推荐 高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-1

1.求下列函数的自然定义域：

(1)1

(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);

y y x y y x y x ====-=

+2

1

1

(2);1(4);(6)tan(1);1

(8)arctan ;

(10).

x

e y x

y y x y x

y e =-=

=+=+=解：

2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2

,3⎡⎫-+∞⎪

⎢⎣⎭

2(2)101,

x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)

-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1

x ≤即定义域为

[)(]

1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)

0,+∞(6)1(),

2

x k k Z π

π+≠+

∈即定义域为1()1,2x x R x k k Z π⎧⎫

∈≠+-∈⎨⎬

⎩

⎭且

(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]

2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)

-∞⋃+∞2.下列各题中，函数

()f x 和()g x

是否相同？为什么？

222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x

========-解：

（1）不同，因为定义域不同

（2）不同，因为对应法则不同，,0

(),0

x x g x x x ≥⎧==⎨

-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同

3.设sin ,3

()0,3x x x x πϕπ⎧

<⎪⎪=⎨

⎪≥⎪⎩

求(

(),(),(2),644

π

ππ

ϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形

解：

1

(sin ,()sin 66244(sin()(2)0,

4

4ππ

ππϕϕπ

π

ϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-

所示

4.试证下列函数在指定区间内的单调性：

(1);

1(2)ln ,(0,)

x

y x

y x x =-=++∞证明：

1

(1)()1,(,1)

11x y f x x x

===-+-∞--设121x x <<，因为

21

2112()()0

(1)(1)

x x f x f x x x --=>--所以

21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)

y f x x x ==++∞设120x x <

<，因为

2

21211

()()ln 0

x f x f x x x x -=-+>所以

21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加

5.设

()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增

加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加

证明：设120l x x -<<<，则210x x l

<-<-<由

()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0

f x f x --->即

()f x 在(,0)l -内也单调增加

6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：

(1)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()

f x f x f x f x -=-=令12()()()

F x f x f x =

+于是1212()()()()()()

F x f x f x f x f x F x -=

-+-=+=故()F x 为偶函数

设12(),()g x g x 均为奇函数，

则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-令12()()()

G x g x g x =

+于是1212()()()()()()

G x g x g x g x g x G x -=

-+-=-+-=-故()G x 为奇函数

(2)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=令12()()()

F x f x f x =

⋅于是1212()()()()()()

F x f x f x f x f x F x -=

-⋅-==故()F x 为偶函数

设12(),()g x g x 均为奇函数，则

1122()(),()()

g x g x g x g x -=--=-令12()()()

G x g x g x =⋅于是

121212()()()()()()()()

G x g x g x g x g x g x g x G x -=-⋅-=-⋅-==故()G x 为偶函数设()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，则

()(),()()

f x f x

g x g x -=-=-令()()()

H x f x g x =⋅于是

[]()()()

()()()()()

H x f x g x f x g x f x g x H x -=-⋅-=-=-⋅=-故()H x 为奇函数

7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？