数学模型1-4整数规划
运筹学CH4整数规划
使用整数规划求解器进行求解，得到最优的员工任务指派 方案。
05
整数规划软件实现
MATLAB实现整数规划
MATLAB优化工具箱
MATLAB提供了专门的优化工具箱，其中包含用于解决整 数规划问题的函数和算法。
intlinprog函数
该函数用于解决线性整数规划问题，可以处理大规模问题， 并提供多种求解选项。
CPLEX提供了多种建模方式，包括使 用API接口、编程语言（如Python、 Java）和交互式界面等。
CPLEX采用了先进的分支定界算法和启发式 算法，能够快速有效地求解大规模整数规划 问题。同时，CPLEX还提供了多种参数设置 和求解选项，以满足不同问题的需求。
06
整数规划总结与展望
整数规划研究现状
跨学科融合
整数规划与运筹学、计算机科学、数学等多个学 科密切相关，跨学科融合将为整数规划的研究和 应用带来更多机遇。
THANK YOU
感谢聆听
求解过程
在LINGO中，用户需要编写包含目标函数和约束条件的模型文件，然后调用 LINGO求解器进行求解。LINGO会自动选择合适的算法，并输出最优解和相关 信息。
CPLEX实现整数规划
CPLEX优化器
建模方式
求解算法
CPLEX是IBM提供的一款高性能数学 优化软件，支持线性规划、混合整数 规划和二次规划等多种问题类型。
在物流领域，整数规划可用于 优化运输路线和配送计划，以 减少运输时间和成本。
金融投资
在金融领域，整数规划可用于 投资组合优化，选择最佳的投 资组合以最大化收益并降低风 险。
城市规划
在城市规划中，整数规划可用 于优化城市布局和交通网络设 计，以提高城市运行效率和居 民生活质量。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
整数规划
得到非整数最优解
若求解某个分枝问题得到的是不满足整数 条件的最优解．还要区分两种情况： • 该最优解的目标函数值Z小于当前的下界Z，则 该分枝内不可能含有原问题的整数最优解（为 什么）．因此该分枝不需要继续分枝，称之为 “枯枝”，需要剪掉． • 若该最优解的目标函数值Z大于当前的下界Z， 则仍需对该枝继续分枝，以查明该分枝内是否 有目标函数值比当前的Z更好的整数最优解．
• 某公司计划在几个地点建厂，可供选择的地点 有A1A2…Am 它们的生产能力分别是a1a2…am （为简便起见，假设生产同一种产品)第i个工 厂的建设费用为fi(i=1，2，…，m)又有n个地点 B1B2…Bn需要销售这种产品，其销量分别为b1， b2…bn。从工厂Ai运往销地Bj的单位运费为 cij(见表7．2）．试决定应在哪些地方建厂，使 得既满足各地的需求，又使总建设费和总运输 费用最省？
( 2)
( 3)
Z
Z Z
( 4)
( 5) ( 6)
2
3 3
X X
( 5) ( 6)
X X
(7) (8)
(2,2) (3,1)
Z 4 (8) Z 4
(7)
X ( 2,2)
* *
X (3,1) Z 4
*
• 完全枚举法的问题是计算量太大，特别是当变 量个数很多和约束条件的个数也很多时，这个 工作是很费时的，有时甚至是不可能实现的． • n! 当n=20时，大于2×108 • 因此，如何巧妙地构造枚举过程是必须研究的 问题，目前用得较多的是将完全枚举法变成部 分枚举法． • 常用的求解整数规划的方法有分枝定界法和割 平面法，对于特别的0－l规划问题的求解，可 以采用隐枚举法和匈牙利法．
例3 机床任务分配问题
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学规划模型——整数规划问题
数学规划模型——整数规划问题title: 数学规划模型——整数规划问题date: 2020-02-27 00:37:35categories: 数学建模tags: [MATLAB, 数学规划模型]整数规划整数规划：线性整数规划 - Matlab可进⾏求解（线性的意思在线性规划的基础上 , 加⼊决策变量取整数的条件)⾮线性整数规划→⽆特定算法, 只能⽤近似算法 , 如蒙特卡罗模拟、智能算法 ( 后续会讲到)特例： 特殊的整数规划 , Matlab中也只能求解线性01规划, 对于⾮线性 0-1规划也只能近似求解 。
(数模⽐赛中常出现)Matlab整数规划求解线性整数规划求解[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0] -> 线性规划的函数[x ,fval] = intlinprog [ c, intconA, b, Aeq, beq, lb, ub]→ 线性整数规划的求解注 :intlinpng 不能指定初始值 ;加⼊了 inton 参数可以指定哪些决策变量是整数。
例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3,是整数 , 则 intcon= [1 , 3] 。
线性 0-1规划求解仍然使⽤intlinprog 函数 , 只不过在 lb和ub上作⽂章 。
例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3是0-1变量，x2不限制, 则 intcon= [1 , 3] ，lb=[0 -inf 0]',ub=[1,+inf,1]。
