吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含答案
2015——-2016学年(高二）年级下学期期中考试数学(文）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷(选择题 共60分 )一、 选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集R U =，集合{01}M x x =<≤,{}|0N x x =≤，则()U MN =（)A ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|1x x < 2。
已知()log ,.,x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩2010则f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14（ )A.-1B 。
0C 。
1D 。
23。
曲线()f x x x =+2在(),()f 11处的切线方程为（ )A 。
x y --=210 B 。
x y -=20 C.x y -+=310D 。
x y --=3104。
下列函数中,既是偶函数又在区间（－∞,0)上单调递增的是（ ）A ．()f x x=21B ．()f x x=+21C ．()f x x =3D ．()xf x -=25。
函数()12log 43y x =-的定义域为（）A 。
3(,)4+∞ B 。
3(,)4-∞ C 。
3(,1]4D 。
3(,1)46．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x=21,则x =1”的否命题为“若x =21，则x ≠1”B ．命题“,x R x∀∈>20”为真命题C ． 命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题D ． “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件7．函数()y f x =在定义域,⎛⎫-⎪⎝⎭332内可导，其图象如图所示,记()y f x =的导函数为()'y f x =，则不等式()'f x ≤0的解集为（ ）A 。
东北师大附中2016年高二数学下学期期末试题
.精选文档 .东北师大附中2016 年高二数学放学期期末试题2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，在每题中，只有一项为哪一项切合题目要求的）（1）已知会合 , 则（ A）（B）（）（ D）（2）已知复数，则实数（A）（ B）（）（D）（3）将点的极坐标化成直角坐标为（A）（ B）（）（D）（4）在同一平面的直角坐标系中，直线经过伸缩变换后，获得的直线方程为（A）（B）（）（ D）（5）如图，曲线和围成几何图形的面积是次抽（A）（B）（）（ D）（6） 10 件产品中有 3 件次品，不放回的抽取1 件，在已知第 1 次抽出的是次品的条件下，第2 件，每2 次抽到仍为次品的概率为（A）（B）（）（D）（7）以下说法中，正确说法的个数是① 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；② “ ” 是“ ” 的充足不用要条件；③会合，，若，则实数的全部可能取值组成的会合为（A）0 （B）1 （）2 （D）3（8）设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次初次测到正品，则等于（A）（B）（）（D）（9）在 10 件产品中，有 3 件一等品， 7 件二等品，从这10 件产品中任取 3 件，则拿出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（A）（ B）（）（D）（10）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（A）（ B）（）（D）（11）函数的大概图象为（A）（ B）（）（D）（12）已知曲线：上一点，曲线 : 上一点，当时，关于随意，都有恒成立，则的最小值为(A)1 (B) () (D)二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共20 分）13．已知随机变量听从正态散布，，则的值为．14．若函数在处取极值，则．15．如图的三角形数阵中，知足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n（ n≥ 2) 行首尾两数均为 n，其他的数都等于它肩上的两个数相加．则第 10 行中第 2 个数是 ________.16．在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和 , 则的值是．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必需的字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分10 分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，直线过点（0,2 ）且倾斜角为．( Ⅰ) 求圆的一般方程及直线的参数方程；( Ⅱ) 设直线与圆交于，两点，求弦的长．18．（本小题满分12 分）.精选文档.在直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的值．19．（本小题满分12 分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标区分为：指标大于或许等于为正品，小于为次品，现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计以下：测试指标元件甲元件乙（Ⅰ）试分别预计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记为生产 1 件甲和 1 件乙所得的正品数，求随机变量的散布列和数学希望．20．（本小题满分12 分）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单一区间；（Ⅱ）若对都有成立，求的取值范围．21．（本小题满分12 分）为认识家用轿车在高速公路上的车速状况，交通部门随机选用了 100 名家用轿车驾驶员进行检查，获得其在高速公路上行驶时的均匀车速状况为：在55 名男性驾驶员中，平均车速超出的有40 人，不超出的有15 人，在45 名女性驾驶员中，均匀车速超出的20 人，不超出的有25 人．（Ⅰ）依据检查数据，达成以下列联表，并判断能否有 99.5%的掌握以为“车速与性别相关” ，说明原因；（Ⅱ）以上述样本数据预计整体，且视频次为概率，若从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车均匀车速超出且为男性驾驶员的车辆数为，求随机变量的散布列和数学希望．参照公式：，此中 .参照数据：共计男性驾驶员女性驾驶员共计 10022．（此题满分12 分）已知函数．（Ⅰ）若函数在上是单一递加函数，务实数的取值范围；（Ⅱ）若，对随意，不等式恒成立，求的最小值．2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷答案一、选择题： DBB AB D二、填空题： 13. 0.3 14. 2 15. 46 16. 43三、解答题：17. (10分)( Ⅰ) 圆的一般方程为，直线的参数方程为,( Ⅱ) 依题意，直线的直角坐标方程为圆心到直线 l 的距离18. (12分)解：（Ⅰ），（Ⅱ）把代入中，整理得，设A,B对应的参数分别为由韦达定理由得几何意义可知，.19. (12分)解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：元件乙为正品的概率约为：（Ⅱ）随机变量的全部取值为0，1， 2，；；因此随机变量的散布列为：X012P因此：20. (12分)解：（Ⅰ）定义域为当时，，当时，；当时，；当时，，∴ 的单一增区间为，，单一减区间为．（Ⅱ）即在区间上恒成立，令，故当时，单一递减，当时，单一递加，时，，即.21. (12分)超出不超出共计男性驾驶员401555女性驾驶员202545共计 6040100解：（Ⅰ），因此有 99.5% 以上的掌握以为“车速与性别相关”．（Ⅱ）由已知得“均匀车速超出且为男性驾驶员”的概率为，而且～，因此，其散布列以下0123因此，．22.(12分)（Ⅰ）∵在上是增函数，∴ 恒成立，因此只要（Ⅱ）由于，由（Ⅰ）知，函数在上单一递加，不如设，则，可化为，设，则．因此为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，因此，因，因此，因此函数在上是增函数，因此（当且仅当时等号成立）．因此．即的最小值为．。
吉林省东北师大附中净月校区2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合M=｛x|0＜x≤1｝,N={x|x≤0}，则M∩（∁U N）=（)A．｛x|0≤x＜1} B．{x｜0＜x≤1} C．{x|0≤x≤1｝D．｛x｜x＜1}2．已知f（x）=．则f（f(））=（) A．﹣1 B．0 C．1 D．23．曲线f（x)=x2+x在（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x﹣y ﹣1=04．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x)=B．f(x)=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x5．函数y=的定义域为（)A．（﹣∞,）B．（﹣∞,1] C．（，1］D．（，1）6．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∀x∈R，x2＞0”为真命题C．命题“若x=y，则cosx=cosy"的逆否命题为真命题D．“p∧q为真命题"是“p∨q为真命题"的必要不充分条件7．函数y=f(x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x)的导函数为y=f′（x）,则不等式f′(x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2,3）B．［﹣1,］∪［，］C．[﹣，]∪[1，2）D．（﹣,﹣]∪［，]∪［，3)8．已知M=｛x｜x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0｝，若M∩N=N，则实数a的值为( ）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣19．“0＜x＜4”的一个充分不必要条件为( ）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜410．定义在R上的函数f（x)满足：f（x﹣1)=f（x+1）=f（1﹣x）成立，且f(x）在［﹣1,0]上单调递增，设a=f （3），b=f（）,c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 11．已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为( ）A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥112．已知函数f(x)=e x(x2+2ax+b）在x=﹣1处取得极大值t，则t的取值范围是（)A．（，+∞）B．(﹣∞，) C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分）13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定: ．14．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0,则点P的坐标是．15．已知奇函数f（x)满足f(x+2)=﹣f（x），且x∈(0,1)时，f（x）=2x，则f(）的值为．16．函数y=f（x）为定义在[﹣2，2］上的可导的偶函数，当0≤x≤2时，f′（x)＞4，且f（1）=2，则不等式f(x)≥x2+1的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．设集合A=｛x｜﹣1≤x≤2｝，B=｛x|(x﹣a）[x﹣(a+2）]≤0}．（1）当a=1时，求A∪B；（2）若“x∈A"是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数,若p或q为真，p且q为假,求实数a的取值范围．19．已知函数f(x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（I）试求a，b的值，并求出f（x)的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f(x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx,，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值;（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜g（x）成立；(Ⅲ）证明：（n∈N*)．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论f（x)的单调区间；（Ⅱ）若f（x)＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．22．已知函数f（x)=x3﹣x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，0］上的最大值;(Ⅱ）若过点P（2,t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U=R，集合M={x｜0＜x≤1},N=｛x｜x≤0},则M∩（∁U N）=（)A．{x|0≤x＜1} B．｛x|0＜x≤1｝C．｛x｜0≤x≤1｝D．｛x｜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵N=｛x｜x≤0}，∴∁U N={x｜x＞0},则M∩（∁U N）=｛x|0＜x≤1}，故选:B2．已知f（x）=．则f（f(））=( ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质直接求解．【解答】解：∵f(x）=,∴f（）==﹣2，∴f（f（))=f（﹣2）=﹣2+1=﹣1．故选：A．3．曲线f（x)=x2+x在（1，f（1））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x﹣y ﹣1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求曲线y=x2+x在点（1,2）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而可以得出结论．【解答】解：∵y=x2+x，∴f′（x）=2x+1，故当x=1时，f′（1）=3得切线的斜率为3，所以k=3；∴曲线在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0，故选:D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间(﹣∞，0）上单调递增的是( ）A．f(x）=B．f(x）=x2+1 C．f(x）=x3D．f（x）=2﹣x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增,得到本题结论．【解答】解：选项A,，∵f（﹣x）==f （x），∴f（x）是偶函数,图象关于y轴对称．∵f（x)=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x)在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f(x)=x2+1，是偶函数,在(0，+∞)上单调递增,在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C,f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D,f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减,不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．5．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1] C．（,1］ D．（，1）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】直接根据真数大于0以及根号内大于等于0列出关于x的不等式组，解之即可得到答案．【解答】解：由题得：⇒⇒⇒(，1]．故选：C．6．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1"B．命题“∀x∈R，x2＞0"为真命题C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题D．“p∧q为真命题"是“p∨q为真命题”的必要不充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根号否命题的定义直接写出否命题进行判断，B．对于全称命题，举一个反例当x=0时，不成立进行判断，C．根据逆否命题的等价性先判断原命题为真命题即可，D．根据充分条件和必要条件和复合命题真假关系进行判断．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，B．当x=0时，x2＞0不成立，故B错误，C．命题“若x=y，则cosx=cosy”为真命题,则命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题也为真命题，故C正确，D．若p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，则p∨q 为真命题，即充分性成立，当p假q真时,满足p∨q为真命题，但p∧q为假命题，则必要性不成立，即“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故D错误，故选：C7．函数y=f（x)在定义域(﹣，3)内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．［﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，］∪[1，2） D．（﹣,﹣］∪［，］∪［,3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数大于0时函数单调递增,导数小于0时原函数单调递减确定函数f（x）的单调性【解答】解:由图象可知，即求函数的单调减区间,从而有解集为，故选A．8．已知M=｛x|x﹣a=0｝，N=｛x|ax﹣1=0},若M∩N=N，则实数a的值为( ）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，M=｛a}，若M∩N=N，则N⊆M,对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，M是x﹣a=0的解集，而x﹣a=0⇒x=a;故M=｛a}，若M∩N=N，则N⊆M,①N=∅，则a=0；②N≠∅，则有N={｝,必有=a,解可得，a=±1；综合可得，a=0，1,﹣1；故选D．9．“0＜x＜4”的一个充分不必要条件为( ）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合的包含关系，结合充分必要条件的定义得到答案．【解答】解:∵(0，2）⊊（0，4)，∴“0＜x＜4”的一个充分不必要条件为:0＜x＜2,故选:B．10．定义在R上的函数f（x）满足:f（x﹣1）=f（x+1)=f(1﹣x）成立,且f（x）在［﹣1，0]上单调递增，设a=f(3），b=f(），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【考点】不等式比较大小；函数的周期性．【分析】由定义在R上的函数f（x)满足：f（x﹣1)=f （x+1）=f（1﹣x）成立，可知f（x)是以2为周期的偶函数,x=1是其对称轴，结合f（x）在［﹣1，0］上单调递增，即可比较a，b,c的大小．