1960年全国高考数学试题及答案解析

合集下载

高考数学普通高等学校招生全国统一考试60

高考数学普通高等学校招生全国统一考试60本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立；那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的. 1．函数y =（）A ．[1,)+∞B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[23,1]D ．（23；1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f =（）A ．1B ．－1C ．35 D ．35- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C．D6．若向量a 与b 的夹角为60；||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件；s 是r 的必要条件；q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的：（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．不同直线,m n 和不同平面,αβ；给出下列命题（）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．若{}n a 是等差数列；首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><；则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（）A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左；右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上；且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为（） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮；这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着；现需要一只卡口灯炮使用；电工师傅每次从中任取一只并不放回；则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310 D ．712012．如图；棱长为5的正方体无论从哪一个面看；都有两个直通的边长为1的正方形孔；则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A ．258 B ．234 C ．222 D ．210第Ⅱ部分（非选择题共90分）13．若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-；则_______a = 14．已知)0,0(,232>>=+y x yx ,则xy 的最小值是____________ 15．已知曲线31433y x =+；则过点(2,4)P 的切线方程是______________ 16．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。

1960年高考数学试题

1960年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）解：移项得75522-=-x x 两边平方得,75522-=-x x 整理得.2,21,0252212===+-x x x x 得乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？. 解：共需比赛8552526=+C C （场）丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.解：设等比数列的首项为)0(>a a ，公比为)0(>q q ，即,,,2aq aq a分别取此等比数列各项的对数，即,lg 2lg ,lg lg ,lg q a q a a ++这就形成首项是,lg a 公差是q lg 的等差数列丁、求使等式2cos 2sin 12x x =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.解：要使等式2cos 2sin 12xx =-成立，必须,02cos ≥x由此可得角2x 在第一象限或第四象限而已知条件中限定x 为00~7200的角，由此可得︒≤≤︒︒≤≤︒36022709020xx 或 .7205401800︒≤≤︒︒≤≤︒∴x x 或戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长解：联结OA 则OA=OC=6（mm) OD=CD-OC=9-6=3(mm ）又)(3393622mm OD AO AD =-=-=).(362mm AD AB =⋅=∴己、四棱锥P-ABCD 的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知PA=3cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长解：∵ABCD 是正方形，而且PA ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BC （三垂线定理）在直角△PAB 中)(4352222cm PA PB AB =-=-=在直角△PBC 中).(41452222cm BC PB PC =+=+=2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.C OA B DP A D B C解：设长方体底面的长是xcm ，宽是ycm.根据题意可得方程组，).(52),(5410040)52(8002022222cm y cm x y x xy y x xy ==⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=⨯=+=解得即 3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）解：由题意，船位于点O ，看到灯塔A ，半小时后船沿OB 方向行至B ，由于A 在B 的正西，所以延长BA 交OC 于C ，且必有BC ⊥OC∵∠OBC=∠BOC=450， ∴OC=BC=OB ·sin450=15×22 CA=OC ·tg300=15×22×23=265（里）∴AB=CB-CA=5.4)33(2252652215≈-=-（里）故这时船与灯塔的距离约为4.5里4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数; （2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; （3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围解：（1）因为矩形周长为6米，所以若设其长为x 米，则其宽为O 东450300 C A B 南3-x∴窗户的面积y=x(3-x)=-x 2+3x. （2）由y=-x 2+3x ，可得49)23(2+--=x y 故其顶点坐标为),49,23(对称轴方程为.23=x（3）令x 2-3x=0，∴x 1=0,x 2=3. 故图象与x 轴相交于点（0，0），（3，0），其图象如图根据问题的实际意义，必须y>0，所以x的允许值范围为: 0<x<3.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根解：由题设，方程的两个根相等，故其判别式.60,).(2cos 21cos ,02cos 3cos 2,0cos 24)cos 1(16,0cos 24sin 16,0cos 324)sin 4(422222︒=θ∴θ-=θ=θ=-θ+θ=θ-θ-=θ-θ=θ⋅⋅-θ-=-=∆为锐角由已知舍或解之得ac b由此，原方程化为.23,0233222==+-x x x 其相等的二根为Y （49,23） O X乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x 解：消去x ，得,12)8(=-y a.8816,812aax a y --=-=于是可得欲使其解x,y 均为正数，必须.8,2.08,0816,0812,08816<<∴>->->->--a a a a aa a 即必须故当2<a 时，方程组的解均为正数。

1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

1949年北大清华联合招生数学试题一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=．三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）．四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅．五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分．六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+．七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线，其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上．九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条．十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根．二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长．三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数．五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形．六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高．七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-．八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为．甲组第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为． 2．32452x x x -+-的因子是． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年岁．乙、丙组第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-．（3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---．乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和．戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件：（1）被1x -整除，（2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数．丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为的中点，E 为的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求（1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。

