2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。
2020年高考模拟浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学(3月份)模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x﹣y+1＝0}，B＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，则A∩B＝（）A．{（1，2）}B．（1，2）C．{1，2}D．{x＝1，y＝2} 2．已知复数z＝，则z对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知2a＝3b＝6，则a，b不可能满足的关系是（）A．a+b＝ab B．a+b＞4C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＜2D．a2+b2＞84．函数f（x）＝sin（πx）e的图象可能是下列哪一个？（）A．B．C．D．5．已知△ABC中，角A，B所对的边分别是a，b，则“a＞b”是“A＞B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件6．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0C．D．7．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18．若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）8．在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2﹣2x+y2＝0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a﹣8b+24＝0则的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[﹣3，﹣]D．[]9．已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，若m取最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题11．已知单位向量，夹角为60°，|+2|＝；|+λ|（λ∈R）的最小值为．12．已知，则tanθ＝，＝．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝，该几何体的表面积为．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S7＝28，则a n＝，的最大值是．15．四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠C＝，∠D＝，BC＝2，则AC的最小值是．16．已知正方形ABCD边长为3，空间中的动点P满足PA＝2，PC＝2PD，则三棱锥A﹣PCD体积的最大值是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题18．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（1）若α＝，求y＝g（x）的单调区间；（2）若，y＝g（x）的一条对称轴是x＝，求y＝g（x）在的值域．19．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，．（1）求证：平面ECF⊥平面ABCD；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．20．正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n．21．在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y2＝4x于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l1与曲线E相切于点Q（s，t），过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B．当线段AB的长度最小时，求s的值．22．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x﹣y+1＝0}，B＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，则A∩B＝（）A．{（1，2）}B．（1，2）C．{1，2}D．{x＝1，y＝2}解：解得，，∴A∩B＝{（1，2）}．故选：A．2．已知复数z＝，则z对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵复数z＝＝＝＝2+2i，则z在复平面内对应的点的坐标为（2，2），位于第一象限，故选：A．3．已知2a＝3b＝6，则a，b不可能满足的关系是（）A．a+b＝ab B．a+b＞4C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＜2D．a2+b2＞8解：∵2a＝3b＝6，∴（2a）b＝6b，（3b）a＝6a，∴2ab＝6b，3ba＝6a，∴2ab•3ba＝6b•6a，∴（6）ab＝6a+b，∴ab＝a+b，则有ab＝a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b＝ab＞4，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2＝a2+b2﹣2（a+b）+2＞2ab﹣2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故C错误故选：C．4．函数f（x）＝sin（πx）e的图象可能是下列哪一个？（）A．B．C．D．解：函数f（﹣x）＝sin（﹣πx）e＝﹣sin（πx）e＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，由f（x）＝0得sin（πx）＝0，则πx＝kπ，则x＝k，则x轴右侧第一个零点为1，则f（）＝sin＝＞0，排除D．|f（）|＝|sin（π）|＝＜，则|f（）|＜f（），排除B，故选：A．5．已知△ABC中，角A，B所对的边分别是a，b，则“a＞b”是“A＞B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件【分析】“a＞b”⇒“A＞B”，“A＞B”⇒“a＞b”．解：△ABC中，角A，B所对的边分别是a，b，“a＞b”⇒“A＞B”，“A＞B”⇒“a＞b”，∴“a＞b”是“A＞B”的充分必要条件．故选：D．6．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．7．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18．若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）＝f（1），可得f（1）＝0 则有，f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）＝﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．8．在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2﹣2x+y2＝0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a﹣8b+24＝0则的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[﹣3，﹣]D．[]【分析】利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ 的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．解：由x2﹣2x+y2＝0得（x﹣1）2+y2＝1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，由a2+b2+6a﹣8b+24＝0得（a+3）2+（b﹣4）2＝1，即Q的轨迹是以A（﹣3，4）为圆心半径为1的圆，的几何意义为PQ的斜率，由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线，A，B的中点C（﹣1，2），设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+k+2＝0，圆心B的直线的距离d＝＝1，平方得4k2+8k+4＝1+k2，即3k2+8k+3＝0，得k＝＝＝，即斜率的最大值为，最小值为，即的取值范围是[，]，故选：B．9．已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，若m取最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|＝m|PF|，设PA 的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，即可求得|PA|的值，再由椭圆的定义可得2a，求得2c，由离心率的公式计算可得所求值．解：抛物线的标准方程为x2＝4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∵|PA|＝m|PF|，∴|PA|＝m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα＝，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，可得x2＝4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4＝0，∴△＝16k2﹣16＝0，∴k＝±1，∴P（2，1），A（0，﹣1），∴|PA|＝＝2．点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，可得：2a＝|PA|+|PF|＝2+2，2c＝|AF|＝2，即有e＝＝＝﹣1．故选：B．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知单位向量，夹角为60°，|+2|＝；|+λ|（λ∈R）的最小值为．【分析】根据条件可求出，根据进行数量积的运算即可求出的值，并可得出，配方即可求出最小值．解：∵，∴＝，＝．故答案为：．12．已知，则tanθ＝，＝．【分析】利用两角和差的三角公式以及弦化切进行化简求解即可．解：由tanθ＝tan（θ+﹣）＝＝＝＝，＝（cos2θ+sin2θ）＝（cos2θ﹣sin2θ+2sinθcosθ）＝×＝×＝×＝×＝，故答案为：，．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝1，该几何体的表面积为．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是，求出a值，再计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示：其底面面积S＝a2，高SA＝2，故它的体积V＝＝＝，解得a＝1，则底面面积S＝1，侧面S△SAD＝S△SAB＝，侧面S△SCD＝S△SCB＝＝，故几何体的表面积为1+2×1+2×＝，故答案为：1；．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S7＝28，则a n＝n，的最大值是．【分析】利用等差数列前n项和公式，列出方程组，求出a1＝1，d＝1，由此能求出结果．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝6，S7＝28，∴，解得a1＝1，d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n．∴S n+4＝（n+4）+，∴＝＝，设y＝，则y′＝，由y′＝0，得n＝2，（舍负），∵n∈N*，∴n＝2时，取最大值．故答案为：n，．15．四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠C＝，∠D＝，BC＝2，则AC的最小值是．【分析】作出图形，由图观察容易得解．解：如图，点A只能在线段BA1上运动，且不包括端点，显然当AC⊥BA1时，AC取得最小值，故．故答案为：．16．已知正方形ABCD边长为3，空间中的动点P满足PA＝2，PC＝2PD，则三棱锥A﹣PCD体积的最大值是．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），设P（a，b，c），由空间中的动点P满足PA＝2，PC＝2PD，得到a＝3b﹣5，从而c＝＝，当b＝，a＝﹣时，c最大值c max＝＝，由此能求出三棱锥A﹣PCD体积的最大值．解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），设P（a，b，c），∵空间中的动点P满足PA＝2，PC＝2PD，∴，整理，得a＝3b﹣5，∴c＝＝＝，∴当b＝，a＝﹣时，c最大值c max＝＝，∴三棱锥A﹣PCD体积的最大值为：V＝＝×＝．故答案为：．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（1）若α＝，求y＝g（x）的单调区间；（2）若，y＝g（x）的一条对称轴是x＝，求y＝g（x）在的值域．【分析】（1）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性求得α，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+2α+）的图象．若α＝，求得y＝g（x）＝2cos（2x++）＝﹣2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得g（x）的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得g（x）的单调减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（2）若，y＝g（x）的一条对称轴是x＝，则2×+2α+＝kπ，k∈Z，∴α＝，∴g（x）＝2cos（2x+2α+）＝2cos（2x+），在上，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，g（x）∈[﹣2，]．19．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，．（1）求证：平面ECF⊥平面ABCD；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出DE＝CF＝．DE⊥AD，DE⊥CD，从而DE⊥面ABCD，进而CF⊥面ABCD，由此能证明平面ECF⊥平面ABCD．（2）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足条件的P点，线段BP的长为．解：（1）证明：四边形EDCF为矩形，∴DE＝CF＝．∵AD2+DE2＝AE2∴DE⊥AD，∴DE⊥CD，∴DE⊥面ABCD，∴CF⊥面ABCD，又∵CF⊂面BCF，∴平面ECF⊥平面ABCD．（2）解：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系．如图所示，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），E（0，0，），F（﹣1，2，），设＝（﹣），λ∈[0，1]，∴P（），＝（），设平面ABE的法向量为＝（x，y，z），＝（0，2，0），＝（﹣1，0，），∴，取z＝1，得＝（）．∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，化简得8λ2﹣6λ＝0，解得λ＝0或．当λ＝0时，＝（﹣1，﹣2，0），∴||＝，当时，＝（﹣，﹣，），∴||＝．综上存在这样的P点，线段BP的长为．20．正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n．【分析】（1）因式分解可得（S n﹣（n2+n））（S n+1）＝0，从而求得S n＝n2+n，从而判断出{a n}为等差数列，从而解得；（2）裂项b n＝＝（﹣），从而求其前n项和前证明不等式即可．解：（1）∵S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0，∴（S n﹣（n2+n））（S n+1）＝0，∴S n＝n2+n，或S n＝﹣1（舍去），故正项数列{a n}为等差数列，其中a1＝1+1＝2，a2＝S2﹣S1＝4，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）∵b n＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）；故T n＜．21．在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y2＝4x于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l1与曲线E相切于点Q（s，t），过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B．当线段AB的长度最小时，求s的值．【分析】（1）根据题意可得PF的方程2n（x﹣1）﹣y（n2﹣1）＝0，根据距离即可求出，（2）点Q处的切线l1的斜率存在，由对称性不妨设t＞0，根据导数的几何意义和斜率公式，求|AB|，并构造函数，利用导数求出函数的最值．解：（1）因为抛物线C的方程为y2＝4x，所以F的坐标为（1，0），设M（m，n），因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，所以圆M的半径为|n|，点P（n2，2n），则直线PF的方程为＝，即2n（x﹣1）﹣y（n2﹣1）＝0，所以＝|n|，又m，n≠0，所以|2m﹣n2﹣1|＝n2+1，即n2﹣m+1＝0，所以E的方程为y2＝x﹣1，（y≠0），（2）设Q（t2+1，t），A（0，y1），B（0，y2），由（1）知，点Q处的切线l1的斜率存在，由对称性不妨设t＞0，由y′＝，所以k AQ＝＝＝，k BQ＝＝﹣2＝﹣2t，所以y1＝﹣，y2＝2t3+3t，所以AB＝|2t3+3t﹣+|＝2t3+t+，t＞0．令f（t）＝2t3+t+，t＞0，则f′（t）＝6t2+﹣＝，由f′（t）＞0得t＞，由f′（t）＜0得0＜t＜，所以f（t）在区间（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，所以当t＝时，f（t）取得极小值也是最小值，即AB取得最小值此时s＝t2+1＝．22．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过a与0的大小比较，判断导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．（2））求出g'（x）＝，由g'（x）＝0得x2﹣（a+1）x+1＝0，推出x1+x2＝a+1，x1x2＝1，x2＝，利用g（x1）﹣g（x2），构造函数设h（x）＝2lnx﹣，求和函数的最小值，转化求解k的范围即可．解：（1）由f（x）＝ax﹣lnx﹣1，x∈（0，+∞），则f′（x）＝a﹣，当a≤0时，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）＝0⇒x＝，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）∵g（x）＝lnx+﹣（a+1）x，g'（x）＝，由g'（x）＝0得x2﹣（a+1）x+1＝0，∴x1+x2＝a+1，x1x2＝1，∴x2＝，∵a≥，∴，解得0＜x1≤，∴g（x1）﹣g（x2）＝ln，设h（x）＝2lnx﹣，则h′（x）＝＜0，∴h（x）在上单调递减；当x1＝时，﹣2ln2，∴k≤﹣2ln2，即所求k的取值范围为：（﹣∞，]．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(三)含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(三)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1，2} B ．{－1，1，2} C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(3－i)(1＋3i)，则复数z 的实部为( ) A. 3 B ．2 3 C ．0D ．23．已知α∈[0，π]，则“α＝π4”是“sin α＝22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y －2≥0，y ≥－1，则z ＝2x ＋3y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．5D ．1325．函数y ＝cos 2x ·ln|x |的图象可能是( )6．已知0＜a ＜14，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小7．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.12 B ．32 C ．－12D ．－328．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．6 2C ．14D ．1429．已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( ) A ．lg x B ．－x 2＋2x C ．2xD ．sin x10．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A ．10 B ．15 C ．20D ．25第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝________，a·b ＝________． 12．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是________，最短弦长为________．13．设(2x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，其中a i (i ＝0，1，…，8)是常数，则a 3＝________，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间(0，π3)上的值域是________．15．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足：CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．17．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，AD ＝1，AF ⊥平面ABC ，且AF ＝3.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△DAE 翻折成△D ′AE ，M 为BD ′的中点，则三棱锥M －BCF 体积的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD .(1)证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；(2)求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．(本题满分15分)设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t4n 恒成立，求实数t 的取值范围．21.(本题满分15分)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ln xx2＋x.(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)证明：f(x)＜12e＋e(e为自然对数的底数)．高考仿真模拟卷(三)1．解析：选D.因为A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}＝{0，1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}，故选D.2．解析：选B.复数z ＝(3－i)(1＋3i)＝3－3i 2－i ＋3i ＝23＋2i ，所以复数z 的实部为2 3. 3．解析：选A.若α＝π4，则sin α＝22，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α＝22，则α＝π4或α＝3π4，故必要性不成立．故“α＝π4”是“sin α＝22”的充分不必要条件．4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝12，故A (52，12)．作出直线2x ＋3y ＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(52，12)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，故z max ＝2×52＋3×12＝132.5．解析：选D.由于函数y ＝cos 2x ·ln|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此可以排除A ，B 两个选项；当0<x <π4时，y ＝cos 2x ·ln|x |<0，所以排除C ，故选D.6．解析：选A.E (ξ)＝－34＋a ，a 增大时，E (ξ)增大，D (ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2816， 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，a 增大，D (ξ)增大．故选A. 7．解析：选A.因为AB →＋AC →＝2AO →，所以点O 为BC 的中点，因为O 是三角形的外心，所以△ABC 是直角三角形， 且A 是直角，OA ＝BO ，因为|OA →|＝|AB →|，所以△ABO 是正三角形，所以BA →在BC →方向上的投影等于|BA →|·cos 60°＝12.8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE 所示，故S 四边形BCDE ＝12×4×4－12×2×2＝6，四棱锥A BCDE 的高h ＝3，故该几何体的体积V ＝13S 四边形BCDE h ＝13×6×3＝6，故选A. 9．解析：选D.对于选项A ，由于f (x )＝lg x 在x >0上是增函数，值域是R ，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项B ，f (x )＝－x 2＋2x 在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项C ，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项D ，f (x )＝sin x 在x >0时的值域为[－1，1]，总存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，故选D.10．解析：选C.由题意可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝（S 4＋5）2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4×25S 4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.选C.11．解析：由|a ＋2b |2＝|a |2＋4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝4＋4|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝1，所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a·b 〉＝1.答案：1 112．解析：直线l 过定点(0，1)，圆C 可化为(x －1)2＋y 2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，易知此时k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1.所以圆心到直线的距离为d ＝|1－0＋1|2＝2，故最短弦长为24－（2）2＝2 2. 答案：y ＝x ＋1 2213．解析：(2x －1)8展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(－1)r ，当8－r ＝3，即r ＝5时，a 3＝C 58×23×(－1)5＝－448.令x ＝1，得a 8＋a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝1，令x ＝－1，得a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－6 560，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－3 280.答案：－448 －3 28014．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数的最小正周期T ＝2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f (x ＋π3)＝2sin[2(x ＋π3)＋φ]＝2sin[2x ＋(2π3＋φ)]，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin(2x －π6)．设t ＝2x －π6，因为x ∈(0，π3)，所以t ∈(－π6，π2)，故sin t ∈(－12，1)，所以函数f (x )在区间(0，π3)上的值域为(－1，2)． 答案：－π6(－1，2)C (0，0)，A (23，15．解析：通解：如图，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则0)，B (3，3)，所以CA →＝(23，0)，CB →＝(3，3)，所以CM →＝16(3，3)＋23(23，0)＝(332，12)，所以M (332，12)，MA →＝(32，－12)，MB →＝(－32，52)，所以MA →·MB →＝32×(－32)＋(－12)×52＝－2. 优解：MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(13CA →－16CB →)·(56CB →－23CA →)＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＝718×23×23cos60°－29×(23)2－536×(23)2＝－2.答案：－216．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，得－32<b <－2.答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解析：三棱锥M BCF 的底面三角形BCF 是固定的，又AF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AF ⊥BC .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，AB ∩AF 以S △BCF ＝12＝A ，所以BC ⊥平面ABF .又BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥BC ，所BC ·BF ＝3，所以要求三棱锥M BCF 体积的最小值，只需求点M到平面BCF 的距离h 的最小值即可．因为M 为BD ′的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ′到平面BCF 的距离h ′的一半．因为E 为DC 上的动点．且AD ′＝1，所以D ′的轨迹为以A 为球心，1为半径的球面的一部分．作AG ⊥BF交BF于点G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG－AD′＝32－1＝12，所以V MBCF≥13×12×12×3＝312.答案：31218．解：(1)在△ABC中，cos A＝45，A∈(0，π)，所以sin A＝1－cos2A＝1－（45）2＝35.同理可得，sin∠ACB＝1213.所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin A sin∠ACB－cos A cos∠ACB＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB＝BCsin A×sin ∠ACB＝1335×1213＝20.又AD＝3DB，所以BD＝14AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得，CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.19．解：(1)由题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC′，因为BD⊂平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.(2)在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.由(1)知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝3，MD＝2－3，DC＝DC′＝33－2，AD＝6－ 2.在Rt△C′MD中，MC′2＝C′D2－MD2＝(33－2)2－(2－3)2＝9－4 3.设AF ＝x ，在Rt △C ′F A 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即4－x 2＝(9－43)－(x －1)2， 解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2. 所以C ′F ＝223－3.故直线C ′D 与平面ABD 所成角的正弦值为C ′FAF ＝23－33－1.20．解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1an －1得，a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是首项为1，公差为23的等差数列．所以a n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.则S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝3n2n ＋3.故S n ≥3t 4n 恒成立等价于3n 2n ＋3≥3t 4n ，即t ≤4n 22n ＋3恒成立．令g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)，则g ′(x )＝8x （x ＋3）（2x ＋3）2>0，所以g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)为单调递增函数．所以当n ＝1时，4n 22n ＋3取得最小值，且⎝⎛⎭⎫4n 22n ＋3min ＝45. 所以t ≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，45. 21．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0. 因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以（1－mx 0）216m 4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±23，所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43， 故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 22．解：(1)f ′(x )＝x ＋1－（2x ＋1）ln x （x 2＋x ）2. (2)设g (x )＝x ＋12x ＋1－ln x ＝12＋14x ＋2－ln x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (e)>0，g (e)<0， 所以存在x 0∈(e ，e)，使g (x 0)＝0， 即x 0＋12x 0＋1－ln x 0＝0， 所以x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)上单调递增，在区间(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x 0)＝ln x 0x 0（x 0＋1）＝1x 0（2x 0＋1）<12e ＋e.。
