2019届高三数学人教版一轮训练：第十三篇第1节 绝对值不等式 Word版含解析
全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲第1课绝对值不等式课件理
(2)当 x∈[1,3]时，f(x)≤3 恒成立， 即|x－a|≤3＋|2x－1|＝2x＋2. 故－2x－2≤x－a≤2x＋2， 即－3x－2≤－a≤x＋2， ∴－x－2≤a≤3x＋2 对 x∈[1,3]恒成立． ∴a∈[－3,5]．
NO.3 课堂真题集中演练
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1| ＋|x－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．
绝对值不等式的证明
[典例] 已知 x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. [证明] ∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1. 即|x＋5y|≤1.
当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；
当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2.
所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2
.
x－1－2a，x<－1， (2)由题设可得 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，
－x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－ 3 1，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC 的面积为23(a＋1)2. 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 不等式选讲 第1节 绝对值不等式学案 文 新人教A版
第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________.解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a 3＝a . 故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5.【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0，解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0，则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，。
2019届高考理科数学一轮复习练习：第十三篇 第1节 绝对值不等式 Word版含解析
第十三篇不等式选讲(选修45)第1节绝对值不等式【选题明细表】1.(2017·兰州一模)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求m的取值范围;(2)若m的最大值为n,解关于x的不等式:|x-3|-2x≤2n-4.解:(1)因为函数的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立,设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值,又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m≤4.(2)当m取最大值4时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,所以有或解得x≥3或-≤x<3.所以,原不等式的解集为xx≥-.2.(2017·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=|x-a|-2x, g(x)=|x-2|-|x+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)<2的解集;(2)当x∈[0,1]时,总有f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式为|x-1|-2x<2,即或⇔x≥1或-<x<1⇔x>-,所以原不等式的解集为(-,+∞).(2)f(x)≤g(x)⇔|x-a|-2x≤2-x-x-1⇔|x-a|≤1⇔a-1≤x≤a+1,由已知条件得⇔⇔0≤a≤1.所以a的取值范围是[0,1].3.(2017·肇庆二模)已知f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)当a=2,求不等式f(x)<4的解集;(2)若对任意的x,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-1|<4.可得或或解得-<x<,所以不等式的解集为{x|-<x<}.(2)|x-a|+|x-1|≥|a-1|,当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立.由|a-1|≥2,得a≤-1或a≥3,即a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).·湖北八校联考)已知a>0,b>0,且a+b=1.(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,由ab≤m恒成立,故m≥.(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥9,故+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12.综上所述x的取值范围为[-6,12].。
高三数学总复习导与练 第十三篇第1节配套课件(教师用) 理
类型三 |ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c 型不等式的解法 【例 3】 解下列不等式：(1)|2x－3|≤5；(2)|5－4x|>9.
思路点拨： 利用|x|>a 及 |x|<a(a>0)型不等式的解集， 去掉绝对值号转化为一次不等式求解． 解：(1)∵|2x－3|≤5，∴－5≤2x－ 3≤5， ∴－2≤2x≤8. ∴－1≤x≤ 4. ∴原不等式的解集为{x |－1≤x≤4}．
2．若 x，y∈R，且满足 x ＋3y＝2，则 3x＋27y＋1 的最小值是( 3 (A)3 9 (B)1＋2 2 (C)6 (D)7
D )
解析：∵3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2 3x· 33y＋1 ＋ ＝2 3x 3y＋1＝2 32＋1＝7.当且仅当 3x＝33y，即 x＝3y＝1 时，取“＝”，故选 D.