1960高考数学试题

1960高考数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

60年代高考物理试题大全（含答案）

60年代高考物理试题大全目录1960年全国高考物理试题--------------------2 1961年全国高考物理试题----------------------7 1962年全国高考物理试题---------------------14 1963年全国高考物理试题---------------------22 1964年全国高考物理试题---------------------34 1965年全国高考物理试题---------------------39 1966年全国高考物理试题（缺答案）-----------48 1967-1969年全国高考物理试题（高考中断）----511960年全国高考物理试题　一、12.5吨重的电车,在水平道路上由静止开始运动,经过30秒钟速度达到6米/秒.把电车的运动当作匀加速运动,设阻力等于车重的0.02,求电车的牵引力.答案:_____________________________(12分) 二、设人造地球卫星离地心的距离为r,以地心为圆心作匀速圆周运动.已知答案: _______________________________(6分) 三、用焦距是5厘米的放大镜观察物体.为了使所成的虚像距放大镜25厘米,物体应放在什么地方?画出成像的光路图.答案: ________________________________(10分) 四、在下列四题中任意选作三题:(如四题都作,必须划去一题;否则,按(1)、(2)、(3)题给分.) (1)单色光从空气进入水中.它的波长、频率和传播速度,什么改变?什么保持不变? 答案: __________________________ (2)把红外线、伦琴射线、无线电波、紫外线和可见光线,按照频率由大到小的次序排列出来. 答案:________________________________ (3)下图是用来开动或停止电动机的光控替续器的示意图.试简要说明其工作原理. 答案: _____________________________ (4)已知氢原子的核外电子在第二条轨道上运动时的能量是E2,在第三条轨道上运动时的能量是E3,普朗克恒量是h.试求氢的核外电子从第三条轨道跃入第二条轨道时所发出的光的频率. 答案: _____________________________(9分) 五、试简要回答下列问题: (1)原子堆中为什么要用石墨和镉棒? 答案:_______________________________ (2)什么叫做热核反应? 答案: ____________________________(8分) 六、用效率为80%的锅炉来生产过热蒸汽.送入锅炉的水的温度是100℃,所产生的过热蒸汽的温度是290℃.水的比热取1卡/克·度,在这个锅炉中水的沸点是190℃,汽化热是480卡/克,过热蒸汽的比热取0.5卡/克·度.问每生产560千克过热蒸汽要消耗多少煤.(煤的燃烧值是7000千卡/千克.) 答案: _______________________________(10分) 七、在下列二题中任意选作一题:(如二题都作)必须划去一题;否则,按(1)题给分. (1)有一个气焊用的氧气筒,容积为100升.在温度为15℃时,筒上压强计所指出的压强是96大气压,求筒里氧气的质量.(在标准状况时每升氧气的质量是1.43克). (2)长江大桥的钢梁一端固定,另一端是自由的.这是为什么? 如果在-10℃时把两端都固定起来,当温度升高到40℃时,钢梁所承担的胁强是多少? (钢的线胀系数为12×10-61/度,弹性模量为2.0×104/千克重/[毫米]2). 答案: ___________________________________(10分) 八、绘出矿石收音机的线路图,并指出各主要部分的作用. 答案: ______________________________________(8分) 九、如何测定干电池的电动势和内电阻?在回答中应绘出线路图,标明图中各部分器材的名称,简要说明实验步骤,并写出最后计算式. 答案: _______________________________________(12分) 十、一个直流电动机的输入电压是220伏特,电枢的电阻是0.3欧姆.正常运转时,通过电枢的电流强度是100安培.问: (1)如果起动时通过电枢的电流强度不能超过150安培,应使用多大的起动电阻? (2)正常运转时电动机的反电动势是多少? (3)正常运转时电动机的输出功率是多少? (4)用这台电动机来带动效率为70%的起重机,以0.3米/秒的速度匀速地提起货物,能提起的重量是多少? 答案:(1) , (2) , (3) , (4) .(15分)1960年答案一、约5000牛顿. 评分标准:全题12分;加速度4分,牵引力8分. 计算加速度中单位错误,扣1分. 计算牵引力中单位错误扣3分;单纯运算错误扣1分;只写出方程F-f=ma,未继续运算下去的,给3分. 二、评分标准:全题6分. 三、约4.2厘米. 评分标准:全题10分;计算5分,作图5分. 计算中像距符号错误,不给分;单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 作图中虚线部分画成实线,不扣分;光路中完全未画箭头,扣1分. 四、(1)频率不变,波长和传播速度改变. (2)伦琴射线、紫外线、可见光线、红外线、无线电波. (3)a.当光照射光电管时,产生电流,这个电流经过放大器放大后使电磁铁M磁化,M吸引衔铁N,从而断开电动机电路. b.当光停止照射时,电磁铁失去磁性,弹簧使电动机的电路接通. 评分标准:全题9分,每小题3分. (1)频率、波长和传播速度中答错一个,全不给分. (2)任何一个的次序排错,全不给分;如果按频率从小到大的顺序排列而未加说明的,扣2分. (3)只答出"答案"中的a部分,给全分;在产生电流、经过放大、电磁铁的磁化三者中,每少答一个,就扣1分;超出"答案"的回答,无论正确与否,均不影响评分. (4)回答与"答案"不符的,不给分. 五、(1)石墨用来作中子的减速剂. 镉棒用来吸收中子,以控制反应快慢. (2)在温度足够高时,轻原子核具有足够的动能来克服原子核间电的斥力,于是发生聚变.这种反应叫做热核反应. 评分标准:全题8分,每一小题4分. (1)石墨、镉棒各2分. 只答石墨作减速剂,未说明是作中子的减速剂,扣1分. 只答镉棒吸收中子,未答用来控制反应快慢,扣1分;只答镉棒用来控制反应快慢,未答吸收中子,扣1分. (2)未答温度足够高的,扣2分;未答轻原子核发生聚变或只答原子核发生聚变的,扣2分. 超出"答案"的回答,无论正确与否,均不影响评分. 六、62千克. 评分标准:全题10分. 漏算水吸收的热、汽化热、蒸汽吸收的热三者中的任何一项,扣5分;效率乘除用错,扣3分;这两者都错,全题不给分. 单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 七、(1)约13千克. 评分标准:全题10分. 只算出氧气在标准状况下的体积或题设状况下的密度,给6分. 未用绝对温度来计算而造成错误,扣2分. 单纯运算错误,扣1分,单位错误,扣1分. (2)a.为了避免由于钢梁的热胀冷缩而产生有害的胁强. b.12千克重/〔毫米〕2. 评分标准:全题10分;a.2分,b.8分. 在a的回答中,把"有害的胁强"答成"破坏性的胁强",把"胁强"答成"应力"、"压强"等,只要意思正确,均不扣分;超出"答案"的回答,无论正确与否,均不影响评分在b的回答中,如只八、 1.可变电容器和线圈组成的线路起调谐作用. 2.矿石起检波作用. 评分标准:全题8分;线路图4分,回答4分. 线路图中,未正确画出谐振线路或未画出矿石的,不给分;未画出天地线的,扣2分;未画出听筒的,扣2分;电容器中未画出可变符号亦未注明其电容是可变的,扣1分. 线路图与"答案"不一样,只要能谐振、检波和收听的,同样给分. 回答中未说明谐振线路的作用或矿石的作用,各扣2分. 线路图和回答中超出"答案"的部分,无论正确与否,均不影响评分. 九、凡是能近似地测出ε和r的实验,都算正确答案. 评分标准:全题12分;线路图和标明器材名称4分,实验步骤5分,最后计算式3分. 在线路图中,未画电键、未标明导线的,均不扣分;但从线路图中看出电路的接法会损坏仪器的,例如安培计短路等,全题不给分. 未绘线路图,未写实验步骤,只写出计算公式的,即使运算正确,也全题不给分. 绘出线路图,未写实验步骤,写出计算公式的,即使运算正确,也只评线路图部分的分数. 实验步骤的叙述完整、基本正确,给5分;其中如包含不必要的步骤和测量不必要的数据,均不扣分;步骤不完整(例如没有测出全部必要数据)的,扣3分. 计算部分如已正确写出原始方程并指出求ε和r的途径,虽未算出最后表达式,亦不扣分. 如果只答出用伏特计直接测出ε,给3分. 十、(1)约1.2欧姆; (2)190伏特; (3)19千瓦; (4)约4.5吨重. 评分标准:全题15分;(1)4分,(2)4分,(3)3分,(4)4分.每小题中的单位错误,各扣1分;单纯运算错误,各扣1分;但因前面算错而影响后面计算结果时,不重复扣分.1961年全国高考物理试题　一、从光源发出的光投射到一个焦距为f的凹面镜上,所成的像和光源在镜的同侧,光源到镜的距离为像距的4倍.求像所在的位置,并画出成像的光路图.答案: (8分) 二、在下列两题中任意选作一题:(如两题都作,必须划去一题;否则,按题1给分.) 1.为了简便地称量一根较重的粗细不均匀的木料,使左端着地,抬起它的右端时,用的力是32千克量;使右端着地,抬起它的左端时,用的力是48千克重.问:(1)这根木料的重量是多少千克重?(2)它的重心离左端的距离是全长的几分之几?答案:(1) ;(2) (8分) 2.氢原子中的电子绕原子核作圆周运动的速度是2.2×8厘米/秒,求这时电子轨道的半径,(电子的质量和电量分别是9.1×10-28克和4.8×10-10静电系单位.)答案: (8分) 三、回答下列问题: 1.在如图所示的电路中,怎样用一个伏特计测出电源的路端电压,并近似地测出它的电动势?在图上画出联接上的伏特计,并注明伏特计正负接线柱的符号.答案: (8分) 2.在测定物质比热的实验中,使用天平称量物体的质量时,必须先对天平进行调整.问:(1)怎样判断天平底座是否水平?如果不水平,应该调整什么?(2)如果指针不指零点,偏左怎样调整?偏右怎样调整?答案: (4分) 四、在直流电路里串联着A、B两个安培计.把0.015欧姆的电阻和安培计A并联,这时安培计A的示数是0.4安培,安培计B的示数是1.2安培.求安培计A的电阻是多大.答案: (8分) 五、在下列两题中任意选作一题:(如两题都作,必须划去一题;否则,按题1给分.) 1.水平放置的平行板电容器,两板间的距离是2厘米,两板间的电势差是180伏特,上板带正电.一个电子由水平方向射入两板间.(1)求电子所受电场力的大小和方向(电子的电量是4.8×10-10静电系单位).(2)说明电子在水平和竖直方向上的分运动各是什么样的运动.答案: (10分) 2.回答下列问题: (1)什么叫做裂变和链式反应? (2)什么叫做聚变?为什么聚变必须在几百万度以上的高温下进行?答案: (10分) 六、有一个一端封闭的粗细均匀的细玻璃管,用一段长为16厘米的水银柱封入适量的空气,如图所示.这个装置可以用来测定大气压强.把管竖直放置:开口向上时,管内空气柱长是15厘米;开口向下时,管内空气柱长是23厘米.求: (1)这时的大气压强; (2)把管水平放置时,管内空气柱的长度. 七、一台四缸四冲程的内燃机,活塞面积是300(厘米)2,活塞冲程是300毫米.在第三冲程中,活塞所受的平均压强是4.5千克重/(厘米)2.在这个冲程中,燃气所做的功是多少?如飞轮转速是300转/分,这台内燃机燃气做功的功率是多少马力?答案: (8分) 八、回答下列问题: 1.一束白光从真空射入玻璃,已知红光在玻璃中的传播速度大于紫光在玻璃中的传播速度,向红光和紫光的折射角哪个大.为什么?答案: (4分) 2.在真空中频率是5×1014赫兹的色光,在水中传播时,它的波长是多大?(水对这种色光的折射率是4/3,光在真空中的传播速度是3×108米/秒.)答案: (4分) 九、在一台直流电动机,它的电枢线圈的电阻是0.6欧姆.把这台电动机接到电压是120伏特的电路中.这时,电动机的效率是95%.求电动机的输入功率.如果加在电动机上的电压保持不变,当电动机轴上的负载增加时,电流强度有什么改变?为什么?这时电动机的效率有什么改变?为什么?答案: (12分) 十、用一塔式起重机从地面提起2吨重的货物.货物竖直上升的加速度是0.4米/秒2.问:(1)起重机的钢绳所受的拉力是多少牛顿?(2)如起重机的效率是80%,货物做匀加速上升的头五秒内,供给起重机的能量是多少焦耳?(重力加速度是9.8米/秒2.)答案:(1) ;(2) (14分)1961年答案评分标准:全题8分.计算4分;作图4分. 计算中正负号错误,不给分.单纯运算错误,扣1分. 