【数学】函数的最大小值与导数 ppt课件

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二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
• 求解函数极值的一般步骤：
• （1）确定函数的定义域
• （2）求函数的导数f’(x) 左正右负极大值， • （3）求方程f’(x)=0的根 左负右正极小值
• （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域
分成若干个开区间，并列成表格
x6 b x
4、学习例5归纳求函数最值的步骤.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值.
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在x开区(间a,内b的)
连续函数不一 定有最大值与 最小值.
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拓展提高
1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x） 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值 和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b） 是否一定有最值呢？ 如下图：
不一定
2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，
• 解 (1)∵f′(x) ＝ 6x2 － 18x ＋ 12 ＝ 6(x － 1)(x － 2)．
• ∴ 当 x∈(0,1) 时 ， f′(x)>0 ； 当 x∈(1,2) 时 ， f′(x)<0；
• 当x∈(2,3)时，f′(x)>0p.pt课件
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课堂讲义
• ∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立， • ∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9. • ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． • (2)由(1)知f(x)< f(3)＝9＋8c， • ∴9＋8c≤c2. • 即c≤－1或c≥9， • ∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
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当堂检测
• 1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最 大值和最小值分别是( )
• A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) • C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) • 答案 B
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当堂检测
• 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， • ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， • 故f(x)在[3,5]上单调递减， • 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
取值范围． •
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13Fra Baidu bibliotek
课堂讲义
• 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转 化是一种常见的题型，
• 一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x) 恒 成 立 ⇔λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x) 恒 成 立 ⇔λ≤[f(x)]min.
• 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含 参函数的最值即可．
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新 课 导学 学习课本P96-P98，回答下面问题：
1、你能找出函数在区间[a,b]上 的最大值，最小值吗？
y
2、如果区间变成（a,b）,函数f(x) 的最值怎么样？
y=f(x)
3.函数在什么条件下一定有最大、 最小值？他们与函数极值关系如何？ 最大值一定比最小值大吗？
o ax1x2 x3 x4 x5
那么这个极值点必定是最值点。
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有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
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小结：
求函数最值的一般方法 一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数
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第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数 （二）
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课堂讲义
函数最值的应用 • 例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)． • (1)求f(x)的最小值h(t)； • (2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的
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当堂检测
• 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
• A．有最大值，但无最小值 B ． 有最 大 值，也有最小值
• C．无最大值，但有最小值 D．既无最 大值，也无最小值
• 答案 D
• 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当
x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上
是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
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当堂检测
3．函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是(
)
A．π－1 B.π2－1 C．π D．π＋1
• 答案 C
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈π2，π时，y′>0，则函数在
第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
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复习:一、函数单调性与导数关系
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数
f(x)为减函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f (x)为常数.
在闭区间上
x的连［续a函,b数］ 必
有最大值与最 小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
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x6 b x
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1、课本p98 练习 2、求函数y=xlnx的最小值
• （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，
来判断f(x)在这个根处取pp极t课件值的情况
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观察下列图形,你能找出函数的极值吗？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
观察图象，我们发现，f(x1),f(x3),f(x5) 是
函数y=f(x)的极小值， f(x2),f(x4),f(x6) 是函数 y=f(x)的 极大值。
• (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”
和“不等式中是否含等号”的情况，以此来
确定参数的范围能否p取pt课件得“＝”．
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课堂讲义
• 跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
• (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
• (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．