浙江省嘉兴市桐乡市高级中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题 Word版含解析
2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合{}(,)10A x y x y =-+=，{}(,)20B x y x y =-=，则A B （ ）A. {}(1,2)B. (1,2)C. {}1,2D.{}1,2x y ==【答案】A 【解析】 【分析】解方程组得到交点坐标，从而得到结果. 【详解】解：1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，∴AB ={}(1,2)故选A【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题. 2.已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 3.已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）A. a b ab +=B. 4a b +>C. ()()22112a b -+-< D.228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题 4.函数()()2sin xf x x e π-=图象可能是下列哪一个？（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由14102f e -⎛⎫=> ⎪⎝⎭排除选项D ;14102f e -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭排除选项C ；由函数()f x 有无数个零点，排除选项B ,从而可得结果.【详解】由14102f e -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，可排除选项D ，()1210f e --=-<可排除选项C ；由()0f x =可得,x k x k k z ππ=⇒=∈，即函数()f x 有无数个零点，可排除选项B ,故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”， “A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．6.已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7.定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 0,2⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,033a a a a ∴><<<∴<<故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8.在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A. []22-,B. 4747---+⎣⎦C. 13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.6767-+⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQy bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则2211343411k mkk m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-， 可得2m k =+，2222111k m k kk++==++，化为23830k k ++=，473k -±=， 即4747AB CD k k ---+==， 4747PQ y b k x a ----+≤=≤-y bx a --的取值范围4433⎡--+⎢⎣⎦，故选B. 【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.9.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）11-C.12D.12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====，当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，22,2PA PF ，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A. 对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B. 对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C. 对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D. 对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D 【解析】 【分析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需2<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且1x =2x =因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故1142ab+-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ．【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题． 二、填空题（本大题共7小题）11.已知单位向量1e ，2e 夹角为60︒，122e e +=______；()12e e R λλ+∈的最小值为______． 【答案】73【解析】 【分析】根据条件可求出2212121,12e e e e ⋅===，根据212122(2)e e e e +=+进行数量积的运算即可求出122e e +的值，并可得出2121e e λλλ+=++【详解】①2212121,12e e e e ⋅===，222121211222(2)447e e e e e e e e ∴+=+=+⋅+=，②2221212133()1()24e e e e λλλλλ+=+=++=++． 37,． 【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法．12.已知πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】 (1). 12(2). 7210 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式结合πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得出tan θ的方程，即可求出tan θ的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出cos2θ和sin 2θ的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos 24πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝⎭， 22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===++， 2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++，()27cos 2cos 2sin 22410πθθθ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：12；72. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大． 13.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________ ，该几何体的表面积为 _________．【答案】；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，728S =，则n a =______，14nn a a S ++的最大值是______.【答案】 (1). n (2). 17【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式，可求出14nn a a S ++的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出14nn a a S ++的最大值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则317133672128S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以，数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=；（2）()()1122n n n a a n n S ++==，()()()142154n n n a a S n n +++∴=++， 令1t n =+，则2t ≥且t ∈N ，()()142212437n n a a t S t t t t++==++++，由双勾函数的单调性可知，函数127y t t=++在(0,t ∈时单调递减，在()t ∈+∞时单调递增， 当3t =或4时，14n n a a S =+取得最大值为17. 故答案为：n ；17. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.四边形ABCD 中，56A π∠=，512B C π∠=∠=，3D π∠=，2BC =，则AC 的最小值是______. 【解析】 【分析】在ABC ∆中利用正弦定理得出52sin12sin AC CABπ=∠，进而可知，当2CAB π∠=时，AC 取最小值，进而计算出结果. 【详解】562sinsin sin cos cos sin 124646464πππππππ+⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭， 如图，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin BAC B B A CC =∠∠，即52sin12sin AC CABπ=∠，故当2CAB π∠=时，AC 62+62+【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.36【解析】 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ， 空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，所以()()()2222222222333a b c a b c a b c ++=-+-+=+-+35a b =-， ()222223344351022c a b b b b ⎛⎫∴=--=---=--+ ⎪⎝⎭当32b =，12a =-时，c 取最大值62所以，三棱锥A PCD -的体积为21116363332A PCD P ACD ACD V V S c --∆==⋅≤⨯⨯=因此，三棱锥A PCD -36. 36. 【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______. 【答案】2e 【解析】【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b=++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--， 设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2e M a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数()sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象.（1）若4πα=，求()y g x =的单调区间；（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴是12x π=，求()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣.【解析】 【分析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】由题意得()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）()y f x =向左平移4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭， 减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭； （2）由题易知，()2cos 226g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为()y g x =的一条对称轴是12x π=，所以266k ππαπ++=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z . 又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πα=，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则53cos 21,62x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是2,3⎡⎤-⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．19.如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,3CF =.（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为1510,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由. 【答案】（1）见解析；（25 【解析】 【分析】（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ⊂面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD . （2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF λ=,则可得出 向量()1,23BP λλλ=---,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,利用直线与平面所成角的正弦公式sin cos ,BP n BP n BP nθ⋅==⨯列方程求出0λ=或34λ=,从而求出线段BP 的长.【详解】解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形, ∴3DE CF ==∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD ∴CF⊥面ABCD 又∵CF ⊂面BCF ∴平面ECF ⊥平面ABCD（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,()0,0,3E ,()1,2,3F -, 设()1,2,3DP DF λλ==-(),2,3λλλ=-,[]0,1λ∈; ∴(),2,3P λλλ-,()1,22,3BP λλλ=---,设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩,不防设()3,0,1n =.∴sin cos ,BP n θ==BP n BP n⋅=⨯()()()()22231312232λλλλλ--+--+-+⨯15=, 化简得2860λλ-=,解得0λ=或34λ=; 当0λ=时,()1,2,0BP =--,∴5BP =;当34λ=时,7133,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,∴5BP =; 综上存在这样的P 点,线段BP 的长5.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.20.正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn ＜564.【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项， 所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项， 所以，当时，有， 所以， 解得，当时，，符合所以数列的通项公式，; （2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时， 有， 所以， 所以对于任意，数列的前项和.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【答案】（1）21y x =-，()0y ≠（2）197324+． 【解析】【分析】() 1根据题意设(),M m n ，可得PF 的方程()()22110n x y n ---=，根据距离即可求出； ()2点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，根据导数的几何意义和斜率公式，求AB ，并构造函数，利用导数求出函数的最值．【详解】()1因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为()1,0， 设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点()2,2P n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即()()22110n x y n ---=， ()()2222211(2)(1)n m n n n n n ---=+-，又m ，0n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为21y x =-，()0y ≠， ()2设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，由()1知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，由'y =，所以12112AQ t y k t t -===+，2221BQ t y k t t -==-=-+， 所以1122t y t=-，3223y t t =+， 所以331512322222t AB t t t t t t =+-+=++，0t >． 令()351222f t t t t=++，0t >， 则()42222511251'6222t t f t t t t +-=+-=， 由()'0f t >得t >()'0f t <得0t << 所以f t在区间⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭单调递增，所以当t =f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时219124s t +=+=． 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间；（2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x -++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a '=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=， ∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x = ∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.∴()()()()222112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减； 当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。
2020年浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)
2020年浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合A={0,1，2}，B={−1,0}，则A∩(∁U B)=()A. {0}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {−2,0，1，2}2.复数z满足2z=−1−i(其中i是虚数单位)，则z=()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，命题p：双曲线E离心率e=√2，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知l，m是两条不同的直线，α是平面，且m//α，则()A. 若l//m，则l//αB. 若l//α，则l//mC. 若l⊥m，则l⊥αD. 若l⊥α，则l⊥m5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式最有可能是()A. f(x)=3x−13x+1B. f(x)=3x+13x−1C. f(x)=1−3x1+3xD. f(x)=1+3x1−3x6.X013P 1312a若随机变量满足，则的方差=()A. 1B. 2C. 3D. 97.已知a∈R，实数x，y满足{x+y−2≤02x−y≤0x−a≥0，设z=x−2y，若z的最小值是−7，则a的值为()A. −1B. 73C. 103D. 78.用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次(如0020020、2020200、0220220等)，则这样的数码的个数是()A. 54B. 44C. 32D. 229.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面PCD，PA=PD，点E为线段P上的动点．记A与AP所成角的最小值为C，当D为线段E中点时，二面角P−BC−E的大小为β，二面角E−BC−D的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是()A. α>β>γB. α>γ>βC. α>β=γD. γ>α>β10. 如图，已知△ABC 为钝角三角形，AC <AB <BC ，点P 是△ABC 外接圆上的点，则当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 在( )A. ∠BAC 所对弧上(不包括弧的端点)B. ∠ABC 所对弧上(不包括弧的端点)C. ∠ACB 所对弧上(不包括弧的端点)D. △ABC 的顶点二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知(ax −1)6的展开式中x 3的系数为−160，则实数a =______；展开式中各项系数之和为______.(用数字作答)12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，b =3，c =4，则cosA =______，△ABC 的面积是______． 14. 已知正实数x ，y 满足x +2y =3，则xy 的最大值为______，x 2+3y xy的最小值为______．15. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线AF 1的斜率为4√27，且|AF 1|=|F 1F 2|，则椭圆的离心率为______．16. 等比数列{a n }的相邻两项a n ，a n+1是方程x 2−2n x +c n =0(n ∈N ∗)的两个实根，记T n 是数列{c n }的前n 项和，则T n =______． 17. 已知函数f(x)=2lnx −1，g(x)=a|x −m|，若存在实数a >0使y =f(x)−g(x)在(1e ,e)上有2个零点，则m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sin2x+2sinxcosx−√3，(x∈R)．(Ⅰ)求f(π3)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间及f(x)图象的对称轴方程．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，PD=CD=AD，PD⊥平面ABCD．(Ⅰ)证明：AC⊥平面PBD；(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．20.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1，a n，S n成等差数列，且a5=S4+2，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)记b n=a nS n2，n∈N∗，证明：b1+b2+⋯+b n≤34−14(2n−1)，n∈N∗．21.如图，设点F是抛物线C：x2=2y的焦点，直线l与抛物线C相切于点P(点P位于第一象限)，并与抛物线C的准线相交于点A.过点P且与直线l垂直的直线l1交抛物线C于另一点B，交y轴于点Q，连结AB．(Ⅰ)证明：△FPQ为等腰三角形；(Ⅱ)求△PAB面积的最小值．，g(x)=−2ab⋅e x−1+b(x+1)lnx−2a+2b+2，其中a∈R，且22.已知函数f(x)=lnx+4x+1a>0．(Ⅰ)求f(x)在x∈(0,1]上的最大值；(Ⅱ)若g(x)≤0对任意的b∈[a,+∞)及x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．注：e是自然对数的底数．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解；因为U={−2,−1,0，1，2}，集合A={0,1，2}，B={−1,0}，则A∩(∁U B)={0,1，2}∩{−2，1，2}={1，2}．故选：B．根据集合的基本运算即可求(C U B)∩A．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：解：由2z =−1−i，得z=2−1−i=2(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1+i，故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：C解析：解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，离心率为e=ca，由e=√2，可得c=√2a，即有c2=2a2=a2+b2，可得a=b，即有渐近线方程为y=±x，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a=b，可得e=√2，即有p是q的充要条件，故选：C．求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分必要条件的定义即可得到所求结论．本题考查双曲线的方程和性质，充分必要条件的判断，考查运算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：由l，m是两条不同的直线，α是平面，且m//α，知：在A中，若l//m，则l//α或l⊂α，故A错误；在B中，若l//α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；在D中，若l⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得l⊥m，故D正确．故选：D．在A中，l//α或l⊂α；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，l与α相交、平行或l⊂α；在D 中，由直线与平面垂直的性质定理得l⊥m．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：由图可知，当x>0时，f(x)>0，而此时1−3x<0，故排除CD；同时注意选项B在x=0处没有意义，这与题设不符，故排除．故选：A．观察图象可知当x>0时，f(x)>0，由此可排除CD；又函数的定义域为R，由此可排除B．本题考查利用函数图象确定函数解析式，考查识图能力及数形结合思想，属于基础题．