图中未画出光路进行方向的,扣2分. 设木料的长度是L,重心离左端的距离是x,则: 32L=Px, 48L=P(L-x); ∴ p=80千克重. 评分标准:全题8分.(1)4分;(2)4分. (1)中:直接相加得出答案的,不扣分.未注或注错单位的,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 2.约0.52×10-8厘米. 评分标准:全题8分. 未注或注错单位的,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 三、1.如图所示,电键开启时,伏特计的示数是电源的电动势;电键关闭时,伏特计的示数是路端电压. 评分标准:全题8分.电动势和路端电压各占4分. 只在图上画出伏特计的联法,而未加说明的不给分. 说明正确,仅伏特计正负接线柱接错或未注明正负接线柱符号的,扣2分. 2.(1)悬锤尖端与底座上固定尖端对正时,则底座水平;否则调整底座上的螺旋. (2)指计偏左,则旋转横梁上的调整螺旋,使它向左移;指针偏右,则使它向右移. 评分标准:全题4分.(1)2分;(2)2分. (1)中答成用水准仪判断底座是否水平且回答正确的,不扣分.回答内容正确,但天平零件名称与答案不一致的,不扣分. 四、0.03欧姆. 评分标准:全题8分. 只列出正确算式,而未进行运算的,给4分;只算出1的,给2分. 单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 五、1.(1)1.44×10-10达因,方向竖直向上. (2)水平方向作匀速运动,竖直方向作初速为零的匀加速运动. 评分标准:全题10分.(1)6分;(2)4分. (1)中:电场强度和电场力各占3分.只列出正确算式,而未进行运算的,给3分. 未注明电场力的方向或方向答错的,扣1分;单位每错一个扣1分;单纯运算错误,扣1分. (2)中:竖直方向和水平方向各占2分. 竖直方向只答匀加速运动的,可不扣分;但答加速运动的,扣1分. 2.裂变:重原子核受中子打击分裂为轻原子核. 链式反应:裂变时,同时放出中子,这些中子又被重核俘获,使裂变不断进行. 聚变:轻原子核聚合成为较重的原子核. 聚变条件:温度高,原子核的动能大,才能克服原子核间的斥力,达到发生核反应的程度. 评分标准:全题10分.(1)5分;(2)5分. (1)中:裂变占2分,链式反应占3分. 只画出链式反应图而未加说明的,可不扣分.答裂变时,未提中子打击的,可不扣分. 答裂变时未指出重原子核分裂的,扣1分. (2)中:聚变占2分;聚变条件占3分. 答聚变时未指出轻核聚合的,扣1分. 答聚变条件时,只答出温度高原子核动能大的,给1分. 六、(1)76厘米高水银柱;(2)18厘米. (1)(p0+16)×15=(p0-16)×23, ∴ p0=76(厘米高水银柱). (2)(76+16)×15=76×h, ∴ h=18(厘米). 评分标准:全题12分.(1)8分;(2)4分. (1)中:只列出正确算式而未进行运算的,给5分;只写出开口向上和开口向下时,管内空气压强为p0+16和p0-16的,给2分;只写出其中一个的,不给分. (2)中:只列出正确算式而未进行运算的,给2分.全题中,单位每错一个扣1分;单纯运算错误每错一个扣一分;因前一步运算错误而引起后一步运算错误的,不重复扣分. 七、405千克重·米;54马力. W=pSL=4.5×300×0.3=405(千克重·米). 评分标准:全题8分.功占4分;功率占4分. 每部分只正确列出算式,而未进行运算的,各给2分. 功率单位未化成马力的,扣1分;其它单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 2.4500埃(4.5×10-5厘米). 评分标准:全题8分.1.4分;2.4分. 2中:只正确列出算式,而未进行运算的,给2分;单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 九、1200瓦特. 电动机轴上负载增加时,电枢的转速减小,反电动势随着减小,根据评分标准:全题12分.计算部分6分;问答部分6分. 计算部分中只算出电流的,给4分, 单位错误,扣1分;单纯运算错误,扣1分. 问答部分中,每小部分各占3分.回答内容正确,措词与答案不一致的,不扣分. 十、(1)20400牛顿;(2)127500焦耳. 评分标准:全题14分.(1)6分;(2)8分. (1)中:能正确列出算式,而未进行运算的,给3分. 在运算过程中,由于各量采用不同单位系统,而引起错误的,扣2分;未注或注错单位的,扣1分;单纯运算错误,扣1分. (2)中:路程占3分,功和能占5分;能正确列出算式,而未进行运算的,给4分;如分步运算,只列出路程算式,而未进行运算的,给1分. 遗漏效率或运算时把效率乘除算错的,扣2分;单位每错一个扣1分;单纯运算错误,扣1分;由前一步错误而引起后一步错误的,不重复扣分.1962年全国高考物理试题　一、一个平行板电容器的电容C=0.003微法拉,两板的距离d=0.02厘米,把两板分别接在电动势ε=6伏特的电源两极上.求: (1)电容器所带的电量Q是多少; (2)两板间的电场强度E是多少. 答案:(1) ; .(8分) 二、硼(5B10)在俘获 -粒子后嬗变为具有放射性的氮,同时放出一个中子;放射性的氮又放出一个正电子而蜕变为碳的同位素.试分别写出硼的嬗变和氮的蜕变的方程.8分三、把下列各题的答案填入题中的括弧内: (1)在100℃时水的饱和汽压等于( ). (2)什么叫做空气的绝对湿度?( ) 什么叫做空气的相对湿度?( ) (3)有甲、乙、丙三个单摆,它们的摆长和质量如图所示.如果甲摆的周期等于2秒,那么乙摆的周期等于( ),丙摆的周期等于( ). (4)从分子运动论的观点来看,温度是( )标志.12分四、已知紫色光的频率大于红色光的频率.问玻璃对于哪一种色光的折射率大?( )一束平行的白光通过玻璃棱镜,红色光与紫色光的偏向角哪一个大?( )一束平行的白光通过一个凸透镜后,红色光和紫色光分别会聚在不同点,哪一种色光的会聚点离透镜较远?( )把答案写在括弧内.8分五、已知一个透镜所成物体的像是倒立的,而且像的长度是物体长度的2倍.问: (1)像是实像还是虚像? (2)透镜是凸的还是凹的? (3)如果物体和像之间的距离为90厘米,透镜的焦距等于多少? (4)根据透镜成像的作图法画出光路图. 答案:(1) ;(2) ;(3) (10分) 六、用下图所示的装置测定水的汽化热时, (1)如果在A中的水沸腾以前就把D管插入量热器的水中,实验结果会很不准确.为什么? (2)需要记录哪些温度,什么时候记录? (3)怎样测出量热器中凝结成水的蒸汽的质量? 10分七、由高度h=30米处水平抛出一个物体,物体的质量m=20克,初速度V0=20米/秒.若物体落地时速度V=30米/秒,求物体克服空气阻力所做的功.(设重力加速度g=10米/秒2) 答案: (8分) 八、在光滑的水平桌面A上叠放着两个静止的物体B和C,如下图所示.B的质量m B=500克, C的质量m C=100克.B和C之间有摩擦. 设以F=60克的力沿水平方向向左拉物体B,若B、C两物体仍保持相对静止而一起运动,求B给C的摩擦力f的大小和方向. 答案: (12分) 九、下图电路中,M为一直流电动机,它的电枢的电阻r=1.5欧姆;跟电动机串联的电阻R=8.5欧姆,电源的电动势ε=41伏特(电源的内电阻忽略不计).当电动机转动时,伏特计的示数V=24伏特(通过伏特计的电流忽略不计).求: (1)通过电动机的电流强度; (2)输入到电动机的电功率; (3)转变成机械能的电功率. 答案:(1) ;(2) ;(3) (12分) 十、如下图所示,有一水平的匀强磁场(磁场的方向指向读者).在垂直于磁场方向的竖直面内放一矩形金属框,框的一边AB可无摩擦地上下滑动(滑动时AB仍保持水平). (1)在图中画出AB边下落时框中电流的方向. (2)如果AB边匀速下落,试用下列数据求出下落的速度:AB边的质量m=0.2克,长度l=10厘米,AB边的电阻R=0.2欧姆(框的其他三边的电阻可忽略),磁场强度H=1000奥斯特,重力加速度g=1000厘米/秒2,空气阻力不计. 答案: (12分)1962年答案一、(1)1.8×10-8库仑;(2)1静电系单位. (1)电容器两板间的电势差等于电源的电动势ε,故Q=Cε=0.003×10-6×6库仑=1.8×10-8库仑. 评分标准:全题8分.(1)4分;(2)4分. 每问中只列出关系式的,各给2分. 单位每错一个扣1分. 单纯运算错误,共扣1分. 二、5B10+2He4—→7N13+0n1 7N13—→6C13+β+ 评分标准:全题8分.每一方程4分. α-粒子、中子、正电子和各元素符号写错的,各扣1分. 正电子写做e+或1e0的,不扣分. 每一方程中,质量数不平衡的,扣2分,电荷数不平衡的,扣2分. 由前一方程错误而引起后一方程错误的,不重复扣分. 每一方程所扣分数不超过4分. 三、(1)(76厘米高水根柱)或(1标准大气压). (2)(空气里所含水汽的压强叫做空气的绝对湿度) (某温度时,空气的绝对湿度跟同一温度下饱和水汽压的百分比叫做当时空气的相对湿度). (3)乙摆的周期是(2秒),丙摆的周期是(1秒). (4)(分子平均动能). 评分标准:全题12分.(1)2分;(2)4分;(3)4分;(4)2分. (1)中:答做1大气压的,不扣分. (2)中:每一答案2分. 绝对湿度答做单位体积空气中所含水汽的质量,或空气中所含水汽的密度的,不扣分. 相对湿度中,漏掉上面答案中"同一温度下"字样的,不给分;答作"空气的绝对湿度跟同一温度下饱和水汽压的比,叫做相对湿度"的,不扣分. (3)中:每一答案2分. (4)中:答作"分子动能"、"分子平均速度"或"分子速度"的,扣1分. 四、(紫光)(紫光)(红光) 评分标准:全题8分.2分;2分;4分. 第二问答错而第三问答对的,第三问不给分. 五、(1)实像;(2)凸透镜;(3)20厘米. (4)光路图:(画出三条线中任意两条即可.) (3)设物距为u,像距为v,透镜的焦距为f; 评分标准:全题10分.(1)2分;(2)2分;(3)3分;(4)3分. (3)中:只正确算出u,v的,给1分. 单纯运算错误,扣1分.单位漏写扣1分. (4)中:图中未画出光路进行方向的,扣1分;方向未画全的,不扣分. 六、(1)这样将有不到沸腾温度的蒸汽进入量热器,以致影响实验结果. (2)通入蒸汽以前,记录量热器中水的温度;取出D管后(或停止通蒸汽后),记录量热器中水的最高温度. (3)称出通蒸汽前后量热器小筒及其中的水的质量,求出两者之差. 评分标准:全题10分.(1)4分;(2)4分;(3)2分. (2)中:每问2分;每问中每一温度各1分. (3)中:答作:"称出通蒸汽前后水的质量之差"的,不扣分,超出上面"答案"的回答,无论正确与否,均不影响评分. 七、1焦耳(或107尔格). 设克服空气阻力所做的功为A,则评分标准:全题8分. 只列出关系式:关系式正确的,给3分;关系式中有正负号错误的,给1分. 关系式中有正负号错误而算出结果的,给2分. 关系式中缺任何一项的,不论有无计算结果,不给分. 关系式中A的正负号和上面"答案"中相反,但说明A系表示空气阻力对物体的功的,不扣分. 关系式正确,而数值代错算出结果的,扣3分. 单纯运算错误,扣1分. 单位错误扣1分. 八、10克(或9800达因,10,000达因),f向左. 设两物的共同加速度为a,则评分标准:全题12分.f的大小8分;方向4分. f的大小部分:只正确算出加速度的,给4分. 只正确列出关系式的,每式2分. 用隔离法计算的,按同样标准评分. 单纯运算错误,扣1分. 单位错误扣1分. f的方向部分:答作f与F方向相同,或f与C的运动方向相同,均可,在图上正确画出f的方向并标出f符号的,作为正确答案.图上画出方向,又有文字答案的,以文字答案为准. 九、(1)2安培;(2)48瓦特;(3)42瓦特. (1)设通过电动机的电流为I, (2)设输入电动机的电功率为N, N=IV=48瓦特. (3)设转变为机械能的电功率为N＇第一法:N＇=N-I2r=42瓦特. 第二法:N＇=Iε＇=I(V-Ir) =N-I2r=42瓦特. 评分标准:全题12分.(1)7分;(2)2分;(3)3分. (1)中:只正确列出关系式的,给4分. (2)中:只正确列出关系式的,给1分. (3)中:只正确列出关系式的,给2分. 由前一步错误而引起后一步错误的,不重复扣分. 单纯运算错误,共扣1分.单位每错一个扣1分.　十、 (1)电流方向如图;(2)400厘米/秒. (2)设电路中电流强度为I,根据磁力与重力平衡, 0.1HIl=mg, 设电路中感生电动势为ε＇, ε＇=IR=0.04伏特. 设下落速度为v, ε＇=10-8Hlv, 评分标准:全题12分.(1)2分;(2)10分. (2)中:根据0.1HIl=mg,求I部分:5分;只正确列出式子,给3分. 根据ε＇=IR,求ε＇部分:2分;只正确列出式子,给1分. 根据ε＇=10-8Hlv,求v部分:3分;只正确列出式子,给2分. 单纯运算错误,共扣1分.单位每错一个,扣1分.。