⼩例题%% 线性整数规划问题%% 例1c=[-20,-10]';intcon=[1,2]; % x1和x2限定为整数A=[5,4;2,5];b=[24;13];lb=zeros(2,1);[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)fval = -fval%% 例2c=[18,23,5]';intcon=3; % x3限定为整数A=[107,500,0;72,121,65;-107,-500,0;-72,-121,-65];b=[50000;2250;-500;-2000];lb=zeros(3,1);[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)%% 例3c=[-3;-2;-1]; intcon=3; % x3限定为整数A=ones(1,3); b=7;Aeq=[4 2 1]; beq=12;lb=zeros(3,1); ub=[+inf;+inf;1]; %x(3)为0-1变量[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)整数规划的典型例题背包问题%% 背包问题（货车运送货物的问题）c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; % ⽬标函数的系数矩阵(最⼤化问题记得加负号)intcon=[1:10]; % 整数变量的位置(⼀共10个决策变量，均为0-1整数变量)A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2]; b = 30; % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（物品的重量不能超过30）Aeq = []; beq =[]; % 不存在线性等式约束lb = zeros(10,1); % 约束变量的范围下限ub = ones(10,1); % 约束变量的范围上限%最后调⽤intlinprog()函数[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fval = -fval指派问题%% 指派问题（选择队员去进⾏游泳接⼒⽐赛）clear;clcc = [66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4]'; % ⽬标函数的系数矩阵（先列后⾏的写法）intcon = [1:20]; % 整数变量的位置(⼀共20个决策变量，均为0-1整数变量)% 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（每个⼈只能⼊选四种泳姿之⼀，⼀共五个约束）A = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];% A = zeros(5,20);% for i = 1:5% A(i, (4*i-3): 4*i) = 1;% endb = [1;1;1;1;1];% 线性等式约束的系数矩阵和常数项向量（每种泳姿有且仅有⼀⼈参加，⼀共四个约束）Aeq = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];% Aeq = [eye(4),eye(4),eye(4),eye(4),eye(4)]; % 或者写成 repmat(eye(4),1,5)% Aeq=zeros(4,20);% for i = 1:4% for j =1:20% if mod(j,4)==i% Aeq(i,j)=1;% end% if i==4% if mod(j,4)==0% Aeq(i,j)=1;% end% end% end% endbeq = [1;1;1;1];lb = zeros(20,1); % 约束变量的范围下限ub = ones(20,1); % 约束变量的范围上限%最后调⽤intlinprog()函数[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)% reshape(x,4,5)'% 0 0 0 1 甲⾃由泳% 1 0 0 0 ⼄蝶泳% 0 1 0 0 丙仰泳% 0 0 1 0 丁蛙泳% 0 0 0 0 戊不参加钢管切割问题%% 钢管切割问题%% (1)枚举法找出同⼀个原材料上所有的切割⽅法for i = 0: 2 % 2.9m长的圆钢的数量for j = 0: 3 % 2.1m长的圆钢的数量for k = 0:6 % 1m长的圆钢的数量if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6 & 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9disp([i, j, k])endendendend%% (2) 线性整数规划问题的求解c = ones(7,1); % ⽬标函数的系数矩阵intcon=[1:7]; % 整数变量的位置(⼀共7个决策变量，均为整数变量)A = -[1 2 0 0 0 0 1;0 0 3 2 1 0 1;4 1 0 2 4 6 1]; % 线性不等式约束的系数矩阵b = -[100 100 100]'; % 线性不等式约束的常数项向量lb = zeros(7,1); % 约束变量的范围下限[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
线性规划-整数规划.
