高一必修五解三角形

一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即1．直角三角形中：sinA=ca ，sinB=cb ， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2. 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD DaA a 2sin sin ===同理 B b sin =2R ，Ccsin ＝2R二、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAa sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Ab a 已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、正弦定理的变形公式1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; 2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;3）a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R5）asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA一、余弦定理定义：三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．公式： a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为证明：方法一 ：如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b∵+=∴)()(+∙+=∙222+∙+=22)180cos(||||2B +-∙+=22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 方法二：以顶点A 为原点，射线AC 为x 轴正半轴建立直角坐标系。

由两点的距离公式有：AB两边平方，得同理可证另两式二、余弦定理的应用。

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

(见解三角形公式)判定定理(角边判别法):一当a>bsinA时①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解；②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当b<a时,则有一解二当a=bsinA时①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；三当a<bsinA时,则有零解(即无解)；三、练习例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC 例5 在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A.2R B.R C.4R D.R 21(R 为△ABC 外接圆半径)例6 △ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形 例7 在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos ba b B a A -=-例8. 在ABC ∆中，若30B = ，2AB AC ==，求ABC ∆的周长。

例9. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长,且cos 3cos C a cB b-=。

（1）求sin B ；（2）若b =a c =，求ABC ∆的面积。

例10. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，若cos ,sin b a C c a B ==，试判断ABC ∆的形状。

例11. 已知有,A B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方。

现在甲船从A 岛出发，以9海里/时的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B 岛向南偏东60 方向行驶。

问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。

例12. 在ABC ∆中，已知150,3A a == ，则其外接圆的半径R =（ ）A ．3B Ｃ．2 D .不确定例13. 在ABC ∆中，sin sin A B <是A B <的（ ）A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例14. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，下列等式恒成立的是（ ）。

A ．cos cos a C c A =B ．sin sin bC c A =C ．sin sin ab C bc B =D ．sin sin a C c A =例15. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，且::2a b c =，则sin :sin :sin A B C =（ ）。

A 2:1B ．C ． 1:D ． 2 例16. 在ABC ∆中，已知三边6,7,8a b c ===，试判断ABC ∆的形状。

例17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长。

已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，求A ∠的大小及sin b Bc的值。

例18. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长。

求证：()222sin sin A B a b c C--=。

例19. 某观测站C 在目标A 的南偏西25 方向，从A 出发有一条南偏东35 走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米后到达D 处，此时测得C 、D 间的距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？例20. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，已知222a c b bc +=+，且):1:2a c =，求内角C 的大小。

1. 解：0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B由C c A a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 0=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 000+=+⨯==⨯==C B c b 2. 解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+=c b a3. 解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b4. 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADBAD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDCDC BC DBC DC BDC BC ==即∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ∴sinABD ＝sinDBC. ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sinADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sinBDC∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCADBC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.5. A6. A7.B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A = ⇒2222sin sin bBa A =⇒222cos 12cos 1b B a A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=- 8. 思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角C 给找出，进而把问题解决。

解：由正弦定理得 sin sin AB B C AC ==,AB AC C B >∴> ，60C = 或120。

（1） 当60C = 时，90A = ，4BC =，ABC ∆的周长为6+；（2） 当120C = 时，30A = ，,2A B BC AC ===，ABC ∆的周长为4+综上，ABC ∆的周长是6+4+。