【解答】解：∵f(x﹣1）=f（x+1)=f（1﹣x）令t=x﹣1，则f(t)=f（t+2），f（t）=f（﹣t）,∴f(x）是以2为周期的偶函数，又f（x+1）=f(1﹣x），∴x=1是其对称轴；又f（x）在［﹣1，0]上单调递增，可得f（x）在[1，2］上单调递增又a=f（3)=f（1）,b=f（），c=f（2），∴f（3）=f（1)＜f（)＜f（2)，即a＜b＜c．故选D．11．已知函数f（x)=x3﹣2x2+ax+3在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围为( ）A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f’（x）=3x2﹣4x+a，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知,导函数在区间内递增,故只需f’（1）≥0即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+ax+3，∴f’(x）=3x2﹣4x+a，∵在[1，2］上单调递增，∴f’（x)=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=，∴函数在区间内递增,∴f’（1）≥0，∴﹣1+a≥0,∴a≥1，故选D．12．已知函数f（x）=e x（x2+2ax+b）在x=﹣1处取得极大值t，则t的取值范围是（）A．（,+∞） B．(﹣∞，）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣)【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据f′（﹣1)=0，求出b 的值，根据函数f（x)在x=﹣1处取得极大值t，求出a 的范围，从而求出t的范围即可．【解答】解：f′（x）=e x［x2+（2a+2)x+2a+b]，∵函数f（x）=e x（x2+2ax+b）在x=﹣1处取得极大值,∴f′（﹣1）=e﹣1（1﹣2a﹣2+2a+b）=0,解得:b=1，∴f′（x）=e x［x2+(2a+2）x+2a+1］，令x2+（2a+2)x+2a+1=0，由题意得：△=(2a+2）2﹣4（2a+1）=4a2，x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，由题意得：﹣2a﹣1＞﹣1，故a＜0，而t=f（﹣1)=＞，故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：∃x＞0，使得sinx＜﹣1 ．【考点】命题的否定．【分析】先否定题设，再否定结论．【解答】解：∵“∀x＞0”的否定是“∃x＞0”，“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx＜﹣1”，∴“∀x＞0,都有sinx≥﹣1”的否定是“∃x＞0，使得sinx＜﹣1”．故答案为：∃x＞0，使得sinx＜﹣1．14．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e) ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，直线2x﹣y+1=0的斜率k=2,∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，∴f′（x）=1+lnx=2,即lnx=1,解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为:(e,e）．15．已知奇函数f（x)满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈（0，1)时,f（x)=2x，则f（）的值为．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质；函数的周期性．【分析】由题设条件f（x+2)=﹣f(x）可得出函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将f(）函数值,用（0，1）上的函数值表示，再由0＜x＜1时，f（x）=2x，求出函数值，然后对比四个选项得出正确选项．【解答】解：由题意定义在R上的奇函数满足f（x+2）=﹣f（x），故有f（x+2）=﹣f（x）=f（x﹣2）,故函数的周期是4f(）=f(﹣0.5）=﹣f（0。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高一数学下学期期中试题
2015---2016学年（ 高一 ）年级下学期期中考试 （数学）学科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等比数列}{n a 中，54a =,76a =，则9a 等于 A. 9± B. 9 C. 8± D. 8 2．在ABC ∆中，若2sin b a B =，则A 等于A. 30或60B. 45或60C. 120或60D. 30或 1503．下列命题中正确的是 A.正方形的直观图是正方形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4．已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是A． B ．192π C ．48π D ．无法确定 5．在ABC ∆中，若c C 的度数是 A. 60B. 120C. 60 或120D. 456．下列命题正确的是 A ． 梯形可以确定一个平面 B ．圆心和圆上两点可以确定一个平面C ．若两条直线,a b 没有公共点，则a 与b 是异面直线D ．若,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则,a b 是异面直线 7．设,l m 为两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若,,,l m l m ααββ⊂⊂ ，则αβB ．若,,l m l m αβ⊂⊂ ，则αβC ．若,,,,l m l m P l m ααββ⊂⊂= 点，则αβD ．若l α ,l β ,则αβ8.在数列}{n a 中，若11a =，121nn n a a a +=+，则6a 等于A ．13B ．113C ．11D ．1119.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是B. 5D. 10．正四棱锥P ABCD -的底面积为3，体积为2，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成角为 A.6π B.4π C.3π D.2π 11.给出以下四个命题：①若110a b <<，则2b aa b+>； ②若a b >，则22am bm >；③在ABC ∆中，若B A sin sin =，则B A =；④任意x R ∈，都有210ax ax -+≥，则04a <≤.其中是真命题的有A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 12．设)11)(11)(11(---=cb a M 满足1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是 A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等差数列{}n a 中，若17136a a a ++=，则13S =___________ . 14．圆柱的底面半径为3，侧面积为12π，则圆柱的体积为________．15.当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 16．已知数列1,111,,,,,12123123n ++++++ 则其前n 项的和等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在等比数列．．．．}{n a 中，2236,24a a a =+=,在等差数列．．．．{}n b 中，11b a =，310b =-. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. （Ⅰ）求渔船甲的速度；（Ⅱ）求sin α的值.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面边长为2，点E F 、分别为棱AB PD 、的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）求三棱锥C BEP -的体积．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S .21．(本小题满分12分)已知数列{}n a {},n b 满足111,21n n a a a +==+，14b =，11(2)n n n b b a n --=+≥. （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a {},n b 的通项公式.22.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足12342,4()a a a a ==-，数列{}n b 满足232log n n b a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222n n k a b λλ-+>成立的k 的范围.2015---2016学年（ 高一 ）年级下学期 期中考试 （数学）学科参考答案： 1~12 BDBCB ACDAC CD13. 26 14. 18π 15. 3a ≤ 16.21nn + 17. 解：（1）设公比为q ，由，a 2=6，2326a a += 可得 6624q +=，解得q=3， ………3分 ∴a 1=2，a n =2×3n ﹣1． …………………………5分（2） 112b a ==,310b =-又 数列{}n b 是等差数列,∴ 31212b b d -==-∴ 6d =- …………………………8分∴21(1)352n n n dS nb n n -=+=-+ …………………10分∴数列{}n b 的前n 项和n S 为235n n -+.18. （Ⅰ）依题意，120BAC ∠=，12,21020AB AC ==⨯=，BCA α∠= 在ABC 中，由余弦定理，得2222cos 784BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=， 解得BC =28，又28÷2=14，所以，渔船甲的速度为14海里/小时.（Ⅱ）在ABC ∆中,因为AB =12，120BAC ∠=，28,BC BCA α=∠=，由正弦定理得，sin sin120AB BC α= sin 14α=19.解：证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连接FG 、EG∴FG 为△CDP 的中位线∴FGCD∵四边形ABCD 为矩形，∵E 为AB 的中点∴AE CD∴FGAE∴四边形AEGF 是平行四边形………3分∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE∴AF ∥平面PCE………………………………6分(Ⅱ) PA ⊥底面ABCD 在Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C ﹣BEP 的体积1112123323C BEP C BCE BCE V V S PA --∆==⋅=⋅⋅⋅=…………………………………12分20. 解：（1）由正弦定理得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--= ……………2分整理得sin()2sin()A B B C +=+ ……………4分 又A B C π++= ∴sin 2sin C A =，即sin 2sin CA= ……………6分 （2）由余弦定理可知2221cos 24a cb B ac +-== ① 由（1）可知sin 2sin CA =，即2c a =② ……………8分再由 2b = ③， 由①②③联立求得2,1c a == ……………10分又sin B ===∴1sin 2S ac B ==12分21．（Ⅰ）证明：由121n n a a +=+得112(1)n n a a ++=+ ………………………………2分又10n a +≠{}1n a +为等比数列；………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a +=（11a +）11222n n n q--=⋅=所以12(2)n n n b b n --=≥，23421324312,2,22(2)n n n b b b b b b b b n --=-=-=-=≥ ……9分将以上1n -个式子累加可得1114(12)2412n n n b b -+--==--，又14b =，故12n n b +=………12分 22．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由12342,4()a a a a ==-可得23124(22),2q q q q =⨯-=，故数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列，12212()2;3log 21,2n n n n a bn a n --===-=-∴{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列。
2015-2016年吉林省东北师大附中净月校区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
5． （5 分）下列函数求导运算正确的个数为（ ①（3x）′=3xlog3e；
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②（log2x）′= ③（ex）′=ex； ④（ ）′=x；
⑤（x•ex）′=ex+1． A．1 B．2 C．3 D．4 ＜f（n） （n≥2，n∈N*） ） D．2k 项
6． （5 分）利用数学归纳法证明不等式 1+ + +… 的过程中，由 n=k 变到 n=k+1 时，左边增加了（ A．1 项 B．k 项 C．2k﹣1 项
21． （12 分）已知函数 f（x）=
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线方程为 ax﹣y=0，求 x0 的值； （Ⅱ）当 x＞0 时，求证：f（x）＞x． 22． （10 分）已知函数 f（x）=ln（x+1）﹣ax 在（0，f（0） ）处的切线与函数 y= 相切． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若（k+1） （x﹣1）＜xf（x﹣1）+x2（k∈Z）对任意 x＞1 恒成立，求 k 的 最大值．
p1：复数 z 对应的点在第二象限， p2：z2=2i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为﹣1． 其中的真命题个数为（ A．1 B．2 ） C．3 D．4
4． （5 分）抛掷甲、乙两骰子，若事件 A： “甲骰子的点数小于 3” ；事件 B： “甲、 乙两骰子的点数之和等于 6” ，则 P（B|A）的值等于（ A． B． C． ） ） D．
B．大前提
2． （5 分）在用反证法证明命题“已知 a，b，c∈（0，2） ，求证 a（2﹣b） ，b（2 ﹣c） ，c（2﹣a）不可能都大于 1”时，反证假设时正确的是（ A．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都小于 1 B．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都大于 1 C．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都不大于 1 D．以上都不对 3． （5 分）关于复数 z= 的四个命题： ）
2016-2017年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x＞2}，A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（2，3]C．[﹣1，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．3．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样4．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π5．（5分）已知等比数列{a n}各项均为正数，公比为q，满足a n+1＜a n，a2a8=6，a4+a6=5，则q2=（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．188．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣49．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4 10．（5分）有5人排成一排照相，其中有男、女医生各1人，男、女教师各1人，男运动员1人，若同职业的人互不相邻，且女士相邻，则不同的站排方式共有（）A．28B．30C．48D．6011．（5分）已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣x2=1D．﹣=112．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若，则=．14．（5分）设向量=（1，），=（m，），且•=2，则实数m=．15．（5分）在多项式（1+x+x2）（1﹣x）10的展开式中，x10项的系数是．16．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣c=2a，a=3，且AC边上的中线长为，则c=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．18．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C 的余弦值为，求实数m的值．19．（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）作直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的极小值为2，求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，求a的取值范围．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x＞2}，A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（2，3]C．[﹣1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，∵B=（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：B．2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．【解答】解：∵（2﹣i）z=1+2i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+2i），5z=5i．则z=i．故选：C．3．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．4．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵AB=，BC=，AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=π故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}各项均为正数，公比为q，满足a n+1＜a n，a2a8=6，a4+a6=5，则q2=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a4a6=a2a8=6，a4+a6=5，等比数列{a n}各项均为正数，解得a4=3，a6=2，∴q2==，故选：D．6．（5分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．