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
整数规划
i=1 j=1
整数规划的特点及应用
例1 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此 外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定
7
项目3和4中至少选择一个；
项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
14
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法
15
割平面法
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。 新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当 原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。 3) 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于 （max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数 解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优 解。
整数规划的特点及应用
min z =
6
邋
4
4
c ij x ij + [1200y 1 + 1500y 2 ]
ì x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 350 ï ï ï ï x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 400 ï ï ï ï x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 300 ï ï ï x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 150 ï ï ï ï ï x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 400 s .t . í ï x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 600 ï ï ï x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 200y 1 ï ï ï ï x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 200y 2 ï ï ï x ij ? 0 (i , j 1, 2, 3, 4) ï ï ï ï y = 0,1 (i = 1, 2) ï ï î i
数学建模课程规划方案模板
一、课程概述1. 课程名称：数学建模2. 课程性质：专业选修课，面向理工科学生开设3. 课程目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的创新思维和团队协作能力。
4. 课程内容：数学建模的基本理论、方法与应用，包括线性规划、非线性规划、整数规划、图论网络优化、概率与智能优化算法等。
5. 学时安排：32学时，其中理论课24学时，实践课8学时。
二、课程教学计划1. 第一阶段（1-4周）：基础知识与理论（1）数学建模基本概念、方法与应用（2）线性规划的基本理论、模型与求解方法（3）非线性规划的基本理论、模型与求解方法（4）整数规划的基本理论、模型与求解方法2. 第二阶段（5-8周）：图论网络优化与概率优化（1）图论基本概念与网络优化模型（2）概率优化基本理论、模型与求解方法（3）智能优化算法的基本原理与应用3. 第三阶段（9-12周）：实践与案例分析（1）学生分组，完成实际数学建模项目（2）指导教师点评与指导（3）优秀项目展示与交流4. 第四阶段（13-16周）：课程总结与考试（1）课程总结，回顾所学内容（2）布置课后作业，巩固所学知识（3）进行课程考试，检验学习成果三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解数学建模的基本理论、方法与应用。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生了解数学建模在实际问题中的应用。
3. 实践法：引导学生分组完成实际数学建模项目，提高学生的实际操作能力。
4. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的创新思维和团队协作能力。
5. 多媒体教学：利用PPT、视频等多媒体手段，丰富教学内容，提高教学效果。
四、考核方式1. 平时成绩（30%）：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 实践成绩（40%）：包括实际数学建模项目完成情况、指导教师点评等。
3. 期末考试（30%）：书面考试，检验学生对课程知识的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：《数学建模与数学实验》、《数学模型》等。
2. 在线资源：中国大学MOOC、网易云课堂等在线课程。
整数规划PPT课件
混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解 。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需 要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确 定可行解的范围，逐步逼 近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不 断缩小解空间，直到找到 最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼 近最优解，适用于大规模 整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决 策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题， 旨在确定如何将一组物品装入有限容 量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值 等多个因素，通过整数规划的方法，可以确 定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物 品和数量等，从而实现装载成本最小化。
THANKS FOR WATCHING
遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择 、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中， 遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体 群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能 力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规 划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
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数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
数学建模——规划模型
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
整数规划的数学模型
2018/8/4
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
x2
5 4
9x1+7x2=56
3
2 1
7x1+20x2=70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2 L1 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 4 x1，x2 0
2018/8/4
0 x5 0 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0 x6 0 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2 -1/2 b 9/2 15/2 7/2 7
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表 cj 2 5 4 0 CB XB x1 4 x3 1 5 x2 0 0 x6 -1 0 x5 1 -2 σ L1 有整数最优解 0 0 0 b 5 7 1 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -5 0 1 5 0 0 0 1 0 -2 0 0 -4 0 0 -1 X* =（0，7，5） ，Z*=55
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整数规划解法
四舍五入法:求解去掉整数约束的一般LP问 题,通过舍入此LP问题的解以得到整数解. 然而,它可能根本不是整数规划问题的解. 还是看例子2,对应的一般LP问题的解为: X1=X4=1, X2=0, X3=0.6, Zmax=22.2,四舍五入 后, X1=X4=1, X2=X3=0,Z=18,但最好的整 数解为: X1=X4=1, X2=X3=0,Z=21
利润(千元/箱) 20 10
如何装箱以获取最大的利润?
