2016届一轮复习北师大版 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件

[答案]
10 10
[奇思妙想] 本例(1)条件不变，求异面直线 AD1 与 BD 所成 角的余弦值．
解：如图 BD∥B1D1，所以∠AD1B1 即为所求． cos∠AD1B1 5a2＋ 2a2－ 5a2 ＝ 2· 5a· 2a 2 10 ＝ ＝ . 2 10 10
异面直线所成角的求解技巧 求异面直线所成的角采用“平移线段法”，平移的方法一般 有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 (线段的 端点或中点) 作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角 通常放在三角形中进行．
答案：D
3. [2015· 浙江省嘉兴市高三教学测试]如图，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误 的是( )
A. MN 与 CC1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1B1 平行
解析：由于 MN 与平面 DCC1D1 相交于 N 点， D1C1⊂平面 DCC1D1，且 C1D1 与 MN 没有公共点． 所以 MN 与 C1D1 是异面直线． 又因为 C1D1∥A1B1，且 A1B1 与 MN 没有公共点． 所以 A1B1 与 MN 是异面直线， 而选项 D 中 MN 与 A1B1 平行错误．故选 D.
BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝ 3a， ∴B1C1＝BC＝a. ∴四边形 BB1C1C 是正方形， ∴∠BB1C＝45° .
答案：30° 45°
突破· 3个热点考向
考向一 共点、共线、共面问题 [案例探究] 例 1 如图， 平面 ABEF⊥平面 ABCD， 四边形 ABEF 与 ABCD 1 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90° ，BC∥AD 且 BC＝ AD，BE 2 1 ∥AF 且 BE＝2AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
答案：D
考向三 异面直线所成的角 [案例探究] 例 3 (1)[2015· 郑 州 模 拟 ] 如 图 ， 正 四 棱 柱 ABCD －
A1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中， AA1＝2AB，则异 面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( 1 A. 5 C. 3 5 2 B. 5 D. 4 5 )
[学以致用] 2. [2015· 江西联考]已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α， a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的 位置关系是( ) B. 相交或异面 D. 相交、平行或异面
A. 相交或平行 C. 平行或异面
解析：依据题意，b，c 分别为 a 在 α，β 内的射影，可判断 b， c 相交、平行或异面均可．
2．证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问 题化归到证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在 两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线．
[学以致用] 1. 如图，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中 点，G、H 分别在 BC、CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E、F、G、H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P. 求证：P、A、C 三点共线．
证明：(1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. BG DH 1 在△BCD 中， ＝ ＝ ， GC HC 2 ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
1 2 (2)由(1)知 EF 綊2BD，GH 綊3BD. ∴四边形 EFGH 为梯形，∴GE 与 HF 交于一点，设 EG∩FH ＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P、A、C 三点共线．
第七章
关系
1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些空间图形的位置关系的简单命题.
记牢· 2个必备考点
考点 1
平面的基本性质
考点 2
空间直线的位置关系
1.位置关系的分类
答案：C
5．如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点，AD＝BC＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF＝ 2，则异面直线 AD 和 BC 所成 的角为________．
[奇思妙想] 本例题中的已知条件不变， 如何证明“FE， AB， DC 交于一点”．
证明：由例题可知，四边形 EBGF 和四边形 BCHG 都是平行 四边形，故可得四边形 ECHF 为平行四边形， 1 ∴EC∥HF，且 EC＝ 2DF， ∴四边形 ECDF 为梯形． ∴FE，DC 交于一点，设 FE∩DC＝M.
答案：D
5. [2015· 大连模拟]如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是长方体， AA1 ＝ a ，∠BAB1 ＝∠B1A1C1 ＝30° ，则 AB 与 A1C1 所成的角为 ________，AA1 与 B1C 所成的角为________．
解析：∵AB∥A1B1， ∴∠B1A1C1 是 AB 与 A1C1 所成的角， ∴AB 与 A1C1 所成的角为 30° . ∵AA1∥BB1， ∴∠BB1C 是 AA1 与 B1C 所成的角， 由已知条件可以得出
[解析]
连接 BC1，A1C1，则 A1B 与 BC1 所成角即为所求．
在△A1BC1 中， 设 AB＝a，则 A1B＝BC1＝ 5a， A1C1＝ 2a，
所以 cos∠A1BC1 A1B2＋C1B2－A1C2 1 ＝ 2A1B· C1B 4 ＝5.
[答案] D
(2)四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形， AB＝PA＝2，M，N 分别为 PA、PB 的中点，则 MD 与 AN 所成角 的余弦值为________．
[学以致用] 4．三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90° ，AB＝AC＝AA1， AA1⊥平面 ABC，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A. 30° C. 60° B. 45° D. 90° )
解析：如图延长 CA 到 D，使得 AD＝AC，则四边形 ADA1C1 为平行四边形， ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角， 又由 AB＝AC＝AA1 得△A1DB 为等边三角形，∴∠DA1B＝60° . 故选 C.
[解析]
取 CD 的中点 E，连接 AE、NE、MN，易得 MN 綊
DE，于是可得 MD∥NE，则∠ANE 为异面直线 AN 与 MD 所成的 角，在△ANE 中，AE＝ 5，NE＝MD＝ 5，
1 AN＝2PB＝ 2， AN2＋NE2－AE2 2＋5－5 10 cos∠ANE＝ ＝ ＝ 10 . 2×AN×NE 2× 2× 5
CC1⊂平面 α， ∴D1、B、C、C1∈α， 这与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾． ∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线．
异面直线的判定方法 (1)定义法：依据定义判断(较为困难)． (2)定理法： 过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经 过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)． (3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或 相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否 定假设，肯定两条直线异面．
A. 如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n ∥α B. 如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n 与 α 相交 C. 如果 m⊂α，n∥α，m、n 共面，那么 m∥n D. 如果 m⊂α，n∥α，m、n 共面，那么 m 与 n 相交
解析：对于选项 A，n 可以与平面 α 相交，对于选项 B，n 可以与平面 α 平行，故选项 A、B 均错； 由于 m⊂α，n∥α，则 m、n 无公共点，又 m、n 共面，所以 m∥n，选项 C 正确，选项 D 错. 故选 C.
答案：C
2. [课本改编]若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b⊥c，则 直线 a 与 c( )
A. 一定平行 B. 一定相交 C. 一定是异面直线 D. 平行、相交、异面直线都有可能
解析：当 a，b，c 共面时，a∥c；当 a，b，c 不共面时，a 与 c 可能异面也可能相交．
答案：D
3. [2015· 武汉调研]对于直线 m、 n 和平面 α， 下列命题中的真 命题是( )
答案：C
4. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝ M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( A. 点 A B. 点 B C. 点 C 但不过点 M D. 点 C 和点 M )
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又 α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理 3 可知，M 在 γ 与 β 的交线上．同理可知，点 C 也 在 γ 与 β 的交线上．
∵M∈FE，FE⊂平面 BAFE， ∴M∈平面 BAFE. 同理 M∈平面 BADC. 又平面 BAFE∩平面 BADC＝BA， ∴M∈BA，∴FE，AB，DC 交于一点．
1．证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公 共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线， 然后证明另一点也在这条直 线上，从而得三点共线．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行． 3．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角) ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作 直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫做异 面直线 a 与 b 所成的角．
考向二 空间两条直线的位置关系 [案例探究] 例 2 [2015· 安庆模拟]如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．