18【解答】解：第一次，k=2，S=20﹣2=18，不满足条件k＞5，第二次，k=4，S=18﹣4=16，不满足条件k＞5，第三次，k=8，S=16﹣8=8，满足条件k＞5，输出S=8，故选：B．8．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣4【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，令z=0得x+2y=0，显然当平行直线x+2y=0过点A（2，0）时，z取得最小值为2；故选：B．9．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4【解答】解：圆（x﹣a）2+y2=4的圆心坐标为（a，0），半径为2，圆心（a，0）到直线x﹣y﹣2=0的距离d=，又直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，∴2，即，解得a=0或a=4．故选：D．10．（5分）有5人排成一排照相，其中有男、女医生各1人，男、女教师各1人，男运动员1人，若同职业的人互不相邻，且女士相邻，则不同的站排方式共有（）A．28B．30C．48D．60【解答】解：先把两名女性捆绑在一起看做一个整体，和另外的3名男性全排列，有A22A44=48种，其中女医生和男医生相邻或女教师和男教师相邻的有4A33=24种，女医生和男医生相邻且女教师和男教师相邻2A22=4，故同职业的人互不相邻，且女的必须相邻的站法种数为48﹣24+4=28，故选：A．11．（5分）已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣x2=1D．﹣=1【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）【解答】解：构造函数g（x）=∴g′（x）=，∵恒成立，∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上为增函数，∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1），∴＞＞，∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若，则=．【解答】解：∵，可得：sin（α+）=，∴sin（α+）=1，可得：α+=2kπ+，k∈Z，解得：α=2kπ+，k∈Z，∴=sin（2kπ++）=sin（+）=（）=．故答案为：．14．（5分）设向量=（1，），=（m，），且•=2，则实数m=﹣1．【解答】解：∵向量=（1，），=（m，），且•=2，∴=m+3=2，解得实数m=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）在多项式（1+x+x2）（1﹣x）10的展开式中，x10项的系数是36．【解答】解：（1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x3）•（1﹣x）9=（1﹣x3）•（1﹣9x+…+x6﹣x7+x8﹣x9），∴x10的系数为﹣1•（﹣）==36．故答案为：36．16．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣c=2a，a=3，且AC边上的中线长为，则c=5．【解答】解：∵2bcosC﹣c=2a，∴cosC=，由余弦定理可得cosC=，∴=，∴b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，①取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC==∴9+b2﹣c2=2（9+﹣），②把①代入②，化简可得：c2﹣3c﹣10=0，解得：c=5或c=﹣2（舍去），可得：c=5三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【解答】解：（Ⅰ）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为．（Ⅱ）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有5种，故甲胜的概率P1=，同理乙胜的概率P2=．因为P1=P2，所以此游戏公平．18．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C 的余弦值为，求实数m的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1B∥DF，∵DF⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．解：（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，设EM=h，则=，∴CM=，∴AM=2﹣，∵，∴MN=，∴EN2=EM2+MN2=h2+（1﹣）2，∵cos，故=，解得h=，此时，点E为A1C的中点，∴m=1．19．（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，则P（A）==．（II）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==．P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列如下：∴E（X）=0+1×+2×+3×=．20．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）作直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆E的标准方程为，（a＞b＞0），由题意知e==，①设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n（m＞0，n＞0），则有m+n=2a，②以线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，∴n2+（2c）2=m2，③又由．∴9mncos∠F1PF2=1，即9mn==1，即n2=，n=，由①②③解得：a=3，c=2，则b2==1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，则依题意得l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+b，设M（x1，y1），N（x1，y1），则，消去y，整理得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣9=0，x1+x2=，△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣9）=36（k2﹣b2+9），则=﹣=﹣，∴b=，将上式代入判别式，由△＞0，可得k2﹣（）2+9＞0，解得k ＞或k＜﹣，则直线l倾斜角的取值范围为．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的极小值为2，求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣a，若f（x）在x=0处的极小值为2，则，解得：；（Ⅱ）g（x）=f（x）+ln（x+1）=e x﹣ax+b+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，即e x﹣ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，令h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），（x≥0），则h′（x）=e x+﹣a，记m（x）=e x+﹣a，则m′（x）=e x﹣，当x≥0时，e x＞1，≤1，此时m'（x）≥0，h'（x）在（0，+∞）上递增，h'（x）≥h'（0）=2﹣a，a≤2时，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，故h（x）≥h（0）=1成立；a＞2时，∃x0∈（0，+∞），使得h（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故h（x）min=h（x0）＜h（0）=1，不合题意，故a≤2．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0，∵曲线，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为：y2=4x．（Ⅱ）设四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程（t为参数）代入抛物线方程y2=4x，可得：3t2﹣8t﹣32=0．△1＞0，可得t1+t4=．曲线C的参数方程（t为参数）代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3=﹣1．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|=|1+|=．故答案为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≥2．x＜时，不等式可化为1﹣x+1﹣2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；时，不等式可化为1﹣x+2x﹣1≥2，解得x≥2，∴x无解；x＞1时，不等式可化为x﹣1+2x﹣1≥2，解得x≥，∴x≥；综上所述，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|≥|a﹣x|+|x﹣|≥|a﹣|．。
2015-2016年吉林省东北师大附中净月校区高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9=（）A．9B．﹣9C．﹣8D．82．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°3．（5分）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台4．（5分）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（）A．32πB．192πC．48πD．无法确定5．（5分）△ABC中，若c=，则角C的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．45°6．（5分）下列说法正确的是（）A．梯形可以确定一个平面B．圆心和圆上两点可以确定一个平面C．两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线D．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线7．（5分）设l，m为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥βB．若l⊂α，m⊂β，l∥m，则α∥βC．若l⊂α，m⊂α，l∩m=点P，l∥β，m∥β，则α∥βD．若l∥α，l∥β，则α∥β8．（5分）在数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6=（）A．13B．C．11D．9．（5分）四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A．B．5C．D．210．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．11．（5分）给出以下四个命题：①若＜＜0，则+＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④12．（5分）设M=（﹣1）（﹣1）（﹣1）满足a+b+c=1（其中a＞0，b＞0，c＞0），则M的取值范围是（）A．[0，）B．[，1）C．[1，8）D．[8，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a7+a13=6，则S13=．14．（5分）圆柱的底面半径为3，侧面积为12π，则圆柱的体积为．15．（5分）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知数列1，，，…，，…，则其前n项的和等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列{a n}中，a2=6，a2+a3=24，在等差数列{b n}中，b1=a1，b3=﹣10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BEP的体积．20．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且=．（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a n+1=2a n+1，b1=4，b n﹣b n﹣1=a n+1（n ≥2）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式．22．（12分）已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{b n}满足b n=3﹣2log2a n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立的k的范围．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9=（）A．9B．﹣9C．﹣8D．8【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：，∵a5=4，a7=6，∴=9．故选：A．2．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【解答】解：在A中，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；在B中，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；在C中，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．4．（5分）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（）A．32πB．192πC．48πD．无法确定【解答】解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴正方体的外接球的半径R=2，∴正方体的外接球的表面积S=4πR2=48π，故选：C．5．（5分）△ABC中，若c=，则角C的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．45°【解答】解：∵△ABC中，c=，即a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理可得cosC==﹣，又0°＜C＜180°，∴C=120°，故选：B．6．（5分）下列说法正确的是（）A．梯形可以确定一个平面B．圆心和圆上两点可以确定一个平面C．两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线D．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线【解答】解：A．由公理3的推论可知：梯形可以确定一个平面，正确；B．当圆上两点是圆的一条直径时，此时不可以确定一个平面，因此不正确；C．两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线或平行直线，因此不正确；D．分别在两个平面内的直线a，b不一定是异面直线，也可以是平行直线或相交直线，因此不正确．综上可知：只有A正确．故选：A．7．（5分）设l，m为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥βB．若l⊂α，m⊂β，l∥m，则α∥βC．若l⊂α，m⊂α，l∩m=点P，l∥β，m∥β，则α∥βD．若l∥α，l∥β，则α∥β【解答】解：对于A，由面面平行的判定定理可知只有l与m相交时，α∥β才成立，故A错误；对于B，若α∩β=a，且m，l均与a平行，显然满足条件，但结论不成立，故B 错误；对于C，由面面平行的判定定理可知C正确．对于D，当α∩β=a时，若l∥a，则l∥α，l∥β，显然结论不成立，故D错误．故选：C．8．（5分）在数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6=（）A．13B．C．11D．=，a1=1，【解答】解：∵a n+1∴a2==，a3==，a4==，a5==，a6==，故选：D．9．（5分）四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A．B．5C．D．2【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=．故选：A．10．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，∵正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，∴PO=，AB=，AC=，PA=，OB=因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则∠OEB即为PA与BE所成的角所以OE=，在Rt△OEB中，tan∠OEB==，所以∠OEB=故选：B．11．（5分）给出以下四个命题：①若＜＜0，则+＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④【解答】解：①若＜＜0，则b＜a＜0，则＞0，则+≥，当且仅当=，即a=b取等号，∵a≠b，∴等号取不到，则+＞2，故①正确，②若a＞b，则当m=0时，不等式am2＞bm2不成立，故②错误，③在△ABC中，若sinA=sinB，由正弦定理得a=b，则A=B；故③正确，④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则当a=0时，不等式等价为1≥0，即a=0也成立，故④错误，故选：C．12．（5分）设M=（﹣1）（﹣1）（﹣1）满足a+b+c=1（其中a＞0，b＞0，c＞0），则M的取值范围是（）A．[0，）B．[，1）C．[1，8）D．[8，+∞）【解答】解：根据题意，a+b+c=1，则﹣1=﹣1=≥，同理﹣1≥，﹣1≥，则M=（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥••=8，当且仅当a=b=c=时取等号．则（﹣1）（﹣1）（﹣1）有最小值为8，则M的取值范围是[8，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a7+a13=6，则S13=26．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a7+a13=6，∴3a7=6，解得a7=2．则S13==13a7=26．故答案为：26．14．（5分）圆柱的底面半径为3，侧面积为12π，则圆柱的体积为18π．【解答】解：设圆柱的高为h，则2π×3×h=12π，∴h=2．∴圆柱的体积V=π×32×2=18π．故答案为：18π．15．（5分）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是a ≤．【解答】解：∵f（x）=x+在（1，+∞）上单调增∴f（x）＞1+=∵恒成立∴a≤故答案为：a≤16．（5分）已知数列1，，，…，，…，则其前n项的和等于．【解答】解：由题意可得数列的通项=====故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列{a n}中，a2=6，a2+a3=24，在等差数列{b n}中，b1=a1，b3=﹣10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=6，a2+a3=26，可得6+6q=24，解得q=3，∴a1=2，a n=2×3n﹣1．（2）b1=a1=2b1=a1=2，b3=﹣10，又{b n}数列{b n}是等差数列，∴b3﹣b1=2d=﹣12，解得d=﹣6．∴，∴数列{b n}的前n项和S n为﹣3n2+5n．18．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BEP的体积．【解答】解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连接FG、EG∴FG为△CDP的中位线∴FG CD∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点∴AE CD∴FG AE∴四边形AEGF是平行四边形（2分）∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE∴AF∥平面PCE（4分）（Ⅱ）∵三棱锥C﹣BEP即为三棱锥P﹣BCE∵PA⊥底面ABCD，即PA是三棱锥P﹣BCE的高在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）∴三棱锥C﹣BEP的体积V C﹣BEP=V P﹣BCE==（12分）20．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且=．（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=21．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a n+1=2a n+1，b1=4，b n﹣b n﹣1=a n+1（n ≥2）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：由a n=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），+1又a n+1≠0，∴，即{a n+1}为等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a n+1=（a1+1）q n﹣1=2•2n﹣1=2n，∴，，将以上n﹣1个式子累加可得，又b1=4，故．22．（12分）已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{b n}满足b n=3﹣2log2a n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立的k的范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），∴，故数列{a n}是以2为首项，为公比的等比数列，∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴；（Ⅱ）∵c n==（2n﹣1）•2n﹣2，∴T n=×1+1×3+2×5+…+2n﹣2×（2n﹣1），，两式相减得：=，∴；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，∴数列{a2n b n}为单调递减数列；∴当n≥1时，，即a 2n b n最大值为1，由2λ2﹣kλ+2＞1可得，而当λ＞0时，，当且仅当时取等号，∴．。
