直线与圆的常用公式
直线与圆的相交问题
a 1
2、（2010.江西.10）直线 y kx 3与圆
( x 2) 2 ( y 3) 2 4 相交于 M、N两点
若 MN 2 3 ，则 k 的取值范围就（B ）
3 ( A)[ ,0] 4 2 3 3 ( B)[ , ] (C)[ 3, 3] ( D)[ ,0] 3 3 3
y 3 4 x x 有公共点，则 b 的取值范
2
围是______.
解释：曲线
1 y 3
2
y 3 4 x x 2 3 ( x 2) 2 4
所以原曲线方程化简为
2
( x 2) ( y 3) 4 （1 y 3）
表示的是直线y=3下方的半圆（包括边界）
解释：圆心（2,3）到直线 y kx 3 的距离
2 4 k 2 2 d MN 2 r d 2 4 2 2 3 2 k 1 k 1 3 3 2 3k 1 k 3 3
2k
故选B
还有其他解法吗？
y
3
o
2
x
题型三：由相交求参数
例3、(2010· 湖北，9)若直线 y x b 与曲线
2 2
故选D
还有其他解法吗？
练一练：
1、设直线 ax y 3 0 与圆 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
相交于 A、B 两点，且 AB 2 3 ，则
a _____ .
解释：由题知，弦心距
d a1
2 2
2tx y 2 t 0
(t R) 的位置关系为（
）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D） 以上情况均有可能 2 2 解释：圆方程变为 ( x 1) ( y 2) 9 圆心到直线的距离
与圆相交直线弦长公式
与圆相交直线弦长公式
与圆相交的直线弦长公式可以通过以下步骤推导：
1.设圆的方程为x2+y2=r2，其中r是圆的半径。
2.设直线的方程为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线的截
距。
3.联立圆的方程和直线的方程，得到关于x的二次方
程(k2+1)x2+2kbx+b2−r2=0。
4.由于直线与圆相交，所以二次方程有两个实根，分别对应直线
与圆的两个交点的x坐标。
设这两个实根为x1和x2，则根据韦达定理，有x1+x2=−k2+12kb和x1×x2=k2+1b2−r2。
5.弦长公式可以通过计算两个交点之间的距离得到。
由于交点在
直线上，所以弦长L可以表示为L=1+k2×∣x1−x2∣。
6.将x1+x2和x1×x2代入弦长公式，得到L=1+k2×(x1+x2)2−4x1×x2。
7.进一步化简，得到L=1+k2×(−k2+12kb)2−4×k2+1b2−r2。
8.最终化简得到L=∣k2+1∣2r1+k2r2−b2。
这就是与圆相交的直线弦长公式。
其中，r是圆的半径，k是直线的斜率，b是直线的截距。
需要注意的是，这个公式只适用于直线与圆相交的情况，如果直线与圆相切或完全在圆内，则需要使用其他方法计算弦长。
直线与圆的常用公式
直线与圆的常用公式直线和圆是几何学中的基本图形，它们的常用公式在解决几何问题和计算几何中非常重要。
本文将介绍直线和圆的各种常用公式，并给出详细的解释和示例。
一、直线的公式1.斜率公式直线的斜率表示了直线在平面内的倾斜程度。
设直线上两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的斜率k可以通过以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)2.点斜式点斜式是直线的一种表示方法，通过给出直线上一点的坐标和直线的斜率来表示直线。
设直线上一点的坐标为(x1,y1)，直线的斜率为k，则点斜式的方程为：y-y1=k(x-x1)3.截距式截距式是直线的另一种表示方法，通过给出直线与x轴和y轴的截距来表示直线。
设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，截距式的方程为：y = kx + b4.两点式两点式通过给出直线上两点的坐标来表示直线。
设直线上两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则两点式的方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)5.法线式法线式是直线斜率的负倒数，表示了直线与其法线的关系。
设直线的斜率为k，直线上一点的坐标为(x1,y1)，则法线式的方程为：y-y1=(-1/k)(x-x1)二、圆的公式1.圆的标准方程设圆的中心坐标为(h,k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x-h)^2+(y-k)^2=r^22.圆的一般方程设圆的一般方程为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0其中，D、E、F为常数，通过圆的一般方程可以确定圆的中心和半径。
3.圆的直径方程设圆的直径的两个端点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，圆的直径方程为：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04.圆的切线方程圆的切线方程通过给出直线与圆的切点的坐标和切线斜率来表示切线。
设切点的坐标为(x1,y1)，切线的斜率为k，则切线方程的方程为：y-y1=k(x-x1)5.圆的切线长度公式圆的切线长度是从切点到切线与圆心的连线的长度，设切点到圆心的距离为d，切线的长度为l，则切线长度公式为：l=2√(r^2-d^2)6.圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系分为相离、相切和相交三种情况。
直线与圆的极坐标方程公式
直线与圆的极坐标方程公式在数学中，直线和圆是非常常见的几何图形。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示直线和圆的方程，使得问题的解析更加方便和直观。
本文将介绍直线和圆在极坐标系下的方程公式。
直线的极坐标方程在极坐标系下，直线的方程通常被表示为极坐标参数等于常数的形式。
一个通用的直线方程为：r = p·cos(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，p 表示直线到原点的距离，θ 表示角度，α 表示直线的偏转角度。
具体地，当直线与极坐标系的x 轴的交点不在原点时，直线的方程可以表示为：r = p·cos(θ − α) + d·sin(θ − α)·cot(α)其中，d 表示直线与极坐标系的 x 轴的交点到原点的距离。
圆的极坐标方程在极坐标系下，圆的方程可以表示为极坐标径向距离等于常数的形式。
一个通用的圆方程为：r = a + b·sin(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，a 表示圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离，b表示圆的半径，θ 表示角度，α 表示圆的旋转角度。
需要注意的是，当圆心位于极坐标系的 x 轴上时，圆的方程可以简化为：r = a + b·sin(θ)应用示例现在我们来看一些直线和圆的极坐标方程的应用示例。
直线的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一条直线，该直线与极坐标系的x 轴的交点到原点的距离为4，直线的方向与极坐标系的 x 轴的正方向呈45度角。
那么，直线的极坐标方程可以表示为：r = 4·cos(θ − 45°) + 4·sin(θ − 45°)·cot(45°)圆的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一个圆，该圆的圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离为3，圆的半径为2，圆的旋转角度为30度。