以来历年全国高考数学试卷全试题标准答案解析

1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？解：x=r θcos ,y=r θsin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法OABCEFD答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：A A ＇ αB B ＇ βB 1γ C C ＇C 1FGAC EBD1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线，可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3，由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线，可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c564321E QPRA BC又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫⎝⎛此即（2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ，即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x k y 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==由①，③可得：YA·P （x,y)O XBx 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx ，问x=？解：2x=x 21，x ≠0，∴202=X3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=1pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p kp y +-=4.若x x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB 连结O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆ANAM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144AO 1 O 2CB?123054321=9.祖冲之的圆周率π=？答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？解：cos2θ=1-2sin 2θ=97 14.方程tg2x=1的通解x=？解：).(82为整数k k x π+π=15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=335（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？解：即x+y –5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得： .812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：C1P2D A B.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b ab b a --- 解：原式=.)()(32310231272321223a b a b b a b a ==--乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r a r a =⎪⎭⎫⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解 ).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y YM O N X)1261,67(-3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx+=-+ )(0sin 4,1,0sin cos ,0sin )sin (cos 20)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .2)2(),()(2,).()(222222222ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由A 2AA 1O 1 O O 2,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以L h a a L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lha a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫⎝⎛'+'-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数解：设求的项为.802,32)2(333354551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅ 证：x x x 4cos 4sin 28sin =xx x x xx x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ .sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅∴ 丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证：AM=AN证：联结AD 与AE （如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA ， ∠ANM=∠EAN+∠NEA ，又∵AD=DB ，∠DAB=∠AED ，AE=EC ，∠ADE=∠EAC ， ∴∠AMN=∠ANM ， AM=AN.丁、求证正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直证：因ABCD 是正四面体，各个面都是等边三角形，过A 作AE ⊥BC ，联结DE ，则DE ⊥BC ， ∴BC 垂直平面AED ，而AD 在此平面内， ∴BC ⊥AD同理可证AB ⊥DC ，AC ⊥DB戊、求解.cos 3sin x x = 解：,cos 3sin x x =AD EM NBCDCA EB).(3,3为整数k k x tgx π+π==∴ 2．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u yx y x y x =-+=+=-+++12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为⎩⎨⎧=+=+)4(8)3(422 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧====-==∴=--=--⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r ），今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=（R-r ）cos α ∴DE=AD-AE=Rcos α-（R-r ）cos α=rcos α. OE=.cos sin 222222α+α=+r R DE OD4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切已知：M 为△ABC 的AB 的中点.求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.AA ＇ EB O D C分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如图）因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆作法：1）作线段A ＇B ＇M ＇，使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM2）以A ＇M ＇为直径作半圆3）过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4）在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5）经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根CPOA BMP ＇A ＇B ＇ M ＇043sin 231sin 2=++-x x 证：设AD=k （如图） ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，.2123,0432),2()23(22或==+--=∴k k k k k在直角△ACD 中，当23==k AD 时，,332323===AD CD tgA ∴A=300，B=600.当21==k AD 时，,32123===AD CD tgA ∴A=600，B=300. 总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin 23130sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin 23160sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根CA D B1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=2lg 10lg 7lg 2107lg 270lg-+=⨯= =0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求ii +-1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=ii i i i i i i i i i 原式丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.321<<-x 丁、求︒165cos 的值解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒.426)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-=戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值证：因为A 、B 为直线b 上两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）又因直线a 平行于直线 c b ,，所以，直线a ∥平面α（已知c b a ,,不在同一平面内），因此，不论点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3131己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l =圆台侧面积=πl （R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac D ahA B bOα cC.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222=±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即故所求AB ，BC 之长为⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，∴FG 2=FD ·FA …………① 又∵EF ∥CB ，∴∠1=∠2.而∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角 ∴△EFD ∽△AFE ，,FAEF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………②由①，②可得EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长; （3）P 点到l 的距离.解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D （如图）（1）过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴,22==a aBE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PBPA C G2 FO D1A 3 EBP450 EA a DB a C又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA.552cos sin ,5551cos =∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA（2）.55cos a PBA AB PB =∠⋅= （3）,552sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是2,551,552 （2）PB 的长为;551a （3）P 点到l 的距离为.52a1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD。

