2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题十六圆锥曲线方程课件文.ppt
圆锥曲线复习课件
本次课程将为您复习圆锥曲线的基本概念、分类、通式以及应用。我们会讨 论每种曲线的方程和性质，以及它们在不同领域中的应用。在这个PPT课件中， 您将学到一些基础概念，发现领域内的巧妙用法，甚至可以了解到曲线中的 美学和艺术价值。
圆锥曲线基本定义和分类
定义
圆锥曲线是平面上的一条曲线，由一条平面直线与一个圆锥相交而成。
学习要点回顾
你学习了圆锥曲线的定义和分 类，以及每个曲线的一般方程 和基本性质。
下一步学习计划
你可以通过进一步研究领域内 的应用，来深入了解曲线的美 学和艺术方面。你也可以拓展 学习更高级的曲线和更复杂的 几何概念。
分类
圆锥曲线分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
通式
通式是描述圆锥曲线的一般方程，可以用来表示三种曲线的具体形态。
椭圆的定义和方程
1
定义
椭圆是圆锥曲线的一种。它是焦点到直线距离之和为常数的(x-h)²/a²+ (y-k)²/b²= 1，其中(h, k)是坐标系中椭圆中心的坐标， a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
图形特征
双曲线不具有对称性，它的两 个分支向外扩张。与椭圆不同， 它不会相交而是会进一步分离。
抛物线的定义和方程
1
定义
抛物线是圆锥曲线的一种。它是从一点出发，做抛物线运动，所有位置在同一高 度的轨迹。
2
抛物线方程
抛物线的一般方程是y = ax²+bx+c，a、b、c是常数。
3
图形特征
抛物线具有轴对称性，是一个U形的曲线，有两个方向。抛物线也可以是开口向 下的。
对于每个圆锥曲线，具有一对焦点和一条 直线，它们决定了曲线的位置和形状。
圆锥曲线的应用
高考数学第一轮复习考纲《圆锥曲线与方程》课件25 文
(2)若斜率为12的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点，点 P1，32 为椭圆 M 上一点，记直线 PC 的斜率为 k1，直线 PD 的斜率为 k2，试问：k1＋k2 是否为定值？请证明你的结论．
解析：(1)平面区域 Ω：||xy||≤≤2 3 是一个矩形区域， 如图 12－1－2(1).
2．椭圆的方程与几何性质
1．若椭圆x22＋ym2＝1 的离心率为12，则实数__m__＝__32_或__83__. 2．已知椭圆的长轴长是 8，离心率是34，则此椭圆的标准方 程是__1x_62_＋__y7_2_＝__1_或__x7_2_＋__1y_62_＝__1_.
3．已知椭圆一个焦点到长轴1两个顶点间的距离分别是 3 3， 3，则椭圆的离心率是__2__.
2
考点 1 椭圆定义及标准方程
例 1：根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点
的距离分别为43 的一个焦点；
5和23
5，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆
(2)经过两点 A(0,2)和 B12，
3.
解题思路：(1)设出标准方程，结合第一定义，求出长轴长， 依题意结合图形求出短轴长．(2)设椭圆方程直接带入 A、B 两 点求出待定系数．
【互动探究】 3.如图 12－1－1，在平面直角坐标系中，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径的圆作圆 M，若过点 Pac2，0， 2
所作圆 M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为__2___.
图 12－1－1
例 4：(2010 年深圳调研)已知椭圆 M：ax22＋by22＝1(a>0，b>0) 的面积为 πab，且 M 包含于平面区域 Ω：||xy||≤ ≤2 3 内，向 Ω 内 随机投一点 Q，点 Q 落在椭圆 M 内的概率为π4.