2016-2017年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|y=}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x≤1} 2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．3．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2B．﹣2C．8D．﹣85．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣2或a=1}B．{a|a≥1}C．{a|a≤﹣2或1≤a≤2}D．{a|﹣2≤a≤1}7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．188．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣49．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4 10．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）则f（f（2））的值为．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则c=．15．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为．16．（5分）已知函数，设方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的为．（请填所有正确命题的序号）（1）0＜x1x2＜1或0＜（6﹣x3）（6﹣x4）＜1；（2）0＜x1x2＜1且（6﹣x3）（6﹣x4）＞1；（3）1＜x1x2＜9或9＜x3x4＜25；（4）1＜x1x2＜9且25＜x3x4＜36．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表：已知甲、乙两个班级共有105人，从其中随机抽取1人为优秀的概率为（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；k=，其中n=a+b+c+d；18．（12分）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．19．（12分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：AD′∥平面EFG；（2）求证：A′C⊥平面EFG．20．（12分）已知中心在原点的椭圆C：+=1的一个焦点为F1（0，3），M （x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=（x2+2）lnx，g（x）=2x2+ax，a∈R（1）证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）设F（x）=f（x）﹣g（x），当x∈[1，+∞）时，F（x）＞0恒成立，求a 的取值范围．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|y=}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，由B中y=，得到0＜x≤1，即B={x|0＜x≤1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．【解答】解：∵（2﹣i）z=1+2i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+2i），5z=5i．则z=i．故选：C．3．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．4．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2B．﹣2C．8D．﹣8【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：B．5．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．6．（5分）已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣2或a=1}B．{a|a≥1}C．{a|a≤﹣2或1≤a≤2}D．{a|﹣2≤a≤1}【解答】解：命题：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，得a≤1；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，得△≥0，解得a≥1或a≤﹣2∵“p且q”是真命题∴a≤﹣2或a=1故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．18【解答】解：第一次，k=2，S=20﹣2=18，不满足条件k＞5，第二次，k=4，S=18﹣4=16，不满足条件k＞5，第三次，k=8，S=16﹣8=8，满足条件k＞5，输出S=8，故选：B．8．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣4【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，令z=0得x+2y=0，显然当平行直线x+2y=0过点A（2，0）时，z取得最小值为2；故选：B．9．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4【解答】解：圆（x﹣a）2+y2=4的圆心坐标为（a，0），半径为2，圆心（a，0）到直线x﹣y﹣2=0的距离d=，又直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，∴2，即，解得a=0或a=4．故选：D．10．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．11．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为214．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则c=2．【解答】解：∵△ABC中，B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：==，整理得：cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，a=c=1，b=，此时A=C=30°，B=120°，不满足B=2A，舍去；当c=2时，a=1，b=，此时A=30°，B=60°，C=90°，满足题意，则c=2．故答案为：215．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为18．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2 ⇒bc=4，=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，故S△ABC而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2 ）=18，故答案为：18．16．（5分）已知函数，设方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的为（1），（2），（3）．（请填所有正确命题的序号）（1）0＜x1x2＜1或0＜（6﹣x3）（6﹣x4）＜1；（2）0＜x1x2＜1且（6﹣x3）（6﹣x4）＞1；（3）1＜x1x2＜9或9＜x3x4＜25；（4）1＜x1x2＜9且25＜x3x4＜36．【解答】解：方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）﹣2﹣x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）﹣2﹣x的图象如下，由图象可得，0＜x1x2＜1，故（1）正确；（6﹣x3）（6﹣x4）＞1，故（2）正确；9＜x3x4＜25，故（3）正确；25＜x3x4＜36，故（4）错误；故答案为：（1），（2），（3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表：已知甲、乙两个班级共有105人，从其中随机抽取1人为优秀的概率为（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；k=，其中n=a+b+c+d；【解答】解：（Ⅰ）评为优秀的学生共有105×=30名；完成列联表如下：（Ⅱ）假设：成绩与班级没有关系，k=≈6.109＞3.841，则若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”．18．（12分）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．【解答】解：（Ⅰ）近20年降雨量为110，160，220的频数分别为：3、7、2，由频数除以20得频率分别为，，，频率分布表如图：（Ⅱ）20个数从小到大排列为：70，110，110，110，140，140，140，140，160，160，160，160，160，160，160，200，200，200，220，220中位数是160；平均降雨量；（Ⅲ）由已知可设∵X=70时，Y=460，∴B=425，∴．当Y≥520时，由，解得：X≥190．∴发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥，∴发电量低于520（万千瓦时）的概率．19．（12分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：AD′∥平面EFG；（2）求证：A′C⊥平面EFG．【解答】（1）证明连接BC′．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=C′D′，AB∥C′D′，所以四边形ABC′D′是平行四边形，所以AD′∥BC′．因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以FG∥AD′．因为EF，AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG．因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG．（2）证明：连接B′C．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以A′B′⊥BC′．在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C=B′，所以BC′⊥平面A′B′C．因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C．因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF．因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以A′C⊥平面EFG．20．（12分）已知中心在原点的椭圆C：+=1的一个焦点为F1（0，3），M （x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点为F1（0，3），∴b2=a2+9，则椭圆C的方程为∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为∴，∴x=1，∴M（1，4）代入椭圆C的方程，可得∴a4﹣8a2﹣9=0∴a2=9∴椭圆C的方程为；（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x2+8mx+m2﹣18=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+16x1x2+4m（x1+x2）+m2=0∴17×﹣4m×+m2=0∴此时△=64m2﹣72（m2﹣18）＞0∴直线方程为y=4x．21．（12分）设函数f（x）=（x2+2）lnx，g（x）=2x2+ax，a∈R（1）证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）设F（x）=f（x）﹣g（x），当x∈[1，+∞）时，F（x）＞0恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：，∵x＞1，∴lnx＞0，∴，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）由F（x）=f（x）﹣g（x）=（x2+2）lnx﹣2x2﹣ax＞0得：a＜在x∈[1，+∞）上恒成立，设，则，所以G（x）在递增，递减，（e，+∞）递增，所以G（x）的最小值为G（1），G（e）中较小的，，所以：G（e）＞G（1），即：G（x）在x∈[1，+∞）的最小值为G（1）=﹣2，只需a＜﹣2．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016-2017学年高
2016-2017学年（高二）年级下学期 期中考试（理科数学）学科试卷命题人：李宇 审题人：赵乾第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 集合{}2|230,{|2},≤A x x x B x x AB =--=>=（A ）[1,3]- （B ）(2,3]（C ）[1,)-+∞ （D ）(2,)+∞（2） 已知复数z 满足(2)12i z i -=+，则z =（A ）2i - （B ）45i + （C ）i（D ）4355i + （3） 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（A ）①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 （B ）①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 （C ）①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 （D ）①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样（4） 已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且AB BC = 2AC =，则此三棱锥的外接球的体积为（A ）83π（B ）3（C ）163π（D ）323π （5） 已知等比数列{}n a 各项均为正数，公比为q ，满足12846,6,5n n a a a a a a +<=+=，则2q = （A ）53（B ）49（C ）59（D ）23（6） 已知()f x 是偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，若(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是（A ）1(,1)10（B ）1(0,)(1,)10+∞ （C ）1(,10)10（D ）(0,1)(10,)+∞（7） 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）4 （B ）6 （C ）14（D ）18（8） 若,x y 满足约束条件2020220≥≤≥x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪--⎩，则2z x y=+的最小值为（A ）83 （B ）2 （C ）43（D ）4-（9） 若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为a 为（A ）1-（B ）1或3（C ）2-或6 （D ）0或4（10） 有5人排成一排照相，其中有男、女医生各1人，男、女教师各1人，男运动员1人，若同职业的人互不相邻，且女士相邻，则不同的站排方式共有 （A ）28（B ）30（C ）48（D ）60（11） 已知直线l 过点()1,0A -且与圆22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（A ）223122x y -=（B ）223144x y -=（C ）223122y x -=（D ）22513y x -= （12） 定义在R 上的函数()y f x =，满足ln 2(2)(2)2f x f x '>⋅恒成立，其中()f x '是()f x 的导数，则 （A ）(2)(0)2,2(0)(2)f f f f >>- （B ）(2)(0)2,2(0)(2)f f f f <<-（C ）(2)2(0)4(2)f f f >>- （D ）(2)2(0)4(2)f f f <<- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题试题(Word版含答案)