6.答案：D解析：解：由分布列的性质可知，13+12+a=1，所以a=16，所以数学期望E(X)=0×13+1×12+3×16=1，方差D(X)=(0−1)2×13+(1−1)2×12+(3−1)2×16=1，因为Y=3X−1，所以D(Y)=32D(X)=9，故选：D．先根据分布列的性质，即概率和为1，求出a的值，再分别计算出X的数学期望与方差，然后根据Y=3X−1，则D(Y)=32⋅D(X)即可求出D(Y)．本题考查分布列的性质、数学期望与方差，考查学生的运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：实数x，y满足{x+y−2≤02x−y≤0x−a≥0，的可行域如图，当直线z=x−2y过点A(a,2−a)时，z取得最小值，即a−4+2a=−7可得a=−1．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．8.答案：B解析：解：利用分类讨论法：当由两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，所以首尾为0，所以有C42种情况；三个2四个0时，可分为三个2不相邻和22与2不相邻，所以共有C53+A32种情况；故共有(C42+C53+A32)×2=44种情况．故选：B．根据分类计数原理即可求出．本题考查两个基本原理和排列组合的应用，考查运算能力和实际应用能力，中档题．9.答案：B解析：解：令√2AP =√2PD =AD =1，分别过P ，E 作AD 的垂线分别交于F ，G ，再过F ，G 作AD 的垂线交BC 于M ，N ，由AP ⊥CD ，AD ⊥CD ，AP ∩AD =D ，可得CD ⊥平面APD ，∴平面PCD ⊥平面APD ，又CD//AB ，∴AB ⊥平面APD ， ∴AB ⊥PD ，又AP ⊥PD ，AB ∩AP =A ， ∴PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBD ，∴AP 在平面PBD 内的射影为PB ，根据最小角定理，当点E 在点P 时，BE 与AP 所成角最小，此时tanα=√2，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴γ=∠ENG ，β+γ=∠PFM ，则tanγ=14,tan(β+γ)=12， ∴tanβ=tan(∠PFM −∠ENG)=29，∴tanα>tanγ>tanβ，即α>γ>β． 故选：B ．令√2AP =√2PD =AD =1，如图，根据最小角定理可知当点E 在点P 时，BE 与AP 所成角最小，求出tanα，又γ=∠ENG ，β+γ=∠PFM ，利用正切三角公式求出tanβ， tanγ，通过比较正切值，即可得出结论．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间角的大小比较，考查运算求解能力，是中档题． 10.答案：C解析：解：设外接圆的圆心为O ，半径为r ，不妨把线段BC 放在水平位置来考虑， PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =3|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，令OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则原式=3r 2+2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，现在考虑题目中的唯一动点P ，很显然当PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向时，取得最小值，此时点P 在劣弧AB 上，故∠ACB 所对弧上(不包括弧端点)． 故选：C ．设外接圆的圆心为O ，半径为r ，利用平面向量的线性运算可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =3|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，令OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进一步转化为研究3r 2+2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作出图形，观察图象可知当PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向时，目标式取得最小值，由此得出结论．本题考查平面向量的线性运算及数量积，考查运算能力及数形结合思想，属于较难题目．11.答案：2 1解析：解：由于(ax −1)6展开式的通项公式为T r+1=∁6r ⋅a6−r⋅x 6−r ⋅(−1)r ， 令6−r =3，解得r =3，故(ax −1)6展开式中x 3的系数为∁63⋅a 3=−160，解得a =2，故(ax −1)6=(2x −1)6 展开式中各项系数和为(2−1)6=1， 故答案为：2，1．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得x 3的系数，再根据x 3的系数为−160，求得实数a 的值，可得(ax −1)6=(2x −1)6 展开式中各项系数和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12.答案：143π；6+(6+√13)π解析：解：由题意三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥， 可知几何体的体积为：14×4π3×23+13×12×π×22×3=143π．几何体的表面积为：14×4π×22+12×π×22+12×4×3+12×2π×√13=6+(6+√13)π．故答案为：143π；6+(6+√13)π．由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13.答案：78 3√15解析：解：因为a =2，b =3，c =4， 由余弦定理可得，cosA =9+16−42×3×4=78，所以sinA =√158，∴S △ABC =12bcsinA =12×3×4×√158=3√154故答案为：78，3√154由已知结合余弦定理可求cos A ，进而可求sin A ，然后代入三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．14.答案：98 2√2+1解析：解：正实数x ，y 满足x +2y =3，由基本不等式可得，3=x +2y ≥2√2xy ，当且仅当x =2y 时取等号， 则xy ≤98，即最大值98； ∵x 2+3y xy=x 2+(x+2y)yxy=x y +2y x+1≥2√x y ⋅2y x+1=2√2+1，故答案为：98；2√2+1由x +2y ≥2√2xy ，可求xy 的最大值；x 2+3y xy=x 2+(x+2y)yxy =x y +2y x+1，利用基本不等式可求最值．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.答案：35解析：解：有题意如图所示： 因为直线AF 1的斜率为4√27，所以tan∠AF 1F 2=4√27，所以cos∠AF 1F 2=√(4√2)2+72=79，因为|AF 1|=|F 1F 2|=2c ，由余弦定理可得AF 2=√AF 12+F 1F 22−2AF 1⋅F 1F 2⋅79=4c 3，所以2a =2c +4c 3=10c 3，即a =5c 3所以离心率e =ca =35， 故答案为：35． 有题意可得tan∠AF 1F 2=4√27，进而求出角的余弦值，由余弦定理可得AF 2的值，再由椭圆的定义求出2a ，进而求出椭圆的离心率．考查由直线的斜率得角的正切值，求余弦值，由余弦定理可得三角形的边长，和椭圆的性质，属于中档题．16.答案：827(4n −1)解析：解：等比数列{a n }的相邻两项a n ，a n+1是方程x 2−2n x +c n =0(n ∈N ∗)的两个实根， 可得a n +a n+1=2n ，a n a n+1=c n ．可得{a 1(1+q)=2a 1q(1+q)=4，解得{a 1=23q =2，所以a n =23×2n −1，c n =a n a n+1=29×4n ，c 1=89，q =4，所以数列{c n}的前n项和Tn =89(1−4n)1−4=827(4n−1)．故答案为：827(4n−1)．利用韦达定理，列出关系式，求出数列的首项与公比，然后得到数列的通项公式，即可求解T n．本题考查数列的递推关系式的应用，数列与函数的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，求解数列的首项与公差是解题的关键．17.答案：(e2,e)解析：解：令f(x)=2lnx−1=0得x=√e，且在(1e,e)上递增．对于g(x)=a|x−m|，函数图象关于x=m对称，且开口向上．①当m≥e时，显然只有一个交点，不符题意(图①)；②当√e≤m<e时，总能找到a，使得两函数有两个交点(图②)；③当m<√e时，y=g(x)的图象的右半部分至多与y=f(x)在x轴上方的图象产生两个交点．此时只需研究g(x)=a(x−m)与y=f(x)的图象即可．事实上，此时过点(m,0)做y=f(x)的切线，只要是切点落在(√e,e)内即可(图③)．设切点为(x0,2lnx0−1)，且k=2x，所以切线方程为：y−(2lnx0−1)=2x0(x−x0)，将(m,0)代入整理得：m=32x0−x0lnx0，x0∈(√e,e)，∵m′=12−lnx0，令m′=0得x0=√e，易知x>√e时，m′<0，故m=32x0−x0lnx0在(√e,e)递减．∴f(e)<m<f(√e)，即e2<m<√e．综上可知，当m∈(e2,e)时，存在实数a>0使y=f(x)−g(x)在(1e,e)上有2个零点．故答案为：(e2,e)y =f(x)−g(x)的零点即为y =f(x)与y =g(x)的图象交点，所以利用导数研究f(x)的单调性、极值情况，做出图象．然后再画出y =g(x)的图象，想办法让其能产生交点，由此构造方程或不等式求解．本题考查了利用函数的图象研究函数零点的方法，同时也考查了利用导数研究函数的图象以及值域思路，同时考查了利用函数思想、数形结合思想、分类讨论思想解题的能力．属于较难的题目． 18.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=2√3sin 2x +2sinxcosx −√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)； ∴f(π3)=2sin(2×π3−π3)=√3；(Ⅱ)令2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)， 即为函数f(x)图象的对称轴方程．令π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ(k ∈Z)，得5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ(k ∈Z)， 即函数f(x)的单调递减区间是[5π12+kπ,11π12+kπ](k ∈Z)．解析：(Ⅰ)通过二倍角公式以及两角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，进而求解结论．(Ⅱ)通过正弦函数的对称轴直接求函数f(x)图象的对称轴方程，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间．本题考查三角函数的基本知识，两角差的正弦函数的应用，函数的对称轴与单调减区间的求法，函数的最值的求解，考查计算能力．19.答案：解：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，PD =CD =AD ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，结合PD ，BD ⊂平面PBD ，PD ∩BD =D ，∴AC ⊥平面PBD ．(Ⅱ)以D 为原点，过在底面作CD 的垂线所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，PD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．不防令PD =AD =CD =2，∵∠ADC =120°，∴∠DAB =60°．∴D(0,0，0)，A(√3,−1,0)，B(√3,1,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)． 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3x −y =0−2y +2z =0， 令x =1，得y =z =√3，∴m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)．∴设所求的角为θ，则sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√32√3×√7=√77． 故所求角的正弦值为√77．解析：(Ⅰ)要证AC ⊥面PBD ，需证AC ⊥BD ，AC ⊥PD ，由已知条件不难证出；(Ⅱ)以D 为原点，过在底面作CD 的垂线为x 轴，DC 为y 轴，PD 为z 轴建立空间直角坐标系，容易求出平面PBC 的法向量及直线AC 的方向向量，问题即可解决．本题考查了线面垂直的判定方法以及利用空间向量求线面角的基本思路，同时考查了学生的直观想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．20.答案：解：(Ⅰ)a 1，a n ，S n 成等差数列，可得2a n =a 1+S n ，当n ≥2时，2a n−1=a 1+S n−1，两式相减可得2a n −2a n−1=S n −S n−1=a n ，即a n =2a n−1，可得{a n }为公比为2的等比数列，则S n =a 1(1−2n )1−2=a 1(2n −1)， 由a 5=S 4+2，可得a 1⋅24=a 1(24−1)+2，解得a 1=2，则a n =2n ，n ∈N ∗；(Ⅱ)证明：b n =a n S n 2=2n 4(2n −1)2，当n ≥2时，b n =2n 4(2n −1)2<2n 4(2n −1)(2n −2)=2n−14(2n −1)(2n−1−1)=14(12n−1−1−12n −1)，则b 1+b 2+⋯+b n <12+14(1−13+13−17+⋯+12n−1−1−12n −1)=34−14(2n −1)，当n =1时，34−14×(2−1)=12=a 1，则等号取得，则b 1+b 2+⋯+b n ≤34−14(2n −1)，n ∈N ∗．解析：(Ⅰ)由等差数列的中项性质和数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =2n 4(2n −1)2，当n ≥2时，b n =2n 4(2−1)<2n 4(2−1)(2−2)=2n−14(2−1)(2−1)=14(12−1−12−1)，由数列的裂项相消求和可得n ≥2不等式成立，检验n =1时，等号也成立，即可得证．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和和放缩法证明不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解(1)设P(x 0,12x 02)且x 0>0， 因为直线l 与抛物线C 相切，求导得y′=x ，即k =x 0，所以直线l 的方程为y =x 0x −12x 02，直线l 1的方程为y −12x 02=−1x 0(x −x 0)，即Q(0,12x 02+1)， 因为F(0,12)，则|FQ|=12x 02+1−12=12x 02+12， 而|FP|=y p +12=12x 02+12， 所以|FQ|=|FP|，即△FPQ 为等腰三角形，(2)抛物线C 的准线为y =−12，得A(12(x 0−1x 0),−12)， 所以|PA|=√1+x 02|x 0−12(x 0−1x 0)|=(1+x 02)√1+x 022x 0， 联立方程组y −12x 02=−1x 0(x −x 0)和x 2=2y ， 得x 0x 2+2x −x 0(2+x 02)=0，因为x 0+x B =−2x 0，则x B =−(x 0+2x 0)， 即B(−(x 0+2x 0),12(x 0+2x 0)2)， 所以|PB|=√1+1x 02|x 0+(x 0+2x 0)|=2(1+x 02)√1+x 02x 02，得△PAB 面积为S =12|PA|⋅|PB|=(1+x 02)2x 03=12(1x 0+x 0)3≥4，当且仅当x 0=1时取等号， 所以△PAB 面积最小值为4．解析：(1)先求P 处的切点方程，再根据垂直关系求垂线方程，得到点Q 坐标，由抛物线定义得|FQ|=|FP|，(2)先求AB 坐标，再求|PA|，|PB|的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值． 本题考查直线和抛物线的位置关系，考查综合解题能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=1x −4(x+1)2=(x+1)2−4x x(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0， ∴f(x)在(0,1]上为增函数，∴f(x)max =f(1)=2；(Ⅱ)由题意，首先由g(1)=−2ab −2a +2b +2=2(1−a)(b +1)≤0得a ≥1，∴a ≥1是g(x)≤0的必要条件，下面证明a ≥1是充分条件，由已知b ≥a >0，又由(Ⅰ)得lnx +4x+1≤2，即(x +1)lnx ≤2x −2，∴b(x +1)lnx ≤2bx −2b ，故g(x)=−2abe x−1+b(x +1)lnx −2a +2b +2≤−2abe x−1+2bx −2a +2，又e x−1≥x ，故g(x)≤−2abe x−1+2bx −2a +2≤−2abx +2bx −2a +2=2(1−a)(bx +1)， ∵a ≥1，b ≥0，x ∈(0,1]，∴g(x)≤0，∴a ≥1是g(x)≤0的充分条件．综上，实数a 的取值范围为[1,+∞)．解析：(Ⅰ)根据函数导数与单调性关系求最值；(Ⅱ)先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性，在证明过程中，先看成关于b 的函数，再看成关于a 的函数，最后变为关于x 的函数加以解决．本题考查导数在函数的单调性与最值中的应用，同时考查多参数问题变换主元的思想，属于难题．。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
浙江省9+1联盟2024年高三下学期3月高考模拟数学试卷(含答案与解析)_6000
2023~2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟3月高考模拟卷数 学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；4．选择题一律使用2B 铅笔填涂答案，非选择题一律用0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上相应区域内；一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ==== ððð，则M N ⋂=（ ）A. ∅B. {}4C. {}5D. {}1,2 2. 若复数z 的实部大于0，且()2013i z z +=+，则z =（ ） A. 12i - B. 12i -- C. 12i -+ D. 12i +3. 已知向量12,e e 是平面上两个不共线单位向量，且1212122,32,36AB e e BC e e DA e e =+=-+=- ，则（ ）A. 、、A B C 三点共线B. A B D 、、三点共线C. A C D 、、三点共线D. B C D 、、三点共线 4. 已知数列{}n a 满足：1940a a ==，且数列}n 为等差数列，则100a =（ ） A. 10 B. 40 C. 100 D. 103 5. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -体积为,V E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）的的A. 724VB. 717C. 7V 15D. 12V 6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线:l y x =-E 交于A B 、两点，且()()2,0OA OB λλλ+=-≠ ．则椭圆E 的离心率是（ ） A. 12B.C.D. 7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种8.设函数()sin 1f x x x =+．若实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则cos a b ϕ-=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 1±二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移2π3个单位长度 D. 向右平移2π3个单位长度 10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项.正确的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分．则A. ()()00P X P Y =>=B. ()()22P X P Y =>= C ()()E X E Y > D. ()()D X Y D > 11. 对于[]0,1x ∈，()f x 满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤．则（ ） A. 10011011002i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ B. 112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D. 1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12. 已知232345012345(1)(21)ax x a a x a x a x a x a x --=+++++．若0123450a a a a a a +++++=，则3a =________．13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知12,F F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，且，211212145,tan ,4NF F NF F NF F ∠=︒∠=△的面积为10，128O F =，则抛物线方程为________．14. 函数()33e 3ln 1(0)x x x f x x x--=>最小值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）.的15. 如图，已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点．（1）求证：1A B ⊥平面1AC D ；（2）求二面角1A C D E --的正弦值．16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X ，求X 的分布列及数学期望．17. 如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b+=>>≤和部分双曲线()222210x y y a b -=≥，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有()()2,02,0A B -、．（1）设过点()1,0的直线l 与C 相切于点M ，求点M 的坐标及直线l 的方程；（2）过A 的直线m 与C 相交于点、、P A Q 三点，求证：PBA QBA ∠=∠．18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++． （1）如果1和1-是()f x 的两个极值点，且()f x 的极大值为3，求()f x 的极小值；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0c =时，且函数()f x 在区间[]22-,上最大值为2，最小值为2-．求()3f 的值．19. 已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1k k i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n ii b a -==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ==== ððð，则M N ⋂=（ ）A. ∅B. {}4C. {}5D. {}1,2 【答案】C【解析】【分析】根据Venn 图，即可求解.【详解】如图，画出Venn 图，并将条件中的集合标在图中，如图，集合{}{}{}1,2,54,55M N ⋂=⋂=．故选：C2. 若复数z 的实部大于0，且()2013i z z +=+，则z =（ ） A. 12i -B. 12i --C. 12i -+D. 12i +【答案】D【解析】 【分析】设i,0,R z a b a b =+>∈，再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出,a b 即可得解.【详解】设i,0,R z a b a b =+>∈， 代入()2013iz z +=+，得22i 62i a b a b ++-=-， 解得：1,2a b ==，所以12z i =+.故选：D.3. 已知向量12,e e 是平面上两个不共线的单位向量，且1212122,32,36AB e e BC e e DA e e =+=-+=- ，则（ ）A. 、、A B C 三点共线B. A B D 、、三点共线C. A C D 、、三点共线D. B C D 、、三点共线【答案】C【解析】【分析】由平面向量共线定理求解即可. 【详解】对于A ，因为12122,32AB e e BC e e =+=-+ ，若、、A B C 三点共线，设AB BC λ= ，则1322λλ=-⎧⎨=⎩，无解，所以、、A B C 三点不共线，故A 错误； 对于B ，若A B D 、、三点共线，设AB DA μ= ，则1326μμ=⎧⎨=-⎩，无解，所以A B D 、、三点不共线，故B 错误； 对于C ，因为()()1212122232243AC AB BC e e e e e e AD =+=++-+=-+= ， 因为,AC AD 有公共点A ，所以A C D 、、三点共线，故C 正确.对于D ，因为()()12121236244DB DA AB e e e e e e =+=-++=- ，1232BC e e =-+ ，设DB k BC = ，则4342k k=-⎧⎨-=⎩，无解，所以B C D 、、三点不共线，故D 错误； 故选：C .4. 已知数列{}n a 满足：1940a a ==，且数列}n 为等差数列，则100a =（ ） A. 10B. 40C. 100D. 103 【答案】D【解析】【分析】设数列}n 的公差为d ，借助等差数列的性质可计算出d ，即可得10010a ，即可得解.【详解】设数列}n 的公差为d ，则9138010918a a d -===-， 故100110991030a a d =+=，所以100103a =．故选：D. 5. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为,V E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）A. 724VB. 717C. 7V 15D. 12V 【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求平面1AB E 与1DD 交点F 的位置，再设长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】取1DD 的中点F ，连接EF ， 易知11////EF DC AB ，所以平面1AB E 与1DD 交点为F .设长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，则V abc =.平面1AB EF 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为 1111111111111773232222424F AB A F A B ED V V b a c c a a b abc V --⎛⎫+⋅⋅⋅⋅+⨯⋅⋅⋅+⋅=⎝⎭== ⎪. 故选：A. 6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线:l y x =-E 交于A B 、两点，且()()2,0OA OB λλλ+=-≠ ．则椭圆E 的离心率是（ ） A. 12B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知AB 中点M 是直线l 与直线12y x =-的交点，所以求得21,33M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立椭圆与直线l 的方程可得21222243a c x x c ab +==+，解方程即可求出答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y，记c =，设AB 中点M ，所以2OA OB OM += ，由题意可知，AB 中点M 是直线l 与直线12y x =-的交点，为联立12y x x c y x ⎧==-⎪⎨=-⎪⎩，解得21,33M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 另一方面，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=．易知0∆>，由韦达定理得21222243a c x x c ab +==+，解得222a b =， 所以()2222a ac =-，故离心率c e a ==．故选：B .7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种【答案】B【解析】【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下4名男选手和4名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】先考虑两对混双的组合有22662C C ⋅种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有22662C C 334050⋅⨯⨯=．故选：B8.设函数()sin 1f x x x =+．若实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则cos a b ϕ-=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 1± 【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计算即得. 【详解】函数π()2sin()13f x x =++， 依题意，ππ2sin(2sin()133a xb x a b ϕ+++-++=对任意的x ∈R 恒成立， 即πππ2sin()2sin(2cos(10333a xb x b x a b ϕϕ+++-+++-=对x ∈R 恒成立， 因此ππ2(cos )sin(2sin cos()1033a b x b x a b ϕϕ++-+++-=对x ∈R 恒成立， 于是cos 0sin 010a b b a b ϕϕ+=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，显然0b ≠，否则0a =且1a =，矛盾，则sin 0ϕ=，显然cos 1ϕ≠，否则0a b +=且1a b +=，矛盾，从而cos 1ϕ=-，解得1,(21)π2a b c k ===+， 所以cos 1a b ϕ-=.故选：C 【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角π3x +展开，借助恒等式建立方程组是解决本问题的关键. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C 向左平移2π3个单位长度 D. 向右平移2π3个单位长度【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论. 