
m¨x1+c( x1- x2)+k(x1-x2)=
F
x (x
1
,y1)+muω2cos(ωt);
m¨y1+c( y1- y2)+k(y1-y2)=
F
y (x
1
,y1)+muω2sin(ωt)-mg;
c( x2- x1)+k(x2-x1)=P x(x2,y2, x2, y2);
c( y2- y1)+k(y2-y1)=P y(x2,y2, x2, y2).
其中,c为轴的阻尼系数;k为刚度系数;u为不平衡量;t为时间;P
x
,P y为油膜力在方向x和y上的
分量;F
x
,F y为碰摩力在x和y方向上的分量.
轴承油膜力分量:
P x(x,y, x, y)=
-μπRL3
ωy+2
x
2(c21-x2-y2)3Π2
+
3x(x x+y y)
2(c21-x2-y2)5Π2
,
P y(x,y, x, y)=
-μπRL3
2y-ωx
2(c21-x2-y2)3Π2
+
3y(x x+y y)
2(c21-x2-y2)5Π2
.
其中,μ为润滑油粘度,R为轴承半径,L为轴承长度,ω为转子速度,c
1为轴承半径间隙.
碰摩力分量:
F x F y =-
k c(e-δ
)
e
1-f
f1
　(eΕδ),
F x=F y=0　(e<δ).
其中,f是转子和定子之间的摩擦系数,k
c
为定子的
径向刚度系数,e=x2
1
+y21为转子的径向位移.
由上述方程可以看出,碰摩转子—轴承系统的非线性油膜力和非线性碰摩力具有强非线性的特性,目前分析这类系统的最有效的方法就是数值仿真方法.取2m=5kg,c=590N・sΠm,f=0.2,
δ=0.1mm,k
c
=8.6M NΠm,μ=17m・N・sΠm2,R= 43.5mm,L=11.6mm,c1=120μm.当u从20μm变
化到40μm时,系统在平面x
1
-y1上的P oincaré投影图存在概周期环面破裂通向混沌的途径,如图1所示.
若u=40μm,取c
1为参变量,图2(a)给出了y1
随参数c
1变化的分叉图.可以看出,系统由周期一运动经H opf分叉进入概周期运动,然后由概周期运动转迁为混沌运动.图2(b)～(d)分别给出了系统在平面x
1
-y1上的P oincaré投影图,充分看出系统由周期一→H opf分叉→环面倍化→混沌的演化过程.
图1　P oincaré映射图
Fig.1　P oincarémapping diagram
图2　全局分岔图和P oincaré映射图
Fig.2　G lobal bifurcation diagram and P oincarémapping diagram 2　距离空间的构造及其控制方法
设R n上的连续动力系统为:
X=F(μ,X),(1)
其中X=(x
1
(t),x
2
(t),…,x
n
(t))T,μ=(μ1,μ2,…,μ
m
)为参数.
　118
　山　东　大　学　学　报　(工　学　版)第36卷　
n 维离散动力系统:
X n =F (μ,X n -1).
(2)
其中X =(x 1,x 2,…,x n )T
,μ=(μ1,μ2,…,μm )为参
数.
当μ取一定值时,系统(1)或(2)存在混沌解.不妨以离散动力系统(2)为例分析输出前后序列的关系,若系统为连续动力系统,采用P oincar é映射的方法将n 维连续动力系统化成(n -1)维离散动力
系统【3】
.从单变量的迭代序列(或时间序列)来定义距离,对上述单变量序列,选择合适的滞后长度定义
重构相空间,设单变量混沌序列为{x k
m },(1Φm Φn ,
k =1,2,3,…),对任意的x
i m
(x
i
m 1
,x
i m 2,…),
x j
m (x j
m 1,x j m 2,…
),其中1Φi Φk ,1Φj Φk ,定义距离:d =‖x i
m -x j
m ‖,i ,j ∈Z +,那么(x k
m ,d )构成距离空
间.