1966年全国高考数学试题及其解析

1966年全国高考数学试题及其解析1.有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法?2.一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.分别表示棱台的高和上、下底面的面积.）3.如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为θ.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是α和β.求C、D两点间的距离.4.已知双曲线的方程为16x2-9y2+64x+18y-89=0.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.5.解方程组:6.在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.(3)如果△ABC不是等边三角形,求证:△ABC与△ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似.1966年试题答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为所以一共有175+350=525种选法.2.解法一:如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE 和O1F,则OO1FE为直角梯形.从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.解法二:如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高.3.解法一:如图,在△ABD中,AB=a,∠BAD=θ-α,∠BDA=α-β,由正弦定理,得解法二:如图,从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.在直角三角形AED中,在直角三角形BED中,由(1)、(2)可得在直角三角形CED中,由(3)、(4)可得4.解法一:(1)把所给方程按x、y配方,得16(x+2)2-9(y-1)2=144.令x+2=x＇,y-1=y＇,(1)得16x＇2-9y＇2=144,所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为(2)设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2因为F1(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以(7+a)2+(1-b)2=r2,(1)(3-a)2+(1-b)2=r2.(2)又由图不难看出b2+│AM│2=r2,就是b2+16=r2.(3)由(1)式减去(2)式,得(7+a)2-(3-a)2=0,就是10(2a+4)=0∴a=-2.代入(2)式,得(1-b)2+25=r2.(4)由(4)式减去(3)式,得(1-b)2-b2+9=0,就是10-2b=0.∴b=5.代入(4)式,得r2=41.因此,所求的圆的方程是(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.解法二:(1)同解法一.(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到又由以上二式,得b=5,│AC│2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.(1)同解法一.(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因│AM│=│MB│=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).设所求的圆的方程为x2y2+Dx+Ey+F=0.因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.解法四:(1)同解法一.(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得-7D+E+F+50=0,(2)3D+E+F+10=0.(3)在(1)内令y=0得x2+Dx+F=0.(4)设所求圆与x轴的交点为(α,0),(β,0),则α与β是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以(α-β)2=64.又(α-β)2=(α+β)2-4αβ,所以(α+β)2-4αβ=64利用根与系数的关系,可以知道α+β=-D,αβ=F.代入上式得D2-4F=64.(5)解方程组(2)、(3)、(5)得D=4,F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.5.解法一:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0.(3)把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得从(5)式得v=u-15.代入(4)式并化简,得u2-22u+105=0.所以u=7,u=15.代入(5)式,得v=-8,v=0.所以就是解这两个方程组,得检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法二:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).整理后得x2+y2-2xy-18x-18y+45=0.(3)由(2)式得代入(3)式并化简,得x4-22x3+97x2+120x=0.利用综合除法分解因式,得x(x+1)(x-15)(x-8)=0.因此x=0,-1,15,8.代入(4)式,得就是检验后可以知道,原方程组的解是解法三:就是把(1)代入(2)并化简,得u2v2+4uv=0.所以uv=0,uv=-4.把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:解这两个方程组,得就是所以检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法四:(1)式两边平方并化简,得由(2)式得2(x+y)=xy+x+y+15.(4)比较(3)与(4)得,上面第二个式子不可能成立.因此,由此得解之,得经检验,这都是原方程组的解.6.解:因为a、b、c 是△ABC的三边,所以b+c>a,而两边开方,得以作成一个三角形.(3)不失一般性可以认为a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于。

高考数学试卷真题大题答案

1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(1)=\frac{1}{2}$的充要条件是：A. $x=1$B. $x=2$C. $x=3$D. $x=4$答案：C解析：将$x=3$代入$f(x)$中，得$f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3=0$，所以$f(1)=\frac{1}{2}$的充要条件是$x=3$。

2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=2$，$S_5=20$，则$a_3+a_5$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C解析：由等差数列的性质知，$S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=20$，代入$a_1=2$得$a_5=6$。

由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$a_5=6$，得$d=1$。

所以$a_3=a_1+2d=2+2=4$，$a_5=a_1+4d=2+4=6$，所以$a_3+a_5=4+6=10$。

3. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则$f'(x)$的值为：A. $\frac{1}{x^2}$B. $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}$C.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$ D. $\frac{1}{x^2}-\frac{2}{(x+1)^2}$答案：D解析：由导数的运算法则，得$f'(x)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{0}{x^2}-\frac{0}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{(x+1)^2}$。

4. 已知直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则$k$的取值范围是：A. $[-2,2]$B. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$C. $[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$ D. $[-1,1]$答案：B解析：圆心到直线的距离$d=\frac{|k\cdot0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。

1959年全国高考数学试题及其参考答案

1959年全国高考数学试题及其参考答案试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.一、(1)已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35. (注)lg是以10为底的对数的符号.(3)解不等式:2x2+5x<3.(4求cos165°的值.(5)一直圆台上底的面积为25π平方厘米,下底的直径为20厘米,母线长为10厘米.求这直圆台的侧面积.(6)有三条不在同一平面内的平行线a、b和c.在线a上取一固定线段AB,在线c、b上各任取一点C和D.求证:不论C和D取在c、b的什么位置上,四面体ABCD的体积总是不变的.二、三个数成等差数列,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍;如果第二个数减去2(仍当作第二项),三个数就成等比数列.求原来的三个数.四、A、B、C是直线L上三点,P是这直线外一点.已知AB=BC=a,∠APB=90°,∠BPC=45°.试求:(1)∠PBA的正弦、余弦、正切;(2)线段PB的长;(3)P点到直线L的距离.五、延长圆O的两弦AB、CD交于圆外一点E,过E点作DA的平行线交CB的延长线于点F,自F点作圆O的切线FG.求证FG=FE.1959年试题答案(3)解法一:2x2+5x<3,移项,得2x2+5x-3<0,(2x-1)(x+3)<0.因为两个数的积是负数,必须并且只须这两个数中一个是正数,一个是负数,所以从这个不等式可以得出下面两个不等式组:解法二:2x2+5x<3,移项,得2 x2+5x-3<0,不等式两边都乘以-1,得-2 x2-5x+3>0△=(-5)2-4·(-2)·3>0,(5)圆台侧面积S=πL(R+r),其中L为母线,r、R分别为上,下底的半径.上底面积=πr2=25π∴r=5(厘米)下底半径R=20/2(厘米)=10(厘米)母线l=10(厘米)∴这圆台侧面积S=πL(R+r)=π·10·(10+5)=150π(厘米2)(6)△ABD当四面体ABCD的底(如图)作底上的高CO.∵a∥b∴无论D在b上什么位置,△ABD的面积总不变.∵a∥b∴a,b决定一平面.∵c∥a,c∥b.∴c平行于a,b所决定的平面.∴无论C点在c的什么位置,高CO的高度总不变.因之,无论C,D在c,b上什么位置,其体积总不变二、设成等差数列的三个数是x-y、x、x+y,依据题中条件,化简(1)和(2),得:将(3)代入(4),得:y2-5y+4=0,(y-1)(y-4)=0故y1=1,y2=4三、设AB及BC两边之长为x及y,则有x2+y2-2xycos60°=42代入cos60°及sin60°的值,得到:x2+y2-xy=16xy=4化简,得到: x2+y2=20 (1)2xy=8 (2)(1)+(2),得: (x+y)2=28, (3)(1)-(2),得: (x-y)2=12 (4)四、解法一:令∠PBA=θ由△APB知 x=acosθ, (1)代(1),(4)入(3),得五、证明:∵EF∥DA,∴∠FEB=∠BAD，而∠BAD=∠BCD,∴∠FEB=∠BCD，又∠EFB=∠EFC ∴△EFB∽△CFE因此,FE:FC=FB:FE,即FE2=FB·FC.∵FG是圆O的切线,FBC的圆O的割线,∴FG2=FB·FC∴FG2=FE2即FG=FE.。