【详解】把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π3个单位长度， 可得函数2πππ2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，A 正确； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得函数2πππππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，B 错误； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移2π3个单位长度， 可得函数4πππ3ππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，C 错误； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移2π3个单位长度， 可得函数4ππ3π2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，D 正确； 故选：AD .10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分．则 A. ()()00P X P Y =>= B. ()()22P X P Y =>= C. ()()E X E Y > D. ()()D X Y D >【答案】BC.【解析】【分析】先求出,X Y 的分布列，可判断A ，B ；再由数学期望和方差公式求出()(),E X E Y ，()(),D X D Y 可判断C ，D .【详解】X 为小明随机选择1个选项的得分，所以0,2X =，()11113022428P X ==⨯+⨯=，()11315222428P X ==⨯+⨯=， 则X 的分布列为：X 02P3858由此可得()()22555355152,028*******E X D X ⎛⎫⎛⎫=⨯==-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Y 为小明随机选择2个选项的得分，所以0,2,6Y =，()51112062223P Y ==⨯+⨯=,()1112224P Y ==⨯=,()11166212P Y ==⨯=,则Y 的分布列Y 02 6P2314 112由此可得()11261,412E Y =⨯+⨯= ()2222112125(01)(21)(61)334123412D Y =-⨯+-⨯+-⨯=++=．所以()()00P X P Y =<=,()()22P X P Y =>=，()()E X E Y >，()()D X D Y <. 故选：BC ．11. 对于[]0,1x ∈，()f x 满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-==⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤．则（ ）A.10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑ B. 112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. 118080f ⎛⎫=⎪⎝⎭D.1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【解析】【分析】赋值法求得()()11100,11,232f f f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()11f x f x +-=，求1001100i i f=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值判断选项A ，由()23x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得111111111111,,,6941827854811616224332f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合1201x x ≤≤≤恒有()()12f x f x ≤，对BCD 中的函数值进行判断.【详解】令0x =代入()()11f x f x +-=及()23x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()()()()011,020f f f f +==，所以()()00,11f f ==，10010010100100i i i i f f ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑10001101121001002i i i f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，A 选项正确； 令12x =代入()()11f x f x +-=，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；令1x =代入()23x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，得()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11111116229234f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111111182627298f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1111111542188122716f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111111116225424328132f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤，11111824278f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确； 111154808116f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；11116216081<<，则有11116216081f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有：(1)令,2,1,0,1,2,x =-- 等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令12,x x y x ==或11y x =，且12x x <，判断抽象函数的单调性； (3)令y x =-，判断抽象函数的奇偶性； (4)换x 为x T +，确定抽象函数的周期； (5)用22x x x =+，或1x换为x 等来解答抽象函数的其它一些问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12. 已知232345012345(1)(21)ax x a a x a x a x a x a x --=+++++．若0123450a a a a a a +++++=，则3a =________．【答案】38 【解析】【分析】借助赋值法可得a ，结合二项式定理计算即可得解.【详解】令1x =，则有2012345(01)a a a a a a a -=++++=+，即1a =， 即有23(1)(21)x x --，则()()02121332323C 2C 1C 2C 11238a =⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅-+⋅=.故答案为：38.13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知12,F F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，且，211212145,tan ,4NF F NF F NF F ∠=︒∠=△的面积为10，128O F =，则抛物线方程为________．【答案】()2323y x =+【解析】【分析】设()()()()120000,0,,0,,0,0F c F c N x y x y ->>，由122112145,tan ,104NF F NF F NF F S ∠=︒∠==△，解出c 得1O 点坐标，结合128O F =得抛物线方程.【详解】以12F F 的中点O 为原点，12F F 为x 轴，建立平面直角坐标系， 不妨设()()()()120000,0,,0,,0,0F c F c N x y x y ->>．由12211tan ,454NF F NF F ∠=∠=︒，则有000014y x c y c x⎧=⎪+⎨⎪=-⎩，解得0032,55x c y c ==，又122120121025NF F S F F y c === ，解得5c =， 128O F =，则有()13,0O -，故抛物线方程为()2323y x =+．故答案为：()2323y x =+14. 函数()33e 3ln 1(0)x x x f x x x--=>的最小值是________．【答案】3 【解析】【分析】求函数()f x 的导函数()f x '，再利用导数研究()f x '的零点及零点两侧函数值的正负，由此确定函数()f x 的单调性，再求其最值可得.【详解】()433323e 2e 3ln 2x x x x x f x x++-='，令()43333e 2e 3ln 2x xg x x x x =++-，则()24333339e16e 8e xx x g x x x xx +'=++， 当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增,()433333ln 33ln 3e 2e 3ln 23e2e 3ln 2x x x xx x g x x x x x x ++=++-=++-， 设()3ln 3h x x x =+，因为()3ln 3h x x x =+在()0,∞+上单调递增， 因为()130h =>，()33e93e0h --=-+<存在()30e ,1x -∈，使003ln 30x x +=，且()00000323ln 23ln 30g x x x x x =++-=+=，故当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在区间()00,x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在区间()0,x +∞单调增， 所以()()000333ln 300000min 000e 3ln 1e 3ln 13ln 3x x x x x x xf x f x x x x +----⎡⎤====-=⎣⎦．故答案为：3.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点．（1）求证：1A B ⊥平面1AC D ； （2）求二面角1A C D E --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【小问1详解】取AB 中点F ，由正三棱柱性质得，111,,A B DC EF 互相垂直，以D 为原点，分别以11,DB DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设12AA =，则11A B =，则()())()11,2,2,,2A A BC E ⎫⎪⎪⎭．证明：()()()112,2,,2A B DA DC DE ⎫====⎪⎪⎭，由()()1224040A B DA ⋅=⋅=-++=，得1A B AD ⊥，由()()1120000A B DC ⋅=⋅=++=，得11A B DC ⊥，因为1,AD DC ⊂平面11,AC D AD DC D = ，所以1A B ⊥平面1AC D ． 【小问2详解】由（1）可知()12A B = 为平面1AC D 的一个法向量，设(),,n x y z =平面1C DE 的法向量，则1·0·0n DE n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,故()()(),,20,0,0,,0.x y z x y x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎧+=⎪⎪⎪⎭⎨⎨=⎪⎩⎪⋅=⎪⎩，令1z =，得面1C DE的一个法向量为()n =-， 设二面角1A C D E --的值为θ，则11cos A B n A B n θ⋅==1A C D E --． 16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）23（2）分布列见解析，数学期望为1 【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）先确定随机变量X 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再利用期望公式求其期望. 【小问1详解】设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为A ， 由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张 的方法数为2244C C ，翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为211422C C C ，则()1122242244C C 2C C 3C P A ==． 所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为23． 【小问2详解】由已知随机变量X 的可能取值有0,1,2,3,4，()443330A 8P X ⨯===，()444211A 3P X ⨯===， ()2444C 12A 4P X ===，()44114A 24P X ===， 所以X 的分布列X 01 2 4P3813 14 124所以()31110124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b+=>>≤和部分双曲线()222210x y y a b -=≥，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有()()2,02,0A B -、．（1）设过点()1,0的直线l 与C 相切于点M ，求点M 的坐标及直线l 的方程； （2）过A 的直线m 与C 相交于点、、P A Q 三点，求证：PBA QBA ∠=∠． 【答案】（1）()4,3M ，10x y --=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率乘积以及()()2,0,2,0A B -，可求得,a b ，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为()00,M x y ，可得切线方程，由过点()1,0，即可求解M 和直线方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的,BP BQ 斜率之和为零，即可求证.【小问1详解】=,2,a b ==， 故椭圆方程为：()221043x y y +=≤，双曲线方程为()221043x y y -=≥．由图可知，切点M 在双曲线()221043x y y -=≥上．设()00,M x y ，则0034x k y =，则切线l 的方程为：00143x x y y-=， 因为直线l 过点()1,0，所以，04x =，将04x =代入()221043x y y -=≥，得03y =，所以，()4,3M ，直线l 的方程为：10x y --=．【小问2详解】由题意可得PQ 的斜率存在且不为零，故设方程为：()2y k x =-， 联立()()2210432x y y y k x ⎧-=≥⎪⎨⎪=-⎩整理得：()2222341616120k x k x k -+--=， ()()422225643416120340k k k k ⎧∆=---->⎪⎨-≠⎪⎩,即k ≠且k ≠, 解得：2x =或228643k x k +=-，即2228612,4343k k Q k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭． 联立()()2210432x y y y k x ⎧+=≤⎪⎨⎪=-⎩整理得：()2222341616120k x k x k +-+-=， 解得：2x =或228643k x k -=+，即2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 所以2222221212434308686224343BP BQ k k k k k k k k k k -+-+=+=-++++-， 所以=-BP BQ k k ，所以PBA QBA ∠=∠．18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++． （1）如果1和1-是()f x 的两个极值点，且()f x 的极大值为3，求()f x 的极小值；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0c =时，且函数()f x 在区间[]22-,上最大值为2，最小值为2-．求()3f 的值．【答案】（1）1-（2）答案见解析（3）18 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得1和1-是方程2320x ax b ++=的两根，利用韦达定理求出a 、b 的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出c 的值，最后求出极小值； （2）求出函数的导函数，再分0a >、0a =、0a <三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）依题意()222f -≤≤，()222f -≤-≤即可求出a 、b 的范围，再求出导函数，结合特殊值可得()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<，即可得到1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点，则()12f x ≤，()22f x ≥-，结合韦达定理得到2293a b ⎫-≤⎪⎭，再由2293a b ⎫-≥⎪⎭，即可求出a 、b 的值，从而得解. 【小问1详解】因为()32f x x ax bx c =+++，所以()232f x x ax b '=++，因为1和1-是()f x 的两个极值点，所以1和1-是方程2320x ax b ++=的两根， 故2113113a b⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=-⎩，即()33f x x x c =-+， 所以()()()233311f x x x x ==+'--， 因()(),11,x ∈-∞-∞ 时，()0f x ¢>，当()1,1x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()(),1,1,-∞-∞上单调增，在区间()1,1-上单调减，所以()()1133f x f c =-=-++=极大值，解得1c =，所以()()11311f x f ==-+=-极小值．【小问2详解】当0b =时()32f x x ax c =++定义域为R ， 又()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得0x =或23a x =-， 若0a <，则当()()2,0,3a x ∈-∞⋃-+∞时，()0f x ¢>；当20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间()2,0,,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 若0a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞单调递增；为若0a >，则当()()2,0,3a x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ¢>；当2,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间()2,,0,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上可得：当0a <时()f x 在区间()2,0,,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a =时()f x 在区间(),-∞+∞单调递增；当0a >时()f x 在区间()2,,0,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 【小问3详解】当0c =时，()32f x x ax bx =++， 由题意得：()228422f a b -≤=++≤，即523a b -≤+≤-，①()228422f a b -≤-=-+-≤，即325a b ≤-≤，②由①、②可知，1144a -≤≤，53b -≤≤-．③ 因()232f x x ax b '=++，()2124121560f a b -=-+≥--=>'，()00f b '=<，()2124121560f a b =++≥--=>'，所以()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<，当()()122,,2x x x ∈- 时，()0f x ¢>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，故1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点．由题意得()3211112f x x ax bx =++≤，()3222222f x x ax bx =++≥-， 即()()3222222f x x ax bx -=-++≤， 两式同向相加得：()()()2121212124x x x x x x a x x b ⎡⎤-+-+++≤⎣⎦，④ 注意到1223a x x +=-，123b x x =，12x x -= 为代入④2293a b ⎫-≤⎪⎭， 由③可知1144a -≤≤，53b -≤≤-，则2136412604a b ≤-≤，2511933916a b ≤-≤+⨯，2≥，2193a b ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，2293a b ⎫-≥⎪⎭，2293a b ⎫-=⎪⎭，当且仅当22193a b =⎪-=⎪⎩， 即239a b -=，又53b -≤≤-，所以0,3a b ==-时成立，所以()33f x x x =-，从而()318f =．【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到a 、b 的取值范围，再结合零点存在性定理得到()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<2293a b ⎫-=⎪⎭. 19 已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1k k i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n ii b a -==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．【答案】（1）23781,a q q a q =++=（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案； .（2）112n n n b a q --==，分别计算1ni i b =∑和21n a -可证明结论；（3）先根据112n n a q --=无上界说明存在正整数m ，使得n m a a <，分1m -是偶数和1m -是奇数分别说明.【小问1详解】因为27122=++，所以271a q q =++；因为382=，所以38a q =；【小问2详解】由数列{}n a 定义得：112n n n b a q--==；所以2111n n i i b q q q -==++++∑ ． 而21211222n n --=++++ ，所以121211n nn i i a q q q b --==++++=∑ ；【小问3详解】当12q <<，由（2）可知，112n n a q --=无上界，故对任意n a ，存在m a ，使得m n a a >．设m 是满足m n a a >的最小正整数．下面证明1m n a a ≤+．①若1m -是偶数，设{}2121222,0,1,1,2,,k k i m x x x x i k -=+++∈= ，则2121222k k m x x x =++++ ，于是212111k m k m a x q x q x q a -=++++=+ ． 因为1n m a a -≥，所以111m m n a a a -=+≤+．②若1m -是奇数，设2221122222l l k l k m x x ++-=+++++++ ， 则()()()()12221111111l l l l m m a a q q q q q q q q q q q +--=-++++=-++++-+++++< ． 所以111m m n a a a -<+≤+．综上所述，对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．。
2020年浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高考数学模拟试卷 (word版含解析)
2020年浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，0，1，2}2．复数z满足＝﹣1﹣i（其中i是虚数单位），则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），则“C的离心率e＝”是“C的两条渐近线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，且m∥α，则（）A．若l∥m，则l∥αB．若l∥α，则l∥m C．若l⊥m，则l⊥αD．若l⊥α，则l⊥m5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式最有可能是（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝6．已知随机变量X的分布列如下：X0 1 3P a若随机变量Y满足Y＝3X﹣1，则Y的方差D（Y）＝（）A．1 B．2 C．3 D．97．已知a∈R，实数x，y满足，设z＝x﹣2y，若z的最小值是﹣7，则a的值为（）A．﹣1 B．C．D．78．用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（）A．54 B．44 C．32 D．229．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面PCD，PA＝PD，点E为线段P上的动点．记A与AP所成角的最小值为C，当D为线段E中点时，二面角P﹣BC﹣E的大小为β，二面角E﹣BC﹣D的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．α＞β＝γD．γ＞α＞β10．如图，已知△ABC为钝角三角形，AC＜AB＜BC，点P是△ABC外接圆上的点，则当•+•+•取最小值时，点P在（）A．∠BAC所对弧上（不包括弧的端点）B．∠ABC所对弧上（不包括弧的端点）C．∠ACB所对弧上（不包括弧的端点）D．△ABC的顶点二、填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知（ax﹣1）6的展开式中x3的系数为﹣160，则实数a＝；展开式中各项系数之和为．（用数字作答）12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A＝，△ABC的面积是．14．已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为，的最小值为．15．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线AF1的斜率为，且|AF1|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为．16．等比数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是方程x2﹣2n x+c n＝0（n∈N*）的两个实根，记T n是数列{c n}的前n项和，则T n＝．17．已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a|x﹣m|，若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在（，e）上有2个零点，则m的取值范围为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝2sin2x+2sin x cos x﹣，（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及f（x）图象的对称轴方程．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，PD＝CD＝AD，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1，a n，S n成等差数列，且a5＝S4+2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，n∈N*，证明：b1+b2+…+b n≤﹣，n∈N*．21．如图，设点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，直线l与抛物线C相切于点P（点P位于第一象限），并与抛物线C的准线相交于点A．过点P且与直线l垂直的直线l1交抛物线C于另一点B，交y轴于点Q，连结AB．（Ⅰ）证明：△FPQ为等腰三角形；（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．22．已知函数f（x）＝lnx+，g（x）＝﹣2ab•e x﹣1+b（x+1）lnx﹣2a+2b+2，其中a∈R，且a＞0．（Ⅰ）求f（x）在x∈（0，1]上的最大值；（Ⅱ）若g（x）≤0对任意的b∈[a，+∞）及x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．注：e是自然对数的底数．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，0，1，2}【分析】根据集合的基本运算即可求（∁U B）∩A．【解答】解；因为U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则A∩（∁U B）＝{0，1，2}∩{﹣2，1，2}＝{1，2}．故选：B．2．复数z满足＝﹣1﹣i（其中i是虚数单位），则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由＝﹣1﹣i，得z＝，故选：C．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），则“C的离心率e＝”是“C的两条渐近线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分必要条件的定义即可得到所求结论．解：双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝，由e＝，可得c＝a，即有c2＝2a2＝a2+b2，可得a＝b，即有渐近线方程为y＝±x，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a＝b，可得e＝，即有p是q的充要条件，故选：C．4．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，且m∥α，则（）A．若l∥m，则l∥αB．若l∥α，则l∥mC．若l⊥m，则l⊥αD．若l⊥α，则l⊥m【分析】在A中，l∥α或l⊂α；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，l与α相交、平行或l⊂α；在D中，由直线与平面垂直的性质定理得l⊥m．解：由l，m是两条不同的直线，α是平面，且m∥α，知：在A中，若l∥m，则l∥α或l⊂α，故A错误；在B中，若l∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；在D中，若l⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得l⊥m，故D正确．故选：D．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式最有可能是（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝【分析】观察图象可知当x＞0时，f（x）＞0，由此可排除CD；又函数的定义域为R，由此可排除B．解：由图可知，当x＞0时，f（x）＞0，而此时1﹣3x＜0，故排除CD；同时注意选项B在x＝0处没有意义，这与题设不符，故排除．故选：A．6．已知随机变量X的分布列如下：X0 1 3P a若随机变量Y满足Y＝3X﹣1，则Y的方差D（Y）＝（）A．1 B．2 C．3 D．9【分析】先根据分布列的性质，即概率和为1，求出a的值，再分别计算出X的数学期望与方差，然后根据Y＝3X﹣1，则D（Y）＝32•D（X）即可求出D（Y）．