2016-2017学年（高二）年级下学期 期中考试（文科数学）学科试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合2{|10},{|A x x B x y =-<==，则A B 等于（ ）（D ）{|1}x x > （B ）{|01}x x << （C ）{|1}x x < （D ）{|01}x x <≤（2） 已知复数z 满足(2)12i z i -=+，则z =（A ）2i - （B ）45i + （C ）i（D ）4355i + （3） 已知集合{}{}1,1,2,3A a B ==, ，则“3a =”是“A B ⊆”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4） 已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()20,2()=2x f x x ∈时，，则(2015)f 等于 ( )（A ）－2（B ）2（C ）－98（D ）98（5） 函数2sin2xy x =-的图象大致是（ ）（6） 已知命题[]2:"1,2,0",p x x a ∀∈-≥命题2:",220",q x R x ax a ∃∈++-=使若命题“p q 且”是真命题，则实数a 的取值范围是( )（A ）{a |a ≤－2或a ＝1}（B ）{a |a ≥1}（C ）{a |a ≤－2或1≤a ≤2} （D ）{a |－2≤a ≤1}（7） 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）（A ）4 （B ）6 （C ）14（D ）18（8） 若,x y 满足约束条件2020220≥≤≥x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为（A ）83（B ）2 （C ）43（D ）4-（9） 若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为a 为（A ）1-（B ）1或3（C ）2-或6 （D ）0或4（10） 函数()()xx x f 21ln -+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）（11）())(0)f x x ωϕω=+>部分图象如图,若2||AB BC AB ⋅=,ω等于（ ） （A ）12π（B ）4π（C ）3π （D ）6π（12） 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )（A ）(－1,1) （B ） (－1，＋∞) （C ）(－∞，－1) （D ）(－∞，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
吉林省东北师大附中净月校区2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二(下)期中数学试卷（理科)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项)1．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2,…小前提所以x+≥2,…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误2．在用反证法证明命题“已知a，b，c∈（0，2）,求证a（2﹣b),b（2﹣c），c（2﹣a）不可能都大于1”时，反证假设时正确的是（）A．假设a（2﹣b），b（2﹣c）,c（2﹣a)都小于1 B．假设a（2﹣b）,b（2﹣c），c（2﹣a）都大于1 C．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a)都不大于1 D．以上都不对3．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i,p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．抛掷甲、乙两骰子，若事件A：“甲骰子的点数小于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于6”，则P(B｜A）的值等于（）A．B．C． D．5．下列函数求导运算正确的个数为（）①（3x）′=3x log3e；②(log2x)′=③（e x）′=e x；④(）′=x;⑤（x•e x)′=e x+1．A．1 B．2 C．3 D．46．利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f(n）（n ≥2，n∈N＊）的过程中，由n=k变到n=k+1时,左边增加了（)A．1项B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项7．观察(x2)′=2x,（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f（﹣x)=f(x），记g(x）为f(x）的导函数,则g（﹣x）=（）A．﹣g(x) B．f（x) C．﹣f（x）D．g（x）8．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的，3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X)，则P（X=4)的值为（）A．B．C．D．9．（cos x+）dx的值为（）A．π+B．π C．π+1 D．π+10．已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f(x1)+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A．x1＞x2B．x1＜x2C．x1+x2＞0 D．x1+x2＜0 11．设随机变量ζ～N（2，p），随机变量η～N（3，p），若,则P(η≥1）=（)A．B．C．D．12．已知f（x）=｜xe x｜，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R)有四个实数根，则t的取值范围为( ）A．(，+∞）B．(﹣∞,﹣）C．（﹣，﹣2）D．(2，)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若a为正实数，i为虚数单位，且｜|=2，则a= ．14．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（﹣1）= ．15．用min{a，b，c}表示a，b,c三个数中的最小值，设f（x）=min{,﹣x+2}，则f（x）dx= ．16．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2,都有x1f（x1)+x2f(x2）＞x1f（x2）+x2f(x1）,则称函数f（x）为“H函数"．给出下列函数:①y=﹣x3+x+1;②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x)=以上函数是“H函数”的所有序号为．三、解答题（本大题共6小题，第22题10分,其它每小题12分，共70分)17．某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是．（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2)求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．18．已知函数f(x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x)的单调区间；(Ⅱ）求f（x）在区间[0,1]上的最小值．19．某校高一年级开设A，B，C,D，E五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选A课程,不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率;(Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．20．已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+）,且a1=1．(1）求a2，a3，a4，猜测a n，并用数学归纳法证明;（2）若n≥4，试比较3an与（n﹣1）•2n+2n2的大小，并给出证明过程．21．已知函数f(x)=．（Ⅰ）若曲线y=f(x）在点（x0，f（x0）)处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值;(Ⅱ）当x＞0时,求证：f（x）＞x．22．已知函数f（x)=ln（x+1）﹣ax在（0,f（0））处的切线与函数y=相切．（1）求f(x）的单调区间；（2）若（k+1)（x﹣1）＜xf（x﹣1）+x2（k∈Z）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．2015—2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下)期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为( ）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的,这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确,演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提小前提和结论．【解答】解:∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数,是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误,故选A．2．在用反证法证明命题“已知a，b，c∈(0，2),求证a （2﹣b)，b（2﹣c）,c（2﹣a）不可能都大于1”时，反证假设时正确的是（）A．假设a（2﹣b），b（2﹣c)，c(2﹣a）都小于1 B．假设a（2﹣b),b（2﹣c）,c（2﹣a）都大于1C．假设a（2﹣b),b（2﹣c），c（2﹣a）都不大于1 D．以上都不对【考点】数学归纳法．【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立【解答】解：“已知a，b，c∈（0，2），求证a(2﹣b），b（2﹣c)，c（2﹣a）不可能都大于1”"的否定为“a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a)都大于1”,由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a（2﹣b），b（2﹣c）,c（2﹣a）都大于1”,故选：B．3．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限,p2:z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i,p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再根据每个小题的要求作出相应的解答,判断每个命题的真假,则答案可求．【解答】解：p1：由复数z==,则复数z对应的点的坐标为:（﹣1,﹣1）,位于第三象限，故p1错误；p2：由p1中得到z=﹣1﹣i,则z2=（﹣1﹣i）2=2i，故p2正确；p3:由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的共轭复数为﹣1+i，故p3错误;p4：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的虚部为﹣1，故p4正确．∴真命题个数为：2．故选：B．4．抛掷甲、乙两骰子，若事件A：“甲骰子的点数小于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于6”，则P(B|A)的值等于（）A．B．C． D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】P（B｜A）为抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数小于3时甲、乙两骰子的点数之和等于6的概率．【解答】解:由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数小于3时甲、乙两骰子的点数之和等于6的概率．∵抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数小于3,基本事件有2×6=12个,甲骰子的点数小于3时甲、乙两骰子的点数之和等于6，基本事件有2个，∴P（B｜A）==．故选C．5．下列函数求导运算正确的个数为（)①(3x）′=3x log3e；②（log2x)′=③（e x）′=e x；④（）′=x；⑤（x•e x）′=e x+1．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】根据(a x)′=a x lna，(log a x）′=，（lnx)’=即可作出判断．【解答】解：①（3x）′=3x ln3，故错误;②（log2x）′=，故正确；③(e x）’=e x，故正确；④（）′=﹣,故错误；⑤（x•e x）′=e x+x•e x，故错误．故选：B．6．利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）(n≥2，n∈N＊）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项【考点】数学归纳法．【分析】依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边为1+++…++++…+，与n=k时不等式的左边比较即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f(n）（n≥2，n∈N*)的过程中,假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了:++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项,故选：D．7．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3,（cosx）′=﹣sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f（﹣x）=f（x），记g（x)为f（x）的导函数，则g（﹣x)=（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x）D．g（x）【考点】归纳推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数,再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．【解答】解：由（x2)'=2x中,原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4)’=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）’=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f(﹣x）=f（x)，则函数f（x)为偶函数，又∵g(x)为f（x)的导函数，则g（x)奇函数故g(﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x)=﹣g（x），故选A．8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P （X=4）的值为（)A．B．C．D．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由题意知从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X=4，也就是旧球的个数增加了一个，得到取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，结合事件写出概率．【解答】解：∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X=4，即旧球的个数增加了一个，∴取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，∴P（X=4）==．故选C．9．（cos x+）dx的值为（）A．π+B．π C．π+1 D．π+【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算和定积分的几何意义，计算可得．【解答】解：（)dx的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一,∴(）dx=×4π=π,（cos x)dx=(sin x)=，∴（cos x+）dx=π+．故答案选：D．10．已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A．x1＞x2B．x1＜x2C．x1+x2＞0 D．x1+x2＜0【考点】函数单调性的性质;奇函数．【分析】根据条件可知x1、x2的大小是不能确定的，从而可排除选项A和B，再取x1=0、检验即可得到答案．【解答】解：函数f(x）=x﹣sinx是奇函数，由条件知，x1、x2是对称或“对等"的，因此可排除A与B，再取x1=0、检验即知正确选项是C．故选C．11．设随机变量ζ～N（2，p）,随机变量η~N（3，p），若，则P（η≥1）=（)A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ζ和η服从正态分布,第一组变量μ=2，▱=p，第二组变量μ=3,▱=p，得到两个正态曲线的形状相同，对称轴不同,根据对称性得到η在三个区间上的概率，其中有一段P（1＜η＜2)，得到只有选项D符合．【解答】解：∵随机变量ζ~N(2，p)，随机变量η～N （3，p）,∴第一组变量μ=2，▱=p，第二组变量μ=3，▱=p，∴两个正态曲线的形状相同，对称轴不同，若，∴P（1＜ξ＜3）=，P(1＜ξ＜2）=,∵两条正态曲线的形状相同，∴P（2＜η＜3）=,P（1＜η＜2），∴P（η≥1）=P（1＜η＜2)＜,只有D选项符合题意，故选D．12．已知f（x）=｜xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t ∈R）有四个实数根,则t的取值范围为（）A．(，+∞)B．（﹣∞，﹣）C．(﹣，﹣2）D．（2，）【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系．【分析】化简f(x)=｜xe x|=，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得．【解答】解：f（x）=｜xe x|=,易知f(x）在［0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f(x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x(x+1)，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在(﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根,且x1∈（0，），x2∈（,+∞），故,解得，t∈（﹣∞，﹣），故选:B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若a为正实数，i为虚数单位，且||=2,则a= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算以及复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：∵|｜=2，∴｜﹣ai+1｜=2，即，即a2=3，∵a为正实数，∴a=，故答案为：．14．若f（x)在R上可导，f（x）=x2+2f′(2）x+3，则f（﹣1）= 12 ．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的公式求函数导数，令x=2,先求出f’(2），然后令x=﹣1即可得到结论．【解答】解：∵f(x）=x2+2f′（2）x+3，∴f’(x）=2x+2f'（1)，当x=2，则f'（2）=4+2f’（1）,即f'（2）=﹣4，∴f(x）=x2+2xf′（2）+3=x2﹣8x+3，∴f'（﹣1）=1+8+3=12，故答案为：1215．用min{a，b，c｝表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x)=min{，﹣x+2},则f（x）dx= ．【考点】定积分．【分析】根据函数的定义，求得f（x)的解析式，根据分段函数的定积分,即可求得答案．【解答】解：f（x）=min{，﹣x+2}=，根据分段函数定积分：f（x）dx=+=+（﹣+2x）=．故答案为：．