1．下列不等式中正确的是( C ) a＋b (A)若 a，b∈R ，则 ≥ ab 2 1 (B)若 x∈R，则 x 2＋2＋ 2 ≥2 x ＋2 b2 (C)若 a，b∈R＋，则 a≥2b－ a a＋ b (D)若 a，b∈R＋，则 ≥ ab 2
解析：A 中不等式成立的条件是 a，b∈R＋，B 中不能取等号．D 中该不等式不成立，而 b2 2 2 2 2 C 中，由 a ＋b ≥2ab 及 a>0 可知 a ≥2ab－b 即 a≥2b－ .因此选 C. a
3 3 解：(1)∵f(x)＝1－2x － ＝1－(2x＋ )≤1－2 x x 3 6 当 2x＝ ，即 x＝ 时等号成立． 2 x 6 ∴f(x)的最大值为 1－ 2 6，此时 x＝ . 2 3 2x·＝1－ 2 6. x
(2)∵0<x <2，∴ 0<3x<6，∴ 8－ 3x>2. 1 ∴f(x)＝ x8－3x ＝ · 3x8－ 3x 3 3 3 3x＋8－ 3x ＝ · 3x8－ 3x≤ · 3 3 2 3 8 4 3 4 ＝ × ＝ .(当且仅当 3x＝ 8－3x ，即 x＝ 时等号成立)． 3 2 3 3 4 4 3 ∴当 x＝ 时，函数 f(x)＝ x8－3x 的最大值为 . 3 3
2019版高考数学一轮总复习不等式选讲1绝对值不等式课
∴f(x)min＝1.
4．(2018· 南宁模拟)若存在实数 x 使 |x－a|＋|x－1|≤3 成立， 则实数 a 的取值范围是________．
答案 解析 [－2，4] 据题意 (|x－a|＋ |x－ 1|) min≤ 3 ，而 |x－ a|＋ |x－ 1|≥ |(x－ a)
1．(课本习题改编)不等式|x|· (1－2x)>0 的解集是( 1 A．(－∞， 2) 1 C．( ，＋∞) 2
答案 B
)
1 B．(－∞，0)∪(0，2) 1 D．(0， ) 2
2．若 a，b，c∈R，且满足|a－ c|<b，给出下列结论 ①a＋b>c; ③a＋c>b; 其中错误的个数( A．1 C．3 ) B．2 D．4 ②b＋c>a； ④|a|＋ |b|>|c|.
(3)当 ab≥0 时，|a＋b|＝ |a|＋ |b|； 当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|； 当 b(a＋b)≤0 时，|a|－ |b|＝|a＋b|； 当 b(a－b)≥0 时，|a|－ |b|＝|a－b|.
思考题 1 ________；
(1)① |a ＋ b|<|a| ＋ |b| 成 立 的 充 要 条 件 为
－(x－1)|＝ |a－1|.∴ |a－1|≤3⇔－3≤a－1≤3，即－2≤a≤4.
5．若关于 x 的不等式 |x－ a|<1 的解集为(1，3)，则实数 a 的 值为________．
答案 解析 2 由|x－ a|<1，则－1<x－ a<1不等式|x－1|－ |x－5|<2 的解集是________．
答案 (－∞，4) 解析 当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2， 显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1＋(x－5)<2，即 2x－6<2， 解得 x<4，又 1≤ x≤5，所以此时不等式的解集为[1，4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即 4<2，显然不成 立，所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 第1课 绝对值不等式
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
即 3>0，此时 x>1.
综上所述，不等式 f(x)>0 的解集为xx>－12
.
(2)依题意，方程 f(x)＝x 等价于 a＝|x－1|－|x＋1|＋x， 令 g(x)＝|x－1|－|x＋1|＋x.
x＋2，x<－1， ∴g(x)＝－x，－1≤x≤1， .