设T 是(x k
m ,d )到(x k
m ,d )中的映射,如果存在一个常数θ(0Φθ<1),使得对所有x ,y ∈(x k
m ,d )满足下列不等式:
d (Tx ,Ty )Φθd (x ,y ),
(
3)
则称T 是(x k
m ,d )的一个压缩映射,θ为T 的一个压缩系数.
(不动点定理)【4】设X 是完备的距离空间,T :
X →X 是一个压缩映射,则T 在X 上有唯一的不动
点x 3,即Tx 3=x 3
.
由混沌序列的性质易知(x k
m ,d )是不完备的距离空间,构造映射T ,使得映射F .T 是一个压缩映
射,系统(2)经过映射T 变换后,输出序列为{y k
m },
k =1,2,3,…,若(y k
m ,d )是完备的距离空间,则F .T
在(y k m ,d )中一定有唯一的不动点;若(y k
m ,d )的子
空间(y k
mi ,d )(i 为有限数)是完备的,那么F .T 有
唯一的不动点.
综上所述,若存在映射T ,使得(y k m ,d )=(y k
m 1,
d ) (y k
m 2,d ) … (y k
mn ,d ),其中(y k
mi ,d )(1Φi Φn )是完备的,则输出序列{y k
m }是n 倍周期的.
事实上,由计算最大Lyapun ov 指数的方法
【5,6】
知,
设初始状态为x 0和y 0,d 0=‖y 0-x 0‖,随着迭代次数的增加或时间的演化,经过映射作用后的下一个状态为(F .T )x 0和(F .T )y 0,d 1=‖(F .T )y 0-(F .T )x 0‖.若F .T 是压缩映射,则ln (d 1Πd 0)<0,
因而最大Lyapun ov 指数λ1=lim n →∞
(1
Πn τ)∑n
i =1
ln (d i Πd 0)<0(τ为滞后长度),从而混沌运动得到了控制.
因此,只要设置一个控制开关,根据实际的需要,构造压缩映射T 施加于系统的变量上,可以获
得不同的周期轨道.由于小波函数具有快速衰减性,
通常可以取常见的小波函数来构造这样的映射.
3　数值分析
取上述参数u =40μm ,c 1=120μm 时系统处于混沌状态,用小波函数构造映射,如M orlet 小波函数φ(x )=e
-x
2
2
cos (x ),Marr 小波函数φ(x )=e
-
x
2
2
(1-
x 2
),Shannon 小波函数φ(x )=sin
πx πx ,分别作变换
T 1:X n →e
-X 2
n
Π2
cos (X n ),T 2:X n →e -X 2
n
Π2(1-X 2n ),
T 3:X n →sin πX n ΠπX n ,通过数值分析将T 1,T 2,T 3分别施加给系统多个变量均能控制到不动点.若将该
映射仅施加于单个状态变量同样也能把系统控制到不动点,这样可以减小控制的代价和实际系统中实现控制的难度,可根据实际需要选择控制的变量个数.图3(a )～(c )分别给出了T 1,T 2,T 3施加于变量
x 1且当t =300后的控制结果.若构造简单的线性映射:T : x 1→k x 1(0<k <1),调节参数k 值,可以将系统控制到周期轨道,如k =0.1时系统可被控制到稳定的周期一轨道,图3(d )给出了在平面x 1-y 1上的P oincar é投影图.
图3　碰摩转子的控制结果
Fig.3　C ontrolling results of rotor system with rub 2impact
4　结论
(1)根据Jeffcott 碰摩转子系统(下转第124页)
　第5期张永祥,等:Jeffcott 碰摩转子系统混沌控制研究
119
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(编辑:许力琴)
(上接第119页) 的非线性动力学方程,利用P oincaré映射图和全局分岔图分析了该系统的混沌行为,利用不动点定理分析了混沌控制后的距离空间结构与控制前的距离空间结构之间的关系,从理论角度分析了混沌控制的机理.
(2)针对Jeffcott碰摩转子系统中混沌行为,构造几种特殊的压缩映射,利用数值分析方法实现了对该系统的有效控制.
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(编辑:许力琴)
　124
　山　东　大　学　学　报　(工　学　版)第36卷　。