第91讲参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练含解析精品

参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案).doc

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲:参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平而直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标兀y 都是某个变数/ 的函数=反过來，对于r 的每个允许值，由函数式|% =所确定的点M （兀，刃都在曲线C 上,\y = g （t ）f y 二g ⑴那么方程I ；爲叫做曲线C 的参数方程，联系变5的变数，是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.二、常见曲线的参数方程：”0 fx =+ rcos^（1）圆（x-x 0）2+（y-j ；0）2=r 2的参数方程为 ° .心（&为参数人[y = y （）+ r sm &x 2 y 2 [x = a cos & （2）椭圆二+ ― = 1的参数方程为彳 f .八（&为参数）；cr /r\y = bsm022（3）双曲线二—刍=1的参数方程 cr b- （4）抛物线j 2 =2px 参数方程2" （/为参数）; 卜=2刃X = X （｝ +/COSG（5）过定点P （x （）』（））、倾斜角为Q 的直线的参数方程彳 ° . （/为参数）•y = y Q +fsina三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求11!参数f,然后代入消去参数（包括整体消元）.（2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.（3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式sin 26z+cos 2tz = l 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为F （x,y ） = 0：在消参过程屮注意变量兀、y 取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范I 韦I,确定/⑴和g ⑴值域得八y 的取值范圉.x - a sec 0 y = b tan &（0为参数）;【题型讲评】2@为参数力又因为；1分兰屈平方得：K = 1 + sma,代入消参 —如G b =2+3得；^=y 2-l-^2<x<^2, gp ； y 2-^=l(\x\<42)【点评】（1）本题使用的是代入消参.（2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意兀、y 的取值范围，实际上这是两个函数x=f （t\y = g （t ）的值域问题.⑶参数方程化成普通方程之后，有时需要兀、y 的范圉都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写.这主要取决于化简之后的普通方程兀、y 是否与原参数方程中兀、y 的范围一致.如果一致就不写•如果不一致，就要写.本题中只写了兀的范围，因为兀的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程=+ 1（t 为参数）表示什么曲线（）y = 1 - 2 &A. 一条直线B. 一个半圆C. 一条射线D. —个圆片=2 + ejn 2 f ） ~（&为参数）化为普通方程是（）y = _i + cos2&A. 2x-y + 4 = 0B. 2x+y -4 = 0C. 2x-y + 4 = 0,xG [2,3]D. 2兀+y-4 = 0,兀w [2,3]【解析】TCOS 2& = l-2sin ? 0, /. y = -l + l-2sin 2 0 = -2sin 2 0, /. sin 2 0 = 一专，代入兀= 2 + sii?&可得兀=2— 上，整理可得2x+）一4 = 0. vsin 2&w[0,l],.・・2 + sii?[2,3],即｛【例1】参数方程〈 .a ax = sin ——cos —2y = j2 + sina2，（a 为参数）的普通方程为（） A ? 2 A.=1B. x 2 -y 2 = IC. b 一兀21(1诈 V2)D. x 2-y 2 =l(|x|< V2).a aJC=S1D —cos — 2【解析】由xe [2,3]・所以此参数方程化为普通方程为2兀+》-4 = 0,“ [2,3].故D正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参.x = 2 + 3cos&【反馈检测2】设曲线C的参数方程为彳&为参数，直线/的方程为x-3j + 2 = 0,[y = —l + 3sin&则曲线c上到直线/的距离为警的点的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 4【例3】若直线r=1+r,（/为参数）被圆r = 2+2cosa（。

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)一、参数方程消参常用的方法有三种。

1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数。

2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简。

3、恒等式消参：通过方程计算出sinα、cosα，再利用三角恒等式sin2a+cos2a=1消去参数。

二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x、y的前后范围的一致性。

有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写。

例1】把参数方程x=t+1/t，y=t-1/t化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

点评】本题中变量x、y可以不写，因为参数方程中x的范围是x≥2或x≤-2，双曲线x^2-y^2=4中x的范围也是x≥2或x≤-2，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写。