x－2，x>1. 画出函数 g(x)的图象如图所示，
2．解不等式|x－1|－|x－5|<2. 解：当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1－(5－x)<2， 即 2x－6<2，解得 x<4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2， 即 4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
3 ． 若 不 等 式 |kx － 4|≤2
的
解
集
为
x|1≤x≤3
，
则
实
数
k＝
________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为x|1≤x≤3， ∴k＝2. 答案：2 4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________． 解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3， ∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即 k＜－3. 答案：(－∞，－3)
2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式课件(1)
5．[2018·南宁模拟]若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成 立，则实数 a 的取值范围是_[_－__2_,_4_] _．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，
∴－2≤a≤4.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( √ ) (2)若|x|>c 的解集为 R，则 c≤0.( × ) (3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2 的解集为∅.( √ ) (4)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离之和．( √ ) (5) 不 等 式 |a － b|≤|a| ＋ |b| 等 号 成 立 的 条 件 是 ab≤0.( √ )
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝 对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对 应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
【变式训练 1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝－x2 ＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
2．[课本改编]不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
解析
由
题
得
|2x－5|<9， |2x－5|≥3
⇒
－9<2x－5<9， 2x－5≥3或2x－5≤－3
⇒－x≥24<或x<x7≤，1， 得解集为(－2,1]∪[4,7)．
2019届高三理科数学一轮复习 绝对值不等式
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．求不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集． 解：不等式|x－1|－|x－5|<2 等价于
x<1， －x－1＋x－5<2
或1x≤－x1≤＋5x，－5<2
或xx>－51，－x－5<2，
即x－<41<，2
或1≤x≤5， 2x<8
或
x>5， 4<2，
第一节 绝对值不等式
本节主要包括 2 个知识点： 1.绝对值不等式的解法； 2.绝对值三角不等式.
突破点(一) 绝对值不等式的解法
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式 |x|<a |x|>a
a>0
a＝0 a<0
x|－a<x<a
∅
∅
x|x>a或x<－a x∈R|x≠0
2020/10/12
基础联通
突破点(二) 绝对值三角不等式
抓主干知识的“源”与“流”
绝对值三角不等式定理
(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且
仅当 ab≥0 时，等号成立．
(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋ |b－c|，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c .
2020/10/12
(全国版)19版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式增分练
第1讲 绝对值不等式板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12， G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|. (1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围； (2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集． 解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2； x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4 x <a ，－x －a －4 a ≤x ≤－2 ，3x －a ＋4 x >－2 .可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f (x )＝|x －1|＋12|x －3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x >3.f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (3,2)，直线y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12绕点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0旋转， 由图可得不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。
2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式习题理选修
2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式习题理选修[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值范围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值范围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值范围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值范围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)= f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)= f(x)min=fa-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值范围是[-2,0].3.(10分f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值范围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值范围是.4.(10分已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