解：由分布列的性质可知，，所以，所以数学期望E（X）＝，方差D（X）＝，因为Y＝3X﹣1，所以D（Y）＝32D（X）＝9，故选：D．7．已知a∈R，实数x，y满足，设z＝x﹣2y，若z的最小值是﹣7，则a的值为（）A．﹣1 B．C．D．7【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．解：实数x，y满足，的可行域如图，当直线z＝x﹣2y过点A（a，2﹣a）时，z取得最小值，即a﹣4+2a＝﹣7可得a＝﹣1．故选：A．8．用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（）A．54 B．44 C．32 D．22【分析】根据分类计数原理即可求出．解：利用分类讨论法：当由两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，所以首尾为0，所以有种情况；三个2四个0时，可分为三个2不相邻和22与2不相邻，所以共有种情况；故共有（+）×2＝44种情况．故选：B．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面PCD，PA＝PD，点E为线段P上的动点．记A与AP所成角的最小值为C，当D为线段E中点时，二面角P﹣BC﹣E的大小为β，二面角E﹣BC﹣D的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．α＞β＝γD．γ＞α＞β【分析】令，如图，根据最小角定理可知当点E在点P时，BE与AP所成角最小，求出tanα，又γ＝∠ENG，β+γ＝∠PFM，利用正切三角公式求出tanβ，tanγ，通过比较正切值，即可得出结论．解：令，分别过P，E作AD的垂线分别交于F，G，再过F，G作AD的垂线交BC于M，N，由AP⊥CD，AD⊥CD，AP∩AD＝D，可得CD⊥平面APD，∴平面PCD⊥平面APD，又CD∥AB，∴AB⊥平面APD，∴AB⊥PD，又AP⊥PD，AB∩AP＝A，∴PD⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBD，∴AP在平面PBD内的射影为PB，根据最小角定理，当点E在点P时，BE与AP所成角最小，此时，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴γ＝∠ENG，β+γ＝∠PFM，则，∴，∴tanα＞tanγ＞tanβ，即α＞γ＞β．故选：B．10．如图，已知△ABC为钝角三角形，AC＜AB＜BC，点P是△ABC外接圆上的点，则当•+•+•取最小值时，点P在（）A．∠BAC所对弧上（不包括弧的端点）B．∠ABC所对弧上（不包括弧的端点）C．∠ACB所对弧上（不包括弧的端点）D．△ABC的顶点【分析】设外接圆的圆心为O，半径为r，利用平面向量的线性运算可得＝，令，进一步转化为研究，作出图形，观察图象可知当与反向时，目标式取得最小值，由此得出结论．解：设外接圆的圆心为O，半径为r，不妨把线段BC放在水平位置来考虑，＝＝，令，则原式＝，现在考虑题目中的唯一动点P，很显然当与反向时，取得最小值，此时点P在劣弧AB上，故∠ACB所对弧上（不包括弧端点）．故选：C．二、填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知（ax﹣1）6的展开式中x3的系数为﹣160，则实数a＝2；展开式中各项系数之和为1．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为﹣160，求得实数a的值，可得（ax﹣1）6＝（2x﹣1）6展开式中各项系数和．解：由于（ax﹣1）6展开式的通项公式为T r+1＝•a6﹣r•x6﹣r•（﹣1）r，令6﹣r＝3，解得r＝3，故（ax﹣1）6展开式中x3的系数为•a3＝﹣160，解得a＝2，故（ax﹣1）6＝（2x﹣1）6展开式中各项系数和为（2﹣1）6＝1，故答案为：2，1．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是6+（6+）π．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．解：由题意三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，可知几何体的体积为：＝．几何体的表面积为：＝6+（6+）π．故答案为：；6+（6+）π．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A＝，△ABC的面积是．【分析】由已知结合余弦定理可求cos A，进而可求sin A，然后代入三角形的面积公式即可求解．解：因为a＝2，b＝3，c＝4，由余弦定理可得，cos A＝，所以sin A＝，∴S△ABC＝＝＝故答案为：，14．已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为，的最小值为2．【分析】由x+2y≥2，可求xy的最大值；＝＝，利用基本不等式可求最值．解：正实数x，y满足x+2y＝3，由基本不等式可得，3＝x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，则xy，即最大值；∵＝＝＝2，故答案为：15．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线AF1的斜率为，且|AF1|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为．【分析】有题意可得tan∠AF1F2＝，进而求出角的余弦值，由余弦定理可得AF2的值，再由椭圆的定义求出2a，进而求出椭圆的离心率．解：有题意如图所示：因为直线AF1的斜率为，所以tan∠AF1F2＝，所以cos∠AF1F2＝＝，因为|AF1|＝|F1F2|＝2c，由余弦定理可得AF2＝＝，所以2a＝2c+＝，即a＝所以离心率e＝＝，故答案为：．16．等比数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是方程x2﹣2n x+c n＝0（n∈N*）的两个实根，记T n是数列{c n}的前n项和，则T n＝．【分析】利用韦达定理，列出关系式，求出数列的首项与公比，然后得到数列的通项公式，即可求解T n．解：等比数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是方程x2﹣2n x+c n＝0（n∈N*）的两个实根，可得a n+a n+1＝2n，a n a n+1＝c n．可得，解得，所以a n＝﹣1，c n＝a n a n+1＝，c1＝，q＝4，所以数列{c n}的前n项和T n＝＝．故答案为：．17．已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a|x﹣m|，若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在（，e）上有2个零点，则m的取值范围为（）．【分析】y＝f（x）﹣g（x）的零点即为y＝f（x）与y＝g（x）的图象交点，所以利用导数研究f （x）的单调性、极值情况，做出图象．然后再画出y＝g（x）的图象，想办法让其能产生交点，由此构造方程或不等式求解．解：令f（x）＝2lnx﹣1＝0得x＝，且在（，e）上递增．对于g（x）＝a|x﹣m|，函数图象关于x＝m对称，且开口向上．①当m≥e时，显然只有一个交点，不符题意（图①）；②当时，总能找到a，使得两函数有两个交点（图②）；③当m＜时，y＝g（x）的图象的右半部分至多与y＝f（x）在x轴上方的图象产生两个交点．此时只需研究g（x）＝a（x﹣m）与y＝f（x）的图象即可．事实上，此时过点（m，0）做y＝f（x）的切线，只要是切点落在（）内即可（图③）．设切点为（x0，2lnx0﹣1），且k＝，所以切线方程为：，将（m，0）代入整理得：，，∵，令，易知时，m′＜0，故在递减．∴，即．综上可知，当时，存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在（，e）上有2个零点．故答案为：（）三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝2sin2x+2sin x cos x﹣，（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及f（x）图象的对称轴方程．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，进而求解结论．（Ⅱ）通过正弦函数的对称轴直接求函数f（x）图象的对称轴方程，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间．解：（Ⅰ）因为f（x）＝2sin2x+2sin x cos x﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）；∴f（）＝2sin（2×﹣）＝；（Ⅱ）令2x﹣＝kπ+（k∈Z），得x＝+（k∈Z），即为函数f（x）图象的对称轴方程．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），即函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]（k∈Z）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，PD＝CD＝AD，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要证AC⊥面PBD，需证AC⊥BD，AC⊥PD，由已知条件不难证出；（Ⅱ）以D为原点，过在底面作CD的垂线为x轴，DC为y轴，PD为z轴建立空间直角坐标系，容易求出平面PBC的法向量及直线AC的方向向量，问题即可解决．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，PD＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，结合PD，BD⊂平面PBD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD．（Ⅱ）以D为原点，过在底面作CD的垂线所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，PD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．不防令PD＝AD＝CD＝2，∵∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°．∴D（0，0，0），A（，﹣1，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），∴，∴．设平面PBC的法向量为，∴，即，令x＝1，得y＝z＝，∴．∴设所求的角为θ，则＝．故所求角的正弦值为．20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1，a n，S n成等差数列，且a5＝S4+2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，n∈N*，证明：b1+b2+…+b n≤﹣，n∈N*．【分析】（Ⅰ）由等差数列的中项性质和数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n＝，当n≥2时，b n＝＜＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和可得n≥2不等式成立，检验n＝1时，等号也成立，即可得证．解：（Ⅰ）a1，a n，S n成等差数列，可得2a n＝a1+S n，当n≥2时，2a n﹣1＝a1+S n﹣1，两式相减可得2a n﹣2a n﹣1＝S n﹣S n﹣1＝a n，即a n＝2a n﹣1，可得{a n}为公比为2的等比数列，则S n＝＝a1（2n﹣1），由a5＝S4+2，可得a1•24＝a1（24﹣1）+2，解得a1＝2，则a n＝2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：b n＝＝，当n≥2时，b n＝＜＝＝（﹣），则b1+b2+…+b n＜+（1﹣+﹣+…+﹣）＝﹣，当n＝1时，﹣＝＝a1，则等号取得，则b1+b2+…+b n≤﹣，n∈N*．21．如图，设点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，直线l与抛物线C相切于点P（点P位于第一象限），并与抛物线C的准线相交于点A．过点P且与直线l垂直的直线l1交抛物线C于另一点B，交y 轴于点Q，连结AB．（Ⅰ）证明：△FPQ为等腰三角形；（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．【分析】（1）先求P处的切点方程，再根据垂直关系求垂线方程，得到点Q坐标，由抛物线定义得|FQ|＝|FP|，（2）先求AB坐标，再求|PA|，|PB|的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值．【解答】解（1）设P（x0，）且x0＞0，因为直线l与抛物线C相切，求导得y'＝x，即k＝x0，所以直线l的方程为y＝x0x﹣，直线l1的方程为y﹣＝，即Q（0，+1），因为F（0，），则|FQ|＝+1﹣＝+，而|FP|＝＝+，所以|FQ|＝|FP|，即△FPQ为等腰三角形，（2）抛物线C的准线为y＝﹣，得A（，﹣），所以|PA|＝＝，联立方程组y﹣＝和x2＝2y，得，因为，则，即B（，），所以|PB|＝＝，得△PAB面积为S＝|PA|•|PB|＝＝≥4，当且仅当x0＝1时取等号，所以△PAB面积最小值为4．22．已知函数f（x）＝lnx+，g（x）＝﹣2ab•e x﹣1+b（x+1）lnx﹣2a+2b+2，其中a∈R，且a＞0．（Ⅰ）求f（x）在x∈（0，1]上的最大值；（Ⅱ）若g（x）≤0对任意的b∈[a，+∞）及x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．注：e是自然对数的底数．【分析】（Ⅰ）根据函数导数与单调性关系求最值；（Ⅱ）先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性，在证明过程中，先看成关于b的函数，再看成关于a的函数，最后变为关于x的函数加以解决．解：（Ⅰ），∴f（x）在（0，1]上为增函数，∴f（x）max＝f（1）＝2；（Ⅱ）由题意，首先由g（1）＝﹣2ab﹣2a+2b+2＝2（1﹣a）（b+1）≤0得a≥1，∴a≥1是g（x）≤0的必要条件，下面证明a≥1是充分条件，由已知b≥a＞0，又由（Ⅰ）得，即（x+1）lnx≤2x﹣2，∴b（x+1）lnx≤2bx﹣2b，故g（x）＝﹣2abe x﹣1+b（x+1）lnx﹣2a+2b+2≤﹣2abe x﹣1+2bx﹣2a+2，又e x﹣1≥x，故g（x）≤﹣2abe x﹣1+2bx﹣2a+2≤﹣2abx+2bx﹣2a+2＝2（1﹣a）（bx+1），∵a≥1，b≥0，x∈（0，1]，∴g（x）≤0，∴a≥1是g（x）≤0的充分条件．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020届浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高三下学期3月开学模拟考试数学试题(解析版)
2020届浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高三下学期3月开学模拟考试数学试题一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U A C B =I （ ） A ．{}0 B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,0,1,2-【答案】B【解析】先由集合补集运算法则得到集合B 的补集，然后由集合交集运算法则求得答案． 【详解】由题可知，{}2,1,2U C B =-，所以(){}1,2U A C B =I 故选：B 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 2．复数z 满足21i z=--（其中i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】C【解析】根据复数除法运算法则求得z 即可. 【详解】由题可知，21i z=--，则()()()2121111i z i i i i -+===-+-----+． 故选：C 【点睛】本题考查复数除法的计算，属于基础题．3．设双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率e =q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分必要条件的定义即可得到所求结论． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为c e a =，由2e =，可得2c a =，即有22222c a a b ==+，可得a b =，即得渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得a b =，可得2e =，即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，充分必要条件的判断，考查运算能力，属于基础题． 4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若//l m ，则//l α B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥ D ．若l α⊥，则l m ⊥【答案】D【解析】由空间中线线平行、线面平行的性质，线面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理即可判定. 【详解】A 选项 有可能线在面内的情形，错误；B 选项中l 与m 还可以相交或异面，错误；C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：D 【点睛】本题考查空间线面的位置关系判定，还考查了辨析平行与垂直等相关概念，属于基础题． 5．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式最有可能是（ ）A ．()3131-=+x x f xB ．()3131x x f x +=-C ．()1313xx f x -=+D ．()1313xxf x +=- 【答案】A【解析】由图象直观反映了函数的定义域、函数单调性、函数奇偶性等性质，结合选项中每一个函数解析式得出的函数性质，寻找吻合的选项． 【详解】选项B 、D 的函数定义域为{}0x x ≠，和图象不匹配，错误；选项C 函数()13211313x x xf x -==-+++为减函数，和图象不匹配，错误； 选项A 函数()31213131x x xf x -==-++的定义域为R ，且为增函数，正确. 故选：A 【点睛】本题考查由函数的图象进而分析性质并求函数解析式，属于简单题． 6．已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足31Y X =-，则Y 的方差()D Y =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】D【解析】结合分布列性质求出a ，再由离散型随机变量的数学期望与方差计算公式分别求出对应的数学期望与方差即可． 【详解】由题意可知，1111326a =--=则()1110131326E x =⨯+⨯+⨯=， 则()()()()2221110111311326D x =-+-+-=，所以()()239D y D x ==．故选：D 【点睛】本题考查离散型随机变量由分布列求数学期望于方差，属于简单题．7．已知a R ∈，实数x ，y 满足20200x y x y x a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，设2z x y =-，若z 的最小值是7-，则a 的值为（ ） A ．1- B ．73C ．103D ．7【答案】A【解析】首先由目标函数有最小值，确定可行域封闭，从而得到一个三角形，再由截距型目标函数的最小值，确定最优解求出参数a 的值． 【详解】首先直线x a =在左侧形成一个三角形， 将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，由其最小值为7-，故直线上移经过点(),2a a -+，代入目标函数得到1a =-故选：A 【点睛】本题考查线性规划知识，主要涉及含参数的可行域表示，如何求截距型目标函数的最值，属于中档题．8．用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ） A ．54 B ．44C ．32D ．22【答案】B【解析】共分为两个2五个0，三个2四个0，四个2三个0，五个2两个0，由对称性后两种情况的个数与前两种一样，所以只需考虑前两种再乘以2． 【详解】两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，先将5个0排成一排，其之间有4个空位，从这4个空位中选2个安排2，,以有24C 种情况；三个2四个0时，可分为三个2不相邻有，即4个0考虑首尾空位有5个，从中选3个放2，有35C 种；和22与2不相邻，即4个0考虑首尾空位不安排有3个空位，从中选2个排成一排有23A 种，所以有3253C A +种情况；故共有()232453244C C A ++⨯=种情况． 故选：B 【点睛】本题考查分类分步两个基本原理以及排列组合的实际应用，属于中档题.9．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面PCD ，PA PD =，点E 为线段PD 的动点．记BE 与AP 所成角的最小值为α，当E 为线段PD 中点时，二面角P BC E --的大小为β，二面角E BC D --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．αβγ>=D ．γαβ>>【答案】B【解析】BE 与AP 所成角的最小值即为AP 与平面PBD 所成的角，利用空间中的线与线、线与平面的垂直关系可得AP 与平面PBD 所成的角即为APB α∠=，设1PA =即表示tan α；利用一线定角表示β与γ，分别计算其正切值，即可比较大小. 【详解】BE 与AP 所成角的最小值即为AP 与平面PBD 所成的角．AP ⊥Q 平面PCD ，AP CD ∴⊥，又//AB CD Q ，AP AB ∴⊥，AD AB ⊥Q ，AB ∴⊥面P AD ，AB PD ⊥，又AP PD ⊥，PD ∴⊥面P AB ，而PD ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面P AB ，AP ∴与平面PBD 所成的角即为APB ∠，即APB α∠=． 不妨设1PA =，则2AB =tan 2α∴=．在平面P AD 内作PO AD ⊥，Q 面PAD ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ， 在面ABCD 内作OM BC ⊥，连PM ，则PM BC ⊥，PMO ∴∠即为二面角P BC D --的平面角，在Rt POM V 中，21tan 22PO PMO OM ∠===﹒ 同理，作EF AD ⊥，FG BC ⊥，连EG ，则EG BC ⊥，EGF ∴∠即为二面角E BC D --的平面角，即EGF γ∠=．易知：214tan 42EF FG γ===﹒()2tan tan 9PMO βγ=∠-=∴， tan tan tan αγβ∴>>，αγβ∴>>﹒故选：B 【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角、线面角、二面角的概念和计算，属于较难题． 10．如图，已知ABC V 为钝角三角形，AC AB BC <<，点P 是ABC V 外接圆上的点，则当PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r取最小值时，点P 在（ ）A ．BAC ∠所对弧上（不包括弧的端点）B ．ABC ∠所对弧上（不包括弧的端点） C ．ACB ∠所对弧上（不包括弧的端点）D ．ABC V 的顶点【答案】C【解析】先利用平面向量线性运算与数量积将已知向量关系转化为2222222a b c PA PB PC ++++-u u u r u u u r u u u r ，再利用三角形重心在平面向量中的应用进一步转化为23PG λ+u u u r ，得到所求量只与PG u u u r 有关，最后由AC AB BC <<确定点P 的位置．【详解】因为()22222AB PB PAPA PB PA PB =-=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()2222221122PA PB PA PB AB PA PB c ⋅=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，同理()()22222211,22PB PC PB PC a PC PA PC PA b ⋅=+-⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故 2222222a b c PA PB PB PC PC PA PA PB PC ++⋅+⋅+⋅=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设ABC V 的重心为G ，可证22222223PA PB PC PG GA GB GC ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以22222222233a b c PA PB PB PC PC PA PG GA GB GC PG λ++⋅+⋅+⋅=+++-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （λ为定值），故只需要P 到重心G 最小，所以点P 在圆心O 与重心G 的连线上， 因为AC AB BC <<，易得点P 在C ∠所对弧上．故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，还考查了三角形重心性质在向量中的应用，属于较难题．二、双空题11．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知()61ax -的展开式中3x 的系数为160-，则实数a =________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）【答案】2 1【解析】利用通项公式求出a 的值；令1x =，可以求出各项系数之和． 【详解】由题可知，()()3333461160T C ax x =-=-，则320160a =，故2a =．令1x =，展开式中各项系数之和为()6211-=． 故答案为：(1).2；(2).1 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式并由指定项的系数求参数，还考查了利用赋值法求二项展开式得各项系数和，属于基础题．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．【答案】143π (6613π++ 【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．详解：由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为3214111422343233V πππ=⋅⋅+⋅⋅=，表面积为(222211111422432232661342222S ππππ=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+=++，故答案为143π和(6613π+. 点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状及熟记几何体的体积及表面积公式.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3b =，4c =，则cos A =________，ABC V 的面积是________． 【答案】78 315【解析】（1）已知三边长，先利用余弦定理求出cos A ，（2）由同角三角函数关系求得sin A ，再利用三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）在ABC V 中，有22291647223c 48os b c a bc A +-+-===⨯⨯，（2）则sin A ==11sin 3422S bc A ==⨯⨯=．故答案为：(1).78；(2).4【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，利用三角形的面积公式求面积，属于简单题．14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981． 【解析】（1）已知两数和求两数积的最值，直接应用基本不等式即可；（2）利用常数3把分子的多项式都变为二次，构作齐次式对其分离常数再由基本不等式求最值． 【详解】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥⇒≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-，所以23x yxy+的最小值为1．故答案为：(1).98；(2).1． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．三、填空题15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线1AF 的斜率为42，且112AF F F =，则椭圆的离心率为________． 【答案】35． 【解析】由直线的斜率可知其倾斜角的正切值，再由同角三角函数关系求得其余弦值，同时由等腰三角形及椭圆的定义表示2AF ，最后在焦点三角形中由余弦定理构建齐次方程求得离心率． 【详解】设12AF F θ∠=，由直线1AF 的斜率为427，知sin 42tan cos 7θθθ==，且22sin cos 1θθ+=，即得7cos 9θ=， 由1122AF F F c ==及椭圆定义知21222AF a AF a c =-=-， 由余弦定理即可得，22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+-，即()()()()()222722222229a c c c c c -=+-，化简得()2249a c c -=，故22222253220518909549a ac c c ac e c a e e -+=⇒-+=⇒-+=⇒=或3（舍）即35e =．故答案为：35【点睛】本题考查由椭圆的简单几何性质构建齐次方程，进而求离心率，属于中档题． 16．等比数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是方程()20*2nn x x c N n -+=∈的两个实根，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，则n T =________．【答案】()84127n-． 【解析】利用韦达定理，得到关于n a ，1n a +与n c 的两个恒等式，由其中一个求得等比数列{}n a 的公比与首项，带入另一个可表示数列{}n c 的通项公式，进而由等比数列求和公式求得答案． 【详解】因为n a ，1n a +是方程()20*2nn x x c N n -+=∈的两个实根，则由韦达定理得，12nn n a a ++=，1n n n a a c +⋅=，因为数列{}n a 是等比数列，则数列{}n a 的公比111222nn n n n n a a q a a +--+===+，又()12112a a a q +=+=，所以首项123a =，故111223n n n a a q --=⋅=⋅所以111228224339n n n n n n c a a --+==⋅⨯⋅=⋅， 故数列{}n c 是以89为首项，4为公比的等比数列， 所以()()81489411427n n n T -==--．故答案为：()84127n-【点睛】本题考查等比数列定义，通项公式与求和公式等知识，属于较难题． 17．已知函数()2ln 1f x x =-，()g x a x m =-，若存在实数0a >使()()y f x g x =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，则m 的取值范围为________．【答案】,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】将函数的零点问题转化为()y f x =与()y g x =的图象交点问题，利用数形结合分为m ≥和m <m 的取值范围，其中后者需在存在性问题中进一步研究a 的范围． 