16．如果对定义在R上的函数f(x），以任意两个不相等的实数x1,x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）,则称函数f(x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【考点】函数单调性的性质．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f(x1）﹣f（x2)］＞0，即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1)+x2f（x2)＞x1f（x2)+x2f(x1)恒成立,∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1)﹣f（x2）］＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．对于①y=﹣x3+x+1；y′=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调；对于②y=3x﹣2(sinx﹣cosx)；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0,函数单调递增，满足条件；对于③y=e x+1为增函数，满足条件；④f（x）=，当x＞0时,函数单调递增,当x＜0时,函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数"的函数为②③，故答案为:②③．三、解答题（本大题共6小题，第22题10分,其它每小题12分，共70分）17．某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分,没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是．（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率; (2）求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式．【分析】(1）设小明第i次投篮投中为事件A i,则小明在投篮过程中直到第三次才投中是指小明前两次都没中，第三次中，由此能求出结果．（2）由题意知随机变量ξ～B（3，），由此能求出ξ的分布列．【解答】解：（1)设小明第i次投篮投中为事件A i，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P=P（A1）•P（A2）•P(A3）=××=．…（2）由题意知随机变量ξ～B（3，），则P（ξ=0)=（）0（）3=，P（ξ=1）=（）（）2=,P（ξ=2）=（）2（）=，P(ξ=3)=(）3（）0=，…∴ξ的分布列为ξ0123P…18．已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ)求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x)在区间［0，1］上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求导,令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I）,对k﹣1是否在区间[0,1］内进行讨论，从而求得f(x）在区间［0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ)f′（x)=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1,f′(x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1(k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1)，f（x）的单调递增区间（k﹣1,+∞）；（Ⅱ)当k﹣1≤0,即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k;当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由(I)知，f（x）在区间[0，k﹣1］上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增,∴f（x)在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1;当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x)在区间［0,1]上单调递减,∴f（x）在区间［0,1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e;综上所述f（x）min=．19．某校高一年级开设A，B,C，D,E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选A课程，不选B课程,另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”,事件B为“乙同学选中C课程"．求出A,B的概率,然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ)X的可能取值为：0，1，2,3．求出概率，得到X 为分布列,然后求解期望．【解答】(共13分）解：(Ⅰ)设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：X0123P．…20．已知数列{a n｝满足a n+1=（n∈N+），且a1=1．(1）求a2，a3，a4,猜测a n，并用数学归纳法证明；（2)若n≥4，试比较3an与（n﹣1）•2n+2n2的大小，并给出证明过程．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1)代入递推式计算a2,a3，a4，根据计算结果猜想通项公式；（2）根据特殊值比较大小，利用数学归纳法证明．【解答】解：(1）a2==2，a3==3,a4==4，猜想:a n=n．证明：当n=1时，a1=1成立假设n=k(k≥1）时，a k=k成立则当n=k+1时，也成立所以，成立．(2）猜想：当n≥4时，3＞（n﹣1）•2n+2n2，下面用数学归纳法证明：n=4时，左边=3=34=81，右边=3•24+2•42=80，左边＞右边，故结论成立;假设当n=k(k≥4)时结论成立，即3k＞（k﹣1）•2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3（k﹣1)•2k+6k2=k•2k+1+2（k+1)2+［（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2],∵k≥4时，(k﹣3）2k＞0,4k2﹣4k﹣2=(2k﹣1)2﹣3≥46＞0，∴(k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2＞0，∴3k+1＞k•2k+1+2（k+1）2,即n=k+1时结论也成立．∴当n≥4时，3n＞(n﹣1）•2n+2n2成立．21．已知函数f（x)=．（Ⅰ)若曲线y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证:f（x）＞x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ)求出f（x）的导数，结合切线方程得到关于x0的方程，解出即可；（Ⅱ)构造函数g（x）=，求出g(x）的单调性，得到g(x）的最小值,从而证出结论．【解答】解：(Ⅰ）．…因为切线ax﹣y=0过原点(0，0），所以．…解得：x0=2．…证明：（Ⅱ）设，则．令，解得x=2．…x在（0，+∞）上变化时,g’（x），g(x）的变化情况如下表x（0，2）2（2，+∞)g'（x）﹣0+g（x）↘↗所以当x=2时，g（x ）取得最小值．…所以当x＞0时,,即f(x)＞x．…22．已知函数f（x)=ln（x+1）﹣ax在（0，f（0)）处的切线与函数y=相切．（1)求f(x）的单调区间；（2)若（k+1）（x﹣1)＜xf（x﹣1）+x2（k∈Z）对任意x ＞1恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1）求出函数的导数，结合函数的切线方程求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数令g(x）=（x＞1）的最小值，根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）因为，所以切线方程为y=（1﹣a）x，联立得x2﹣2（1﹣a）x=0，由△=0，得a=1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x，所以．当x∈（﹣1，0）时，f’（x）＞0;当x∈（0，+∞)时，f’(x)＜0．所以f（x)的单调递增区间是（﹣1，0)，单调递减区间是（0，+∞)；（2)令g(x）==（x＞1），∴g′（x）=（x＞1）令h(x）=x﹣lnx﹣2（x＞1),h′(x）=＞0，∴h（x)在（1，+∞）上单调递增．∵h(3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴h（x)存在唯一零点x0∈（3，4)，即x0﹣lnx0﹣2=0．当x∈（1，x0)时，h（x）＜h（x0)=0⇒g′（x）＜0;当x∈（x0，+∞）时，h（x)＞h（x0）=0⇒g′（x）＞0；∴g（x)在x∈（1，x0）时单调递减；在x∈(x0，+∞）时，单调递增；∴[g（x）min]=g(x0）==x0,由题意k＜[g（x)］min=x0，∵k∈Z，∴k的最大值是3．2016年10月17日。
2015-2016学年吉林省实验中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版).
2015-2016学年吉林省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．复数（）10的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．13．已知复数Z的实部为a，且0＜a＜2，虚部为1，则|Z|的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，3）C．（1，）D．（1，）4．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞25．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣2 B．C．3 D．6．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．设，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A．B．C．D．9．在平面内，三解形的面积为s，周长为c，则它的内切圆的半径r=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R为（）A．B．C．D．10．函数f（x）=•a x（a＞1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．11．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）12．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．lg+2lg2﹣（）﹣1=．14．函数f（x）=x2﹣ax﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=，下列说法：①当﹣1＜x1＜x2＜1时，f（x1）＞f（x2）；②直线y=x与函数f（x）的图象有5个交点；③当x∈（0，a]时，f（x）的最小值为1，则a∈[1，]；④关于x的两个方程f（x）=与f（x）=b所有根的和为0，则b=﹣；其中正确的有．三．解答题：（本题共6小题，共70分）17．已知全集U=R，A={x|f（x）=，B={x|log2（x﹣a）＜1}．（1）若a=1，求（∁U A）∩B．（2）若（∁U A）∩B=∅，求实数a的取值范围．18．设复数z=m 2﹣2m ﹣3+（m 2+3m +2）i ，试求实数m 取何值时， （1）z 是实数； （2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．19．某市调研考试后，某校对甲乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．299.9% 如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数，并估计这次百米测试成绩的中位数（精确到0.01）；（2）设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n |＞1”的概率．21．已知定义在实数集上的奇函数f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=．（1）求函数f （x ）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f （x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f （x ）=λ在上（﹣1，1）有实数解？22．定义g （x ）=f （x ）﹣x 的零点x 0为f （x ）的不动点，已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b ﹣1（a ≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数的不动点；（2）对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）若函数g（x）只有一个零点且b＞1，求实数a的最小值．2015-2016学年吉林省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数===﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i．故选：D．2．复数（）10的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的幂运算法则化简求解即可．【解答】解：复数（）10===﹣1．故选：B．3．已知复数Z的实部为a，且0＜a＜2，虚部为1，则|Z|的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，3）C．（1，）D．（1，）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数Z的实部为a，且0＜a＜2，虚部为1，我们可得1＜a2+1＜5，又由|Z|=得到|Z|的取值范围．【解答】解：∵复数Z的实部为a，且0＜a＜2，虚部为1∴0＜a2＜4，∴1＜a2+1＜5，又∵|Z|=∴1＜|Z|＜故|Z|的取值范围是（1，）故选C4．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出∁R B，从而根据集合A及A∪（∁R B）=R即可求出a的取值范围．【解答】解：∵∁R B={x|x≤1，或x≥2}，∴若A∪（∁R B）=R；∴a≥2．故选C．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣2 B．C．3 D．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，发现输出S的值是周期性变化的，且周期为4，当i=2014时，程序终止运行，此时程序运行2013次，由此可确定输出S的值．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S==﹣2，i=1+1=2；第二次运行S==﹣，i=2+1=3；第三次运行S==，i=3+1=4；第四次运行S==3，i=4+1=5；第五次运行S==﹣2，i=5+1=6．…输出S的值是周期性变化的，且周期为4，当i=2014时，程序终止运行，此时程序运行2013次，2013=4×503+1，∴输出S=﹣2．故选：A．6．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．7．设，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点；对数的运算性质．【分析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案．【解答】解：∵，∴=1，即0＜a＜1且，即b＞1，即c＜0故c＜a＜b故选C8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x ≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．9．在平面内，三解形的面积为s，周长为c，则它的内切圆的半径r=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】从平面到空间进行类比：利用内切圆的性质类比推理出空间里的内切球的性质，由三角形的面积的性质类比推理出空间中三棱锥的体积的性质，由周长的性质类比推理出空间中表面积的性质．但由于类比推理的结果不一定正确，故我们还需要进一步的证明．【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×=S×r∴内切球半径r=故选D．10．函数f（x）=•a x（a＞1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）=，∴x＞0时，图象与y=a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=a x的图象关于x轴对称，故选B．11．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．12．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为：﹣1．14．函数f（x）=x2﹣ax﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是a≥8．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据二次函数的性质可判断只需对称轴在4的右侧即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣ax﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，∴对称轴x=≥4，∴a≥8，故答案为：a≥8．15．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解析：根据题意可得点M（x，y）满足，其构成的区域D如图所示的三角形，面积为S1=1，E所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S2=π，故向E中投一点，落入D中的概率为P==．故答案为．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=，下列说法：①当﹣1＜x1＜x2＜1时，f（x1）＞f（x2）；②直线y=x与函数f（x）的图象有5个交点；③当x∈（0，a]时，f（x）的最小值为1，则a∈[1，]；④关于x的两个方程f（x）=与f（x）=b所有根的和为0，则b=﹣；其中正确的有②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据函数奇偶性的性质，求出函数f（x）的解析式，判断当﹣1＜x1＜x2＜1时的函数的单调性．②作出函数y=x的图象，利用数形结合进行判断．③求出函数f（x）=1的根，判断a的取值范围即可．④根据函数奇偶性的对称性进行判断．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x＜﹣2，则﹣x＞2，则f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=，x＜﹣2．若﹣2≤x＜0，则0＜﹣x≤2，则f（﹣x）=x2+2x+2=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x﹣2，﹣2≤x＜0，当x=0，则f（0）=0．