1962-1966年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考答案

AD=BC,AB=CD D CBA D /C /B /A /A B D =半圆周 2（A B +A D ）=圆周27°1962年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：设平均每年增长%x ，则有2(1%)121%x +=+，解得10x =.又第一年产量/第三年产量 =110083%121%121=≈+∴该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%. 2．解：5)21(i -的实部是由包含i 的偶次方的各项所组成， ∴所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解：由已知方程得),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x 即(5)(3)294x x x -+=-，∴210210x x -+=， ∴3,7x x ==，当3x =时，方程无意义， ∴原方程的解为7x =．4．解：4sin(2arcsin )5442sin arcsin cos arcsin 55⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525=⨯⨯=．5．证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四边形（如图），由于两平行弦所夹的弧相等，∴又∵ ∴∴∠C=900，∴ABCD 为矩形. （2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图）． ∵圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD BC AB +=+ 但,AD BC AB CD ==，∴22,AD AB AB AD ==∴ABCD 为菱形.6．解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得24(()210y y a y ---+=，即26(41)0y y a -++=，……………④ 2(6)4(41)16(2)a a ∆=--+=--.（1）当0∆>，即2a <时，方程组有不同的两实数解，且3y ==±，3xa =±，即 113,3x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或 223,3x a y ⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩ （2）当0∆=，即2a =时，方程组有相同的两实数解1,3.x y =⎧⎨=⎩（3）当0∆<，即2a >时，方程组没有实数解.7．解：∠ADB =1800-（330+270）=1200根据正弦定理，得sin 27sin120AB AD ⋅︒==︒第7题图第8题图D1C1B1A1ED CBADCBA又∠CAD=630-330=300，由余弦定理可得222cos30 CD AD AC AD AC=+-⋅⋅︒，24sin271232︒=+-24(0.4540)120.45400.3668.3=+-⨯=∴0.61.CD≈8．解（1）：设AA'mt=，A B'nt=.又1mt nt+=，∴1tm n=+.在直角△D AA''中，222D A D A AA''''=+2222222()m t n t m n t=+=+，而正方形A B C D''''的面积=2222222()()m nD A m n tm n+''=+=+.证（2）：∵2221()2m nm n+-+22222()()2()m n m nm n+-+=+22()2()m nm n-=≥+，∴2221()2m nm n+≥+.9．证：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=2.∵AE为直角△1A AC的斜边1AC上的高，∴1A E·1AC=21AA，CE·1AC=AC2.两式相除，得,21)2(122211===ACAAECEA∴1A E:CE=1:2.10．证：第一种情形：四条直线4321,,,llll没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点,,,,,A B C D E F，它们各不相同.令直线21,ll相交于点A，可决定一平面α.∵点,,B C D均在平面α内，∴直线43,ll也在平面α内，∴直线4321,,,llll同在平面α内.第二种情形：四条直线4321,,,llll中有三条，例如,,,321lll过同一点A.∵直线4l不过点A，∴由点A及直线4l可决定一平面α.∵直线4l与直线,,,321lll相交，设交点为,,B C D，则点,,B C D在直线4l上，从而在平面α内，因此，直线,,,321lll各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,llll在同一平内.βP E D C B A D C BA1963年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案 1．解：tan cos 0θθ=∴≠ ， ∴cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--=++3==-+. 2．解：（1）2)3(1|31|22=+=+i ，tan θ=3πθ=.（2）由图可知，复数i 31+沿反时针方向转1500后，得到的复数为2(cos210sin 210)i i ︒+︒=.3．解：∵AD :BD =4:1， ∴AD =54AB ，BD =51AB ，又∵AB =1，∴AD =54，BD =51.在直角△ACD 中， ∵CD ⊥AB ，∴CD 2=AD ·BD =,254 ∴CD =52.4．证：如图，点P 是二面角CD αβ--内一点，PA ⊥平面α于点A ，PB ⊥平面β于点B ，∴PA ⊥CD ，PB ⊥CD .∴CD 垂直于由PA ， PB 所决定的平面． 5．解：101lg23.28101lg23.28-=-101 1.3670=-⨯____138.067013910.0670=-=+-____139.9330=，lg 0.9330,8.570x x ==，∴10113923.28108.570--=⨯1398.57010-=⨯.6．解：由sin 3sin cos 20x x x -+=得， 2cos 2sin cos 20x x x ⋅+=，即 cos 2(2sin 1)0x x +=．由cos 20x =得，222x k ππ=±，即4x k ππ=±（k Z ∈）；由2sin 10x +=，得1sin 2x =-，即 1(1)()(1)66k k x k k ππππ+=+--=+-（k Z ∈）．7．解：由2(1)3(2)⨯+得222530x xy y --=，即 (3)(2)0x y x y -+=，∴3x y =，或2yx =-．将3x y =代入（1）得2y x =±= 将2yx =-代入（1）得2,1y x =±= ，经检验得原方程组的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或221,2.x y =⎧⎨=-⎩ 8．解：（1）没有重复数字的五位数共有72056=P （个）．（2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有12C 种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有4445P C ⋅种偶数的个数为240444512=⋅⋅P C C （个）．（3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1，3，4，7，9五个数字的和是3的倍数，故共有 120!555==P （个）． 9．证：由图可知AE 2=AC ·AD ，BF 2=BD ·BC ，∵AC =BD ，AD =BC ，∴AE 2=BF 2，AE =BF又OE OF =，90AEO BFO ∠=∠=︒， ∴△AOE ≌△BOF . 10．证：（1）如图，过球心O 与直圆锥底面的中心1O 作一平面与圆锥和球的截面，则△SAB 为等腰三角形．联OB ，则1OBO θ∠=．设圆锥母线长为l ，底面半径为R ，则 cos 2l R θ⋅=，即θ=2cos Rl ．又11tan OBO R ∠=，即1tan R θ=， ∴1tan cos 2l θθ=⋅，∴11tan cos 2tan l R θθθ+=+⋅11(1)tan cos 2θθ=+ 11cos 2tan cos 2θθθ+=⋅22212cos tan cos sin θθθθ=⋅- 22122tan 1tan tan (1tan )g θθθθ=⋅=--．（2）由条件及（1）得圆锥的全面积()S R l R π=+212tan tan (1tan )πθθθ=⋅⋅- 222tan (1tan )πθθ=-．（3）由（2）得222tan (1tan )S πθθ=-22228tan (1tan )2ππθθ≥=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当arctan 2θ=，即tan 2θ=（舍去负值），∴arctan2θ= ∴当θ取值22arctg=θ时，圆锥的全面积最小.注：本题可用配方法等方法求解.βPDBA1964年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：原式=32==．2．解：设乙的速度为v ，则甲的速度为v a +．在直角PBD ∆中，10cot PD v β=⋅；在直角PAD ∆中，10()cot PD v a α=+， ∴10cot 10()cot v v a βα⋅=+，∴cot cot cot a v αβα=-∴cot cot 10cot cot cot a PD v αβββα==-10cos cos .sin()αβαβ=-3．解方程,014=+x 并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点解：,sin cos 14ππi x +=-= ∴22cossin44k k x i ππππ++=+，0,1,2,3.k=1cossin44x i ππ=+=233cos sin44x i ππ=+=，355cos sin44x i ππ=+=，477cossin 4422x i iππ=+=-．在复平面内（x 为实轴，y 为虚轴）分别用,,,A B C D 四点来表示四个根1234,,,x x x x （如图）即22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，22B ⎛- ⎝⎭，22C ⎛-- ⎝⎭，22D ⎛- ⎝⎭. ∵,A B 关于y 轴对称，,A D 关于x 轴对称，∴∠A =900，同理，90B C D ∠=∠=∠=︒，且|AB |=|BC |=|CD |=|DA |=.2 ∴ABCD 是正方形，而,,,A B C D 是顶点． 4．证：设R 为△ABC 的外接圆的半径，则由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin a R b R c R αβγ===，∴由余弦定理得222cos 2b c a bcα+-=222224(sin sin sin )42sin sin R R βγαβγ+-=⋅⋅ 222sin sin sin 2sin sin βγαβγ+-=⋅. 5．解：设方程的三根为,,αββ，且0β>，则由根与系数的关系及题设有22222, (1)23,(2), (3)2 6. (4)m n αβαββαβαβ+=-⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪+=⎩ 由（4）-2·（2）得2412,(5)ααβ-=（1）式平方得22244,(6)m ααββ++=（5）+（6）得2222(2)12m αβ+=+,即22612m ⋅=+， ∴0m =.由（1）得02=+βα，即2αβ=-，代入（4）得266β=，1β=，或1β≠-（舍去），2α=-. 由（3）得2(2)12n αβ=-=--⋅=，∴0,2m n ==.6．解：将圆台补成圆锥体（如图）.设其顶点为S ，SD x =，则103015x r x R ==+，即)(60cm x =. 又因AB 弧的长为 230()l R cm ππ==，而90()l SA cm θθ=⋅=，∴,3090πθ=3πθ=，∴△SAB 为等边三角形，AB =90（cm ），即AB 间的距离为90cm.7．证：1）先证,,,A B C D 四点共面.设通过直线1111A B C D 而垂直于平面M 的平面为P .则因1AA ⊥平面M ，而1A 又在直线1111A B C D上，所以点A 在平面 P 内，同理点,,B C D 均在平面P 内，即 ,,,A B C D 四点共面.2）证ABCD 是一个平行四边形.若AB 与CD 相交于E ，则其在平面N 内的射影22A B 与22C D 也相交于2E ，此与22A B ∥22C D 的假设相违，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC . ∴ABCD 是一个平行四边形. 8．解：（1）设圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R ，则由图知 190CEO ∠=︒， 22CE O E R ==∴.211R CO =同理.222R AO =∴2211AC AO O O CO =++1212)()R R R R =+++121)()R R =+.又∵AB =1，∴AC =2.∴121)()R R +=∴122R R +== （2）两圆面积之和22221212()S R R R R πππ=+=+2211[(2)]R R π=+2211[22(2(2]R R π=-+2132(2R π⎛=-+ ⎝，∴当122R -=，即12R R =时S 取小. ∵1R 的最大值为1R =21，这时2R 为最小值，其值为2R=13(222-= 又当2R =21时，1R 有最小值1R =223-， ∴当1R =21（此时2R =223-）或1R =223-（此时2R =21）时，S 有最大值. 机动题解：（1）如图，ABCD 为矩形.设AB =a ，AD b =. 作直角△12O O G ，则有()212R R +[][]221212()()b R R a R R =-++-+，解得12R R +=（a +b ）.2ab ± ∵12R R a b +<+ ,∴12R R +=（a +b ）.2ab - ∴两圆面积之和2212S R R ππ=+212(R π⎡=⎢⎣⎦∴当1R =，即12R R =时，S有最小值；当1R 或212R =min(b a ,)时,S 有最大值. (2)如图，球1O 和球2O 外切，球1O 和以1C 为顶点的三面角的三个面相切，球2O 和以A 为顶点的三面角的三个面相切（设棱长为1）.