江苏省赣榆县海头高级中学2017-2018学年高一下学期数学期阶段检测(四)

江苏省海头高级中学高一第二学期阶段检测（四）数学试题命题：张红志一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在题目中的横线上） 1. 计算：cos15︒=_______2.在三角形ABC中，已知222a b c +=，则角C 的值是_______.3. 若将函数sin()3y x π=-图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式为_______.4.已知角α的终边过点)12,5(-P ，则=αcos _______.5.473sin17-的值为_______.6．在等比数列}{n a 中，已知11=a ,243=k a ，3=q ，则数列}{n a 的前k 项的和k S 等于_______.7．在等比数列{}n a 中，公比6,15,12415=-=->a a a a q ，则=3a ______． 8．已知),2(,2,4ππβππα∈⎪⎭⎫⎝⎛∈，且1027cos ,2tan -==βα.则=-βα2______ 9.在ABC ∆中，已知5,4,3===BC AC AB ,则=⋅______. 10．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得060=∠NAM ,045=∠CAB 以及075=∠MAC ；从C 点测得60=∠MCA ；已知山高300=BC 米，则山高MN ＝______ 米．11.已知数列{}n a 中各项均为正数，21=a ，且2212+=+n n a a ，则=2018a ______.12.等差数列{}n a 的各项都不为零，其前n 项和为n S ，若n n n a a a+=++212，则=+12n S ______.13.如图，在平行四边形ABCD 中，过D 作对角线AC 垂线DH ，DH=3，则DH DB =______.（第11题）ACBNM14.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的n N *∈，总有314n n n S T +=，则34a b = ______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知：sin()2sin()044ππαα++-=． （1）求tan α的值； （2）若1tan()43πβ-=，求tan()αβ+的值．解：（1）sin()2sin()044ππαα++-=)0αααα++-= ，∴1tan 3α= ............6分 （2）∵1tan()43πβ-= ∴1tan 11tan 3ββ-=+，解得：1tan 2β= ...........10分 ∴11tan tan 32tan()1111tan tan 132αβαβαβ+++===--⨯ 16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos b c Ca A-=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积ABC S ∆=b c +的值；1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=2sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B ∴=+= ∵(0,)B π∈ ∴sin 0B >∴1cos 2A = ∵(0,)2A π∈ ∴3A π= ...........6分（2）∵11sin 22ABC S bc A bc ∆===∴12bc = ...........8分 ∵222222cos 13a b c bc A b c bc =+-=+-= 222()31331249b c b c bc bc ∴+=+-+=+⨯= ∵0b c +> ∴7b c += ...........14分17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则41214,2S a S a ==，不符合题意； (2)分则1q ≠ ∴421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪⎨--=⋅⎪--⎩，0n a >解得：13a q == (5)分∴1333n n n a -=⨯= ............7分（2）23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①234+13133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ② ...........9分①-②得：23113332132(333)(21)323(21)313n n n n n T n n ++-⨯-=⨯++++--⨯=⨯---⨯-1(22)36n n +=--⨯- ...........13分 ∴1(1)33n n T n +=-⨯+ ...........14分18.如图，在ABC ∆中，D 是BC 边一点，2=1= (1)用,表示AC ;(2)若02=+⋅AB BD AB ,求⋅的值；(3)若3=AB ,31cos -=∠BAC ,ABC19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．（1）将S表示为α的函数；（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由解直角三角形可得AB=2Rsinα，BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），α∈（0，）），再由矩形的面积公式可得S=2ABBC+ABBC，即可得到所求；（2）运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由题意可得ON=BM=Rsinα，BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），由BC＞0，可得α∈（0，），则S=2ABBC+ABBC=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α），（α∈（0，））；（2）S=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α）=（4+）R2（sin2α+cos2α﹣）=（4+）R2（sin2α+cos2α）﹣（4+）R2=（4+）R2sin（2α+）﹣（4+）R2由α∈（0，），可得＜2α+＜，即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．【点评】本题考查三角形函数的应用题的解法，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域的运用，属于中档题．20.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设{a n}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出．（2）S n==n2．可得=．根据数列{}为等差数列，可得=+，t2﹣2t=0．解得t．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，可得：该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴ =．∵数列{}为等差数列，∴=+，t 2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n =n 2，数列{b n }的前n 项和A n ==．数列{A n }的前n 项和U n =﹣n=﹣n ．数列a 1，b 1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2，b 3，…，a k ，b 1，b 2，…，b k ，…，∴该数列前k+=项和=k 2+﹣（k ﹣1），∵37=2187，38=6561．。