作出函数f（x）的图象如图：①当﹣1＜x1＜x2＜1时，函数f（x）不是单调函数，则f（x1）＞f（x2）不成立；②作出y=x的图象，则直线y=x与函数f（x）的图象有5个交点，成立．③当x=时，f（）==，则当x∈（0，a]时，f（x）的最小值为1，则a∈[1，]，则成立．④∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程f（x）=与f（x）=b所有根的和为0，∴函数f（x）=的根与f（x）=b根关于原点对称，则b=﹣，但x＞0时，方程f（x）=有3个根，设分别为x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜2＜x3，则有=得x=，即x3=，x1+x22=2，则三个根之和为2+=，若关于x的两个方程f（x）=与f（x）=b所有根的和为0，则f（x）=b的根为﹣，此时b=f（﹣）==﹣=﹣，故④错误，故答案为：②③．三．解答题：（本题共6小题，共70分）17．已知全集U=R，A={x|f（x）=，B={x|log2（x﹣a）＜1}．（1）若a=1，求（∁U A）∩B．（2）若（∁U A）∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）依题意A={x|x≤1或x≥2}，B={x|a＜x＜a+2}，由此能求出A∪B和（C U A）∩B．（2）由（C∪A）∩B=∅，知a≥2或a+2≤1，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由已知得A={x|x≤1或x≥2}，B={x|a＜x＜a+2}，∴C U A={x|1＜x＜2}…（1）当a=1时，B={x|1＜x＜3}，∴（C U A）∩B={x|1＜x＜2}…（2）若（C U A）∩B=∅，则a≥2或a+2≤1，∴a≥2或a≤﹣1．即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．…18．设复数z=m2﹣2m﹣3+（m2+3m+2）i，试求实数m取何值时，（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由m2+3m+2=0，解出即可得出；（2）由，解得解出即可得出；（3）由，解得即可得出．【解答】解：（1）由m2+3m+2=0，解得m=﹣1或﹣2．∴m=﹣1或﹣2时，z 是实数；（2）由，解得m=3，∴m=3时，z 是纯虚数．（3）由，解得﹣1＜m ＜3，∴当﹣1＜m ＜3，z 对应的点位于复平面的第二象限．19．某市调研考试后，某校对甲乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．（）请完成上面的列联表【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K 2，和临界值表比对后即可得到答案．【解答】解：（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为．∴两个班优秀的人数=×110=30， ∴乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．（2）假设成绩与班级无关=则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求20．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数，并估计这次百米测试成绩的中位数（精确到0.01）；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由直方图知，求出成绩在[14，16）内的人数，从而得到该班成绩良好的人数，由频率分布直方图能估计这次百米测试成绩的中位数．（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为3人，设为x，y，z；成绩在[17，18）的人数4人，设为A，B，C，D．由此利用列举法能求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人）所以该班成绩良好的人数为27人．┉┉┉┉∵成绩在[13，15）内的频率为0.06+0.16=0.22，成绩在[15，16）内的频率为0.38，∴估计这次百米测试成绩的中位数为：15+×1≈15.74．┉┉┉┉（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为x，y，z；成绩在[17，18）的人数为50×0.08=4人，设为A，B，C，D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz3种情况，若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况┉所以基本事件总数为21种．记事件“|m﹣n|＞1”为事件E，则事件E所包含的基本事件个数有12种．┉┉∴即事件“|m﹣n|＞1”的概率为p=．…21．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解？【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系求出函数在（﹣1，1）上的值域即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）=﹣．x∈（﹣1，0），故函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式为f（x）=；（2）设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵0＜x1＜x2＜1，∴＞2，﹣2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，1）上的单调递减；（3）∵f（x）在（0，1）上的单调递减，∴当0＜x＜1时，f（1）＜f（x）＜f（0），即＜f（x）＜，∵f（x）是奇函数，∴当﹣1＜x＜0时，﹣＜f（x）＜﹣，∵f（0）=0，∴在（﹣1，1）上函数f（x）的取值范围是（，）∪（﹣，﹣）∪{0}，则若方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解，则λ∈（，）∪（﹣，﹣）∪{0}．22．定义g（x）=f（x）﹣x的零点x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b ﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数的不动点；（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）只有一个零点且b＞1，求实数a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）代入求出f（x）的表达式，根据零点的概念求出不动点；（2）把动点问题转化为二次函数有解恒成立问题，求解即可；（3）动点问题转化为二次函数有一解得出4a=，利用分离参数法得出4a==（b﹣1）++2，由均值不等式得出答案．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣x﹣3函数f（x）的不动点为3，﹣1；…（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，则对于任意实数b，f（x）﹣x=0恒有两个不等的实数根∴ax2+bx+b﹣1=0，△＞0恒成立，∴b2﹣4a（b﹣1）＞0，∴b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b都成立，∴△=16a2﹣16a＜0，∴0＜a＜1…；（3）g（x）=ax2+bx+b﹣1，函数g（x）只有一个零点，b＞1则△=0，∴b2﹣4ab+4a=0，∴4a==（b﹣1）++2≥4，当且仅当b=2时等号成立，∵a≥1，a的最小值为1．…2016年8月30日。
吉林省东北师大附中高二数学下学期期中考试试卷(文)
2008—2009学年东北师大附中 高二数学（文科）试卷下学期期中考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分120分；考试时间120分钟. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数3)1(i-等于（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．顶点在原点, 准线为4-=x 的抛物线的标准方程为 （ ）A ． x y 162= B ．x y 162-= C ．y x 162= D ．y x 162-= 3．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是 （ ）A ．191622=+y x 或116922=+y x B ．192522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．1162522=+y x 4．若点P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线192522=-y x 上的一点，|PF 1|=12，则| PF 2|=（ ） A ． 2 B ． 22 C ．2或22 D ． 4或225．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．67．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=则双曲线的离心率为（ ）A B C ． D ．8．如果二次函数13)(2++=mx x x f 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,31上是增函数，则函数)(x f 在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A ．2 B ． 32-C ．6D ．329．曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ．2310．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，抛物线上的动点M 在准线上的射影为点M '，若M M =⋅'，则点M 的横坐标是( )A ．4B ．6C ．8D ．14 11．已知函数xxa x f ln ln )(+=在[)+∞,1上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.ea 10<< B.e a ≤<0 C.e a ≤ D. e a ≥12．已知双曲线22221x y a b -=（a >0, b >0）的离心率e =, A 与F 分别是左顶点和右焦点，点B 的坐标为（0，b ），则∠ABF 等于 ( )A ．0120 B ．090 C ．060 D ．030第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分）13．在复平面内，复数i 43+、2对应的点分别为A 、B ，则A O B ∆（O 是原点）的面积为 .14．在正项数列{n a }中，n S 是前n 项的和，且221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S （n 为正整数），用归纳推理猜测数列的通项=n a ．15．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ．16．已知5>a ，关于x 的方程0123=+-ax x 在区间（0，3）内有 个根.三、解答题（本题共6小题, 共56分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分）请考生在下面两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲已知：点P 、A 在圆O 外，直线PC 与圆O 交于点B 、C ，PC PB PA ⋅=2. AB 、AC 与圆O 分别交于点E 、D . 求证：PA DE //.选修4-4：坐标系与参数方程将曲线C 的极坐标方程θρcos 6-=化为直角坐标方程. 若直线022=--y x 与曲线C 的交点分别为A 、B ，求线段AB 的长.18．（本小题满分8分）已知0>>b a ，求证：ba ba b a b a +->+-2222.19．（本小题满分8分）命题p ：“不等式02)6(2>-++m x m x 对任意实数x 都成立”；命题q ：“关于x 的方程0)3(2=+-+m x m x 有一个正根和一个负根”. 若命题p 和命题q 中有且只有一个正确，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分10分）若一直线与抛物线y 2 = 2px ( p ＞0 )交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ， 点O 在直线AB 上的射影为D (2, 1), 求抛物线的方程.21．（本小题满分10分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ），)(x f 的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4π. （1）求a 的值；（2）设()f x 的导函数是()f x '. 若[],1,1m n ∈-，求()()f m f n '+的最小值.22．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）是否存在过点()0,5A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得D F C F 22=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.2008—2009学年东北师大附中 高二数学（文科）试卷答案下学期期中考试一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分）1．D 2．A 3．C 4．C 5．A 6．C 7．A 8．C 9．A 10．B 11．D 12．B二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分） 13．4 14．12-n 15．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553 16．1 三、解答题（本题共6小题, 共56分）17．（本小题满分8分）请考生在下面两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲已知：点P 、A 在圆O 外，直线PC 与圆O 交于点B 、C ，PC PB PA ⋅=2. AB 、AC 与圆O 分别交于点E 、D . 求证：PA DE //.证明：∵PC PB PA ⋅=2，∴PAPC PB PA =. 又∵CPA APB ∠=∠， ∴APB ∆∽CPA ∆， ∴PCA PAB ∠=∠.∵四边形BEDC 内接于圆O ， ∴PCA AED ∠=∠，∴AED PAB ∠=∠，∴PA DE //. 选修4-4：坐标系与参数方程将曲线C 的极坐标方程θρcos 6-=化为直角坐标方程. 若直线022=--y x 与曲线C 的交点分别为A 、B ，求线段AB 的长.解：由θρcos 6-=得θρρcos 62-=，∴x y x 622-=+，∴9)3(22=++y x .因此，曲线C 是圆心为（3-，0），半径为3的圆. 又圆心（3-，0）到直线022=--y x 的距离为5523=--=d ，所以，.4)5(3222=-=AB 即线段AB 的长为4.18．证明：))(()(2))(())(())((22222222222b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++--+-=+--+- ∵0>>b a ，∴0))(()(222>++-b a b a b a ab ，∴b a b a b a b a +->+-2222. 19．解：由命题p 得：08)6(2<++=∆m m ，解得 218-<<-m .由命题q 得：04)3(2>--m m 且0<m ，解得 0<m .若命题p 正确，命题q 错误，则218-<<-m 且0≥m ，这样的实数m 不存在；若命题p 错误，命题q 正确，则18-≤m 或2-≥m ，且0<m ，解得18-≤m 或02<≤-m . 综上所述，18-≤m 或02<≤-m . 20．解：∵21=OD k ，AB OD ⊥， ∴2-=AB k ，∴直线AB 的方程为 y －1=－2(x －2), 即y =－2x +5.设),(11y x A ，),(22y x B ，由⎩⎨⎧=+-=.2,522px y x y 得 025)10(242=++-x p x ，则425,2102121=+=+x x p x x . ∵OA ⊥OB ，∴02121=+y y x x ，而)52)(52(2121+-+-=x x y y 25)(1042121++-=x x x x . ∴025)(10521212121=++-=+x x x x y y x x ，即05)(22121=++-x x x x ，∴05)10(425=++-p ，∴.45=p 经检验，45=p 符合题意，∴所求抛物线方程为x y 252=.21．解：（1）.23)(2ax x x f +-='根据题意，.2,123,14tan)1(==+-∴=='a a f 即π（2）由（1）知， 42)(23-+-=x x x f , 则2()34f x x x '=-+.∴对于任意的[]1,1m ∈-，()f m 的最小值为()04f =-. ∵()234f x x x '=-+的对称轴为23x =，且抛物线开口向下， ∴[]1,1x ∈-时，)(x f '最小值为()1f '-与()1f '中较小的. ∵()()11,17f f ''=-=-，∴当[]1,1x ∈-时，()f x '的最小值是7-， ∴当[]1,1n ∈-时，()f n '的最小值为7-，综上所述，对于[],1,1m n ∈-，()()f m f n '+的最小值为11-. 22．解：（1）由已知，)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===. 设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF =3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当时，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x 时，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4.（2）假设存在满足条件的直线l ，易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时， 直线l 与椭圆无交点，所以直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为)5(-=x k y .由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得，依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，线段CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=∴+=+k k x x x k k x x ， .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F ，由12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅k k k k k kk k k RF 得 20k 2=20k 2－4， 而20k 2=20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|.。
吉林省东北师大附中-度高二数学下学期期中考试试卷(理)
5.设 ,则 的展开式中第五项的二项式系数为( )
A.13608B.5670C.70D.56
6.若曲线 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的( )
A．－2 B．0 C．1 D．－1
7.已知 的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，则展开
式中含 项是第( )
22.(本题满分12分)
已知函数 .