那么，圆的极坐标方程可以表示为：r = 3 + 2·sin(θ − 30°)通过这些示例，我们可以更好地理解直线和圆在极坐标系下的方程公式的应用。
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
一般式直线方程求和圆的交点坐标公式
一般式直线方程求和圆的交点坐标公式直线和圆是几何中常见的图形，它们的交点坐标公式对于解决许多几何问题都非常有用。
在这篇文章中，我们将探讨如何用一般式直线方程求解直线和圆的交点坐标公式，并给出一些实际应用的例子。
一、一般式直线方程一般式直线方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x和y为变量。
这个方程可以表示平面上的一条直线，通过对A、B、C的取值进行调整，我们可以得到不同的直线。
二、圆的方程圆的方程一般表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
这个方程表示平面上以(h, k)为圆心，r为半径的圆。
三、直线和圆的交点坐标公式当直线和圆相交时，它们会有两个交点。
我们可以通过联立直线方程和圆的方程，解得交点坐标。
具体步骤如下：1. 将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x和y的二次方程。
2. 解这个二次方程，得到x的两个解。
3. 将x的解代入直线方程，得到对应的y的两个解。
这样，我们就得到了直线和圆的交点坐标。
四、实际应用直线和圆的交点坐标公式在许多实际问题中都有应用。
下面我们举两个例子来说明。
例子1：求直线y = 2x + 3和圆(x - 2)² + (y - 1)² = 4的交点坐标。
将直线方程代入圆的方程，得到：(x - 2)² + (2x + 3 - 1)² = 4化简得：5x² + 8x - 12 = 0解这个二次方程，我们得到x的两个解：x = -3和x = 4/5。
将这两个解代入直线方程，我们得到对应的y的两个解：当x = -3时，y = -3；当x = 4/5时，y = 23/5。
所以，直线和圆的交点坐标为(-3, -3)和(4/5, 23/5)。
例子2：求直线2x - y + 1 = 0和圆(x - 3)² + (y - 4)² = 9的交点坐标。
4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．常用知识拓展1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.因为圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22，而0<22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D.因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝33，所以切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.若圆C1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m ＝________． 解析：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.答案：9(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.答案：2 2直线与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)． 【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)[迁移探究] (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＝1，则直线与圆O 相切．判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．1．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝12的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1>22，所以直线与圆相离．2．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C.因为x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，所以2－b >0，即b <2. 因为直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，所以点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，所以6＋b <0，解得b <－6. 综上，实数b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.圆的切线与弦长问题(多维探究)角度一 圆的切线问题过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 圆的弦长问题(1)(2019·湖北省重点中学联考(二))设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________．【解析】 (1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，因为圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1，1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2，所以（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.(2)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6. 【答案】 (1)B (2)6(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2；②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k ；②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由直线与圆相切，得d ＝|c |5＝5，c ＝±5，所以所求方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2．(2019·广西两市联考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心为(a ，b )(a >0，b >0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4圆与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3(2)两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．【解析】 (1)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选C.(2)由(x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1)－(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0得弦AB 所在直线方程为2x －y ＝0. 圆C 2的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝1. 圆心C 2到直线AB 的距离 d ＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB |＝2r 22－d 2＝21－15＝455. 【答案】 (1)C (2)455[迁移探究] (变条件)若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切， 得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2； 则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦长为( ) A ．2 B. 3 C ．3D ．4解析：选A.两圆联立错误!解得x －y ＝0.圆C 1可写成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2，0)，半径为3，圆心(2，0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故公共弦长为2（3）2－（2）2＝2.直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。