1 2
设X1 , X2 为甲,乙两货物各托运箱数
例2,投资模型 某公司预投资向四个项目投资15百万,每 个项目需要的投资额度与三年净现值如下表,
项目 投资额(百万) 净现值NPV (百万) A 8 12 B 6 8 C 5 7 D 4 6
maxZ = 20 X1 + 10 X2
23
分支变量选择原则
按目标函数系数:选系数绝对值最大者变 量先分.对目标值升降影响最大. 选与整数值相差最大的非整数变量先分支. 按使用者经验,对各整数变量排定重要性 的优先顺序.
24
4
分支节点选择
深探法(后进先出法):
– 最后打开的节点最先选,尽快找到整数解.整 数解质量可能不高.
0-1问题的分支定界法(背包问题) 例: maxZ=12X1 + 12X2 + 9X3 + 15X4 + 90X5 + 26X6+ 112X7 (A) 3X1 + 4X2 + 3X3 + 3X4 + 15X5 + 13X6+ 16X7 ≤ 35 Xj为0或1,(j=1…7)
广探法:
– 选目标函数当前最大值节点,找到的整数解质 量高.但速度慢.
松弛问题(B)为 同于(A)约束,目标
25
0 ≤ Xj ≤ 1 (j=1…7)
26
(0)
S=0 X1=0 (2) S=0
X7=X5=X4=1 X2=1/4, Z=220 X2=1 S=0 X2=X7=X5=1 Z=214
X3=1
X7=X5=X4=1 X6=1/13,Z=219 X6=0 (8) S=214
X6=X7=1 X5=6/15,Z=174
X7=X5=X4=1 28 Z=217
5
�
选(2)继续分枝 选X1分枝 问题(2) (1) X1 ≤ 4 问题(3) (1) X1 ≥ 5
17
问题(4)
(2) X2 ≤ 2
问题(5)
(2) X2 ≥ 3
18
3
(1) S0 =0 4.809 355.890 1.817 X1≤ 4 (2) S0 =0 4 2.1 X2≤ 2 (4) S0 =0 4 2 340 (5) 349.0 X2≥ 3 340 (6) X1≥ 5 (3) S0 =0 5 341.39 1.571 X2≤ 1 340 X2≥ 2 (7) 无解
9 10
y11 + y21 = d1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 y14 + y24 + y34 = d4 x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 ≤a1x1 y21 + y22 + y23 + y24≤a2x2 y32 + y33 + y34 ≤a3x3 xi 为0-1, yij ≥0 混合整数规划
(10) S=217 X1=X7=X5=1 X2=1/4, Z=217
④
(9)
X4=1
S=217
X2=0 S=214 X7=X5=X4=1 X3=1/3,Z=220
X3=0 (6) S=214
(3)
(4)
X1=X4=X7=(5)
S=214
X3=X7=X5=1 X4=1/3,Z=216 X6=1 (7) S=214
5
背包可再装入8单位重量,10单位体积物品 物品 1 2 3 4 5 名称 书 摄像机 枕头 休闲食品 衣服 重量 5 3 1 2 4 体积 2 1 4 3 5 价值 20 30 10 18 15
6
1
设Xi为是否带第 i 种物品 maxZ=20X1 + 30X2 +10X3+18X4 +15X5 5X1+3X2 +X3 +2X4 +4X5 ≤ 8 2X1+X2 +4X3 +3X4 +5X5 ≤ 10 Xi为0, 1
5X1+4X2 ≤ 24 2X1+5X2 ≤ 13 X1 , X2 ≥0 X1 , X2为整数
3
如何投资才能使得总的净现值最大?
