第二章 空间向量与立体几何 章末归纳总结 课件(北师大版选修2-1)

第二章
空间向量与立体几何
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→ 设平面 A1BD 的一个法向量是 n＝(x，y，z)，则 n· DA1＝0
x＋z＝0， → 且 n· DB＝0，得 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.所以 x＋y＝0，
1 1 → n＝(1，－1，－1)．又MN· n＝(2，0，2)· (1，－1，－1)＝0，所 → 以MN⊥n.又 MN 平面 A1BD，所以 MN∥平面 A1BD.
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2．利用空间向量判定线面、面面位置关系 [例2] 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
设 PA＝AD＝a，AB＝b.
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(1)可知 P(0,0， a)， A(0,0,0)， D(0， a,0)， C(b， a,0)， B(b,0,0)． ∵M，N 分别为 AB，PC 中点， b b a a ∴M(2，0,0)，N(2，2，2)． a a → → → ∴MN＝(0，2，2)，AP＝(0,0，a)，AD＝(0，a,0)， → 1 → 1→ ∴MN＝2AD＋2AP. 又∵MN 平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.
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→ → → 1 → 1→ 1 → → 方法三： 因为MN＝C1N－C1M＝2D1A1－2D1D＝2(DB＋BA) 1 → 1 → 1→ 1 → 1 → 1→ 1 → 1 → －2(D1A1＋A1D)＝2DB＋2BA－2D1A1－2A1D＝2DB＋2DA1＋2 1→ 1 → 1→ 1 → → → → → → (BA－DA)＝2DB＋2DA1＋2BD＝2DA1＋0· DB.即MN可用DA1与 → → → → → DB表示，故MN与DA1，DB是共面向量，所以MN∥平面 A1BD， 即 MN∥平面 A1BD. (2)由(1)求得平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(1， －1， －1)， 同理可求得平面 B1D1C 的一个法向量 m＝(1，－1，－1)，所以 m∥n，所以平面 A1BD∥平面 B1D1C.
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令 z1＝b，则 n1＝(2a，－b，b)． 设平面 PDC 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → → 则 n2· PC＝0，n2· PD＝0
x2＝0， 解得 y2＝z2.
→ → (1)求 cos〈A1D，AM〉 ； (2)求直线 AD 与平面 ANM 夹角的正弦值； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 夹角的余弦值．
[ 分析] 建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利
用法向量求解．
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(2)由(1)可知， b → → → 所以PC＝(b，a，－a)，PM＝(2，0，－a)，PD＝(0，a， －a)． 设平面 PMC 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， → n1· bx1＋ay1－az1＝0， PC＝0， 则 ⇒b → x －az1＝0， PM＝0 2 1 n1· 2a x1＝ z1， b 解得 y1＝－z1.
பைடு நூலகம்
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1→ 1 → → → → 1 → 方法二：因为 MN＝ C1N － C1M ＝ 2 C1B1 － 2 C1C＝ 2 ( D1A1 － 1→ → → → D1D)＝2DA1，所以MN∥DA1，又因为 MN MN∥平面 A1BD. 平面 A1BD，所以
[解析]
→ → → → → → → 1→ A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－2AA1，
→ 2→ 2 → → AN＝3AC＝3(AB＋AD)． → → → 2 → → → ∴A1N＝AN－AA1＝3(AB＋AD)－AA1 2 → → 2 → 1→ ＝3(AB－AA1)＋3(AD－2AA1) 2→ 2 → ＝3A1B＋3A1M. → → → ∴A1N与A1B，A1M共面．
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如图所示，在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 C1C，B1C1的中点．
求证：(1)MN∥平面A1BD； (2)平面A1BD∥平面B1D1C.
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[解析] (1)建立空间直角坐标系，如图．
→ → ∵AM＝(5,2,4)，A1D＝(0,8，－4)． → → → → ∴AM· A1D＝0＋16－16＝0，∴AM⊥A1D. → → ∴cos〈A1D，AM〉＝0.
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[ 分析] 建立合适的空间直角坐标系，可以借助共面向量 定理证明(1)，借助于法向量证明(2)．
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[解析] 如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在 的直角分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
的大小． [ 解析 ] (1) 以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建 立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
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4 2 设 C(2 2， 0,0)， D( 2， b,0)， 其中 b>0， 则 P(0,0,2)， E( 3 ， 2 0，3)，B( 2，－b,0)． 2 2 → 2 → → 于是PC＝(2 2，0，－2)，BE＝( 3 ，b，3)，DE＝( 3 ，－ 2 b，3)， → → → → 从而PC· BE＝0，PC· DE＝0， 故 PC⊥BE，PC⊥DE. 又 BE∩DE＝E，所以 PC⊥平面 BDE.
2
知 识 结 构
3
专 题 探 究
4
即 时 训 练
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知识结构
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[证明] (1)方法一：如图所示，以 D 为 坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设 1 正方体的棱长为 1，则可求得 M(0,1，2)， 1 1 1 → N(2，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN＝(2，0，2)， → → DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)．
如图，四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA⊥底
面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
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(1)证明：PC⊥平面BED；
(2) 设二面角 A － PB － C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角
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→ → (2)AP＝(0,0,2)，AB＝( 2，－b,0)． 设 m＝(x，y，z)平面 PAB 的法向量， → → 则 m· AP＝0，m· AB＝0，即 2z＝0 且 2x－by＝0， 令 x＝b，则 m＝(b， 2，0)． 设 n＝(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则 → → n· PC＝0，n· BE＝0， 2p 2 即 2 2p－2r＝0 且 3 ＋bq＋3r＝0， 2 2 令 p＝1，则 r＝ 2，q＝－ b ，n＝(1，－ b ， 2)．
专题探究
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1．空间向量的线性运算与数量积运算及其性质是本章的 基础，应熟练掌握 向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定 理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，
讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等
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[点评] (1)方法一是建立坐标系， 通过坐标运算证明结论， 方法二和方法三没有建立坐标系，直接通过向量的分解等运算 进行证明，当然在方法二和方法三中也可通过建立坐标系，利 → → 用坐标运算来证明，另外，在方法三中还可证明MN可由A1B， → A1D表示． (2) 面面平行的常见证法有两种：①由线面平行 ⇒ 面面平 行；②由法向量共线⇒面面平行．