化XXX：y=x-2/x表示双曲线x^2-y^2=4.例2】参数方程x=sinα+cos2α，y=2+sinα的普通方程为（）。

解：代入消参，将sinα用cosα表示，得x=cosα+1-2sin^2α，y=2+sinα。

化简得：2y-4=x-y^2表示抛物线。

反馈检测1】把参数方程x=1-t^2/2，y=2t/(1+t^2)化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

解：代入消参，将t用x表示，得t=±√(2-x)。

代入y的方程，得y=±(2-x)√(2-x)/2.表示的是左右对称的开口向下的二次函数。

反馈检测2】参数方程x=t+1，y=1-2t的图象是（）。

解：表示一条直线。

通过参数方程计算出sinα、cosα，然后利用三角恒等式sin²α+cos²α=1消去参数，得到普通方程y=-1+3cosθ，x=2+3sinθ。

不需要加上x的范围-1≤x≤5，因为x的范围隐含在方程(x-2)+(y+1)=9之中，即-1≤x≤5.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为√10/2的点的个数为2个，因为圆心到直线的距离为√10/2，且圆心在直线上方，所以圆与直线有两个交点。

高中数学函数参数方程解析

高中数学函数参数方程解析一、引言在高中数学学习中，函数参数方程是一个重要的知识点。

本文将从基础概念出发，通过具体题目的举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数参数方程。

二、函数参数方程的基本概念函数参数方程是指用参数表示的函数方程。

一般形式为：y = f(x, a)，其中a为参数。

参数可以是任意实数，通过改变参数的取值，可以得到不同的函数图像。

三、函数参数方程的应用举例1. 例题一：求参数方程y = a^2 - x^2的图像。

解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。

令y = f(x, a) = a^2 - x^2，其中a为参数。

通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。

当a = 1时，函数图像为一个单位圆；当a = 2时，函数图像为一个半径为2的圆。

可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。

2. 例题二：求参数方程x = a + t，y = a - t的图像。

解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。

令x = f(t, a) = a + t，y = g(t, a) = a - t，其中a为参数。

通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。

当a = 0时，函数图像为直线y = -x；当a = 1时，函数图像为直线y = 1 - x。

可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。

四、函数参数方程的考点分析1. 参数的取值范围：在解题过程中，需要注意参数的取值范围，以保证函数有意义。

例如，在例题一中，参数a不能取负值，否则函数图像将不存在。

2. 函数图像的特点：通过观察函数图像的特点，可以发现一些规律。

例如，在例题一中，当参数a取不同的值时，函数图像的形状和大小都会发生变化。

这表明参数a对函数图像具有一定的控制作用。

3. 函数图像的对称性：在解题过程中，可以通过观察函数图像的对称性来简化问题。

例如，在例题一中，函数图像y = a^2 - x^2关于y轴对称，这可以帮助我们更好地理解和绘制函数图像。

总结参数方程的题型

总结参数方程的题型在高等数学中，我们经常会遇到参数方程的题型。

参数方程由多个参数联立起来，通过给定的参数值，我们可以确定曲线或曲面上的点的位置。

在本文中，我们将总结几种常见的参数方程题型，包括直线、圆、椭圆和抛物线等。

直线的参数方程直线的参数方程可以通过已知的点和方向向量来确定。

我们以直线过点A(x₁,y₁)和B(x₂, y₂)为例。

设直线的参数为t，则参数方程可以表示为：x = (1-t)x₁ + tx₂ y = (1-t)y₁ + ty₂其中，t的范围取决于所给的参数范围。

在数学的几何应用中，参数t通常取值于[0, 1]，表示直线上从点A到点B的过程。

圆的参数方程圆的参数方程可以通过给定的圆心坐标和半径来确定。

设圆的圆心为C(a, b)，半径为r，则参数方程可以表示为：x = a + rcosθ y = b + rsinθ其中，θ为参数，表示角度的变化，范围一般取[0, 2π)。

当θ取遍这个范围时，参数方程描述了圆上所有的点。

椭圆的参数方程椭圆是一个类似于圆的曲线，其形状更加扁平或拉长。

椭圆的参数方程可以通过给定的椭圆中心坐标、长半轴a和短半轴b来确定。

设椭圆的中心为C(h, k)，则参数方程可以表示为：x = h + acosθ y = k + bsinθ其中，θ为参数，表示角度的变化，范围一般取[0, 2π)。

