2009年春季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷

2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷

(总分：28.00，做题时间：90分钟)

一、填空题(总题数：6，分数：12.00)

1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.已知x=0．045，y=2．013_____

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)

解析：

3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)

解析：

5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

6.______，该公式的代数精度为_____．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

二、计算题(总题数：2，分数：4.00)

7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-

，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，

因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-

=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：

8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭

代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)

解析：

三、综合题(总题数：6，分数：12.00)

9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=

(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )

解析：

10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=

，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)

解析：

11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)

求I(f)- 形如的截断误差表达式．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，