【详解】已知实数0a >使()()y f x g x =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，等价于()y f x =与()y g x =的函数图象在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有2个交点，显然()2ln 1f x x =-与x 轴的交点为(),0e ，()g x a x m =-的图象关于x m =对称， 当m e ≥时，若要有2个交点，由数形结合知m 一定小于e ，即),m e e ⎡∈⎣；当m e <2个交点，须存在a 使得()2ln 1x a x m -=-在),e e 有两解，所以()f e a f e ''<<，因为()2f x x '=，即()22,,0ef e f e a ee''==>，显然存在这样的a 使上述不等式成立；由数形结合知m 须大于()f x 在x e =处的切线21y x e=-与x 轴交点的横坐标2e，即2e m e ⎛∈ ⎝综上所述，m 的范围为,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数取值范围问题，属于难题．四、解答题18．已知函数()223sin 2sin cos 3f x x x x =+（x ∈R ）．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的单调递减区间及()f x 图象的对称轴方程．【答案】（13（2）减区间()25111,12k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，5122k x ππ=+，k Z ∈． 【解析】（1）根据三角恒等变换公式代简()f x 的表达式为()sin y A ωx φ=+的形式，然后求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）结合三角函数的图象及性质，易求得()f x 的单调递减区间及()f x 图象的对称轴方程． 【详解】 （1）因为()1cos 223sin 23sin 2322x f x x x x -=+=2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 333f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）由（1）得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈ 5111212k x k ππππ∴+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递减区间为()25111,12k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．又令232x k πππ-=+﹐k Z ∈，5122kx ππ∴=+，k Z ∈ 故()f x 图象的对称轴方程为5122kx ππ=+，k Z ∈． 【点睛】本题考查三角函数化简、三角函数的图象及性质等问题，属于较易题． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，PD CD AD ==，PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（27． 【解析】（1）根据菱形对角线互相垂直及PD ⊥平面ABCD ，由线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面PBD ；（2）可直接作出线面角用几何法求之，也可建立空间直角坐标系用向量法求之． 【详解】（Ⅰ）Q 底面ABCD 是平行四边形且CD AD =，ABCD ∴是菱形，即AC BD ⊥，又PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥， 所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）方法一（几何法）：取BC 的中点Q ，连结PQ ，DQ ，交AC 于点G ， 过点G 作GH PQ ⊥，连HC ，Q 在平行四边形ABCD 中CD AD =且120ADC =∠︒BCD ∴△是正三角形，即点G 为重心，又PD ⊥平面ABCD ，得PD BC ⊥，又BC DQ ⊥， 即BC ⊥平面PDQ ，所以面PBC ⊥面PDQ ， 由作法知，GH ⊥平面PBC ，所以GCH ∠就是直线AC 与平面PBC 所成的角， 设2AB =，则23CG =，再由相似求得221GH =在Rt GCH V ，2217sin 2123GH CG GCH ==⨯=∠， 所以直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值是77．方法二(坐标法):取PB 的中点Q ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OQ 为轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()0,0,0O，()30,0,A ，()0,1,0B ，()3,0,0C -，()0,0,1Q ，()230,0,AC =-u u u r，()3,0,1BC =--u u u r ，()0,1,1BQ =-u u u r，设平面PBC 法向量(),,n x y z =r， 则00n BC n BQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，300x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取(,133,n =r，记直线AC 与平面PBC 所成角为θ，得237sin 7237AC n AC n θ⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r ，所以直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值是7．【点睛】本题考查空间中线面垂直的判定及用向量法或几何法求线面角，属于中档题． 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2nn na b S =，*n N ∈，证明：()12314421n n b b b +++≤--L ，*n N ∈． 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由等差中项得到递推关系式子，通过退位相减求出通项公式； （2）由（1）即可表示新数列{}n b 的通项公式，通过放大再由指数式裂项求和，或用数学归纳法证明不等式． 【详解】（1）因为1a ，n a ，n S 成等差数列，即12n n a a S =+， 当2n ≥时，1112n n a a S --=+，两式相减得12n n a a -=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，即112n n a a -=⋅，即()()11122112n n na S a -==--，由542a S =+，得12a =，所以{}n a 的通项公式2nn a =．（2）方法一（放缩法）：因为2nn a =，122n n S +=-，所以()222421nn n n n a b S ==-，当2n ≥时，()()()()224212142122n n n n nn n b =<---- ()()11121114212142121n n nn n ---⎛⎫==- ⎪----⎝⎭所以12122311111111124212121212121n n n b b b -⎛⎫+++<+-+-++- ⎪------⎝⎭L L ()314421n =--， 当1n =时，()1131142421b -==-，取到“=”号， 综上所述，()12314421n n b b b +++≤--L ，*n N ∈ 方法二（数学归纳法）：因为2nn a =，122n n S +=-，所以()222421nn n n n a b S ==-， 当1n =时，左边112112a b S ===，右边12=，原不等式成立； 假设当n k =时，原不等式成立，即()12314421k k b b b +++≤--L ， 那么，当1n k =+时，左边()()112123124421421k k k kk b b b b ++=++++≤-+--L ()()()()12111311124421421421421k k k k k ++++⎡⎤⎢⎥=-+-+⎢⎥----⎣⎦ ()()()()121113122442142121421k k k k kk ++++⎡⎤-⎢⎥=-++⎢⎥----⎣⎦()()()()2111312314442142142121k k k k k +++=--<-----，即1n k =+时也成立，由此可知，原不等式对于任意的*n N ∈均成立． 【点睛】本题考查数列的等差中项，等比数列定义及通项公式，同时考查数列的放缩思想以及裂项求和思想或数学归纳法的证明，属于较难题．21．如图，设点F 是抛物线2:2C x y =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点P （点P 位于第一象限），并与抛物线C 的准线相交于点A ．过点P 且与直线l 垂直的直线1l 交抛物线C 于另一点B ，交y 轴于点Q ，连结AB ．（1）证明：FPQ △为等腰三角形； （2）求PAB △面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】（1）利用导数求出点P 处的切线方程，由垂直关系写出法线方程，得到点Q 坐标，由抛物线定义得到FP FQ =；（2）先求出点A ，B 的坐标，再求PA 与PB 的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值． 【详解】（1）设点P 的坐标为200,12x x ⎛⎫⎪⎝⎭且00x >， 因为直线l 与抛物线C 相切，求导得y x '=，即0k x =，所以直线l 的方程为：20012y x x x =-， 得直线m 的方程为：()2000112y x x x x -=--，即200,112Q x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为02,1F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2200111112222FQ x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，而20111222P FP y x =+=+， 所以得FP FQ =，即FPQ △为等腰三角形．（或者求出切线与y 轴的交点，可证点F 为直角三角形斜边的中点，同样可证）（2）因为抛物线C 的准线为12y =-，得00111,22A x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0000112PA x x ⎛⎫=--=⎪⎝⎭， 联立方程组200211122y x x x x y ⎧⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22000220x x x x x +-+=， 因为002B x x x +=-，002B x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即20000212,2B x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00002PB x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， 得PAB △面积为()3320030011114222x S PA PB x x x +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当01x =时，取到最小值4． 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．22．已知函数()4ln 1f x x x =++，()()121ln 222x g x ab e b x x a b -=-⋅++-++，其中a R ∈，且0a >．（1）求()f x 在(]0,1x ∈上的最大值；（2）若()0g x ≤对任意的[),b a ∈+∞及(]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 注：e 是自然对数的底数． 【答案】（1）2；（2）1a ≥．【解析】（1）根据函数导数与单调性的关系求最值；（2）先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性．在证明过程中，先看成关于b 的函数、再看成a 的函数、最后变为关于x 的函数加以解决． 【详解】（1）对函数()f x 求导得()()2141f x x x '=-+ 即()()()22101x f x x x -'=≥+，所以()f x 在(]0,1x ∈上递增，所以()f x 的最大值为()12f =．（2）由题意，首先由()()()122222110g ab a b a b =--++=-+≤， 得1a ≥，所以1a ≥是()0g x ≤必要条件． 下面证明1a ≥是充分条件． 由已知0b a ≥>，又由（1）得ln 421x x +≤+，即()1ln 22x x x +≤-， 所以()1ln 22b x x bx b +≤-， 故()()11212222222ln x x e x g x ab b x a b ab bx a e --=-++-++⋅+≤--+⋅，又因为1x e x -≥，（不等式1x e x -≥的证明：令()1x h x e x -=-，则()11x h x e -'=-，所以当01x <<时，()()1110x h x eh -'=-<=，所以()1x h x e x -=-是减函数，故()()10h x h ≥=，即1x e x -≥成立．） 所以()122222222x g x ab ebx a abx bx a -≤-+-+-+-⋅+≤，即()()()2222211g x abx bx a a bx ≤-+-+=-+， 因为1a ≥，0b ≥，(]0,1x ∈，故()0g x ≤﹐ 所以1a ≥是()0g x ≤的充分条件． 故实数a 的范围是1a ≥． 【点睛】本题考查导数在函数的单调性与最值的应用，同时考查多参数问题变换主元的思想，属于难题．。
2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2,3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1⩽x⩽2}C. {1,2,3}D. {1,2}2.已知复数z=i(−2−i)，则该复数在复平面内对应的点在第()象限A. 一B. 二C. 三D. 四3.已知4m=a，8n=b，其中m，n为正整数，则22m+6n=()A. ab2B. a+b2C. a2b3D. a2+b34.函数f(x)=xcosx−sinx，x∈[−π,π]的大致图象为()A. B.C. D.5.“a+b=0”的充分不必要条件是()A. a=−bB. a2=b2C. 1a +1b=0 D. e a⋅e b=16.已知f(x)=sinx−cosx，则f(π12)的值是()A. −√62B. 12C. −√22D. √227.函数f(x)=x2−4x+5−2lnx的零点个数为()A. 3B. 2C. 1D. 08.若过点A(−1,−1)的直线l与曲线y=√−x2+4x−3有公共点，则直线l的斜率的取值范围()A. [14,34] B. [0,34] C. [12,34] D. [0,12]9.已知点A(0,−1)是抛物线x2=2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|=m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. √2+1D. √3+110.已知命题p：∃x0∈R+,log2x0=1，则¬p是()A. ∀x∈R+,log2x≠1B. ∀x∉R+,log2x≠1C. ∃x0∈R+,log2x0≠1D. ∃x0∉R+,log2x0≠1二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 夹角为60°，则|e2⃗⃗⃗ −2e1⃗⃗⃗ |=________．12.已知θ∈(0,2π)且cosθ2=13，则tanθ的值为______ ．13.某几何体的三视图如图，则它的体积是______．14.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=______．15.某人用无人机测量某河流的宽度，无人机在处测得正前方河流的两岸点B、点的俯角分别为75∘、30∘，此时无人机的高度是60米，则河流的宽度BC=____________米．16.已知三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，则三棱锥S−ABC体积的最大值为______ ．17.已知a∈R，函数f(x)=|x+4x−a|+a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f(x)=sinx+√3cosx,(x∈R)①求函数f(x)的值域；②求f(x)的单调递增区间，并说明f(x)的图像可以由y=sinx的图像怎样变换而得。
2020届浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高三下学期3月开学模拟考试数学试题
2020届浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高三下学期3月开学模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U AC B =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．2,0,1,22．复数z 满足21i z=--（其中i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．设双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率e =q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若//l m ，则//l α B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥D ．若l α⊥，则l m ⊥5．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式最有可能是（ ）A ．()3131-=+x x f xB ．()3131x x f x +=-C ．()1313xxf x -=+ D ．()1313xxf x +=- 6．已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足31Y X =-，则Y 的方差()D Y =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．97．已知a R ∈，实数x ，y 满足20200x y x y x a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，设2z x y =-，若z 的最小值是7-，则a 的值为（ ） A ．1-B ．73C ．103D ．78．用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ） A ．54B ．44C ．32D ．229．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面PCD ，PA PD =，点E 为线段PD 的动点．记BE 与AP 所成角的最小值为α，当E 为线段PD 中点时，二面角P BC E --的大小为β，二面角E BC D --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．αβγ>=D ．γαβ>>10．如图，已知ABC 为钝角三角形，AC AB BC ，点P 是ABC 外接圆上的点，则当PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取最小值时，点P 在（ ）A ．BAC ∠所对弧上（不包括弧的端点）B ．ABC ∠所对弧上（不包括弧的端点） C ．ACB ∠所对弧上（不包括弧的端点）D ．ABC 的顶点二、双空题11．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知()61ax -的展开式中3x 的系数为160-，则实数a =________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3b =，4c =，则cos A =________，ABC 的面积是________．14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．三、填空题15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线1AF ，且112AF F F =，则椭圆的离心率为________．16．等比数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是方程()20*2nn x x c N n -+=∈的两个实根，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，则n T =________．17．已知函数()2ln 1f x x =-，()g x a x m =-，若存在实数0a >使()()y f x g x =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，则m 的取值范围为________．四、解答题18．已知函数()22sin cos f x x x x =+（x ∈R ）．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的单调递减区间及()f x 图象的对称轴方程．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，PD CD AD ==，PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn na b S =，*n N ∈，证明：()12314421n n b b b +++≤--，*n N ∈． 21．如图，设点F 是抛物线2:2C x y =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点P （点P 位于第一象限），并与抛物线C 的准线相交于点A ．过点P 且与直线l 垂直的直线1l 交抛物线C 于另一点B ，交y 轴于点Q ，连结AB ．（1）证明：FPQ △为等腰三角形； （2）求PAB △面积的最小值． 22．已知函数()4ln 1f x x x =++，()()121ln 222x g x ab e b x x a b -=-⋅++-++，其中a R ∈，且0a >．（1）求()f x 在(]0,1x ∈上的最大值；（2）若()0g x ≤对任意的[),ba ∈+∞及(]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 注：e 是自然对数的底数．参考答案1．B 【分析】先由集合补集运算法则得到集合B 的补集，然后由集合交集运算法则求得答案． 【详解】由题可知，{}2,1,2U C B =-，所以(){}1,2U A C B =故选：B 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 2．C 【分析】根据复数除法运算法则求得z 即可. 【详解】由题可知，21i z=--，则()()()2121111i z i i i i -+===-+-----+． 故选：C 【点睛】本题考查复数除法的计算，属于基础题． 3．C 【分析】求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分必要条件的定义即可得到所求结论． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为c e a =，由e =c =，即有22222c a a b ==+，可得a b =，即得渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a b =，可得e =即有p 是q 的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，充分必要条件的判断，考查运算能力，属于基础题．4．D【分析】由空间中线线平行、线面平行的性质，线面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理即可判定. 【详解】A选项有可能线在面内的情形，错误；B选项中l与m还可以相交或异面，错误；C选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，D选项中由线面垂直的性质定理可知正确.故选：D【点睛】本题考查空间线面的位置关系判定，还考查了辨析平行与垂直等相关概念，属于基础题．5．A【分析】由图象直观反映了函数的定义域、函数单调性、函数奇偶性等性质，结合选项中每一个函数解析式得出的函数性质，寻找吻合的选项．【详解】选项B、D的函数定义域为{}0x x≠，和图象不匹配，错误；选项C函数()13211313xx xf x-==-+++为减函数，和图象不匹配，错误；选项A函数()31213131 xx xf x-==-++的定义域为R，且为增函数，正确.故选：A【点睛】本题考查由函数的图象进而分析性质并求函数解析式，属于简单题．6．D【分析】结合分布列性质求出a ，再由离散型随机变量的数学期望与方差计算公式分别求出对应的数学期望与方差即可． 【详解】由题意可知，1111326a =--=则()1110131326E x =⨯+⨯+⨯=， 则()()()()2221110111311326D x =-+-+-=，所以()()239D y D x ==．故选：D 【点睛】本题考查离散型随机变量由分布列求数学期望于方差，属于简单题． 7．A 【分析】首先由目标函数有最小值，确定可行域封闭，从而得到一个三角形，再由截距型目标函数的最小值，确定最优解求出参数a 的值． 【详解】首先直线x a =在左侧形成一个三角形， 将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，由其最小值为7-，故直线上移经过点(),2a a -+，代入目标函数得到1a =-故选：A 【点睛】本题考查线性规划知识，主要涉及含参数的可行域表示，如何求截距型目标函数的最值，属于中档题． 8．B【分析】共分为两个2五个0，三个2四个0，四个2三个0，五个2两个0，由对称性后两种情况的个数与前两种一样，所以只需考虑前两种再乘以2． 【详解】两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，先将5个0排成一排，其之间有4个空位，从这4个空位中选2个安排2，,以有24C 种情况；三个2四个0时，可分为三个2不相邻有，即4个0考虑首尾空位有5个，从中选3个放2，有35C 种；和22与2不相邻，即4个0考虑首尾空位不安排有3个空位，从中选2个排成一排有23A 种，所以有3253C A +种情况；故共有()232453244C C A ++⨯=种情况． 故选：B 【点睛】本题考查分类分步两个基本原理以及排列组合的实际应用，属于中档题. 9．B 【分析】BE 与AP 所成角的最小值即为AP 与平面PBD 所成的角，利用空间中的线与线、线与平面的垂直关系可得AP 与平面PBD 所成的角即为APB α∠=，设1PA =即表示tan α；利用一线定角表示β与γ，分别计算其正切值，即可比较大小. 【详解】BE 与AP 所成角的最小值即为AP 与平面PBD 所成的角．AP ⊥平面PCD ，AP CD ∴⊥，又//AB CD ，AP AB ∴⊥，AD AB ⊥，AB ∴⊥面P AD ，AB PD ⊥，又AP PD ⊥，PD ∴⊥面P AB ，而PD ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面P AB ，AP ∴与平面PBD 所成的角即为APB ∠，即APB α∠=．不妨设1PA =，则AB =tan α∴=．在平面P AD 内作PO AD ⊥，面PAD ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ，在面ABCD 内作OM BC ⊥，连PM ，则PM BC ⊥，PMO ∴∠即为二面角P BC D --的平面角，在Rt POM 中，1tan2PO PMO OM ∠===﹒ 同理，作EF AD ⊥，FG BC ⊥，连EG ，则EG BC ⊥，EGF ∴∠即为二面角E BC D --的平面角，即EGF γ∠=．易知：1tan4EF FG γ===﹒()2tan tan 9PMO βγ=∠-=∴， tan tan tan αγβ∴>>，αγβ∴>>﹒故选：B 【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角、线面角、二面角的概念和计算，属于较难题． 10．C 【分析】先利用平面向量线性运算与数量积将已知向量关系转化为2222222a b c PA PB PC ++++-，再利用三角形重心在平面向量中的应用进一步转化为23PG λ+，得到所求量只与PG 有关，最后由AC AB BC 确定点P 的位置．【详解】因为()22222AB PB PA PA PB PA PB =-=+-⋅，所以()()2222221122PA PB PA PB AB PA PB c ⋅=+-=+-，同理()()22222211,22PB PC PB PC a PC PA PC PA b ⋅=+-⋅=+-故 2222222a b c PA PB PB PC PC PA PA PB PC ++⋅+⋅+⋅=++-，设ABC 的重心为G ，可证22222223PA PB PC PG GA GB GC ++=+++ 所以22222222233a b c PA PB PB PC PC PA PG GA GB GC PG λ++⋅+⋅+⋅=+++-+=（λ为定值），故只需要P 到重心G 最小，所以点P 在圆心O 与重心G 的连线上， 因为ACAB BC ，易得点P 在C ∠所对弧上．故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，还考查了三角形重心性质在向量中的应用，属于较难题． 11．2 1 【分析】利用通项公式求出a 的值；令1x =，可以求出各项系数之和． 【详解】由题可知，()()3333461160T C ax x =-=-，则320160a =，故2a =．令1x =，展开式中各项系数之和为()6211-=． 故答案为：(1).2；(2).1 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式并由指定项的系数求参数，还考查了利用赋值法求二项展开式得各项系数和，属于基础题．12．143π (66π+ 【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积． 详解：由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为3214111422343233V πππ=⋅⋅+⋅⋅=，表面积为(221111142243226642222S ππππ=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅=++，故答案为143π和(66π+.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状及熟记几何体的体积及表面积公式.13．78 【分析】（1）已知三边长，先利用余弦定理求出cos A ，（2）由同角三角函数关系求得sin A ，再利用三角形的面积公式求出面积．【详解】（1）在ABC 中，有22291647223c 48os b c a bc A +-+-===⨯⨯，（2）则sin A ==，故11sin 3422S bc A ==⨯⨯=．故答案为：(1).78； 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，利用三角形的面积公式求面积，属于简单题．14．981．【分析】（1）已知两数和求两数积的最值，直接应用基本不等式即可；（2）利用常数3把分子的多项式都变为二次，构作齐次式对其分离常数再由基本不等式求最值．【详解】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥⇒≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-，所以23x y xy+的最小值为1．故答案为：(1).98；(2).1． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．15．35． 【分析】由直线的斜率可知其倾斜角的正切值，再由同角三角函数关系求得其余弦值，同时由等腰三角形及椭圆的定义表示2AF ，最后在焦点三角形中由余弦定理构建齐次方程求得离心率．【详解】设12AF F θ∠=，由直线1AF 的斜率为7，知sin tan cos 7θθθ==，且22sin cos 1θθ+=，即得7cos 9θ=， 由1122AF F F c ==及椭圆定义知21222AF a AF a c =-=-， 由余弦定理即可得，22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+-，即()()()()()222722222229a c c c c c -=+-，化简得()2249a c c -=，故22222253220518909549a ac c c ac e c a e e -+=⇒-+=⇒-+=⇒=或3（舍） 即35e =． 