2021版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线
2021版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线【高考目标定位】一、曲线和方程式1。
测试大纲点击了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
2．热点提示（1）本节重点介绍曲线与方程的关系以及曲线方程的探索方法；（2）这一部分主要以高考解题和答题的形式出现，属于中高级试题。
2、椭圆1。
测试大纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解圆锥曲线的简单应用。
2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的核心内容；直线与椭圆的位置关系是高考的重点。
（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。
三、双曲线1。
测试大纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。
（2）了解圆锥曲线的简单应用。
2．热点提示（1）双曲线、标准方程、偏心率和渐近线的定义是高考的重点；有时会检查直线和双曲线之间的位置关系，但这不是重点。
（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。
四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何学、标准方程和简单性质。
（2）了解二次曲线的简单应用。
2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程和性质是高考的重点。
直线和抛物线之间的位置关系是检查的重点。
（2）考题以选择、填空题为主，多为中低档题。
[大纲知识排序]一、曲线与方程一.通常，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与二元方程f（x，y）=0的实解建立以下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以该方程的解为坐标的点是曲线上的所有点。
这个方程叫做曲线方程，这个曲线叫做方程曲线。
注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2.寻找移动点轨迹方程的一般步骤（1）建立系统-建立适当的坐标系（2）设定点-设定轨道上的任意点P（x，y）（3）行列式-调度点P满足的关系(4)代换――依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
圆锥曲线PPT课件
则 P 点的轨迹形状为_双__曲_线__的_一__支_____．
本
解析 由动点P满足PA－PB＝3<4＝AB，
课 栏
结合双曲线的定义及右图可知：点P的轨
目 开
迹是以A、B为焦点的双曲线的一支．
关
第14页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
探究点三 抛物线的定义
问题 1 用平面去截圆锥面，怎样得到一条抛物线？
答案 设圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥 面的顶点的截面与轴所成的角为α，当0<α<π2时，截线
本
的形状是椭圆．(如图阴影部分)
课
栏
目
开
关
第5页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
问题 4 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板， 能画出椭圆吗？
答案 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出
目
开 4． 椭圆、双曲线、抛物线统称为__圆_锥__曲_线______.
关
第3页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
探究点一 椭圆的定义
问题 1 什么是圆锥面？
本
课 栏
答案 圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直
目 开
线(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．
能力．
第1页/共24页
填一填·知识要点、记下疑难点
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
1． 椭圆的定义
平面内到_两__个__定_点__F_1，__F_2的__距__离_的__和________等于常数(大于
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程圆锥曲线的综合应用课件
2a(长轴长)．
②双曲线上不同支的两点间最小距离为 2a(实轴长)．
③椭圆焦半径的取值范围为 [a－c，a＋c] ，a－c 与 a＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小
距离与最大距离．
④抛物线上的点中 顶点 与抛物线的准线距离最近．
(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第十章 圆锥曲线与方程
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第5讲 圆锥曲线的综合应用
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点二 圆锥曲线的综合应用
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．已知
F1、F2
是双曲线
M：y42－mx22＝1
的焦点，y＝2
5
5 x
是双曲线
M
的一条渐近线，离心率等于34的
椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设|PF1|·|PF2|＝n，则( )
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1 圆锥曲线的最值与范围问题
(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：
第一部分专题十六电离常数、水解常数、溶度积常数巧应用-2025届高考化学二轮复习课件
＝10－13 mol/L，即 Ksp(CdS)＝10－26，错误；B 项，③为 pH 与－lg c (S2－)的
关系曲线，④才是 pH 与－lg c (HS－)的关系曲线，错误；C 项，Ka1＝
c
（H＋）·c （HS－） c （H2S）
，利用曲线
④上的任意一点，如点(1.6，6.5)推知，pH
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已知：Ksp(FeS)＝6.5×10－18，Ksp[Fe(OH)2]＝5.0×10－17；H2S 电离常数 分别为 Ka1＝1.1×10－7、Ka2＝1.3×10－13。
①在弱碱性溶液中，FeS 与 CrO42－ 反应生成 Fe(OH)3、Cr(OH)3 和单质 S，其离子方程式为________。
[答案] 10
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4．[2022·江苏卷，14(1)]纳米 FeS 可去除水中微量六价铬[Cr(Ⅵ)]。在 pH ＝4～7 的水溶液中，纳米 FeS 颗粒表面带正电荷，Cr(Ⅵ)主要以 HCrO－4 、 Cr2O27－ 、CrO24－ 的形式存在，纳米 FeS 去除水中 Cr(Ⅵ)主要经过“吸附→ 反应→沉淀”的过程。
。