同前类似可计算出：22AO =111C O =，1232R R +=. 两球的体积和33331212444()333V R R R R πππ=+=+22213)R ⎫⎡⎤⎪--⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭2213R ⎤⎛⎥=+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当1R =，即12R R =时V 有最小值；当2111,22R R ===，或121,2R R ==V 有最大值.注：在（1）中的b a ,必须限制为,2b a b ≤<否则在矩形内之二圆无法相切.C B AAB 1965年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为a 2，底面边长为a ，∴底面积2323a S = 棱锥的高,3a h =∴正六棱锥的体积23113332V Sh a ===.2.解：设经过x 小时后，甲船在C 处追上以船，则22BC x =（里） 26AC x =（里）由正弦定理得sin sin BC ACCAB ABC=∠∠，即2226sin(4948)sin(1804948)x xα=''︒-︒-︒，∴22sin 4948sin(4948)26α'⋅︒'︒-=，两边取对数得lgsin(4948)α'︒-lg22lgsin 4948lg26 1.8104'=+︒-=，9484015α''︒-=︒，∴49484015933α'''=︒-︒=︒. 3. 解：A ，B 两地之间的球面距离为过A ，B 所作的大圆的圆弧的长，设其长为l ，且设θ=∠AOB ，过A ，B 作平面1O AB NS ⊥（极轴），此平面与球面交成圆1O . 设其半径为r ，由已知， 1AO B β∠=.设C ，D 分别为赤道平面上与点A ，B 同经度之两点，则由已知得， AOC BOD α∠=∠=. 在过A ，B 的大圆上有180R l πθ=.由此可知，只需求出θ即可.在圆1O 中，线段AB=2sin 2AB r β=.又在过A ，C 的大圆中，1190,OO A OAO α∠=︒∠=， ∴αcos R r =，代入上式，可得线段2cos sin2AB R βα=.在AOB ∆中，线段2sin ,2AB R θ=∴2sin2θR =,2sincos 2βαR∴2arcsin(cos sin)2βθα=.由此可得A ，B 两地之间的球面距离为2arcsin(cos sin ).1802R l πβα=此处之角度以度为单位. 4.证：（1）|sin 2||2sin cos |x x x =⋅2|sin ||cos |x x =⋅．∵|cos |1x ≤，∴|sin 2|2|sin |x x ≤．（2）当n =1时，结论显然成立. 假设当(1)n k k =>时结论成立，即 .|sin ||sin |x k kx ≤ 当1n k =+时，|sin(1)||sin cos cos sin |k x kx x kx x +=⋅+⋅ |sin cos ||cos sin |kx x kx x ≤⋅+⋅ |sin ||cos ||cos ||sin |kx x kx x =⋅+⋅ |sin ||sin |(1)|sin |k x x k x ≤+=+，这就是说当1n k =+时，结论成立， ∴当n 为任意正整数时，结论均成立. 5.解：曲线C 是椭圆，中心在(1,1)-，其长轴平行于y 轴，短轴平行于x 轴（如图）．设直线1l 过点P (4,2)-且垂直于直线l ，与曲线C 相交于点A ，B ，1l 的方程为2(4)y x +=--，即2y x =-+.解方程组22(1)(1)1,242,x y y x ⎧+-+=⎪⎨⎪=-+⎩得 12211,1,3 3.5;3x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴直线1l 与曲线C 的交点为 15(,),(1,3)33A B -. 6.解：设α是它们的公共根，则2230, (1)4(1)0.(2)a p a p αα⎧+-=⎨---=⎩由（1）+3⨯（2）得241230p p ααα+--=，即 (4)(3)0p αα+-=，解得3α=或4pα=-.当3α=时，将3α=代入（1）得2p =-；当4p α=-时，将4pα=-代入（1）得210p +=，p 不存在.∴当p =-2时，方程032=-+px x 与方程x x 42-0)1(=--p 有一公共根3.7.解：（1） ∵111222(,),(,)P x y P x y ， ∴12PP 的中点为)2,2(21211y y x x M ++， ∴点3P 的横坐标,8)(22212y y y x +== 纵坐标221y y y +=.123PP P S ∆=1122212121112()182x y x y y y y y ++211221121|()22x x x y x y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++2222121221121|()2222y y y y y y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++22121212121|||42()()|16y y y y y y y y =-⋅-+++ |)(|||16122121y y y y --⋅-=3121||16y y =-. （2）∵1P 的坐标为11(,)x y ， 3P 的坐标为)2,8)((21221y y y y ++， ∴13PP 的中点为)43,1625(212221212y y y y y y M +++，点1Q 的横坐标,32)3(22212y y y x +== 纵坐标.4321y y y +=同理，点2Q 的横坐标212(3)32y y x +=，纵坐标.4321y y y += ∴131PPQ ∆的面积+232P PQ ∆的面积=128)(14332)3(121212212122111y y y y y y y y y x ++++的绝对值+114332)3(128)(21222122121221y x y y y y y y y y ++++的绝对值2212121|[2()(3)]16y y y y y =+-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 2212121|[2()(3)]16y y y y y ++-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 222112122111|||()||||()|128128y y y y y y y y =-⋅-+-⋅- 3121||64y y =-. （3）线段12PP 与抛物线所围成的图形的面积123131232()PP P PP Q P P Q S S S S ∆∆∆=+++ 333121212111||||||1664256y y y y y y =-+-+-+ 3123121||116||11214y y y y -==--.8.附加题（1）已知c b a ,,为实数，证明c b a ,,均为正整数的充要条件是0,0,0.a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,都是实数，证明γβα,,是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的. ∵,0,0,0>>>c b a∴0>++c b a ，0>++ca bc ab ， .0>abc .下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程320x px qx r +++=的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有0,0,0,p a b c q ab bc ca r abc -=++>⎧⎪=++>⎨⎪-=>⎩即 .0,0,0<><r q p∴三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，∴方程无负根，即方程的根均非负; 又由0>abc 可知，方程无零根， ∴0,0,0a b c >>>.（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是0,0,0p q r <><， ∴问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843->. 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有,,αβγβγαγαβ+>+>+>， ∴0,0αβγβγα+->+->，0γαβ+->，∴))()((βαγαγβγβα-+-+-+ (2)(2)(2)p p p αβγ=------ (2)(2)(2)p p p αβγ=-+++a 32[2()p p αβγ=-+++ 4()8]p βγγααβαβγ++++33(248)p p pq r =--+- 3480p pq r =-+>，即r pq p 843->.条件的充分性：若r pq p 843->，则 ,0843>+-r pq p 3()αβγ-+++4()()80αβγαββγγααβγ++++->， ()(222αβγαββγγα++++222)80αβγαβγ---->， 2[()][()αβγβγ++--22()]80αβγααβγ++-->， 322()()ααβγαβγ-+++- 2()()0βγβγ-+->，22()()()0ααβγβγαβγ-+++--->， 22()[()]0αβγαβγ-++-->，()()()0αβγαβγαβγ-+++--+>．此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有()()0αβγαβγ+--+>．如果,0,0<+-<-+γβαγβα 两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾． ∴,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα 即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ 即γβα,,可作为一个三角形的三条边．综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p1966年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为1457175C C =.如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为2357350C C =.∴一共有175+350=525种选法. 2.解:如图,已知8AD =， 10,6BC CD ==. 用1,O O 表示上、下底面的中心,,E F 表示,AD BC 的中点.连接11,,,OO EF OE O F ,则1OO FE 为直角梯形.从E 点作1O F 的垂线,垂足为G ，EG 就是正四棱台的高.EF ==EG ==，∴110080)3V =++=. 3.解法一:如图,在ABD ∆中，,,AB a BAD BDA θααβ=∠=-∠=-，由正弦定理得sin()sin()BD aθααβ=--，即asin()sin()a BD θααβ-=-.在BCD ∆中，,CBD BCD θβπθ∠=-∠=-，由正弦定理,得sin()sin()CD BDθβπθ=--，即 sin()sin BD CD θβθ-=，∴sin()sin()sin sin()a CD θαθβθαβ--=-..解法二:如图, 从D 点作AC 的垂线与AC 的延长线交于点E ，设DE h =.在直角三角形ADE 中，tan()ha BEθα=-+，即tan()hBE a θα=--.在直角三角形BDE 中, tan()h BE θβ=- ，即tan()tan()hh a θβθα⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴tan()tan()tan()tan()a h θβθαθβθα--=---.在直角三角形CDE 中,[]tan()tan()sin sin tan()tan()h a CD θβθαθθθβθα--==--- ．4.已知双曲线的方程为221696418890x y x y -++-=.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x 轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.解:(1)已知方程变形得2216(2)9(1)144x y +--=，即22(2)(1)1916x y +--=．令2,1x x y y ''+=-=,得221916x y ''-=， ∴这条双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标分别为(5,0),(5,0)-，且双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标分别为 12(7,1),(3,1)F F -.(2)如图, 12,F F 为双曲线的两个焦点,为圆与x 轴的两个交点, C 为圆心.因为过C 点与x 轴垂直的直线必平分线段12F F ,且平分线段AB ,所以C 点的横坐标为7322-+=-，且4AM BM ==. 设圆心坐标为(2,)C t -，半径为r ，则在AMC Rt ∆中，2216r t =+. 由圆C 经过焦点12,F F 得()2222(7)(1)r t =---+-，即22226r t t =-+，∴2216226t t t +=-+， ∴5t =，∴r =∴圆的方程为22(2)(5)41x y ++-=.5. 解:设0,0u v ，则221,1x u y v =-=-， ∴原方程组可转化为22223, (1)2()180.(2)u v u v u v +=⎧⎨-++=⎩ 由（2）得2222()4180u v u v u v -+++=，即2240u v uv +=，0uv =，或40uv =-<（舍去）.解方程组3,0u v uv +=⎧⎨=⎩得0,3u v ==，或3,0u v ==，即1,8,x y =-⎧⎨=⎩或9,1.x y =⎧⎨=-⎩检验知原方程组的解是1,8,x y =-⎧⎨=⎩9,1.x y =⎧⎨=-⎩ 注：本题的解法较多，在此不一一列举. 6.解: （1）为边长可这三个数中，任意两个数的和大于第三个数即可.∵,,a b c 是三角形是△ABC 的三边， ∴b c a +>，∴2b c b c a =++>+>，>同理可证>>∴以为边长可以作一个三角形.（2）∵是三角形A B C '''∆的三边长，∴cos A '=.(3)不失一般性可以认为a b c ≥≥,并且至少有一个不等号成立.由于较大的数的算术≥ 如果△ABC 与A B C '∆相似，那么△ABC 中的大边与A B C '''∆中的大边必为对应边，由相似三角形对应边成比例得==a b c ==. 这与△ABC 不是正三角形相矛盾.。