2019版高考数学(理)一轮总复习作业91绝对值不等式 Word版含解析
题组层级快练(九十一)．不等式－－<(∈)的解集是( )．{－<<}．{<－或>}．{－<<}．{<－或>}答案解析方法一：当≥时，－－<，解得－<<，∴≤<.当<时，＋－<，解得－<<，∴－<<.故原不等式的解集为{－<<}．方法二：原不等式可化为－－<，解得－<<.∵≥，∴≤<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．．≥是－＝－的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析当≥，<时，－≠－，故条件不充分．当－＝－时，则≥且≥.故条件必要．综上可知，≥是－＝－的必要不充分条件．．若－与－异号，则的取值范围是( )．>．－<<．<<．－<<或>答案解析方法一：－与－异号，所以(－)·(－)<，所以(－)(－)>.所以或解得>或≤<或－<<.方法二：由选项知，令＝符合题意，排除，两项，令＝符合题意，可排除项．．(·四川成都模拟)对任意实数，若不等式＋＋＋>恒成立，则实数的取值范围是( ) ．<．≥．>．≤答案解析由题意得<(＋＋＋)，而＋＋＋≥＋－(＋)＝，所以<，故选.．不等式＋－－≤－对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[，＋∞)．[，]．(－∞，]∪[，＋∞)答案解析∵＋－－≤(＋)－(－)＝，∴－≥恒成立．∴∈(－∞，－]∪[，＋∞)．．(·甘肃白银一模)对任意的实数，不等式＋＋≥恒成立，则实数的取值范围是( )．(－∞，－) ．[－，＋∞)．[－，] ．[，＋∞)答案解析当＝时，不等式＋＋≥恒成立，此时∈.当≠时，则有≥＝－(＋)，设()＝－(＋)，则≥()，由基本不等式得＋≥(当且仅当＝时取等号)，则()＝－，故≥－.故选.．(·广州综合测试一)若不等式－<的解集为{<<}，则实数的值为．答案解析由题意可得，和是方程－＝的根，则有解得＝.．(·重庆五区抽测)若函数()＝的定义域为，则实数的取值范围为．答案(－∞，－]∪[，＋∞)解析根据题意，不等式＋＋－－≥恒成立，所以(＋＋－－)≥.又＋＋－－≥＋－，所以＋－≥⇒≤－或≥.．(·浙江)已知∈，函数()＝＋－＋在区间[，]上的最大值是，则的取值范围是．答案(－∞，]解析∵∈[，]，∴＋∈[，]，①当≤时，()＝－＋＝－＋＝，符合题意；②当>时，()＝－＋＝－＝，∴＝(矛盾)，故的取值范围是(－∞，]．．(·江西九江一模)已知函数()＝－－－.()当＝时，解不等式()≤－；()若存在实数，使得不等式()≥成立，求实数的取值范围．答案(){≥} ()(－∞，]解析()当＝时，()＝－－－＝()≤－等价于或或解得≤<，或≥，所以原不等式的解集为{≥}．()由不等式的性质可知()＝－－－≤(－)－(－)＝－.所以若存在实数，使得()≥成立，则－≥，解得≤，故实数的取值范围是(－∞，]．．(·课标全国Ⅰ)已知函数()＝＋－－.。
2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第十三篇第1节 绝对值不等式(33)
3x
2,
1
x
3 2
,
x
4,xFra bibliotek3 2
,
y=f(x)的图象如图所示.
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2019年8月10日
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(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解:(2)由 f(x)的表达式及图象, 当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x= 1 或 x=5,
所以原不等式的解集为[-4, 2 ]. 3
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考点三 已知不等式的解集求参数的取值范围 【例3】 导学号 38486235 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
3, x 1, 解:(1)f(x)= 2x 1,1 x 2,
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解:(2)由 f(x)≥x2-x+m 得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤ |x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-(|x|- 3 )2+ 5 ≤ 5 . 2 44
且当 x= 3 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= 5 ,
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3.(2017·河北质检)若关于
x
的不等式|ax-2|<3
数学试卷20192019高考人教数一轮复习检测：第十二章 第一节 绝对值不等式 Word版含解析【全免费】
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·广东潮州二模)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞4；(2)若∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32，不等式a ＋1＜f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x ＞1，f (x )＞4⇔⎩⎨⎧x ＜－32，－3x －2＞4或⎩⎨⎧－32≤x ≤1，x ＋4＞4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x ＋2＞4 ⇔x ＜－2或0＜x ≤1或x ＞1.∴不等式f (x )＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＜－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x ＜－32时，f (x )＝－3x －2＞52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 2．(2018·河北石家庄二模)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值． 解：(1)因为f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12＜x ＜1，－x －2，x ≥1，画出图象如图．(2)由(1)可知m ＝32.因为32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ，所以ab ＋2bc ≤34，当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立．所以ab ＋2bc 的最大值为34.B 级 能力提升练3．