圆和直线的弦长公式
圆和直线的弦长公式
圆与直线的弦长公式：d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2)。
弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆是一种几何图形。
根据定义，通常用圆规来画圆。
同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高中数学《直线和圆的方程》常用公式
高中数学《直线和圆的方程》常用公式1.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；3. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.4.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.5.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 6．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．7. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).8.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).9. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.10. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.11.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d = d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.12.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A CBb Aa d +++=.13. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.。
高二数学直线与圆的知识点及公式
高二数学直线与圆的知识点及公式直线和圆是高二数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将介绍直线和圆的基本概念、性质以及相关的公式。
一、直线的知识点直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点。
在直线上可以确定无数个点，其中有一些特殊的点和直线的性质需要我们了解。
1. 直线的斜率直线的斜率是直线的重要性质之一，它表示了直线上各个点的变化率。
直线的斜率可以用以下公式表示：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上两个不同的点的坐标。
2. 直线的截距直线的截距也是直线的一个重要性质，它表示了直线与坐标轴的交点位置。
设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线的截距可以用以下公式表示：x轴截距a = -y轴截距b = -c / b其中，c是直线的常数项。
3. 直线的方程直线可以由点斜式、一般式和截距式等不同的方程表示。
根据直线上已知的条件，我们可以选择适当的方程形式来表示直线。
下面是直线方程的一般形式：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，代表直线的斜率和截距。
二、圆的知识点圆是由平面内到一个固定点距离相等的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质和相关公式如下：1. 圆的方程圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点处于圆上的一条线段。
圆的直径长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦圆上任意两点之间所形成的线段称为圆的弦。
圆的直径是圆的一个特殊的弦，它同时也是最长的弦。
4. 圆的切线圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。
切线和圆的半径垂直。
5. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度 ×半径而圆的扇形面积则可以用以下公式计算：扇形面积 = 弧度 ×半径² / 2三、综合运用直线和圆在几何学和代数学中的运用非常广泛。
直线和圆专题
直线和圆的位置关系专题1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，则实数a的值是()A ．0B ．2或－1C ．0或－3D ．－3解析 因为l 1⊥l 2，所以a ＋a (a ＋2)＝0，则a ＝0或a ＝－3，故选C. 答案 C2．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.答案 D3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析 依题意，设⊙C 1关于x 轴的对称圆为⊙C ′，圆心C ′为(2，－3), 半径为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，则(|PC ′|＋|PC 2|)min ＝|C ′C 2|＝52，∴(|PM |＋|PN |)min ＝(|PC ′|＋|PC 2|)min －(1＋3)＝52－4，选A. 答案 A4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案 (x －1)2＋y 2＝25．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.答案 D6．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析 曲线y ＝1－x 2的图象如图所示，若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2k k 2＋1. 又S △AOB ＝12|AB |·d＝12×21－d 2·d＝（1－d 2）·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值． 所以2k 2k 2＋1＝12， ∴k 2＝13，∴k ＝－33，故选B.答案 B7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案(－13,13)．