(1)求 在[0,1]上的极值；
(2)若对任意 ,不等式 成立,求实数 的取值范围；
(3)若关于 的方程 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 的取值范围.
参 考 答 案
一、选择题（本题共有10小题，每小题4分,共40分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A.一项B.二项C.四项D.六项
8.曲线 与直线 所围成的图形面积为( )
A. B.2C. D.
9.设 ，则 ( )
A. B. C. D.
10.用数学归纳法证明“ ”时，从 到 ，等式的左边需要增乘的代数式是( )
A． B． C． D．
11.函数 在(0,1)内存在极小值,则下列关系成立的是( )
A. B. C. D.
17.(本题满分6分)
已知复数 ,且 ,求实数 的取值范围.
18.(本题满分8分)
一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
19.(本题满分8分)
吉林高二高中数学期中考试带答案解析
吉林高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部是A．B．C．D．2.曲线在点处的切线的倾斜角为A．B．C．D．3.函数是上的连续可导函数，其导函数为，已知，则的极值点为A．，B．C．D．4.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则A．B．C．3D．5.某校食堂的原料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出对的回归直线方程为，则表中的值为（）A. 60B. 50C. 55D. 656.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度A．B．C．D．7.如下五个命题:①在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；③正态曲线关于直线对称,这个曲线只有当时,才在轴上方；④正态曲线的对称轴由确定，当一定时，曲线的形状由决定，并且越大，曲线越“矮胖”；⑤若随机变量，且则；其中正确命题的序号是A．②③B．①④⑤C．①④D．①③④8.用数学归纳法证明假设时成立,当时,左端增加的项数是A．1项B．项C．项D．项9.袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）A．B．C．D．10.若幂函数的图象过点，则函数的单调递减区间为A．B．C．D．11.如图是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（）A．-1B．0C．2D．412.已知定义在上的可导函数，满足①，②，(其中是的导函数，是自然对数的底数)，则的范围是A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点处的切线方程为 .2.计算由曲线所围成的封闭图形的面积__________．3.已知是函数的导函数，若在处取到极大值，则实数的取值范围是____________．4.已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的有_____________(填上序号) ．①②③④三、解答题1.某种设备的使用年限 (年)和维修费用 (万元),有以下的统计数据:（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．2.用数学归纳法证明对一切3.某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的列联表：爱好不爱好合计（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列，数学期望及方差；（Ⅱ）根据表中数据，能否有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关？若有，有多大把握？附：4.已知是虚数单位．（Ⅰ）复平面内表示复数的点位于第四象限，求满足条件的取值集合；（Ⅱ）复数，，并且，求的取值范围．5.已知函数．（Ⅰ）当时,求的单调区间；（Ⅱ）若的图象与的图象有3个不同的交点,求实数的取值范围．6.设，曲线在点处的切线与直线垂直．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）求证：．吉林高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C．2.曲线在点处的切线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以切线的斜率是，即，应选答案B。
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吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二数学下学期期中试题理注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1．对任意正数a ，b ，a ＋b ≥2ab 大前提x ＋1x ≥2 x ·1x小前提所以x ＋1x≥2 结论以上推理导致错误的原因是( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误2. 在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，假设正确的是 ( ) A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1 B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1 C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不小于1 D. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1 3．关于复数z=的四个命题：p 1：复数z 对应的点在第二象限， p 2：z 2=2i ， p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为﹣1． 其中的真命题个数为（ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44. 抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )A.13B.118C.16D.195．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x 3log e ；②(2log x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x e x )′＝e x＋1.A ．2B ．3C ．4D ．56. 用数学归纳法证明不等式“*1111(2,)2321n n n n N +++⋅⋅⋅+<≥∈-”的过程中，当由n k =变到1n k =+时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．k -12项D ．k 2项7. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )8. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.9110B.2755C.27220D.21559.2(cos4x dx π⎰的值为（ ）A ． 1ππ+B.πC ．1π+D ．4ππ+10. 已知函数()sin f x x x =-，若1212,[,],f()f()022x x x x ππ∈-+>且，则下列不等式中正确的是 ( )A ．12x x > B. 12x x < C.120x x +> D.120x x +< 11.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝( )A.49 B.79 C.1927 D.262712．已知函数()||x f x xe =，方程2()+()10()f x tf x t R +=∈有4个实数根，则t 的取值范围为( )A.21(,)e e ++∞B.21(,)e e +-∞-C.21(,2)e e +--D.21(2)e e+-，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a 为正实数，i 为虚数单位，且a ii +＝2，则a ＝__________ 14. 若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()1f -=________.15. 用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设()}min2x f x =-+，则()2f xd x =⎰___________ .16．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有1122122()()()(),x f x x f xx f xx f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数3132sin cos y x x y x x x =-++=--①；②（）；ln ||01;xx x y e y x ≠⎧=+=⎨=⎩③；④以上函数中是“H 函数”的所有序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每小题12分，共70分）17. （本题满分12分）某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．18. （本题满分12分）已知函数()()x f x x k e =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[0,1]上的最小值．19. （本题满分12分）某高校一年级开设,,,,,A B C D E F 六门选修课，每位同学须彼此独立地选四门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选三门课程．乙、丙两名同学从六门课程中随机任选四门课程．（1）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列．20. （本题满分12分）已知数列2112(2)1{}(), 1.1n n n n n n a na n a a n N a a +++-++=∈=+满足且 （1）求234,,,n a a a a 猜测 , 并用数学归纳法证明；（2）若4n ≥，试比较3n a与()2122nn n -⋅+的大小，并给出证明过程.21. （本题满分12分）已知函数e ()xf x x=.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；22. （本题满分10分） 已知函数()ln(1)f x x ax =+-在(0,(0))f 处的切线与函数212y x =相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2(1)(1)(1)()k x xf x x k Z +-<-+∈对任意1x >恒成立，求k 的最大值.2015---2016学年（高二）年级下学期 期中考试数学（理）学科答案 一．选择题二．填空题13. 3 ; 14. 12 ; 15.76; 16. ② ③ 三．解答题17. 解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝23×23×13＝427. 4分(2)由题意知随机变量ξ～B (3，13)，则P (ξ＝0)＝03C (13) 0(23)3＝827，P (ξ＝1)＝13C (13)(23)2＝49，P (ξ＝2)＝23C (13)2(23)＝29， P (ξ＝3)＝33C (13)3 (23)0＝127， 10分 ∴ξ的分布列为12分18. 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x.令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. 2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． 6分(2) 当k －1≤0即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.12分19.解：（1）设事件1A 为“甲同学选中C 课程”，事件2A 为“乙同学选中C 课程”．则231343()4C P A C ==，352462()3C P A C ==． 因为事件1A 与2A 相互独立， 2分所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为12321()(1)434P A A =⨯-=． 4分 (2）设事件3A 为“丙同学选中C 课程”．则353462()3C P A C ==． 5分X 的可能取值为：0,1,2,3． 6分2321(0)(1)(1)4336P X ==-⨯-=212323227(1)(1)(1)(1)4343336P X C ==⨯-+-⨯⨯⨯-= 1223223216(2)(1)(1)()4334336P X C ==⨯⨯⨯-+-⨯=23212(3)()4336P X ==⨯= 10分X 为分布列为：12分20.解：（1）2342,3,4a a a === ，猜想n a n = 2分 证明：当1n =时，11a =成立 假设(1)n k k =≥时，k a k =成立则当1n k =+时，22122(2)1(2)1111k k k k k a ka k k k k k k a k a k ++-+++-⋅++===+++也成立 所以，*()n a n n N =∈成立 5分（2）猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+， 6分下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+，两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥ 时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122nnn n >-⋅+成立. 12分21.【解析】（Ⅰ）解：2e e '()x x xf x x-=. ………2分 因为 切线0ax y -=过原点(0,0)，所以 00000200e e e x x x x x x x -=. ………4分 解得：02x =. ………6分（Ⅱ）证明：设2()e ()(0)x f x g x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=. 令24e (2)'()0x x x g x x-==，解得2x =. ……8分 x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e 4. ………10分所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >. ………12分22. 解：（1）因为1()1f x a x '=-+，所以切线方程为(1)y a x =- ， 2分 联立2(1)12y a x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(1)0x a x --= ，由0∆= 得1a =所以()ln(1)f x x x =+-，所以1()111xf x x x '=-=-++. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 5分2min '2'0(1)ln (2)()(1)111()(1)1ln 2()6(1)1()ln 2,()10,()1+7(3)1ln 30,(4)2ln 40()(3,4),xf x x x x xg x x x x k g x x k x x g x x h x x x h x h x xh h h x x -++==>--+<>+<--=-=--=->∴∞=-<=->∴∈ 令即是恒成立，即求[g(x)]由分则在（，）上递增 分而存在唯一零点00'00'0000000000min 000000ln 209(1,)0,()0(,)0,()0()1),)ln (2)(),11111,(3,4x x x x g x x x g x g x x x x x x x x x g x x x x k x k Z x k --=∈=<∈+∞=>+∞+-+====--∴+<∈∈∴ 即分当）时，h(x)<h(x 当）时，h(x)>h(x 所以在（，递减，在（递增故[g(x)]分又），的最大值是212 分。