(2018·河南郑州二模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x |，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞.(2)由f (x )≤g (x )得a ≥|2x ＋1|－|x |， 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12＜x ＜0，x ＋1，x ≥0，故h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12，所以实数a 的取值范围为a ≥－12.4．(2018·山西太原一模)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a (a ≠0)．(1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a ＜12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a ，∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a，∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴|m |≤1，即－1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a ＜12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x ＜a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x ＞12，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0，∴⎩⎨⎧0＜a ＜12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－2a 2＋a ＋1≥0，∴－12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
[精品]2019高考数学一轮复习不等式选讲第1课时绝对值不等式练习理
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第1课时绝对值不等式1．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是( )A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}答案 A解析方法一：当x≥０时，x2－x－2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2.当x<0时，x2＋x－2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0.故原不等式的解集为{x|－2<x<2}．方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2.∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}．2．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当ab≥0，a<b时，|a－b|≠|a|－|b|，故条件不充分．当|a－b|＝|a|－|b|时，则ab≥０且|a|≥|b|.故条件必要．综上可知，ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的必要不充分条件．3．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( )A．m>3 B．－3<m<3C．2<m<3 D．－3<m<2或m>3答案 D解析方法一：2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0.所以m≥0，（m－2）（m－3）>0或m<0，（m－2）（－m－3）>0.解得m>3或0≤m<2或－3<m<0.方法二：由选项知，令m＝4符合题意，排除B，C两项，令m＝0符合题意，可排除A项．4．(2018·四川成都模拟)对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是( ) A．k<1 B．k≥1C．k>1 D．k≤1答案 A解析由题意得k<(|x＋2|＋|x＋1|)min，而|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－(x＋1)|＝1，所以k<1，故选 A.5．不等式|x＋3|－|x－1|≤ａ2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪[4，＋∞）B．(－∞，－2]∪[5，＋∞）C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞）答案 A解析∵｜x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－3a≥４恒成立．∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．6．(2018·甘肃白银一模)对任意的实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥０恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞）C．[－2，2] D．[0，＋∞）答案 B解析当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥０恒成立，此时a∈R.当x≠０时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－(|x|＋1|x|)，设f(x)＝－(|x|＋1|x|)，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋1|x|≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.7．(2018·广州综合测试一)若不等式|x－a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a的值为________．答案 2解析由题意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，则有|1－a|＝1，|3－a|＝1，解得a＝2.8．(2018·重庆五区抽测)若函数f(x)＝|x＋2|＋|x－m|－4的定义域为R，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，－6]∪[2，＋∞）解析根据题意，不等式|x＋2|＋|x－m|－4≥０恒成立，所以(|x＋2|＋|x－m|－4)min≥0.又|x＋2|＋|x－m|－4≥|m＋2|－4，所以|m＋2|－4≥０?m≤－6或m≥2.9．(2017·浙江)已知a∈R，函数f(x)＝|x＋4x－a|＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．答案(－∞，9 2 ]解析∵x∈[1，4]，∴x＋4x∈[4，5]，①当a≤92时，f(x)max＝|5－a|＋a＝5－a＋a＝5，符合题意；②当a>92时，f(x)max＝|4－a|＋a＝2a－4＝5，∴a＝92(矛盾)，故a的取值范围是(－∞，92]．10．(2018·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－1 2；(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．