当θ取遍这个范围时，参数方程描述了椭圆上所有的点。

抛物线的参数方程抛物线是一个常见的曲线形状，其参数方程可以通过给定的抛物线的顶点坐标和焦点坐标来确定。

设抛物线的顶点为V(h, k)，焦点为F(a, b)，则参数方程可以表示为：x = h + pt² y = k + 2pt其中，p为参数，表示抛物线的形状和方向。

当p>0时，抛物线开口向上；当p<0时，抛物线开口向下。

参数t的取值范围可以是全体实数。

总结通过以上几种常见的参数方程题型的总结，我们了解到参数方程在数学中的广泛应用。

高考极坐标与参数方程题型及解题方法

高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。

掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。

本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。

2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。

要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。

•根据这个周期，可以得到对应的关系式。

•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。

•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。

2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。

公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。

•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。

•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。

2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。

对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。

•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。

斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。

3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。

总结参数方程的题型

总结参数方程的题型参数方程是数学中常见的一种表示方法，它使用一个独立变量参数来描述一个曲线或者曲面。

参数方程的应用非常广泛，涉及到几何、物理、统计等多个领域。

下面我们来总结一些常见的参数方程的题型。

一、参数方程表示平面曲线1. 直线的参数方程表示：对于直线来说，可以使用一个参数t 来表示直线上各个点的位置。

直线的参数方程可以根据已知的直线上两个点的坐标来确定，或者通过给定直线上的一个点和直线的方向向量来确定。

2. 抛物线的参数方程表示：抛物线是一种常见的二次曲线，它可以使用参数方程来表示。

对于给定的抛物线，可以使用一个参数来表示抛物线上各个点的位置。

抛物线的参数方程可以根据已知的顶点坐标和一个方向向量来确定。

3. 椭圆的参数方程表示：椭圆是一种常见的闭合曲线，它可以使用两个参数来表示。

椭圆的参数方程可以根据已知的椭圆上某个点的坐标和椭圆的长轴、短轴长度来确定。

4. 双曲线的参数方程表示：双曲线是一种以两个分离的曲线组成的平面曲线。

它可以使用两个参数来表示。

双曲线的参数方程可以根据已知的双曲线上某个点的坐标和双曲线的焦点、离心率来确定。

二、参数方程表示空间曲线1. 直线的参数方程表示：在三维空间中，直线可以使用一个参数t来表示。

直线的参数方程可以根据已知的直线上两个点的坐标来确定，或者通过给定直线上的一个点和直线的方向向量来确定。

2. 高斯曲线的参数方程表示：高斯曲线是一种常见的二次曲线，它可以在三维空间中使用参数方程来表示。

高斯曲线的参数方程可以根据已知的曲线的顶点坐标和一个方向向量来确定。

3. 圆柱曲线的参数方程表示：圆柱曲线是一种位于圆柱体表面上的曲线，它可以在三维空间中使用参数方程来表示。

圆柱曲线的参数方程可以根据已知的圆柱曲线上某个点的坐标和圆柱曲线的半径来确定。

三、参数方程表示空间曲面1. 平面的参数方程表示：平面是一种常见的二次曲面，它可以使用两个参数来表示。

平面的参数方程可以根据已知的平面上某个点的坐标和平面的法向量来确定。

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１　在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析　（１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解　（１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２　ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２　＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４　２　＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４　２　＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４　２　＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４　２　＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２　（２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５　＋槡３２ｔｙ　＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解　（Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２．　将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２　＋槡５　３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３　已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解　（１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３　＋槡２２ｔｙ　＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２　６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２　６５．评注　对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４　已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析　（１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解　（１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２　２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７　２　－槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７　２　－槡３４２．例５　（２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析　（Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解　（Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２　５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２　５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２　５５．例６　（２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ　＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２　３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析　（Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解　（Ⅰ）由ρ＝槡２　３ｓｉｎθ，得ρ２　＝槡２　３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　＝槡２　３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ　－槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注　将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２　ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析　（Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２　ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解　（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ　＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６　２　ｍ＝０，故ＡＭ　＝槡１２　２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ　ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ　ｃｏｓ２α．