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真题再研
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考向一 Ka、Kb、Kh 的计算及应用 1．(2023·浙江 1 月考，13)甲酸(HCOOH)是重要的化工原料。工业废水 中的甲酸及其盐，通过离子交换树脂(含固体活性成分 R3N，R 为烷基)因静 电作用被吸附回收，其回收率(被吸附在树脂上甲酸根的物质的量分数)与废 水初始 pH 关系如图(已知甲酸 Ka＝1.8×10－4)，下列说法不正确的是( )
实验Ⅱ：往 20 mL 0.10 mol·L－1 NaHC2O4 溶液中滴加 0.10 mol·L－1 CaCl2 溶液。
届高考数学专题总复习圆锥曲线方程精品PPT课件
⑷
|F1K1|=|F2K2|=p=
b2 c
，
A2 B
A1B
a2 b2
一、椭圆 3.标准方程：
x2 y2 1 a2 b2
(ab0)
c2 a2b2
y
O
y ba Oc F x
y2 x2 1
a2 b2
(ab0)
x
c2 a2b2
一、椭圆 3.标准方程：
x2 y2 1 a2 b2
y
O
x
(ab0) c2a2b2
点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是
研究的手段;
椭圆中有一个十分重要的 三角形OF1B2（如图），它 的三边长分别为a、b、c.
B2 aθ b F1 c O F2
易见
c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则
cosθ=
c a
=e.
椭圆的定义中应注意常数2a大于|F1F2|=2c.
一、椭圆 例1（2009广东卷理）已知椭圆C的中心在坐标原点，
已知
F1 、
F2
是椭圆 C
:
x2 a2
Байду номын сангаас
y2 b2
1（ a ＞ b ＞0）
的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF1 PF2 .
若 PF1F2 的面积为 9，则 b = 3
SF1PF2
b2tanF1PF2 2
y P 90°
b2 tan450
F1 O F2
x
b2 9
一、椭圆
例3（2009北京文理） F1PF2 120
圆的离心率为 B
A． 2 B． 3 C． 1 D． 1 P y
2
3
2
2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题十六圆锥曲线方程理含解析
专题十六 圆锥曲线方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·白银二模)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8 答案 B 解析 由双曲线C ：x 2－y 28＝1，可得a ＝1，b ＝22，c ＝3， 点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝－2a ＋2c ＝4.故选B.2．(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b a x ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎫－1，－b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ca＝ 5.故选D. 3．(2019·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，以点P (b,0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.52D.72答案 A解析 不妨设双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0与圆P 交于M ，N ，因为∠MPN ＝90°，所以圆心P 到bx －ay ＝0的距离为b 2a 2＋b 2＝b 2c ＝22a ，即2c 2－2a 2＝2ac ，解得e ＝ 2.故选A.4．(2019·黑龙江月考)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4 答案 D解析 由y ＝x 28得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D.5．(2019·咸宁模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1F 2P ＝( )A.45B.35C.5564 D ．－2340 答案 D解析 由题意可知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝5，设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝8，故|PF 1|＝16，|PF 2|＝8，又|F 1F 2|＝10，∴利用余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝－2340.6．(2019·安徽名校联考)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 答案 D解析 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2,0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|F A |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |，∴点B 为线段AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∵k >0，∴点B 的坐标为(1,22)，∴k ＝22－01－(－2)＝223.故选D.7．(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c,0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF的面积为( )A.12B.32 C ．1 D ．2 答案 C解析 联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.8．(2019·广西南宁联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55 答案 C解析 因为点M 为直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交的弦的中点，所以由中点弦公式可知y M ＝－b 2a 2x M ，代入M (－4,1)的坐标，解得b 2a 2＝14，则e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32.故选C. 9．(2019·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34 答案 A解析 ∵圆O 与直线BF 相切，∴圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bca ，∵四边形F AMN 是平行四边形，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得(a ＋c )24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，∴5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，∴e ＝35.故选A.10．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.11．