8.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能9直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()A．相离B．相切或相交C．相交D．相切答案(1)B(2)C解析(1)由1a2＋b2<1，得a2＋b2>1，∴点P在圆外．(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝|k|1＋k2<1.故直线与圆相交．(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．10.已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解(1) 如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2， 得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD→＝0， ∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．思维启迪 求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来．答案 (3)x ＝32 (3)⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y2－6，化简得x＝32.思维升华判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．12.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________．答案(x＋2)2＋(y－1)2＝5解析圆C1的圆心为(1，－5)，半径为50，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为10，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.13.设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，则M∩N≠∅时，a的最大值与最小值分别为________、________.思维启迪本题条件M∩N≠∅反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解．解析因为集合M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝2a的上半圆．同理，集合N表示以O′(1，3)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点．这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，当两圆外切时，由2a ＋a ＝2，得a ＝22－2； 当两圆内切时，由2a －a ＝2，得a ＝22＋2.所以a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.答案 22＋2 22－214． 已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95> 5.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。
圆的直线方程公式总结
圆的直线方程公式总结圆是几何中非常重要的一个概念，它与其他几何图形有着密切的联系。
在数学中，我们经常需要研究圆与直线的关系，特别是求解圆与直线的交点。
为了方便计算和表达，数学家们总结出了一些圆的直线方程公式，本文将对这些公式进行总结和探讨。
首先，我们来看看最基本的圆的方程：如果圆的圆心为点$(h, k)$，半径为$r$，那么圆的方程可以表示为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
这个方程通过将圆心作为坐标系原点，圆的半径平方作为一个常数，来表示圆上所有点的集合。
这是我们研究圆的其他方程公式的基础。
接下来，我们将探讨圆与直线的关系。
当圆与直线相交时，我们关心的是交点的坐标。
为了找出圆与直线的交点，我们需要联立圆的方程和直线的方程，从而求解交点坐标。
先来看一种常见的情况，即直线与圆相切。
当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点，此时我们可以利用切线的性质来求解交点坐标。
设直线的方程为$y = mx + c$，其中$m$为直线的斜率，$c$为直线在$y$轴上的截距。
通过求解方程组$(x - h)^2 + (mx + c - k)^2 = r^2$，我们可以得到交点的坐标。
具体的求解方法可以通过化简方程并利用一元二次方程求根公式来完成。
接下来，我们来讨论另一种常见情况，即直线与圆相交于两个不同的交点。
这种情况下，我们需要使用联立方程的方法来求解交点坐标。
设直线的方程为$y = mx + c$，圆的方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
将直线的方程代入圆的方程中，得到$(x - h)^2 + (mx + c - k)^2 = r^2$，整理后可得到一个关于$x$的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到两个不同的$x$值，将这两个$x$值代入直线的方程中，就可以求得两个交点的坐标。
此外，还存在一种特殊情况，即直线与圆不相交，而是与圆相切于圆的外部。
这种情况下，直线与圆的距离等于圆的半径。
直线与圆的位置关系(公式及技巧)
PA·PB＝PC2
五、圆内接四边形的性质定理和判定定理
性 质 圆互内补接四边形对角 定 理
四边形 ABCD
内接于⊙O， A＋C＝π，B＋D＝π
判 如果四边形的对
定 角互补 ，则此四
定 边形内接于圆
理
在四边形ABCD中， A＋C＝π或B＋D ＝π，则四边形 ABCD内接于圆
1．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切 点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝ 120°，则∠APB＝________.
的度数
四、圆中的比例线段
相
交 圆的两条相交弦，被交点 弦 定 分成两段的积 相等
理
PA·PB＝PC·PD
割 从圆外一点引圆的两条割线，
线 这点到每条割线与圆的交点的
定 两条线段长的积相等
理
PA·PB＝PC·PD
从圆外一点引圆的一条割线 切 割 和一条切线，切线长是这点 线 定 到割线与圆的两个交点的线 理
解析：∵AD＝4DB，
∴OC＋OD＝4(OC－OD)，
即3OC＝5OD，cos2θ＝2cos2θ－1＝2
(OD )2 1 2 ( 3)2 1 7 .
OC
5
25
答案：
5．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的 垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB， 且AE＝2，则AB＝________，AC＝________， BC＝________.
解：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB=30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°， 由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°， 故在Rt△ADC中，∠DAC=30°. 法一：连结BE，如图(1)所示， ∠EAB=60°=∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC， 所以AE=BC=3.