由２　ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注　本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８　（２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２　槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析　（Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解　（Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　－槡２　３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２　３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２　３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注　如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解　（Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４　＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０　（２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析　（Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解　（Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２　－槡３　２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２　２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注　过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１　在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析　（１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解　（１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２　ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２　＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４　２　＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４　２　＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４　２　＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４　２　＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２　（２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５　＋槡３２ｔｙ　＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解　（Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２．　将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２　＋槡５　３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３　已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解　（１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３　＋槡２２ｔｙ　＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２　６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２　６５．评注　对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４　已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析　（１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解　（１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２　２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７　２　－槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７　２　－槡３４２．例５　（２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析　（Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解　（Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２　５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２　５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２　５５．例６　（２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ　＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２　３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析　（Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解　（Ⅰ）由ρ＝槡２　３ｓｉｎθ，得ρ２　＝槡２　３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　＝槡２　３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ　－槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注　将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２　ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析　（Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２　ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解　（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ　＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６　２　ｍ＝０，故ＡＭ　＝槡１２　２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ　ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ　ｃｏｓ２α．由２　ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注　本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８　（２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２　槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析　（Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解　（Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　－槡２　３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２　３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２　３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注　如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解　（Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４　＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０　（２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析　（Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解　（Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２　－槡３　２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２　２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注　过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。

高考数学中的参数方程问题解析

高考数学中的参数方程问题解析在高考数学中，参数方程是一个比较重要的概念。

我们知道，对于平面上的一条曲线，我们可以使用直角坐标系下的函数来表示它。

但是，在一些特殊情况下，我们使用参数方程会更加方便。

本文将从基础概念出发，对高考数学中的参数方程问题进行解析，希望对广大考生有所帮助。

一、基础概念1、参数在代数中，我们经常使用字母来代表某个数。

例如，我们常常用x来表示未知数。

在参数方程中，我们同样使用字母来代表一个数，这个数我们称之为“参数”。

2、参数方程参数方程是用参数表示函数中每一个元素的表达式。

例如，平面上的一个点可以用它在x轴和y轴上的坐标表示，也可以用参数方程表示。

对于坐标为(x,y)的点，可以用以下参数方程表示：x = 2ty = t + 1其中，t是任意实数。

3、消参在有些时候，我们需要将参数方程转化成直角坐标系下的函数表示。

这个操作被称为“消参”。

假设有一个参数方程：x = ty = 2t + 1我们可以将x的值带入y的式子中，得到：y = 2x + 1这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的表达式。

二、常见问题1、判断曲线的类型我们已经知道，参数方程可以描述平面上的任意一条曲线。

但是，不同的参数方程所描述的曲线类型可能不同。

例如，以下参数方程可以描述一个抛物线：x = ty = t²以下参数方程可以描述一个圆：x = cos(t)y = sin(t)对于每一个参数方程，我们需要分析它所描述的曲线的性质，才能正确理解和解决问题。

2、一次代数式在高考数学中，我们经常需要求一个参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。

如果这个曲线可以表示成一次代数式，那么求解就比较简单了。

例如，以下参数方程：x = 2t + 1y = 3t - 5我们可以将x和y联立，解出t的值，再将t的值带入任一方程中，得到:y = 3x - 11这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案1. 极坐标与参数方程的基本概念在高中数学中，我们学习到了直角坐标系下的函数图像、方程和曲线的性质。

然而，在极少数情况下，采用直角坐标系来描述函数图像可能并不是最方便的方式。

因此，我们引入了极坐标系和参数方程的概念。

极坐标系是一种将平面上的点用它们到某一点距离和与某一方向线段之间的夹角来表示的坐标系。

在极坐标系中，每一个点都表示为一个有序对(r，θ)，其中r代表距离，θ代表夹角。

参数方程是一种使用一个参数来表示函数图像上的点坐标的方式。

我们用参数t来表示一个点的坐标，并通过参数方程给出x和y的关系式。

通过引入极坐标系和参数方程，我们可以更加直观地描述某些特殊的函数图像，同时也方便求解与这些函数有关的问题。

2. 极坐标题型与答案例题1求曲线r = 4sinθ + 2cosθ的极坐标方程并画出图像。

解答：首先，我们将给出的极坐标方程转化为直角坐标系的方程。

根据极坐标到直角坐标的转化公式，我们有：x = r * cosθ y = r * sinθ代入r = 4sinθ + 2cosθ，可得：x = (4sinθ + 2cosθ) * cosθ y = (4sinθ + 2cosθ) * sinθ化简后得到直角坐标系下的方程：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θ y = 4sin^2θ +2sinθ * cosθ将θ的取值范围设为0°至360°，作出图像如下：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θy = 4sin^2θ + 2sinθ * cosθ例题2已知曲线y = sin(t)，x = cos(t)，请写出x和y的普通方程，并求曲线上的一点P的坐标，使得t = π/6。