答案(1){x|x≥114} (2)(－∞，32]解析(1)当a＝2时，f(x)＝|x－3|－|x－2|＝1，x≤2，5－2x，2<x<3，－1，x≥3，f(x)≤－12等价于x≤2，1≤－12或2<x<3，5－2x≤－12或x≥3，－1≤12，解得114≤x<3，或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≥114}．(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|.所以若存在实数x，使得f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤32，故实数a的取值范围是(－∞，32]．11．(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．答案(1)见解析图 (2){x|x<13或1<x<3或x>5}解析(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1<x≤32，－x＋4，x>32.y＝f(x)的图像如图所示．(2)由f(x)的表达式及图像，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为{x|x<13或x>5}．所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}．12．(2018·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<4)．(1)若f(x)的最小值为3，求a的值；(2)求不等式f(x)≥3－x的解集．答案(1)1 (2)R解析(1)因为|x－4|＋|x－a|≥|(x－4)－(x－a)|＝|a－4|，又a<4，所以当且仅当a≤x≤４时等号成立．故|a－4|＝3，所以a＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x即不等式|x－4|＋|x－a|≥3－x(a<4)，①当x<a时，原不等式可化为4－x＋a－x≥3－x，即x≤a＋1.所以，当x<a时，原不等式成立．②当a≤x≤４时，原不等式可化为4－x＋x－a≥3－x.即x≥a－1.所以，当a≤x≤４时，原不等式成立．③当x>4时，原不等式可化为x－4＋x－a≥3－x，即x≥a＋73，由于a<4时，4>a＋73.所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x的解集为R. 13．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．答案(1){x|x≥1}(2)(－∞，5 4 ]解析(1)f(x)＝－3，x<－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x>2.当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤２时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，很明显f(x)≥1恒成立，故x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－32)2＋54≤54，当且仅当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为(－∞，54 ]．14．(2018·湖北七市联考)设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)若a＝1，解不等式f(x)≥12(x＋1)；(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A?[－1，3]，求a的取值范围．答案(1)(－∞，13]∪[3，＋∞）(2)[1，3]解析(1)由于a＝1，故f(x)＝1－x，x<1，x－1，x≥1.当x<1时，由f(x)≥12(x＋1)，得1－x≥12(x＋1)，解得x≤13；当x≥１时，f(x)≥12(x＋1)，得x－1≥12(x＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥12(x＋1)的解集为(－∞，13]∪[3，＋∞)．(2)当a<2时，g(x)＝a－2，x≤a，2x－2－a，a<x<2，2－a，x≥2g(x)的值域A＝[a－2，2－a]，由A?[－1，3]，得a－2≥－1，2－a≤3，解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；当a≥２时，g(x)＝a－2，x≤2，－2x＋2＋a，2<x<a，2－a，x≥ag(x)的值域A＝[2－a，a－2]，由A?[－1，3]，得2－a≥－1，a－2≤３解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a的取值范围为[1，3]．15．(2018·福州市联考试卷)已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．答案(1){x|x≤－4或x≥2}(2)(－2，2)解析(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋x－5＝－x－4，x<12，3x－6，x≥12，由f(x)≥0，得x<12，－x－4≥０或x≥12，3x－6≥0，解得x≤－4或x≥2，故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤－4或x≥2}．(2)令f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5，则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y＝|2x－1|与y＝－ax＋5的图像有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图像如图所示，结合图像知当－2<a<2时，这两个函数的图像有两个不同的交点，所以当－2<a<2时，函数f(x)恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为(－2，2)．1．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )A．a<b＋c B．a<c－bC．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|答案 D解析∵|a|－|c|≤|a－c|<|b|，∴|a|<|b|＋|c|.2．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足( )A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥３C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥３答案 D解析|x－a|<1?－1<x－a<1?a－1<x<a＋1，|x－b|>2?x<b－2或x>b＋2，∵A?B，∴a＋1≤b－2，或b＋2≤ａ－1，即b－a≥３或a－b≥3，故选 D.3．(2017·山西忻州四校二次联考)已知函数f(x)＝|x＋2|＋|2x－4|.(1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围．答案(1){x|0<x<83} (2)－1≤m≤４解析(1)由题设知，当x≥２时，不等式等价于x＋2＋2x－4<6，即2≤x<8 3；当－2<x<2时，不等式等价于x＋2＋4－2x<6，即0<x<2；当x≤－2时，不等式等价于－x－2＋4－2x<6，即无解．