2020高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线练习理(含解析)

第6讲 双曲线[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(一题多解)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.法一：由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， 所以2c ＝2×|2m |＝4，所以|m |＝1，因为方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，所以(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，所以－m 2<n <3m 2，所以－1<n <3.故选A. 法二：因为原方程表示双曲线，且焦距为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4， ①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－（3m 2－n ）－（m 2＋n ）＝4，② 由①得m 2＝1，n ∈(－1，3)．②无解．故选A.4．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.8．(2019·河北邯郸联考)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( )A ．2＋ 6 B.2＋ 6 C ．2＋ 2D.2＋ 2解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋2，故选D.9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2B.62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，± 2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.10．(2019·石家庄模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3B. 2 C ．2D.33解析：选A.由题意可知F 1(－c ，0)，设A (0，y 0)，因为A 是F 1B 的中点，所以点B 的横坐标为c ，又点B 在双曲线的右支上，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因为直线F 1B 的倾斜角为30°，所以b 2a －0c －（－c ）＝33，化简整理得b 22ac ＝33，又b 2＝c 2－a 2，所以3c 2－3a 2－23ac ＝0，两边同时除以a 2得3e 2－23e －3＝0，解得e ＝3或e ＝－33(舍去)，故选A. 11．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， 所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 12．(2019·四川南充模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a .AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a . 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：5314．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：215．(2019·武汉调研)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知F (c ，0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2b 3b＝233. 答案：23316．(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝________．解析：如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.答案：1[综合题组练]1．(一题多解)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C的方程为x 24－y 25＝1.故选B.法二：因为椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，所以b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±24x 解析：选 B.以原点为圆心，半径长为5的圆的方程为x 2＋y 2＝5，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±bax ，不妨设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，因为四边形MNPQ 的面积为8，所以4x ·b ax ＝8， 所以x 2＝2a b，将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x 代入x 2＋y 2＝5，可得x 2＋b 2a 2x 2＝5，所以2a b ＋2ba＝5，a ＞b ＞0，解得b a ＝12，故选B.3．(2019·石家庄模拟)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选 A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2 中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：25．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)若A ，B 分别为此双曲线的渐近线l 1，l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)过点N (1，0)能否作出直线l ，使l 交双曲线于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为e ＝2，所以c 2＝4a 2， 因为c 2＝a 2＋3，所以a ＝1，c ＝2，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x ；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )， 因为2|AB |＝5|F 1F 2|， 所以|AB |＝52|F 1F 2|＝10，所以（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝10， 因为y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2，2x ＝x 1＋x 2，2y ＝y 1＋y 2， 所以y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， 所以[3（y 1＋y 2）]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤33（x 1＋x 2）2＝10，所以3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋y 2253＝1， 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．(2)假设存在满足条件的直线l .设l ：y ＝k (x －1)，l 与双曲线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 因为OP →·OQ →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝0， 所以x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝0，①因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3y 2－x 2＝3，可得(3k 2－1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 23k 2－1，x 1x 2＝3k 2－33k 2－1，②将②代入①得k 2＋3＝0，所以k 不存在，所以假设不成立，即不存在满足条件的直线l .。