解答：已知x = cos(t)和y = sin(t)，我们可以得到普通方程： x^2 + y^2 = cos^2(t) +sin^2(t) = 1此外，当t = π/6时，我们有：x = cos(π/6) = √3/2 y = sin(π/6) = 1/2因此，当t = π/6时，曲线上的点P的坐标为(√3/2, 1/2)。

高中数学常见题型解法归纳参数方程常见题型的解法

高中数学常见题型解法归纳参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t的函数()()x f t y g t ，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t yg t 所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，那么方程()()x f t yg t 叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．二、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数. （3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式22sin cos 1a 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围.【题型讲评】解题步骤利用前面基础知识里提到的三种方法，要特别注意参数方程化为普通方程后x 、y 的范围.【例1】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（） A. 122=-x y B. 122=-y xC. )2|(|122≤=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程11x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（）A ．一条直线B ．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆【例2】参数方程22sin 1cos 2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是（）A ．240x y -+=B ．2+40x y -=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]2+40,2,3x y x -=∈ 【解析】2cos 212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2yθ∴=-,代入 22sin x θ=+可得22y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即 []2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参. 【反馈检测2】设曲线C 的参数方程为θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10107的点的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二利用参数方程研究曲线的基本量和基本关系解题步骤一般先把参数方程化为普通方程，再利用曲线的性质和关系解答.【例3】若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为( )A ．1 或5 B.1- 或5 C.1 或5- D.1- 或5-【反馈检测3】点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ (θ为参数,R θ∈)上,则yx 的取值范围是 .【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点，求OAB ∆的最小面积 .【解析】设切点为(cos ,sin )P a b θθ ，则切线方程为cos sin 1x y a bθθ+=. 令0y =, 得切线与x 轴交点(,0)cos a A θ；令0x =,得切线与y 轴交点(0,)sin b B θ1||||||||22sin cos sin 2AOB ab abS OA OB ab θθθ∆∴===≥所以OAB ∆的最小面积为ab .【点评】（1）写出椭圆参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，设切点为(cos ,sin )P a b θθ，可得切线方程.这种设点方式相比设点为(,)x y ，计算更简捷，解题效率更高（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答.【反馈检测4】椭圆14922=+y x 的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___.题型三利用直线参数的几何意义解题解题步骤先弄懂直线参数的几何意义，再利用它解答.【例5】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232(252x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +.【点评】（1）直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点P 的上方，则点A 对应的参数A t 就表示点A 到点P 的距离||PA ,即||A t PA =.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数B t 就表示点B 到点P 的距离||PB 的相反数，即||B t PB =-.（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,A B 两点间的距离||AB ,不管,A B 两点在哪里，总有||||A B AB t t =-.【反馈检测5】在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲：参数方程常见题型的解法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测1详细解析】123012x t x y y t⎧=+⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线．【反馈检测2答案】B【反馈检测3答案】33⎡⎢⎣⎦【反馈检测3详细解析】曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为（-2,0），半径为1.设y x=k ，则直线y kx =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离221k d k -=+=1，即221k k -=+，平方得222141,3k k k =+=，所以解得3k =，由图象知k 的取值范围是33k ≤≤，即y x 的取值范围是33⎡⎢⎣⎦. 【反馈检测4答案】（553,553-）【反馈检测4详细解析】由椭圆14922=+y x 的知焦点为1F （－5,0）,2F （5,0）. 设椭圆上的点可设为(3cos ,2sin )P θθ.21PF F ∠ 为钝角 ∴ 1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（=2229cos 54sin 5cos 10θθθ-+=-< 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）. 【反馈检测5答案】（I ）01=+-y x ，4)2(22=-+y x （II ）14=AB解法二、由⎩⎨⎧=-+=+-040122y y x y x 可解得,A B A,B 两点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,将为参数）t t y tx (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=代入0422=-+y y x 并化简整理可得0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+32B A B A t t t t 因此，2||()414A B A B A B AB t t t t t t =-=+-=.。