所以不等式的解集是{x|0<x<83 }．(2)由图像或者分类讨论可得f(x)＝|x＋2|＋|2x－4|的最小值为4，则m2－3m≤4，解得－1≤m≤4.4．(2017·辽宁大连双基考试)设函数f(x)＝|x－1|＋12|x－3|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x＋12)的解集非空，求实数a的取值范围．※精品试卷※答案(1)(－∞，13)∪(3，＋∞）(2)(－∞，－32)∪［47，＋∞）解析(1)原不等式等价于－32x＋52>2，x≤1或12x＋12>2，1<x≤3或32x－52>2，x>3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋12|x－3|＝－32x＋52，x≤1，12x＋12，1<x≤3，32x－52，x>3.f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，直线y＝a(x＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f(x)≤a(x＋12)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－32)∪［47，＋∞)．5．(2018·沧州七校联考)已知函数f(x)＝|1－2x|－|1＋x|.(1)若不等式f(x)<4的解集为{x|a<x<b}，求a，b的值；(2)求使不等式f(x)≤k－f(－2x)有解的实数k的取值范围．答案(1)a＝－2，b＝6 (2)[－34，＋∞）解析(1)∵f(x)＝－x＋2，x<－1，－3x，－1≤x≤12，x－2，x>12，当x<－1时，－x＋2<4，∴－2<x<－1；当－1≤x≤12时，－3x<4，∴－1≤x≤12；当x>12时，x－2<4，∴12<x<6.故由f(x)<4得－2<x<6，∴a＝－2，b＝6. (2)不等式f(x)≤k－f(－2x)有解，即|1－2x|－|1＋x|≤k－|1＋4x|＋|1－2x|，※精品试卷※即k≥|1＋4x|－|1＋x|有解，又|1＋4x|－|1＋x|的最小值为－3 4，∴实数k的取值范围为[－34，＋∞)．6．(2018·广东五校一次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，1m＋12n＝a(m>0，n>0)，求mn的最小值．答案(1)(－∞，－1]∪[3，＋∞）(2)2解析(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|，即|x－1|≥2，∴x－1≥２或x－1≤－2，即x≥３或x≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f(x)≤1?|x－a|≤１?－1≤x－a≤１?a－1≤x≤a＋1，∵f(x)≤1的解集为[0，2]，∴a－1＝0，a＋1＝2得a＝1.∴1m＋12n＝1≥２12mn(m>0，n>0)，∴mn≥2(当且仅当1m＝12n＝12，即m＝2，n＝1时取等号)．∴mn的最小值为 2.7．(2018·洛阳统一考试(一))已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图像；(2)若a＋b＝1，对?a，b∈(0，＋∞)，1a＋4b≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．答案(1)如解析图(2)[－1，5]解析(1)由已知，得f(x)＝－x＋2，x<－1，－3x，－1≤x≤12，x－2，x>12函数f(x)的图像如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b)＝5＋(ba＋4ab)≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．※精品试卷※∵1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3.结合图像知－1≤x≤5，∴x的取值范围是[－1，5]．。
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第十三篇不等式选讲(选修45)
第1节绝对值不等式
【选题明细表】
1.(2017·兰州一模)已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,解关于x的不等式:|x-3|-2x≤2n-4.
解:(1)因为函数的定义域为R,
所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立,
设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,
则m不大于函数g(x)的最小值,
又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,
即g(x)的最小值为4,
所以m≤4.
(2)当m取最大值4时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,
所以有或
解得x≥3或-≤x<3.
所以,原不等式的解集为xx≥-.
2.(2017·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=|x-a|-2x, g(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)<2的解集;
(2)当x∈[0,1]时,总有f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,不等式为|x-1|-2x<2,
即或⇔x≥1或
-<x<1⇔x>-,
所以原不等式的解集为(-,+∞).
(2)f(x)≤g(x)⇔|x-a|-2x≤2-x-x-1⇔|x-a|≤1⇔a-1≤x≤a+1, 由已知条件得⇔⇔0≤a≤1.
所以a的取值范围是[0,1].
3.(2017·肇庆二模)已知f(x)=|x-a|+|x-1|.
(1)当a=2,求不等式f(x)<4的解集;
(2)若对任意的x,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-1|<4.
可得或
或
解得-<x<,
所以不等式的解集为{x|-<x<}.
(2)|x-a|+|x-1|≥|a-1|,
当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立.
由|a-1|≥2,得a≤-1或a≥3,
即a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
·湖北八校联考)已知a>0,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围. 解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,
所以ab≤()2=,
当且仅当a=b=时“=”成立,
由ab≤m恒成立,故m≥.
(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,
所以+=(+)(a+b)=5++≥9,
故+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,
则|2x-1|-|x+2|≤9,
当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,
解得-6≤x≤-2,
当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,
解得-2<x<,
当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,
解得≤x≤12.
综上所述x的取值范围为[-6,12].。