4
例3,背包问题 和以前LP模型不同的是,没有投资半个项目 的说法,只有投与不同某个项目的区别,设 Xi (i=1,2,3,4) 代表是否投资项目A,B,C,D Max Z=12 X1+8X2+7 X3+6X4 8 X1+6X2+5 X3+4X4 ≤ 15 X1 , X2,X3 , X4为0或1
§1.4 整数规划
整数线性规划模型:线性规划问题除满足 约束条件外,还要求某些变量只取整数值. 混合整数规划模型:线性规划问题中只限 定部分变量为整数. 说明:不只是一个简单的限制,使得优化 问题求解比普通线性规划问题变得困难得 多.
例1,集装箱运货
货物 甲 乙
装运限制
体积(米3/箱) 重量(百公斤/箱) 5 4 24 2 5 13
21
② (C),[(D)]对应的目标值S≤ S0 ③ (C),[(D)]对应的目标值Sc>S0 且解为整数解,令ScS0 且解为非整数解,令(C),[(D)] 取代(B) 返回(4) (6),全部支剪完,停
22
优点: (1),任何模型均可用; (2),思路简单,灵活; (3),速度快; (4),适合上机.
19
分支定界法步骤
(1),(A), 先解(A)的松弛问题(B) (2),① (B)无可行解→(A)无可行解. ② (B)最优解符合(A)要求,停. ③ (B)最优解不符合(A)要求,转(3).
1.428 327.12 3
5.444 307.76 1
20
(5),解(C),(D) 剪支条件:① (C),[(D)]无可行解 (3),估整数解S0 ,作下界. (4),选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj )分支,作(B)的后续问题(C),(D). (C): (B)加约束Xj≤ [bj ] (D):(B)加约束Xj ≥[bj ]+1
解:"单位重量价值大的先放" 重量 1 2 3 4 5 6 7 3 4 3 3 15 13 16 价值 12 12 9 15 90 26 112 价/重 4 3 3 5 6 2 7 ①
27
X7=X5=X4=1 X1=1/3, Z=221
X1=1 (1) S=0
X1=X7=X5=1 X4=1/3, Z= 219 X4=0
对于例2,还有一种简单的考虑.计算回报 率
一个极端的例子
投资回报率大的,可望得到最大的NPV.
11
相应的线性规划的可行域无界,而此时 的整数规划的可行域为空集.
12
2
整数规划常用解法
分支定界法 割平面法 (A) 基本思路
分支定界法
maxZ=CTX AX=b X≥ 0 X为整数 (B)为(A)的松弛问题.
例4,选址问题 A1 B1 B4 A2 B3 A3 B2 Ai: 可建仓库地点,容量
ai ,投资费用bi ,建2个
Bj: 商店,需求dj ( j=1…4 ) Cij: 仓库 i 到商店 j 的单位
运费
问:选择适当地点建仓库,在满足商店需 求条件下,总费用最小.
7 8
解:设Xi ( i=1,2,3)为是否在 Ai 建仓库 yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
13
maxZ=CTX (B) AX=b X≥ 0
14
例:
i+1
Xj*
i
X*
maxZ=40X1 + 90X2 9X1+7X2 ≤ 56 7X1+20X2 ≤ 70 X1 , X2≥ 0 X1 , X2为整数
(B) (C) Xj ≥ i+1 (D)
(B) Xj ≤ i
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16
解:先解(1)的松弛问题 4.809 X* = 1.817 解为 Z* =355.890, 上界Z* X1 =4 X2 =2.1 Z=349.0 解为 X1 =5 X2 =1.571 Z=341.39