高考参数方程常见题型及解题技巧

高考参数方程常见题型及解题技巧
1.参数方程概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t的函数：[1]
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对而言，直接给出点坐标间关系的方程即称为普通方程。

2.直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程
1.当求两动点取值范围
方法：先在任意一个曲线上取一个定点，再有定点到动点距离结合，加减半径长度可得，详情看下面例题第二问。

2.求两曲线相交两点的中点的轨迹参数方程
方法：先求直线的标准参数方程，并带入圆锥曲线中，得出一等式，根据韦达定理，得tp=1/2（t1+t2），最后结合定点求出直线标准参数方程，详情看下面例题第二问。

3.直线与抛物线上两点，求最小值
方法1:设与直线Ax+By+C1=0平行的直线方程Ax+ByC2=0，再联立抛物线与直线直角坐标方程，由b2-4ac=0可得C2，最后线线距离可得
方法2:由抛物线参数方程x，y为抛物线上的点，最后可由点线距离式可得
19年一卷参数方程。

高考参数方程知识点讲解

高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。

参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。

接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。

1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。

一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。

参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。

2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。

以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。

通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。

3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。

这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。

将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。

相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。

这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。

4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。

通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。

在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。

例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。

参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。

此外，参数方程还可以用于解决几何题。

在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。

高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法

高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法本文将对高中体育中参数方程常见题型的解法进行归纳和总结。

参数方程是描述运动物体在平面上位置的一种数学表示方法，常用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。

1. 参数方程表示运动轨迹在参数方程问题中，我们通常需要根据给定的参数方程，确定物体的运动轨迹。

一般来说，参数方程都分为x方向和y方向的表达式，通过将参数代入表达式中，即可确定物体在平面上的位置。

示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体的运动轨迹。

解答方法：根据给定的参数方程，将t的取值代入x和y的表达式中，得到一系列的坐标点。

连接这些坐标点，即可得到物体的运动轨迹。

2. 参数方程求速度与加速度在参数方程问题中，我们常常需要求解物体的速度和加速度。

速度是描述物体运动变化率的量，而加速度是描述物体速度变化率的量。

通过参数方程，我们可以计算出物体在任意时刻的速度和加速度。

示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体在t = 1时刻的速度和加速度。

解答方法：首先，求出物体在t = 1时刻的位置坐标，将t = 1代入参数方程中，得到物体的位置坐标。

然后，分别对x和y方向的参数方程求导，即可得到物体在t = 1时刻的速度和加速度。

3. 参数方程的应用参数方程在实际问题中有广泛的应用，例如描述物体的运动轨迹、分析物体的速度与加速度等。

掌握参数方程的解法，可以帮助我们更好地理解和解答相关问题。

示例题型：某物体沿着参数方程给出的运动轨迹，速度大小为常数，求物体的运动方程。

解答方法：由于速度大小为常数，说明物体以等速运动。

根据等速运动的性质，我们可以知道物体的位移和时间成正比。

通过观察参数方程中的x和y方向的表达式，我们可以发现物体在x和y方向上的位移与t成正比关系。

通过进一步推导，可以得到物体的运动方程。

综上所述，参数方程在高中体育中是一种常见的数学方法，用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。

高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例

高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例数学中的参数方程是一种常见的表达方式，它可以描述一条曲线或者一个平面的方程。

在高中数学中，我们经常会遇到含有参数方程的问题，因此掌握解题技巧对于学生们来说非常重要。

本文将介绍一些解题技巧，并通过实例来说明其应用。

一、参数方程的基本概念在开始介绍解题技巧之前，我们首先来了解一下参数方程的基本概念。

参数方程是由参数表示的一组方程，通常用来描述曲线或者平面上的点的位置。

一个参数方程通常由两个或多个参数方程组成，例如：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点。

二、解题技巧及应用实例1. 求参数方程的交点当我们需要求解两个参数方程的交点时，可以将两个参数方程联立起来，解得参数的值，再代入其中一个参数方程中求得交点的坐标。

