2014.1泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查数学文科试题参考答案

泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D7．C 8．D 9．C 10．D 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13 14．75 15．48+ 16．()28f x x x c =-++(c 为任意实数)（填写其中一种情况即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）根据频数分布表，成绩在[)120,130，[)130,140，[]140,150中共有100人，成绩在[)120,130的有60人， …………2分故用分层抽样的方法所抽取的5人中，成绩在[)120,130的人数为6053100⨯=. …5分 （Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的5人中，成绩在[)120,130的有3名同学，记为1,23a a a ，成绩在[)130,140和[]140,150的各有1名同学，分别记为b 和c ， …………6分则从（Ⅰ）中抽出的5人中，任取2人的所有情况为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121311232233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a c a a a b a c a b a c b c ，共有10个基本事件， …………9分记事件[)[){}120,130130,1401A =成绩在和中各有人，该事件包含的基本事件为{}{}{}123,,,,,a b a b a b ，共有3个，…10分 故3()10P A =. …………12分 18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等. 满分12分.解析:（Ⅰ）依题意可知233,9a a ==.设等差数列{}n b 的公差为d ，Q 1243,b a b a ==，∴143,9b b ==， …………1分又Q 413b b d =+，∴2d =， …………3分∴1(1)21n b b n d n =+-=+. …………5分（Ⅱ）数列{}n a 的一个通项公式为13n n a -=， …………7分∴()1321n n n a b n -+=++，∴()()2113333521n n S n -=+++++++++⎡⎤⎣⎦L L23122n n n -=++. …………12分 19．本小题主要考查三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分.解析：（Ⅰ）()22cos 1cos 2x f x x ==+， 2()(sin cos )12sin cos 1sin 2222x x x x g x x =+=+=+，…3分 Q ()1cos()1sin 22f x x x ππ-=+-=+，∴()2f x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,命题得证.…5分（Ⅱ）函数()()()h x f x g x =-cos sin x x =-2()22x x =-)4x π=+， ………7分 ∵[]0,x π∈, ∴ 5444x πππ≤+≤， 当44x πππ≤+≤ ，即304x π≤≤ 时，()h x 递减； 当544x πππ≤+≤ ，即34x ππ≤≤ 时，()h x 递增. ∴函数()h x 的单调递减区间为30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …10分 根据函数()h x 的单调性，可知当34x π=时函数()h x 取到最小值. ……12分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.解析：（Ⅰ）连结AC BD 、，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.……1分∵ PD ABCD ⊥平面，又AC ABCD ⊂平面，∴AC PD ⊥，……2分又∵PD BD D =I ， ∴AC PBD ⊥平面.…4分 ∵PB PBD ⊂平面, ∴AC PB ⊥ ． ……………5分（Ⅱ）如图连结,,OE BE DE ，∵//PA BDE 平面，PA ⊂PAC 平面，PAC 平面BDE OE ⋂=平面，∴//PA OE .∵O 为AC 的中点，∴E 为PC 的中点. ……………7分取DC 的中点H ，连结EH ，则//EH PD ，又∵PD ABCD ⊥平面，C A∴EH ⊥ABCD 平面，即EH 是四面体E BDC -的高． ………8分根据斜二测画法的规则及题设已知条件可以得到：在11D O C '∆中，01145DO C '∠=，111DC O C'= 由余弦定理可以解得：11O D '=或13O D '=.又因为11O D O C ''<，所以11O D '=． ……………9分从而，可以得到菱形ABCD 的对角线4DB =，而OC =12BDC S BD OC ∆=⋅⋅=. ……………10分∵四面体E BDC -的体积为13⋅EH ⋅BDC S ∆= 求得94EH =，故侧棱PD 的长是9.2 …………12分21．本小题主要考查圆锥曲线、直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）因为点M 到点()1,0F 和直线1-=x 的距离相等，由抛物线定义，可知曲线C 是抛物线，其中()1,0F 是焦点，所以曲线C 的方程为x y 42=. ……………3分（Ⅱ）根据图形可以直观判断，直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0，故不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，()111,P x y ，()222,P x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， ∴ 212224k x x k ++=，121x x =. ……………5分 因为曲线C 与1l 交于点1P ,2P 且1l 过焦点()1,0F ， 所以12122PP x x =++ 22242k k +=+2244k k+=. ……………7分同理可得21221441k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭244k =+， ……………8分 所以2221212111144444k PP Q Q k k +=+=++. ……………9分 （Ⅲ）若1l ，2l 是过椭圆22:143x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ，则121211712PP Q Q +=. ……………1(注：只说明121211PP Q Q +为定值或给出错误的定值扣1分 .) 22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.解:（Ⅰ）因为()1f x a x'=-， ………1分 又因为函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线斜率为2，所以()12f '=，解得1a =-. ……………3分（Ⅱ）因为()1,A a -，()11f a '=-，所以切线l 的方程为：()11y a x =--. ……………4分令()()()11g x f x a x =---⎡⎤⎣⎦ln 1(0)x x x =-+>，则()11g x x '=-1x x-=， 由0x >得，当()0,1x ∈时()0g x '>,当()1,x ∈+∞时()0g x '<，…6分所以函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，……7分从而，当1x =时，()g x 取得最大值()10g =，所以()0g x ≤即()()11f x a x ≤--，从而证得函数()f x 的图象恒在其切线l 的下方（切点除外）；……9分 （Ⅲ）解法一：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分 所以当01x >时，00ln 21x a x -<-， 即()()00ln 210x a x -+-<恒成立. ……11分令()()()()ln 211h x x a x x =-+->，则()()12h x a x '=-+. 因为1x >，所以101x<<. （ⅰ）当2a ≤-时，20a +≤，此时()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞单调递增，有()()10h x h >=，不满足题意； （ⅱ）当21a -<<-时，021a <+<， ∴当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0h x '>，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭时，()0h x '<， 所以至少存在11,2s a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，使得()()10h s h >=,不满足题意； （ⅲ）当1a ≥-时，21a +≥，此时()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，()()10h x h <=,满足题意.综上可得：1a ≥-.……………14分解法二：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分 所以,当01x >时，00ln 21x a x -<-，即00ln 21x a x +>-对01x >恒成立.…11分令()()()ln 11h x x x x =-->，则()11h x x '=-. ∵()10x h x x-'=<,∴()h x 在()1,+∞单调递减， ∴()()10h x h <=，即ln 1x x <-，ln 11x x <-(1x >). …12分 注意到当1x →时，()0h x →，ln 1x x →-，ln 11x x →-，…13分 所以21a +≥，即1a ≥-.……………14分。