故答案为：35【点睛】 本题考查由椭圆的简单几何性质构建齐次方程，进而求离心率，属于中档题．16．()84127n -． 【分析】利用韦达定理，得到关于n a ，1n a +与n c 的两个恒等式，由其中一个求得等比数列{}n a 的公比与首项，带入另一个可表示数列{}n c 的通项公式，进而由等比数列求和公式求得答案．【详解】因为n a ，1n a +是方程()20*2nn x x c N n -+=∈的两个实根， 则由韦达定理得，12n n n a a ++=，1n n n a a c +⋅=，因为数列{}n a 是等比数列，则数列{}n a 的公比111222nn n n n n a a q a a +--+===+，又()12112a a a q +=+=，所以首项123a =，故111223n n n a a q --=⋅=⋅ 所以111228224339n n n n n n c a a --+==⋅⨯⋅=⋅， 故数列{}n c 是以89为首项，4为公比的等比数列， 所以()()81489411427n n n T -==--． 故答案为：()84127n - 【点睛】本题考查等比数列定义，通项公式与求和公式等知识，属于较难题．17．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】将函数的零点问题转化为()y f x =与()y g x =的图象交点问题，利用数形结合分为m ≥m <m 的取值范围，其中后者需在存在性问题中进一步研究a 的范围．【详解】已知实数0a >使()()y f x g x =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，等价于()y f x =与()y g x =的函数图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个交点，显然()2ln 1f x x =-与x 轴的交点为)，()g x a x m =-的图象关于x m =对称，当m ≥2个交点，由数形结合知m 一定小于e ，即)m e ∈；当m <2个交点，须存在a 使得()2ln 1x a x m -=-在)e 有两解，所以()f e a f ''<<，因为()2f x x '=，即()2,0f e f a e''==>，显然存在这样的a 使上述不等式成立；由数形结合知m 须大于()f x 在x e =处的切线21y x e=-与x 轴交点的横坐标2e ，即2e m ⎛∈ ⎝ 综上所述，m 的范围为,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数取值范围问题，属于难题．18．（1（2）减区间()25111,12k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，5122k x ππ=+，k Z ∈． 【分析】（1）根据三角恒等变换公式代简()f x 的表达式为()sin y A ωx φ=+的形式，然后求得3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）结合三角函数的图象及性质，易求得()f x 的单调递减区间及()f x 图象的对称轴方程．【详解】（1）因为()1cos 2sin 2sin 222x f x x x x -=+=2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 33f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭（2）由（1）得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈ 5111212k x k ππππ∴+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递减区间为()25111,12k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 又令232x k πππ-=+﹐k Z ∈，5122k x ππ∴=+，k Z ∈ 故()f x 图象的对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈． 【点睛】本题考查三角函数化简、三角函数的图象及性质等问题，属于较易题．19．（1）证明见解析；（2）7． 【分析】（1）根据菱形对角线互相垂直及PD ⊥平面ABCD ，由线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面PBD ；（2）可直接作出线面角用几何法求之，也可建立空间直角坐标系用向量法求之．【详解】（Ⅰ）底面ABCD 是平行四边形且CD AD =， ABCD ∴是菱形，即AC BD ⊥，又PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，所以AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）方法一（几何法）：取BC 的中点Q ，连结PQ ，DQ ，交AC 于点G ，过点G 作GH PQ ⊥，连HC ，在平行四边形ABCD 中CD AD =且120ADC =∠︒BCD ∴△是正三角形，即点G 为重心，又PD ⊥平面ABCD ，得PD BC ⊥，又BC DQ ⊥，即BC ⊥平面PDQ ，所以面PBC ⊥面PDQ ，由作法知，GH ⊥平面PBC ，所以GCH ∠就是直线AC 与平面PBC 所成的角，设2AB =，则3CG =，再由相似求得21GH =在Rt GCH ，sin217GH CG GCH ===∠，所以直线AC 与平面PBC ．方法二(坐标法):取PB 的中点Q ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OQ 为轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()0,0,0O ，)0A ，()0,1,0B ，()C ，()0,0,1Q ， ()0,0AC =-，()0,1BC =--，()0,1,1BQ =-， 设平面PBC 法向量(),,n x y z =，则00n BC n BQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取(,13,n =--，记直线AC 与平面PBC 所成角为θ，得sin 2AC nAC n θ⋅===⋅，所以直线AC 与平面PBC．【点睛】本题考查空间中线面垂直的判定及用向量法或几何法求线面角，属于中档题．20．（1）2n n a =；（2）证明见解析.【分析】（1）由等差中项得到递推关系式子，通过退位相减求出通项公式；（2）由（1）即可表示新数列{}n b 的通项公式，通过放大再由指数式裂项求和，或用数学归纳法证明不等式．【详解】（1）因为1a ，n a ，n S 成等差数列，即12n n a a S =+，当2n ≥时，1112n n a a S --=+，两式相减得12n n a a -=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，即112n n a a -=⋅，即()()11122112n n n a S a -==--，由542a S =+，得12a =，所以{}n a 的通项公式2n n a =．（2）方法一（放缩法）：因为2n n a =，122n n S +=-，所以()222421n n n n n a b S ==-， 当2n ≥时，()()()()224212142122n nn n n n n b =<----()()11121114212142121n n n n n ---⎛⎫==- ⎪----⎝⎭所以12122311111111124212*********n n n b b b -⎛⎫+++<+-+-++- ⎪------⎝⎭ ()314421n =--， 当1n =时，()1131142421b -==-，取到“=”号， 综上所述，()12314421n n b b b +++≤--，*n N ∈ 方法二（数学归纳法）：因为2n n a =，122n n S +=-，所以()222421n n n n n a b S ==-，当1n =时，左边112112a b S ===，右边12=，原不等式成立； 假设当n k =时，原不等式成立，即()12314421k k b b b +++≤--， 那么，当1n k =+时，左边()()112123124421421k k k k k b b b b ++=++++≤-+--()()()()12111311124421421421421k k k k k ++++⎡⎤⎢⎥=-+-+⎢⎥----⎣⎦()()()()121113122442142121421k k k k k k ++++⎡⎤-⎢⎥=-++⎢⎥----⎣⎦()()()()2111312314442142142121k k k k k +++=--<-----，即1n k =+时也成立， 由此可知，原不等式对于任意的*n N ∈均成立．【点睛】本题考查数列的等差中项，等比数列定义及通项公式，同时考查数列的放缩思想以及裂项求和思想或数学归纳法的证明，属于较难题．21．（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用导数求出点P 处的切线方程，由垂直关系写出法线方程，得到点Q 坐标，由抛物线定义得到FP FQ =；（2）先求出点A ，B 的坐标，再求PA 与PB 的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值．【详解】（1）设点P 的坐标为200,12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭且00x >， 因为直线l 与抛物线C 相切，求导得y x '=，即0k x =，所以直线l 的方程为：20012y x x x =-， 得直线m 的方程为：()2000112y x x x x -=--，即200,112Q x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为02,1F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2200111112222FQ x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 而20111222P FP y x =+=+， 所以得FP FQ =，即FPQ △为等腰三角形．（或者求出切线与y 轴的交点，可证点F 为直角三角形斜边的中点，同样可证） （2）因为抛物线C 的准线为12y ，得00111,22A x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0000112PA x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 联立方程组200211122y x x x x y ⎧⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22000220x x x x x +-+=， 因为002B x x x +=-，002B x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即20000212,2B x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00002PB x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， 得PAB △面积为()3320030011114222x S PA PB x x x +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当01x =时，取到最小值4．【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．22．（1）2；（2）1a ≥．【分析】（1）根据函数导数与单调性的关系求最值；（2）先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性．在证明过程中，先看成关于b 的函数、再看成a 的函数、最后变为关于x 的函数加以解决．【详解】（1）对函数()f x 求导得()()2141f x x x '=-+ 即()()()22101x f x x x -'=≥+，所以()f x 在(]0,1x ∈上递增，所以()f x 的最大值为()12f =．（2）由题意，首先由()()()122222110g ab a b a b =--++=-+≤，得1a ≥，所以1a ≥是()0g x ≤必要条件．下面证明1a ≥是充分条件．由已知0b a ≥>，又由（1）得ln 421x x +≤+，即()1ln 22x x x +≤-， 所以()1ln 22b x x bx b +≤-，故()()11212222222ln x x e x g x ab b x a b ab bx a e --=-++-++⋅+≤--+⋅，又因为1x e x -≥，（不等式1x e x -≥的证明：令()1x h x e x -=-，则()11x h x e -'=-，所以当01x <<时，()()1110x h x e h -'=-<=，所以()1x h x e x -=-是减函数， 故()()10h x h ≥=，即1x e x -≥成立．）所以()122222222x g x ab e bx a abx bx a -≤-+-+-+-⋅+≤，即()()()2222211g x abx bx a a bx ≤-+-+=-+，因为1a ≥，0b ≥，(]0,1x ∈，故()0g x ≤﹐所以1a ≥是()0g x ≤的充分条件．故实数a 的范围是1a ≥．【点睛】本题考查导数在函数的单调性与最值的应用，同时考查多参数问题变换主元的思想，属于难题．。
2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测试数学试题
2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}(,)10A x y x y =-+=，{}(,)20B x y x y =-=，则A B （ ）A ．{}(1,2)B ．(1,2)C ．{}1,2D ．{}1,2x y ==2．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>4．函数f (x )=sin (πx )e −|x |2的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件6．已知函数()sin f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．0,5⎛ ⎝⎭ D ．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．44,33⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．⎣⎦9．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C D ．1210．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立二、双空题11．已知单位向量1e ，2e 夹角为60︒，122e e +=______；()12e e R λλ+∈的最小值为______． 12．已知πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，728S =，则n a =______，14n n a a S ++的最大值是______.三、填空题14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________ ，该几何体的表面积为 _________．15．四边形ABCD 中，56A π∠=，512B C π∠=∠=，3D π∠=，2BC =，则AC 的最小值是______.16．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.四、解答题18．已知函数()sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）若4πα=，求()y g x =的单调区间； （2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴是12x π=，求()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.19．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.20．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值． 22．已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】解方程组得到交点坐标，从而得到结果. 【详解】 解：1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，∴AB ={}(1,2)故选：A 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题. 2．A 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限. 故选A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 3．C 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题 4．A 【分析】由f (12)=e −14>0排除选项D ;f (−12)=−e −14<0排除选项C ；由函数f (x )有无数个零点，排除选项B ,从而可得结果. 【详解】由f (12)=e −14>0，可排除选项D ，f (−1)=−e −12<0可排除选项C ；由f (x )=0可得πx =kπ⇒x =k,k ∈z ，即函数f (x )有无数个零点，可排除选项B ,故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x →0+,x →0−,x →+∞,x →−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5．D 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”， “A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 6．D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 7．B 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,033a a a a ∴><<<∴<<故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 8．B 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-， 可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，k =即AB CD k k ==4433PQ y b k x a ---∴≤=≤-， y bx a --的取值范围44,33⎡--+⎢⎣⎦，故选B. 【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 9．B 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，22,2PA PF ，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 10．D 【分析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需122a+<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且1x =，2x =因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤；所以要使n a M <，只需要120a x <<，故2<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．11 2【分析】根据条件可求出2212121,12e e e e ⋅===，根据212122(2)e e e e +=+进行数量积的运算即可求出122e e +的值，并可得出212e e λλ+=【详解】①2212121,12e e e e ⋅===，222121211222(2)447e e e e e e e e ∴+=+=+⋅+=②21212()2e e e e λλλ+=+==．．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法． 12．12【分析】利用两角和的正切公式结合πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得出tan θ的方程，即可求出tan θ的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出cos2θ和sin 2θ的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝⎭，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===++，2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++，)cos 2cos 2sin 24πθθθ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭故答案为：12；10. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大． 13．n 17【分析】利用等差数列前n 项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式，可求出14nn a a S ++的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出14nn a a S ++的最大值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则317133672128S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以，数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=； （2）()()1122n n n a a n n S ++==，()()()142154n n n a a S n n +++∴=++， 令1t n =+，则2t ≥且t ∈N ，()()142212437n n a a t S t t t t++==++++，由双勾函数的单调性可知，函数127y t t=++在(0,t ∈时单调递减，在()t ∈+∞时单调递增，当3t =或4时，14n n a a S =+取得最大值为17.故答案为：n ；17. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 14．；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 15【分析】在ABC ∆中利用正弦定理得出52sin12sin AC CABπ=∠，进而可知，当2CAB π∠=时，AC 取最小值，进而计算出结果. 【详解】5sinsin sin cos cos sin 12464646πππππππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭如图，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin BACB B A CC=∠∠，即52sin12sin AC CABπ=∠，故当2CAB π∠=时，AC 取到最小值为2.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题． 16．4【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值. 【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ， 空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，所以2==35a b =-，c ∴===当32b =，12a =-时，c取最大值2所以，三棱锥A PCD -的体积为21113332A PCD P ACD ACD V V S c --∆==⋅≤⨯⨯=因此，三棱锥A PCD -体积的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．2e 【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥，即(),2e M a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．18．（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣.【分析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】由题意得()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）()y f x =向左平移4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭， 减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭； （2）由题易知，()2cos 226g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()y g x =的一条对称轴是12x π=，所以266k ππαπ++=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z . 又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πα=，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则5cos 26x π⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡-⎣. 【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．19．（1）见解析；（2【分析】（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ⊂面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD . （2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF λ=,则可得出向量()1,2BP λλ=---,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,利用直线与平面所成角的正弦公式sin cos ,BP n BP n BP nθ⋅==⨯列方程求出0λ=或34λ=,从而求出线段BP 的长. 【详解】解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形,∴DE CF ==∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD ∴CF ⊥面ABCD 又∵CF ⊂面BCF ∴平面ECF ⊥平面ABCD（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,(E,(F -,设(DP DF λλ==-(),2λλ=-,[]0,1λ∈;∴(),2P λλ-,()1,2BP λλ=---,设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,∴2020x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩,不防设()3,0,1n =.∴sin cos ,BP n θ==BP n BP n⋅=⨯10=, 化简得2860λλ-=,解得0λ=或34λ=; 当0λ=时,()1,2,0BP =--,∴5BP =;当34λ=时,71,42BP ⎛=-- ⎝⎭,∴5BP =综上存在这样的P 点,线段BP【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力. 20．（1）2;n a n =（2）见解析 【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以， 因为，所以， 解得或， 因为数列都是正项，所以， 当时，有， 所以， 解得， 当时，，符合所以数列的通项公式，; （2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时， 有， 所以，所以对于任意，数列的前项和.21．（1）21y x =-，()0y ≠（2）1924．【分析】() 1根据题意设(),M m n ，可得PF 的方程()()22110n x y n ---=，根据距离即可求出； ()2点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，根据导数的几何意义和斜率公式，求AB ，并构造函数，利用导数求出函数的最值．【详解】()1因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为()1,0，设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点()2,2P n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即()()22110n x y n ---=，n =，又m ，0n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为21y x =-，()0y ≠， ()2设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，由()1知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >， 由'y =，所以12112AQ t y k t t -===+，2221BQ t y k t t -==-=-+， 所以1122t y t=-，3223y t t =+， 所以331512322222t AB t t t t t t =+-+=++，0t >． 令()351222f t t t t =++，0t >， 则()42222511251'6222t t f t t t t +-=+-=， 由()'0f t>得t >()'0f t<得0t <<所以f t在区间⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭单调递增，所以当t =f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时219124s t =+=【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22．（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x -++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a '=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=， ∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x = ∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤. ∴()()()()222112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2233121()0x h x x x x x'--=--=<, ∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减； 当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。
2020年3月海宁桐乡高三开学模拟考试数学试卷详解
12
12
单调递减区间为
5 12
k
,11 12
k
k
Z
.