例如，考虑以下两个参数方程：x = ty = t^2我们需要求解这两个参数方程的交点。

将第一个参数方程代入第二个参数方程中，得到：t^2 = t解这个方程，我们可以得到t=0或t=1。

将这两个t值代入第一个参数方程中，我们可以得到两个交点坐标：(0,0)和(1,1)。

2. 求参数方程的导数在一些问题中，我们需要求参数方程的导数。

对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的导数可以通过对x和y分别关于t求导得到。

例如，考虑以下参数方程：x = t^2y = 2t我们需要求解这个参数方程的导数。

对x和y分别关于t求导，我们可以得到：dx/dt = 2tdy/dt = 2这样，我们就得到了参数方程的导数。

3. 求参数方程的弧长在一些问题中，我们需要求解参数方程所描述的曲线的弧长。

为了求解弧长，我们可以使用积分的方法。

对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的弧长可以通过积分公式得到：L = ∫[a,b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt其中，[a,b]表示积分区间，dx/dt和dy/dt分别是参数方程的导数。

高考数学中的参数方程解析技巧

高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。

在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。

本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。

一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。

参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。

例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。

又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。

同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。

比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。

因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。

二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。

2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。

比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。

3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。

例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。

4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。

因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。

三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。

2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。

3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。

4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。

通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。

四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。

参数方程题型及解题方法

参数方程题型及解题方法
参数方程题型是一种测试学生对函数的理解的常见的数学题型，其表述形式很简洁明了：让函数满足给定的参数条件所构成的方程，即可以求出函数的表达式。

解题关键是：正确地分析出参数方程然后依据正确的求解步骤求解出参数函数表达式。

首先，根据数学习惯，参数方程一般是先把参数函数的变量写出来，再把给定的条件写出来，这样就能明确函数的参数，以及方程式中未知量的意义。

接着，将给定的参数方程一步步解，首先以解出参数函数中与未知变量无关的部分，然后再依次把未知变量求出，期间应及时检查计算结果是否符合已给条件。

再把解出的表达式整理归纳，在适当地归纳量化，做出可以给出具体数值的结果。

最后，做一简单的数值计算，检查结果是否和题目给出的条件一致。

解决参数方程的关键点在于把参数函数分解，将其可拆分的部分解出来，然后对每一部分进行单独求解。

另外，正确地分析出并有效地处理参数函数中的觧合条件也非常重要，这样求解才能够顺利有效地进行。

最后，要掌握好参数函数的解的数学性质，特别是把握函数在纯数学层面上的极限性质，以及考虑解出参数函数对实际问题的含义。

参数方程题型归纳(K12教育文档)

参数方程题型归纳(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（参数方程题型归纳(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为参数方程题型归纳(word版可编辑修改)的全部内容。

高考数学解答题分类-—-——参数方程1.(2014全国新课标1）已知曲线C ：22149x y +=,直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程;（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.2.（十模)已知在平面直角坐标系x0y 内，点P(x,y ）在曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x (θ为参数)上运动，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为0)4cos(=+πθρ。

（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程;（2）若直线L 与曲线C 相交于A,B 两点,点M 在曲线C 上运动，求ABM ∆面积的最大值。

3.（冲刺卷二）已知曲线C:⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数）,在同一直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131得到曲线C ' （1）求曲线C '的普通方程。

（2）若点A 在曲线C '上,点B(3,0),当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程.4.(2014全国新课标二)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

第91讲 参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 含解析 精品

参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案).doc

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)

高中数学函数参数方程解析

总结参数方程的题型

高考极坐标与参数方程题型及解题方法

总结参数方程的题型

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

高考数学中的参数方程问题解析

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案

高中数学常见题型解法归纳 参数方程常见题型的解法

高考参数方程常见题型及解题技巧

高考参数方程知识点讲解

高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法

高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例

高考数学中的参数方程解析技巧

参数方程题型及解题方法

参数方程题型归纳(K12教育文档)

第91讲参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练含解析精品

高中数学常见题型解法归纳参数方程常见题型的解法