1963年的高考数学试题及答案

1963年的高考数学试题及答案1963年的高考数学试题及答案反映了那个时代教育的特点和难度。

试题涵盖了代数、几何、三角学和解析几何等基础数学知识，旨在考查学生的数学基础和解题能力。

以下是1963年高考数学试题的详细内容及答案。

试题一：代数部分1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0答案：x = 2 或 x = 32. 计算表达式：(2x + 3)(x - 1) - (x + 1)^2答案：x^2 - 2x - 4试题二：几何部分1. 已知三角形ABC，其中AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 6cm，求三角形ABC的面积。

答案：面积= 10√3 cm²2. 证明：如果一个三角形的两边相等，则这两个边所对的角也相等。

答案：根据等边对等角的性质，可以证明此命题成立。

试题三：三角学部分1. 已知sin A = 3/5，且A为锐角，求cos A和tan A的值。

答案：cos A = 4/5，tan A = 3/42. 计算：sin 30° + cos 45° - tan 60°答案：1/2 + √2/2 - √3试题四：解析几何部分1. 已知直线方程为y = 2x + 3，求该直线与x轴和y轴的交点。

答案：与x轴交点为(-3/2, 0)，与y轴交点为(0, 3)。

2. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9，求圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为(2, -1)，半径为3。

这些试题和答案展示了1963年高考数学的难度和覆盖范围，同时也体现了当时教育对于数学基础知识的重视。

通过这些试题，我们可以了解到那个时代的学生需要掌握的数学知识和解题技巧。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1960年全国高考数学试题及答案解析
试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.
一、
(2)有5组篮球队,每组6队.首先每组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次),
然后各组的冠军再进行单循环比赛.问先后共比赛多少次?
(3)求证等比数列的各项的对数组成等差数列.(这里所说的等比数列的各项都是正数)
(5)如图,用钢珠测量机件上一小孔的直径.所用钢珠的中心是O,直径是12毫米.将钢珠放在这小孔上,测得钢珠上端D到机件平面的距离CD是9毫米.求这小孔的直径AB的长.
(6)四棱锥P桝BCD的底面是一正方形.PA与底面垂直.已知PA是3厘米,P点到BC的距离是5厘米.求PC的长.
[Key] 一、
2x2-5=5x-7,
2x2-5x+2=0,
(2x-1)(x-2)=0,
∴x=2
=75+10=85
答:共比赛85次.
(3)证明:设等比数列为
a,aq,aq2,…,aq n-1
则各项的对数依次为
loga,logaq,logaq2,…,logaq n-1,
即loga,loga+logq,loga+2logq,…,loga+(n-1)logq, ∴上面的数列是以loga为首项,logq为公差的等差数列.
即0°≤x≤180°和540°≤x≤720°
(5)解法一:
设AB为x毫米,
又直径DE=12毫米
CD=9毫米
∴CE=12-9=3毫米
∵AC2=DC·CE,
∴x2=9×3×4
解法二:
设AB为x毫米,
又CD=9毫米,半径OD=6毫米,
∴OC=9-6=3(毫米)
连结OA,则OA=6毫米
在直角三角形OAC中,OA2=OC2+AC2
(6)解:∵PA⊥平面ABCD,
又AB⊥BC,
∴PB⊥BC,即PB=5厘米
又PA=3厘米,
因此AB=BC=4厘米
二、有一直圆柱,高是20厘米,底面半径是5厘米.它的一个内接长方体的体积是800立方厘米.求这长方体的底面的长和宽.
[Key] 二、
解:设底面的长和宽分别是x厘米和y厘米,则
上方程组可变形为
解这个方程组,得
分别解下面的两个方程组:
三、从一船上看到在它的南30°东的海面上有一灯塔.船以30/小时的速度向正东南方向航
行半小时后,看到这个灯塔在船的正西方.问这时船与灯塔的距离是多少?(精确到0.1)
[Key] 三、
解法一:如图,A是原来船的位置,B是灯塔,C是航行半小时后船的位置.
=4.5()
答:船与灯塔的距离是4.5.
解法二:如图,过A引CB的垂线与CB的延长线交于D点.
=4.5()
答:船与灯塔的距离是4.5.
四、要在墙上开一矩形的大玻璃窗,周长限定为6米.
(i)求以矩形的一条边长(x)表示窗户的面积(y)的函数式;
(ii)求这函数图象的顶点的坐标、对称轴的方程;
(iii)画出这函数的图象,并求出的x的允许值的范围.
[Key] 四、
解:(i)y=(3-x)x=-x2+3x.
x的允许值的范围:0<x<3
五、下列(1)、(2)两题选作一题.
(1)已知方程2x2-x·4sinθ+3cosθ=0的两个根相等,且θ为锐角,求θ和这个方程的两个根.
(2)a是什么实数的时候,下列方程组的解是正数:
[Key] 五、
(1)解:△=16sin2θ-24cosθ=0,
即2sin2θ-3cosθ=0.
由sin2θ=1-cos2θ,上方程可变形为
2cos2θ+3cosθ-2=0,
(2cosθ-1)(cosθ+2)=0,
cosθ+2=0,无解.
由2cosθ-1=0,得
∵θ为锐角,∴θ=60°
②×2-①:(8-a)y=12,
当a≠8时,
把③代入②中,得
要使y是正数,必须并且只须8-a>0,由此要使x是正数,必须并且只须2-a>0.解不等式组
得a<2
因此,当a<2的时候,原方程组的解是正数.。