项目三 微分方程与差分方程

项目三 微分方程与差分方程
实验类型 验证型 实验学时 4
实验目的 利用Matlab 软件的数值计算功能求解微分方程与差分方程，并对结果进行分析。

实验内容
1. 传染病问题的SIR 模型：
00(0),(0)di
si i
dt ds si dt
i i s s λμλ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨
⎪==⎪⎪⎩
其中：(),()i t s t 表示t 时刻病人和健康者的比例，参数,λμ为日接触率和治愈率，00,i s 表示初始时刻的病人和健康者比例。

求解以上模型，并分析：
1）
病人和健康者的比例的变化 规律； 2）
参数,λμ对病人和健康者的比例变化的影响； 3）
预测传染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻； 4） 参数,λμ对染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻的影响。

程序：
1.先建立M 文件：
function f=sir(x,y)
a=1;b=0.1;
f(1)=a*y(1)*y(2)-b*y(1);
f(2)=-a*y(1)*y(2);
f=f';
保存为：sir.m
2. 在命令窗口输入：
[t,y]=ode45('sir',[0:1:50],[0.02,0.98])
plot(t,y)
[c d]=max(y(:,1)) %寻找病人比例的最大值及其时刻
结果：
2.差分形式的阻滞增长模型：
阻滞增长模型为：
(1)d x
x
rx dt N =- （1）
其中：r 为自然增长率，N 为种群最大容量。

可将其离散化为差分方程形式：
k y ~某种群第k 代的数量(人口)
则（1）化为：
1(1),1,2,k k k k y y y ry k N +-=-=
即：
1(1)1(1)k k k r y r y y r N +⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦
可引入变量替换：(1)k k
r x y r N =+，1b r =+记，则上式化为： 1(1)k k k x bx x +=-
（2） 试求解上述模型（2），并分析：
（1）k x 的变化有何规律？
（2）k x 的变化如何受()b r 影响？
b=3.3;
n=100;
x(1)=0.2;
for k=1:n
x(k+1)=b*x(k)*(1-x(k)); end
x'
plot(x)。