(2019·嘉兴二模)已知A (3,0)，B (－2,1)是椭圆x 225＋y 216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和为( )A ．20B ．12C ．22D ．24 答案 A解析 由题意知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，由椭圆的定义知|MF 1|＋|MA |＝10，所以|MA |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF 1|.又||MB |－|MF 1||≤|BF 1|，所以－|BF 1|≤|MB |－|MF 1|≤|BF 1|，如图，设直线BF 1交椭圆于M 1，M 2两点．当M 为点M 1时，|MB |－|MF 1|最小，当M 为点M 2时，|MB |－|MF 1|最大．所以|MA |＋|MB |的最大值为10＋2，最小值为10－ 2.故|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和为20.12．(2019·衡水中学高三上学期四调)已知y 2＝4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2＝4x 于A ，B ，∠AFB ＝60°，|AB |＝( )A.476B.473 C ．4 D ．3答案 B解析 设A (x 1,2x 1 )，B (x 2,2x 2 )，x 2>x 1>0，因为k QA ＝k QB ，即2x 2x 2＋1＝2x 1x 1＋1，整理化简得x 1x 2＝1，|AB |2＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1 )2，|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，代入余弦定理，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos60°整理化简得，x 1＋x 2＝103， 又因为x 1x 2＝1，所以x 1＝13，x 2＝3，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1 )2＝473.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·桂林模拟)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．答案165解析 由题意知，a ＝3，b ＝4，c ＝5，从而|F 1F 2|＝10，||PF 1|－|PF 2||＝6.设|PF 1|与|PF 2|中较小的为s ，则较大的为6＋s ，因为PF 1⊥PF 2，所以s 2＋(6＋s )2＝100，得s 2＋6s ＝32.由△PF 1F 2为直角三角形，知点P 到x 轴的距离d ＝s (6＋s )10＝3210＝165.14．(2019·昆明模拟)已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是1283，则抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x 解析 如图，设抛物线的准线交x 轴于点D ，依题意得|DF |＝p ，|DF ||BF |＝cos30°，因此|BF |＝2p3，|AF |＝|BF |＝2p 3.由抛物线的定义知，点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，因此有12×2p3×2p 3＝1283，p ＝8，所以该抛物线的标准方程为y 2＝16x . 15．(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．答案255解析 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝⎛⎭⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.16．(2019·沈阳市高三一模)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为________．答案 3 3解析 由题意知，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，M (x 1，y 1)到焦点的距离等于到准线的距离，所以x 1＋32＝92，x 1＝3，y 21＝18，|OM |＝x 21＋y 21＝3 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·长春四校联考)已知平面上一动点P 到定点F (3，0)的距离与它到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求△MON 面积的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则(x －3)2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 化简得x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，得Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 化简，得m 2<4k 2＋1， ① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0， 化简，得m 2＋k 2＝54， ②|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 264k 2m 2(4k 2＋1)2－4·4m 2－44k 2＋1＝1＋k 2－16m 2＋64k 2＋16(4k 2＋1)2＝1＋k 24(20k 2－1)(4k 2＋1)2，∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △MON ＝12|MN |·d ＝12(5－4k 2)(20k 2－1)(4k 2＋1)2.设4k 2＋1＝t ，由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，所以65<t ≤6，16≤1t <56，S △MON ＝12(6－t )(5t －6)t 2＝12－36＋36t －5t 2t 2＝3－⎝⎛⎭⎫1t －122＋19≤1，所以当1t ＝12，即k ＝±12时，△MON 的面积取最大值，最大值为1.18．(本小题满分12分)(2019·北京高考)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解 (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0， 得n ＝1或n ＝－3.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．19．(本小题满分12分)(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的两点A ，B ，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)． 解 (1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0. ①由Δ1＝16－32k >0，解得k <12.直线n 的方程为y ＝－1k x ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k >0，解得k >0或k <－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ＜－2或0＜k ＜12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． 