直线与圆知识点总结
直线与圆1、直线的倾斜角与斜率： tan k α=，当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）； 当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。
过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：2121y y k x x -=-. 2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )． ⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距⑶两点式：112121y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ⑷截距式：1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、)⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+， 则①121212||,l l k k b b ⇔=≠②(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①11112122112212220A B C l ||l A B A B C C A B C ⇔=≠-=≠或且B B ； ②12l l ⊥4、两种常用直线系方程：⑴与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C ≠⑵与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（λ5、两点间距离公式：12P P ｜111(,P x y6、点到直线的距离公式：d =(点00(,)P x y ，直线l ：Ax+7、两条平行直线间的距离公式：d =(直线1l ：10Ax By C ++=，2l 8、圆的两种方程：⑴圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=（圆心为(,)a b⑵圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++= (2240D E F +->).（圆心为(,)22D E --，半径为r =9、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若d =d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内.10、直线与圆的三种位置关系：直线l ：0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系判断的两种方法: ⑴设圆心(,)a b 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=，则d r d r d r >⇔=⇔<⇔相离；相切；相交。
直线与圆的位置关系2
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
当 a(a > 0) 取何值时，直线 与圆 交？
x + y - 2a +1 = 0 2 2 2 x + y - 2ax + 2y + a - a +1 = 相切、相离、相 0
O
x
1．已知直线 y=x+1 与圆
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
y
弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2 3 (1 1 )[(1) 4 ( )] 14 2
2 2
B
A
O
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ]
2．已知直线 y=x+1 与圆
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
小结：求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成 方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ＝0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的 距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而 求出k. 以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．
直线与圆相切的距离公式
直线与圆相切的距离公式
嘿，朋友！说到直线与圆相切，那可得知道这个超重要的公式呀！就是圆心到直线的距离等于圆的半径！比如说，有个圆的方程是x² + y² = 9，
这就意味着圆的半径是 3 呢。
然后有一条直线方程是 2x + y - 5 = 0。
那怎么判断它们是不是相切呀？咱就可以用这个公式哦！通过计算圆心 (0,0) 到
直线 2x + y - 5 = 0 的距离，如果这个距离刚好等于 3，那它们不就相切啦！你说神奇不神奇？这不就像是一个探索宝藏的过程嘛，找到那个关键的线索，“哇”，答案就出来啦！所以呀，可得把这个公式牢牢记住哦！这样遇到直线和圆相切的问题，就能轻松搞定啦！嘿嘿！。
高中数学直线与圆距离公式
高中数学直线与圆距离公式引言在高中数学中，我们学习了许多与几何相关的概念和公式。
其中，直线和圆是两个基础的几何图形。
直线是由无数个点组成的，而圆则是由一个固定点到平面上所有与该点距离相等的点构成的。
在解决几何问题时，我们常常需要计算直线与圆之间的距离。
本文将介绍高中数学中关于直线与圆距离的公式和解题方法。
直线与圆的方程在介绍距离公式之前，我们首先需要了解直线和圆在坐标系中的表示方法。
直线可以通过方程y = mx + c或者ax + by + c = 0来表示，其中m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆可以通过方程(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2表示，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。
这两种表示方法在计算直线与圆的距离时都会有所帮助。
直线与圆的距离在解决直线与圆距离的问题时，我们需要根据具体情况选用不同的公式和方法。
下面将介绍几种常见的情况。
1. 直线与圆心的距离首先考虑直线与圆心的距离。
如果我们知道直线的方程和圆的圆心坐标，那么可以通过计算直线上某一点到圆心的距离来得到直线与圆心的距离。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的圆心坐标为(h, k)，直线上一点(x_0, y_0)到圆心的距离为d，那么我们可以利用点到直线距离公式来计算：d = | a*x_0 + b*y_0 + c | / sqrt(a^2 + b^2)2. 直线与圆的切点接下来考虑直线与圆的切点。
切线是与圆有且仅有一个交点的直线。
如果我们已知直线的方程和圆的方程，并且想要求出切线与圆的切点坐标，可以通过以下步骤进行计算：1.将直线的方程和圆的方程联立，得到一个二元一次方程组。
2.利用方程组求解的方法，得到切点的坐标。
3.计算切点与圆心之间的距离，即为直线与圆的距离。
3. 直线与圆的两个交点最后考虑直线与圆的两个交点。
如果我们已知直线的方程和圆的方程，并且想要求出直线与圆的两个交点的坐标，可以通过以下步骤进行计算：1.将直线的方程和圆的方程联立，得到一个二元二次方程。