……………………10 分
令 2x k,k Z ， 32
x 5 k ,k Z 12 2
f (x) 图象的对称轴方程为 x 5 k ,k Z . 12 2
……………………14 分
19．【命题意图】考查空间中线面垂直的判定及用向量法或几何法求线面角，属容易题．
B
∴ AP 与平面 PBD 所成的角即为 APB ，
即 APB ．
PEΒιβλιοθήκη AFOD
M
GC
第 9 题图
不妨设 PA 1 ，则 AB 2 ，∴ tan 2 ．
在平面 PAD 内作 PO AD ， ∵面 PAD 面 ABCD ，∴ PO 面 ABCD ， 在面 ABCD 内作 OM BC ，连 PM ，则 PM BC ， ∴ PMO 即为二面角 P BC D 的平面角，
6
H C
GQ B
即 BC 平面 PDQ ，所以面 PBC 面 PDQ ，
由作法知， GH 平面 PBC , 所以 GCH 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角，
设 AB 2 ，则 CG 2 3 ，再由相似求得 GH 2 21 ，
3
21
………………11 分
在 Rt△ GCH 中， sin GCH GH 2 21 3 7 ， CG 21 2 3 7
【解析】选项 B、D 的函数定义域为 x x 0 ，和图象不匹配，错误；选项 C 为减函数，
和图象不匹配，错误；选项 A 定义域为 R，且为增函数，故选 A．
6．【答案】D． 【命题意图】考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，属中档题． 【解题思路】分别求出离散型随机变量的数学期望、方差．
2020年3月海宁桐乡高三开学模拟考试数学试卷
系是 A． B． C．
P
E
A
D
D．
B
C
第 9 题图
10．如图，已知△ ABC 为钝角三角形， AC AB BC ，点 P 是△ ABC 外接圆上的点，
则当 PA PB PB PC PC PA 取最小值时，点 P 在
A． BAC 所对弧上（不包括弧的端点）
3 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高． 球的表面积公式 S 4R2 ， 球的体积公式
V 4 R3 ， 3
其中 R 表示球的半径．
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集U {2,1,0,1, 2} ，集合 A {0,1,2} ， B {1,0} ，则 A (UB)=
交抛物线 C 于另一点 B ，交 y 轴于点 Q ，连结 AB ．
（Ⅰ）证明：△ FPQ 为等腰三角形；
B
（Ⅱ）求△ PAB 面积的最小值．
y l1
Q
F
O A
l
P x
第 21 题图
数学第 5页（共 6 页）
22．（本题满分 15 分） 已知函数 f (x) ln x 4 ， g(x) 2ab e x1 b(x 1) ln x 2a 2b 2 ，其 x 1
B． ABC 所对弧上（不包括弧的端点）
C． ACB 所对弧上（不包括弧的端点）
B
D．△ ABC 的顶点
A C
P
第 10 题图
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．早在 11 世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、
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2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={（x，y）|x-y+1=0}，B={（x，y）|2x-y=0}，则A∩B=（）A. {（1，2）}B. （1，2）C. {1，2}D. {x=1，y=2}2.已知复数z=，则z对应的点在复平面内位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知2a=3b=6，则a，b不可能满足的关系是（）A. a+b=abB. a+b＞4C. （a-1）2+（b-1）2＜2D. a2+b2＞84.函数f（x）=sin（πx）e的图象可能是下列哪一个？（）A. B.C. D.5.已知△ABC中，角A，B所对的边分别是a，b，则“a＞b”是“A＞B”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件6.已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）=-4，则|x1+x2|的最小值为（）A. B. 0 C. D.7.定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18．若函数y=f（x）-log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（）A. （0，）B. （0，）C. （0，）D. （0，）8.在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2-2x+y2=0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a-8b+24=0则的取值范围是（）A. [-2，2]B. [，]C. [-3，-]D. []9.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，若m取最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.10.设a，b∈R+，数列{a n}满足a1=2，a n+1=a•a n2+b，n∈N*，则（）A. 对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B. 对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C. 对于任意b∈（2-4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D. 对于任意b∈（0，2-4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知单位向量，夹角为60°，|+2|=______；|+λ|（λ∈R）的最小值为______．12.已知，则tanθ=______，=______．13.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=______，该几何体的表面积为______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S7=28，则a n=______，的最大值是______．15.四边形ABCD中，∠A=，∠B=∠C=，∠D=，BC=2，则AC的最小值是______．16.已知正方形ABCD边长为3，空间中的动点P满足PA=2，PC=2PD，则三棱锥A-PCD体积的最大值是______．17.设函数f（x）=|ln x+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f（x）=cos2x-sin2x，将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）若α=，求y=g（x）的单调区间；（2）若，y=g（x）的一条对称轴是x=，求y=g（x）在的值域．19.如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AE=AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，．（1）求证：平面ECF⊥平面ABCD；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．20.正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2-（n2+n-1）S n-（n2+n）=0（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n．21.在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y2=4x于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l1与曲线E相切于点Q（s，t），过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B．当线段AB的长度最小时，求s的值．22.已知函数f（x）=ax-ln x-1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）-g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．2020年浙江省嘉兴市桐乡高中高考数学模拟试卷（3月份）答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. A5. D6. D7. B8. B9. B10. D11.12.13. 114. n15.16.17.18. 解：（1）函数f（x）=cos2x-sin2x=2cos（2x+），将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，得到函数y=g（x）=2cos（2x+2α+）的图象．若α=，求y=g（x）=2cos（2x++）=-2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得g（x）的单调区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）若，y=g（x）的一条对称轴是x=，则2×+2α+=，∴α=，∴g（x）=2cos（2x+2α+）=2cos（2x+），在上，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[-1，]，g（x）∈[-2，1]．19. 解：（1）证明：四边形EDCF为矩形，∴DE=CF=．∵AD2+DE2=AE2∴DE⊥AD，∴DE⊥CD，∴DE⊥面ABCD，∴CF⊥面ABCD，又∵CF⊂面BCF，∴平面ECF⊥平面ABCD．（2）解：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系．如图所示，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），E（0，0，），F（-1，2，），设=（-），λ∈[0，1]，∴P（），=（），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），=（0，2，0），=（-1，0，），∴，取z=1，得=（）．∴sinθ=|cos＜＞|===，化简得8λ2-6λ=0，解得λ=0或．当λ=0时，=（-1，-2，0），∴||=，当时，=（-，-，），∴||=．综上存在这样的P点，线段BP的长为．20. 解：（1）∵S n2-（n2+n-1）S n-（n2+n）=0，∴（S n-（n2+n））（S n+1）=0，∴S n=n2+n，或S n=-1（舍去），故正项数列{a n}为等差数列，其中a1=1+1=2，a2=S2-S1=4，故a n=2+2（n-1）=2n；（2）∵b n==（-），∴T n=（1-+-+-+…+-）=（1+--）=-（+）；故T n＜．21. 解：（1）因为抛物线C的方程为y2=4x，所以F的坐标为（1，0），设M（m，n），因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，所以圆M的半径为|n|，点P（n2，2n），则直线PF的方程为=，即2n（x-1）-y（n2-1）=0，所以=|n|，又m，n≠0，所以|2m-n2-1|=n2+1，即n2-m+1=0，所以E的方程为y2=x-1，（y≠0），（2）设Q（t2+1，t），A（0，y1），B（0，y2），由（1）知，点Q处的切线l1的斜率存在，由对称性不妨设t＞0，由y′=，所以k AQ===，k BQ==-2=-2t，所以y1=-，y2=2t3+3t，所以AB=|2t3+3t-+|=2t3+t+，t＞0．令f（t）=2t3+t+，t＞0，则f′（t）=6t2+-=，由f′（t）＞0得t＞，由f′（t）＜0得0＜t＜，所以f（t）在区间（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，所以当t=时，f（t）取得极小值也是最小值，即AB取得最小值此时s=t2+1=．22. 解：（1）由f（x）=ax-ln x-1，x∈（0，+∞），则f′（x）=a-，当a≤0时，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0⇒x=，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）∵g（x）=ln x+-（a+1）x，g'（x）=，由g'（x）=0得x2-（a+1）x+1=0，∴x1+x2=a+1，x1x2=1，∴x2=，∵a≥，∴，解得0＜x1≤，∴g（x1）-g（x2）=ln，设h（x）=2ln x-，则h′（x）=＜0，∴h（x）在上单调递减；当x1=时，-2ln2，∴k≤-2ln2，即所求k的取值范围为：（-∞，]．【解析】1. 解：解得，，∴A∩B={（1，2）}．故选：A．根据交集的定义，解方程组即可得出A∩B的元素，从而得出集合A∩B．本题考查了描述法、列举法的定义，集合、元素的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：∵复数z====2+2i，则z在复平面内对应的点的坐标为（2，2），位于第一象限，故选：A．直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：∵2a=3b=6，∴（2a）b=6b，（3b）a=6a，∴2ab=6b，3ba=6a，∴2ab•3ba=6b•6a，∴（6）ab=6a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b=ab＞4，∴（a-1）2+（b-1）2=a2+b2-2（a+b）+2＞2ab-2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故C错误故选：C．由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．4. 解：函数f（-x）=sin（-πx）e=-sin（πx）e=-f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，由f（x）=0得sin（πx）=0，则πx=kπ，则x=k，则x轴右侧第一个零点为1，则f（）=sin=＞0，排除D．|f（）|=|sin（π）|=＜，则|f（）|＜f（），排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号的对应性和大小进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值的符号结合排除法是解决本题的关键．5. 解：△ABC中，角A，B所对的边分别是a，b，“a＞b”⇒“A＞B”，“A＞B”⇒“a＞b”，∴“a＞b”是“A＞B”的充分必要条件．故选：D．“a＞b”⇒“A＞B”，“A＞B”⇒“a＞b”．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 解：函数=sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）=+=±，解得a=±1．当a=1时，f（x）=sin x-cos x=2sin（x-），∵f（x1）•f（x2）=-4，则f（x1）和f（x2）一个为-2，另一个为2，∴x1=2kπ-，x2=2kπ+，则|x1+x2|=|4kπ+|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为．当a=-1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果，属于中档题．7. 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），又f（-1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18=-2（x-3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）-log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=-2，∴log a3＞-2，∴3＜，解得-＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，令g（x）=log a （x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．8. 解：由x2-2x+y2=0得（x-1）2+y2=1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，由a2+b2+6a-8b+24=0得（a+3）2+（b-4）2=1，即Q的轨迹是以A（-3，4）为圆心半径为1的圆，的几何意义为PQ的斜率，由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线，A，B的中点C（-1，2），设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，圆心B的直线的距离d==1，平方得4k2+8k+4=1+k2，即3k2+8k+3=0，得k===，即斜率的最大值为，最小值为，即的取值范围是[，]，故选：B．利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9. 解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=-1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），即x2-4kx+4=0，∴△=16k2-16=0，∴k=±1，∴P（2，1），A（0，-1），∴|PA|==2．点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，可得：2a=|PA|+|PF|=2+2，2c=|AF|=2，即有e===-1．故选：B．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值，再由椭圆的定义可得2a，求得2c，由离心率的公式计算可得所求值．本题考查抛物线和椭圆的定义和性质，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．10. 解：取a=1，b=1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b=x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2-4a且b＞0，故选：D．取a=1，b=1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．11. 解：∵，∴=，=．故答案为：．根据条件可求出，根据进行数量积的运算即可求出的值，并可得出，配方即可求出最小值．考查向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法．12. 解：由tanθ=tan（θ+-）====，=（cos2θ+sin2θ）=（cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ）=×=×=×=×=，故答案为：，．利用两角和差的三角公式以及弦化切进行化简求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的正切公式以及余弦公式，利用弦化切以及1的代换是解决本题的关键，难度不大．13. 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示：其底面面积S=a2，高SA=2，故它的体积V===，解得：a=1，则底面面积S=1，侧面S△SAD=S△SAB=，侧面S△SCD=S△SCB==，故几何体的表面积为：1+2×1+2×=，故答案为：1；由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是，求出a值，再计算各个面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S7=28，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=1+（n-1）×1=n．∴S n+4=（n+4）+，∴==，设y=，则y′=，由y′=0，得n=2，（舍负），∵n∈N*，∴n=2时，取最大值．故答案为：n，．利用等差数列前n项和公式，列出方程组，求出a1=1，d=1，由此能求出结果．本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15. 解：如图，点A只能在线段BA1上运动，且不包括端点，显然当AC⊥BA1时，AC取得最小值，．故故答案为：．作出图形，由图观察容易得解．本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力，属于中档题．16. 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），设P（a，b，c），∵空间中的动点P满足PA=2，PC=2PD，∴，整理，得a=3b-5，∴c===，∴当b=，a=-时，c最大值c max==，∴三棱锥A-PCD体积的最大值为：V===．故答案为：．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），设P（a，b，c），由空间中的动点P满足PA=2，PC=2PD，得到a=3b-5，从而c==，当b=，a=-时，c最大值c max==，由此能求出三棱锥A-PCD体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17. 解：f（x）=max{|ln x+a+x+b|，|ln x+a-x-b|}，设G（x）=|ln x-x+a-b|，F（x）=|ln x+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）={|1+a-b|，|1-e+a-b|}，F（x）=max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a-b|+|1-e+a-b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2-e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．易知f（x）=max{|ln x+a+x+b|，|ln x+a-x-b|}，设G（x）=|ln x-x+a-b|，F（x）=|ln x+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．18. （1）由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性求得α，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19. （1）推导出DE=CF=．DE⊥AD，DE⊥CD，从而DE⊥面ABCD，进而CF⊥面ABCD，由此能证明平面ECF⊥平面ABCD．（2）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足条件的P点，线段BP的长为．本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. （1）因式分解可得（S n-（n2+n））（S n+1）=0，从而求得S n=n2+n，从而判断出{a n}为等差数列，从而解得；（2）裂项b n==（-），从而求其前n项和前证明不等式即可．本题考查了方程的解法与裂项求和法的应用，同时考查了学生的化简运算能力．21. （1）根据题意可得PF的方程2n（x-1）-y（n2-1）=0，根据距离即可求出，（2）点Q处的切线l1的斜率存在，由对称性不妨设t＞0，根据导数的几何意义和斜率公式，求|AB|，并构造函数，利用导数求出函数的最值．本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及导数函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22. （1）求出函数的导数，通过a与0的大小比较，判断导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．（2））求出g'（x）=，由g'（x）=0得x2-（a+1）x+1=0，推出x1+x2=a+1，x1x2=1，x2=，利用g（x1）-g（x2），构造函数设h（x）=2ln x-，求和函数的最小值，转化求解k的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法求解函数的二次导数，函数的最小值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题．。