由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k 2k 2－2k －2＝－kk 2＋k －1，直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k MQ ，所以直线MN 过定点Q (2,0)．20．(本小题满分12分)(2019·三明高中联盟模拟)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >0)，点O为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为14.(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交y 轴于点T (0，t )(t ≠1)，问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)设点M 的坐标为(x 0，y 0)，AM →＝13AB →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，13， OM →＝OA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫2a 3，13，∴x 0＝2a 3，y 0＝13，又y 0x 0＝14，∴a ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 4k 2＋1，x 1x 2＝4t 2－44k 2＋1. 假设存在实数t ，使得以CD 为直径的圆恒过点B ，则BC →⊥BD →.∵BC →＝(x 1，y 1－1)，BD →＝(x 2，y 2－1)，∴BC →·BD →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋t －1)(kx 2＋t －1)＝0，得(k 2＋1)x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0，整理得5t 2－2t －3＝0，解得t ＝－35(t ≠1)， 即当t ＝－35时，符合题意． 21．(本小题满分12分)(2019·洛阳统考)已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y ＝32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，椭圆C 的另一个焦点是F 1，且MF 1→·MF 2→＝94. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点(－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△F 2PQ 的内切圆面积的最大值．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点M 在直线y ＝32x 上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2(c,0)，则点M ⎝⎛⎭⎫c ，3c 2.∵MF 1→·MF 2→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－32c ·⎝⎛⎭⎫0，－32c ＝94. ∴c ＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，过点F 1(－1,0)的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，则△F 2PQ 的周长为4a ＝8.又S △F 2PQ ＝12·4a ·r (r 为三角形内切圆半径)， ∴当△F 2PQ 的面积最大时，其内切圆面积最大．设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1，消去x 得(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.∴S △F 2PQ ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4. 令k 2＋1＝t ，则t ≥1，∴S △F 2PQ ＝123t ＋1t . 令f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2， 当t ∈[1，＋∞)时，f ′(t )>0，f (t )＝3t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增， ∴S △F 2PQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号，即当k ＝0时，△F 2PQ 的面积最大值为3.结合S △F 2PQ ＝12·4a ·r ＝3，得r 的最大值为34. ∴内切圆面积的最大值为9π16. 22．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)， 又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k . 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1， 化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。
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8．(2019·揭阳模拟)过双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两焦点且与 x 轴垂 直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为
()
A．2
3 B.2
C. 5－1
5＋1 D. 2
答案 D
答案
解析 令 x＝c，得|y|＝ba2，由题意得2ab2＝2c，故 c2－a2＝ac，e2－e－1 ＝0，e＝1＋2 5(负值舍去)，选 D.
专题十六 圆锥曲线方程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考 试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知 F 是双曲线 C：x42－y52＝1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF 的面积为( )
所以
P2
314，53，所以
S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.故选
B.
解析
2．(2019·上饶模拟)设椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F1，离心率为12， F1 为圆 M：x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心，则椭圆的方程是( )
A.x42＋y32＝1 B.x82＋y62＝1 C.x32＋y42＝1 D.x62＋y82＝1
3579 A.2 B.2 C.2 D.2 答案 B
答案
解析 由 F 是双曲线x42－y52＝1 的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|
x20＋y20＝3，
＝3.不妨设点 P 在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则x420－y520＝1，
解
得x20＝596， y20＝295，
答案 A 解析 圆心为(－1,0)，∴c＝1，∵ac＝12， ∴a＝2，b＝ 3.故椭圆的方程为x42＋y32＝1.故选 A.
答案
解析
3．(2019·陕西十二校联考)若二次函数 f (x)＝k(x＋1)·(x－2)的图象与坐
标轴的交点是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的顶点或焦点，则 k＝(
解析
5．(2019·武邑中学质检)已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)，四点 P1(4,2)，
P2(2,0)，P3(－4,3)，P4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为
()
55
77
A. 2 B.2 C. 2 D.2
答案 C
解析 根据双曲线的性质可得 P3(－4,3)，P4(4,3)在双曲线上，则 P1(4,2)
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
答案 D
答案
解析 由抛物线方程可得准线 l 的方程为 x＝－1，双曲线的渐近线方程 为 y＝±bax.
由y＝abx， x＝－1
解得 y1＝－ba，
由y＝－bax， x＝－1
解得 y2＝ba，
解析
∴|AB|＝y2－y1＝2ab. ∵|AB|＝4|OF|，∴2ab＝4，即ba＝2. ∴ac2＝a2＋a2 b2＝5aa22＝5，∴e＝ 5.故选 D.
A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 2
B. 2
C. 3
D. 5
答案 A 解析 因为渐近线方程为 y＝±bax，所以当 y＝－1 时，x＝±ab，所以12 ×1×2ba＝2，即 b＝a2，c＝ a2＋b2＝ 25a，e＝ac＝ 25，故选 A.
答案
解析
7．(2019·天津高考)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双 曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|＝ 4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．(x－2)2＋y2＝28 B．(x＋2)2＋y2＝7 C．(x＋2)2＋y2＝28 D．(x－2)2＋y2＝7 答案 C
答案
解析 ∵P 为椭圆 C：x72＋y32＝1 上一动点，F1，F2 分别为左、右焦点， 延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 7，|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝2 7，∴Q 的轨迹是以 F1(－2,0)为圆心，2 7为半径 的圆，∴动点 Q 的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝28.故选 C.
一定不在双曲线上，则 P2(2,0)在双曲线上，∴a＝2，146－b92＝1，解得 b2＝3，
∴c2＝a2＋b2＝7，∴c＝ 7，∴e＝ac＝ 27.故选 C.
答案
解析
6．(2019·潮州质量检测)若双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线与直线 y＝－1 所围成的三角形面积为 2，则该双曲线的离心率为( )
)
3 A. 2
B．±
3 2
C. 3
D．± 3
答案 B 解析 由题意得，椭圆 C 的一个焦点为(－1,0)，长轴的一个端点为(2,0)，
所以 a＝2，b＝ 22－12＝ 3，由(0，－2k)是椭圆 C 的一个顶点，得－2k＝ 3
或－2k＝－ 3，所以 k＝± 23.故选 B.
答案
解析
4．(2019·广西三市联考)设 P 为椭圆 C：x72＋y32＝1 上一动点，F1，F2 分别为左、右焦点，延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点 Q 的轨迹 方程为( )
解析
9．(2019·吉林市调研)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 A(4,3)，P 为
抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，则当△PAF 周长取得最小值时，线
段 PF 的长为( )
A．1
13 B. 4
C．5
21 D. 4
答案 B
答案
解析 当△PAF 周长取得最小值时，|PA|＋|PF|取得最小值，设点 P 在 准线上的射影为点 D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF| 取得最小值，即|PA|＋|PD|取得最小值．根据平面几何知识，可得当 D，P， A 三点共线时|PA|＋|PD|取得最小值，此时 P94，3，F (1,0)，PF 的长为94＋1 ＝143.故选 B.
解析
10．(2019·郑州质量检测)已知抛物线 C：y2＝2x，过原点作两条互相垂
直的直线分别交 C 于 A，B 两点(A，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的